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甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三数学上学期第一次检测考试试题 文


甘肃省天水市秦安县第二中学 2016 届高三级第一次检测考试 高 三 数 学(文科)
第 I 卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、设集合 A={1,2,4,6,8},B={1,2,3,5,6,7} ,则 A ? B 的子集个数为( A.3 B.6 C.8 ) D.y=cos 2x D.16 )

π 2

、下列函数中,周期为 π 且在[0, ]上是减函数的是( 2 π A.y=sin(x+ ) 4 3、不等式 π B.y=cos(x+ ) 4 ) B.[-1,+∞) C.y=sin 2x

x-1 ≥2 的解集为 ( x

A.[-1,0) C.(-∞,-1]

D.(-∞,-1]∪(0,+∞) )

4、函数 y=f(2x-1)的定义域为[0,1],则 f(x)的定义域为( A.[-1,1] B.[

1 ,1) 2

C.[0,1] )

D.[-1,0]

5、设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A. c>b>a B. b>c>a
2

C. a>c>b

D. a>b>c

6、 、已知命题 p:x +2x﹣3>0;命题 q:x>a,且?q 的一个充分不必要条件是?p,则 a 的取 值范围是( A.a≥1 ) B. a≤1 ) B. 2 D. 2
lg(x+y)

C. a≥﹣1

D. a≤﹣3

7、已知 x,y 为正实数,则( A. 2
lgx+lgy

=2 +2 =2 +2
lgx

lgx

lgy

=2 ·2
lgx

lgx

lgy

C. 2

lgx·lgy

lgy

lg(xy)

=2 ·2

lgy

1 x 2 ? 2 x ?1 8、函数 y= ( ) 的值域是( 2 A.(-∞,4)
2

) C.(0,4] ) D.[4,+∞)

B.(0,+∞)

9、函数 f(x)=ln(x +1)的图象大致是(

-1-

10.若函数 g ( x ) ? ? A.-3

, x ? 0); ?lg x( ,若 g(m)=0,则实数 m 的值等于( ? x ? 3, ( x ? 0)
B. 1 )
2



C.

-3 或 1

D.-1 或 3

11、下列命题错误的是(
2

A. 命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 B. “am <bm ”是”a<b”的充分不必要条件 C. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则¬p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 D.命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 12、设 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+1)=﹣f(x) ,已知 x∈ (0,1)时,f(x)= (1﹣x) ,则函数 f(x)在(1,2)上 ( )
2 2 2 2

A.是增函数,且 f(x)<0 C.是减函数,且 f(x)<0

B. 是增函数,且 f(x)>0 D. 是减函数,且 f(x)>0

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? 1 ? 3 sin x 的最小正周期为
2



? x? y ?5? 0 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?



x2 y 2 b 15.椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点 F ? c,0 ? 关于直线 y ? x 的对称点 Q 在椭圆上, c a b
则椭圆的离心率是
2



16.若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是_______.

三、解答题(70 分) 17. (本小题满分 12 分) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,向量 m ? (a, 3b) 与

??

? n ? (cos A,sin B) 平行.
(Ⅰ)求 A ;

-2-

(Ⅱ)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖, 抽奖方法是:从装有 2 个红球 A1 , A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 , a2 和 2 个白 球 b1 , b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖。 (Ⅰ) 用球的标号列出所有可能的摸出结果; (Ⅱ) 有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认 为正确吗?请说明理由。

19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 E ? ABCD 中,面 EBA ? 面 ABCD,侧面 ABE 是等腰直 角三角形, EA ? EB , AB // CD , AB ? BC , AB ? 2CD ? 2 BC ? 2 . (Ⅰ)求证: AB ? ED ; (Ⅱ)求直线 CE 与面 DBE 的所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 , 2 点A 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

?

?

在椭圆上,且 AF2 与 x 轴垂直。 (1)求椭圆的方程; (2)过 A 作直线与椭圆交于另外一点 B ,求 ? AOB 面积的最大值。

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a ( a ∈ R) . 3

(1) 当 a ? ?3 时,求函数 f ?x ? 的极值; (2)若函数 f ?x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请涂清清
-3-

题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中,?ABC ? 90? ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边 的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (Ⅰ)求证: DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)求证: DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴

? 3 ? ?x ? 2 t ? m 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数). 1 ? y? t ? 2 ?
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设点 P ( m,0) ,若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,且 | PA | ? | PB |? 1 ,求实数 m 的 值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 ?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m2 ? 4m ,求实数 m 的取值范围.

-4-

数学答案(文科) 1、C 2、D 3、A 4、A 5、D 6、A 7、D 8、C 9、A 10、C 11、D 12、D 13. ? 【解析】因为 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ,所以 f ( x) ? 1 ? 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为

3 1 3 (1 ? cos 2 x) ? ? ? cos 2 x , 2 2 2

2? 【考点定位】函数的周期,二倍角的余弦公式. 【名 ?? . 2
2? 1 3 ? cos 2 x ,再根据 T ? 求 ? 2 2

师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为 f ( x ) ? ? 周期.二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用. 14.8【解析】试题分析:不等式组 ?

? x? y ?5? 0 表示的可行域是以 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?

?1,1? , ? 2,3? , ?3,2? 为顶点的三角

形区域, z ? 2 x ? y 的最大值必在顶点处取得,经验算, x ? 3, y ? 2 时 zmax ? 8 .

? n b ? ? ?1 ? b 2 ?m?c c 15. 【解析】设 F ? c,0 ? 关于直线 y ? x 的对称点为 Q(m, n) ,则有 ? ,解 c 2 ?n ? b ? m ? 2 ? 2 ?2 c
得 m?

c3 ? 2b2 bc 2 ? 2bc c3 ? 2b 2 bc 2 ? 2bc , n ? Q ( , ) 在 椭 圆 上 , 即 有 , 所 以 a2 a2 a2 a2

(c3 ? 2b2 )2 (bc 2 ? 2bc)2 c 2 ? ? 1 ,解得 a 2 ? 2c 2 ,所以离心率 e ? ? . 4 2 2 a ab a 2
16 . 点.

a> 0 【 解 析 】 试 题 分 析 : 存 在 垂 直 于 y 轴 的 切 线 , 即 是 有 极 值
2

1 2ax ? 1 , 又 x ? 0 , 当 a ? 0, f '? x? ? 0单 调 减 , 无 极 值 , 当 f ' ? x ? ? 2ax ? ? x x

a ? 0, f ' ? x ? ? 0 有根,所以有极值点,存在垂直于 y 轴的切线.则 a ? 0 .考点:用导数求
函数的极值.

A? 17. (Ⅰ)

?
3

; (Ⅱ)

?? ? 3 3 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 因为 m // n , 所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 , 2
3 sin B cos A? , 0又 s inB ? 0, 从 而 tanA ? 3, 由 于

由 正 弦 定 理 , 得 sinA sin B?

0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

2 2 2 ; (Ⅱ)解法一:由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,代入数

值求得 c ? 3 ,由面积公式得 ?ABC 面积为

1 3 3 .解法二:由正弦定理,得 bc sin A ? 2 2

-5-

7 sin

?
3

?

2 21 2 7 , 从 而 sin B ? , 又 由 a ? b 知 A ? B , 所 以 cos B ? ,由 sin B 7 7

sin C ? sin A( ? B ?)

? 3 2 1 sB in ?( , 计 ) 算 得 s iC , 所 以 ?ABC 面 积 为 n? 3 14

?? ? 1 3 3 .试题解析: (Ⅰ)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 由正弦定理, ab s i C n? 2 2
得 sin Asin B ? 3sin B cos A ? 0 ,又 sin B ? 0,从而 tan A ?

3,由于 0 ? A ? ? 所以

A?

?
3

(Ⅱ)解法一:由余弦定理,得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?

?
3



2 2 得 7 ? 4 ? c ? 2c , 即 c ? 2c ? 3? 0因 为 c ? 0 , 所 以 c ? 3 , 故 ?ABC 面 积 为

7 2 1 3 3 21 .解法二:由正弦定理,得 从而 sin B ? 又由 a ? b 知 ? bc sin A ? ? sin B 2 2 7 sin 3
A? B
, 所 以

cos B ?

2 7 7



sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ?
所以 ?ABC 面积为

?
3

) ? sin B cos

?
3

? cos B sin

?
3

?

3 21 , 14

1 3 3 . ab sin C ? 2 2

18. (Ⅰ) {A1, a1},{A1, a2},{A1, b1},{A1, b2},{A2 , a1},{A2 , a2}, {A2 , b1},{A2 , b2},{B, a1},{B, a2},{B, b1},{B, b2}, (Ⅱ)说法不正确; 【解析】试题分析: (Ⅰ)利用列举法列出所有可能的结果即可; (Ⅱ)在 (Ⅰ)中摸出的 2 个球都是红球的结果数,然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概 率,中奖概率大于不中奖概率是错误的;试题解析: ( Ⅰ)所有可能的摸出结果是:

{A1, a1},{A1, a2},{A1, b1},{A1, b2},{A2 , a1},{A2 , a2}, {A2 , b1},{A2 , b2},{B, a1},{B, a2},{B, b1},{B, b2}, (Ⅱ)不正确,理由如下:
由 (Ⅰ )知 ,所 有可 能的 摸 出结 果共 12 种,其 中 摸出的 2 个 球都 是红 球 的结 果为 所以中奖的概率为 {A1, a1},{A1, a2},{A2 , a1},{A2 , a2}, 共 4 种, 故这种说法不正确。 【考点定位】概率统计 19. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

4 1 1 2 1 ? , 不中奖的概率为 1 ? ? ? , 12 3 3 3 3

1 . 【解析】试题分析: (Ⅰ)此问证明异面直线垂直,可以转化 3

-6-

DM , 为证明线面垂直, 线线垂直, 所以做取 AB 中点 M , 连接 EM , 根据条件可证明:AB ?
平面 EDM ; (Ⅱ) 直线 CE 与面 DBE 的所成角的正弦值 sin ? ?

h 1 ? ,所以可以根据等 CE 3

(Ⅰ)作 EM ? AB, 交 AB 于 M ,连接 DM , 体积转化求点 C 到平面 BDE 的距离.试题解析:

??ABE 为等腰直角三角形 ? M 为 AB 中点? AB ? 2CD ? 2BC ? 2 , AB ∥ CD , AB ? BC ? 四
边形 BCDM 是边长为 1 的正方形? AB ? DM , (4 分)? EM ? DM ? M ? AB ? 面DEM (6 分) (7 分) (Ⅱ)记点 C 到面 BDE 的距离为 h 由 VE ?CBD ? VC ? BDE 易求得 h ? ? AB ? ED ;

3 又 3

CE ? 3 (13 分)直线 CE 与面 DBE 的所成角的正弦值 sin ? ?
直的判定定理;2.线面角的计算;3.等体积转化.20. (1)

h 1 ? 考点:1.线面垂 CE 3

x2 y 2 ? ? 1 (2) 2 2 【解析】 8 4

c ? 2, 试题分析: (1) 本题考察的是求椭圆的标准方程, 只需确定 a , b 即可。 本题根据题目条件,
b2 x2 y 2 (2)本题考察的直线与 ? 2 ,∴ a ? 2 2 , b 2 ? 4 ,从而确定椭圆的方程是 ? ?1 。 a 8 4
椭圆的位置关系, 需要分直线 AB 的斜率不存在或斜率存在两种情况讨论, 根据弦长公式和点 到直线的距离公式, 表示出 ? AOB 面积的表达式, 从而求出 ? AOB 面积的最大值。 试题解析: (1)有已知: c ? 2 ,

b2 x2 y 2 ? 2 ,∴ a ? 2 2 , b 2 ? 4 故椭圆方程为 ? ? 1 (2)当 AB 斜 a 8 4
1 ?2 2?2 ? 2 2 2

率 不 存 在 时 : S?AOB ?
y ? 2 ? k ( x ? 2) (k ?

当 AB 斜 率 存 在 时 : 设 其 方 程 为 :
? y ? kx ? ( 2 ? 2k ) ? ? 2 2 ? ? x ? 2 y =8

2 ) 2







? 2k

2

? 1? x 2 ? 4

?
?
2

2 ? 2k kx ? 2

?

?

2 ? 2k

?

2

?8 ? 0









? ? 16

?

2 ? 2k

k 2 ? 8 ? 2k 2 ? 1? ? ? ?

?

2 ? 2k

?

2

? 4 ? ? 8 2k ? 2 ? ?

?

?

2

?0

即: k ? ?

2 2 ? 2k ? 2 2 AB ? 1 ? k 2 ? 2k 2 ? 1 2

O 到直线 AB 的距离: d ?

2 ? 2k 1? k2

∴ S?ABC ? ∴2?
4

2 1 4 ∵k?? ,∴ 2k 2 ? 1 ? 2 ,∴ 2k 2 ? 1 ? ?1, 2 ? ? ? 2, ?? ? , AB d ? 2 2 ? 2 2 2k ? 1 2

? ? ?2, 0 ? ? ? 0, 2 ? 此时 S?AOB ? (0, 2 2] 综上所求:当 AB 斜率不存在或斜率为零 2k ? 1 ?
2

时, ? AOB 面积取最大值为 2 2

? ? 1 ?f 3 ?1 3? ? ?? ? 21. ( 1)当 x ? ?1 时 , f ?x ? 取得极大值为

1 3

14 ;当 x ? 3 时 , f ?x ? 取得极小值为 3
-7-

1 f ?3?? ? ?6? .27 ? 9 ? 9 ? 3 3
(2)a 的取值范围是 ?0,??? . 【解析】试题分析: (1)遵循“求导数,求驻点,讨论驻点 两侧导数值符号, 确定极值”. (2) 根据 f ?? x ? = x 2 ? 2 x ? a , 得到△= 4 ? 4a = 4?1 ? a ? . 据此讨论:① 若 a≥1,则△≤0, 此时 f ?? x ? ≥0 在 R 上恒成立,f(x)在 R 上单调递增 . 计算 f(0) ? ? a ? 0 , f ?3? ? 2a ? 0 ,得到结论.② 若 a<1,则△>0, f ?? x ? = 0 有两个不 相等的实数根,不妨设为 x1,x2,(x1 ? x2) .有 x1 ? x2 ? 2,x1 x2 ? a . 给出当 x 变化

时, f ' ?x ?, f ?x ?的取值情况表.根据 f(x1)·f(x2)>0, 解得 a> 0 .作出结论.试题解析: ( 1 )当 a ? ?3 时, f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3 x ? 3 ,∴ f ?? x ? ? x 2 ? 2x ? 3 ? ?x ? 3??x ? 1? . 令 3

f ?? x ? =0, 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 . 当 x ? ?1 时, f ' ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? ?,?1? 上单调递增;
当 ? 1 ? x ? 3 时, f
'

?x ? ? 0 ,

则 f ?x ? 在 ?? 1, 3? 上单调递减;当 x ? 3 时, f ' ?x? ? 0 , f ?x ?

在 ?3,??? 上单调递增. 当 x ? 3 时,

∴ 当 x ? ?1 时, f ?x ? 取得极大值为 f ?? 1? ? ?

1 14 ?1? 3 ? 3 ? ; 3 3

1 f ?x ? 取 得 极 小 值 为 f ?3? ? ? 27 ? 9 ? 9 ? 3 ? ?6 . ( 2 ) ∵ f ?? x ? = 3

x 2 ? 2 x ? a ,∴△= 4 ? 4a = 4?1 ? a ? .①若 a≥1,则△≤0,∴ f ?? x ? ≥0 在 R 上恒成立,
∴ f(x)在 R 上单调递增 .∵f(0) ? ? a ? 0 , f ?3? ? 2a ? 0 , ∴当 a≥1 时,函数 f(x) 的图象与 x 轴有且只有一个交点. ② 若 a < 1 , 则 △ > 0 , ∴ f ?? x ? = 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 不 妨 设 为
' .∴ x1 ? x2 ? 2,x1 x2 ? a . 当 x 变化时, f ?x ?, f ?x ? 的取值情况如下 x1,x2,(x1 ? x2)

表: x

?? ?, x1 ?
+

x1 0 极大值

(x1,x2) x2 - ↘ 0 极小值

?x2 ,???
+ ↗

f ?? x ?

f(x) ↗

2 2 ∵ x1 ? 2 x1 ? a ? 0 ,∴ a ? ? x1 ? 2 x1 .∴ f ? x1 ? ?

1 3 x1 ? x12 ? ax1 ? a 3

=

1 3 1 1 x1 ? x12 ? ax1 ? x12 ? 2 x1 ? x13 ? ?a ? 2 ?x1 ? x1 x12 ? 3?a ? 2 ? . 3 3 3 1 1 2 2 x2 x2 ? 3?a ? 2? .∴ f ? x1 ? ? f ?x 2 ? ? x1 x 2 x12 ? 3?a ? 2? ? x 2 ? 3?a ? 2? 3 9

?

?

同理 f ?x2 ? ?

?

?

?

??

?

-8-

? ?

1 ?x1 x2 ??x1 x2 ?2 ? 3?a ? 2? x12 ? x22 ? 9?a ? 2?2 ? 1 a a 2 ? 3?a ? 2??x1 ? x2 ?2 ? 2 x1 x2 ? 9?a ? 2?2 9 9 4 a a 2 ? 3a ? 3 . 令 f ( x1 ) ·f ( x2 ) > 0, 9

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

解 得 a > 0 . 而 当 0 ? a ?1

时, f ?0? ? ?a ? 0, f ?3? ? 2a ? 0 ,

故当 0 ? a ? 1 时, 函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有

一个交点.综上所述,a 的取值范围是 ?0,??? .考点:应用导数研究函数的极值、单调性及函 数的图象,分类讨论思想. 22.证明见解析 【解析】试题分析:证明 DE 是圆的切线,只需说明两点,第一 DE 过圆上一点 E,第二 DE 与 半径 OE 垂直,如何证明 DE ? OE 呢?可考虑证明 ?BOD ? ?EOD ,由 OD 为 ?ABC 的中位 线可知: OD // ?

1 AC ,连接 OE,有 ?BOD ? ?EAO ? ?AEO ? ?EOD ,OD 为公共边,两 2

个 三 角 形 全 等 , 问 题 得 证 ; 延 长 DO 交 圆 于 F , 左 边 由 切 割 线 定 理 :

DE ? BC ? DE ? 2BD ? 2DE ? DE ? 2DE 2 ? 2DM ? DF ,右边 DM ? AC ? DM ? AB
? DM (AC ? AB ) ? DM (2OD ? 2OB)=2DM(OD+OF)=2DM ? DF , 问题得证; 试题解析: (Ⅰ)
连结 OE .∵点 D 是 BC 的中点,点 O 是

AB 的中点,∴ OD // ? AC ,∴ ?A ? ?BOD ,

1 2

?AEO ? ?EOD .∵ OA ? OE , ∴ ?A ? ?AEO , ∴ ?BOD ? ?EOD .在 ?EOD 和 ?BOD
中,

? ?EOD ? ?BOD , ∵ OE ? OB , ∴ ?OED ? ?OBD ? 90? , 即 OE ? ED .∵ E 是圆 O 上
一点,∴ DE 是圆 O 的切线. (Ⅱ)延长 DO 交圆 O 于点 F .∵ ?EOD ≌ ?BOD ,∴ DE ? DB .∵点 D 是 BC 的中点, ∴ BC ? 2 DB .∵ DE, DB 是圆 O 的切线,∴ DE ? DB .∴ DE ? BC ? DE ? 2DB ? 2 DE2 . ∵

AC ? 2OD, AB ? 2OF



∴ DM ? AC ? DM ? AB ? DM ? ( AC ? AB) ? DM ? (2OD ? 2OF ) ? 2DM ? DF .∵ DE 是圆 O 的切线, DF
2 是圆 O 的割线,∴ DE ? DM ? DF ,∴ DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB

23. (1) ( x ? 1) ? y ? 1, x ? 3 y ? m ? 0 ; (2) 1 或 1 ? 2 或 1 ? 2
2 2

【解析】试题分析:首先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线的参数方程中的参数t 消去化为普通方程,把直线的参数方程代入圆的标准方程得到关于t 的一元二次方程,由于直 线与圆有两个交点,方程有两个实根,所以要求判别式为正,解得 m 的范围,利用根与系数 关系表示tt , 利用直线的参数方程参数t 的几何意义可知 | PA | ? | PB |?| t1t 2 |?| m ? 2m |? 1, 1 2
2

解出 m 后要求符合 m 的范围即可;
-9-

试题解析: (Ⅰ)由 ? ? 2 cos ? ,得: ? ? 2? cos? ,∴ x ? y ? 2 x ,即 ( x ? 1) ? y ? 1,
2 2 2 2 2

∴曲线

C 的 直 角 坐 标 方 程 为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 . 由 ? ?x ?
? ? ? ?

?

3 t?m 2 1 y? t 2

, 得 x ? 3y ? m , 即

x ? 3y ? m ? 0 , ∴ 直 线 l 的 普 通 方 程 为 x ? 3y ? m ? 0 . ( Ⅱ ) 将 ? ?x ?
? ? ? ?

?

3 t ?m 代入 2 1 y? t 2

? 得: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1, ?

? ? 1 ?2 , 整理得: t 3 ? t ? ?1 ? 2 t ? m ? 1? ? ? ? ? ?2 ?
2

2

由 ? ? 0, ? 3(m ?1)t ? m2 ? 2m ? 0 ,

2 2 即 3(m ?1) ? 4(m ? 2m) ? 0 , 解 得 : ? 1 ? m ? 3 . 设 t1 , t 2 是 上 述 方 程 的 两 实 根 , 则

t1 ? t2 ? ? 3(m ?1), t1t2 ? m2 ? 2m , 又 直 线 l 过 点 P (m,0) , 由 上 式 及 t 的 几 何 意 义 得

| PA | ? | PB |?| t1t2 |?| m2 ? 2m |? 1,解得: m ? 1或 m ? 1 ? 2 ,都符合 ? 1 ? m ? 3 ,因此实
数 m 的值为 1 或 1 ? 2 或 1 ? 2 .考点:极坐标与参数方程; 24. (1) ? ? ?,? ? ? (3,??) , (2) ? ?

? ?

1? 3?

? 1 5? , ?, 【解析】试题分析:首先利用零点分区间讨论 ? 2 2?

去掉绝对值符号,化为分段形式,在每一个前提下去解不等式,每一步的解都要和前提条件 找交集得出每一步的解,最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解;根据第一步所化出 的 分 段 函 数 求 出 函 数 f (x ) 的 最 小 值 , 若 ?x0 ? R , 使 得 f ( x0 ) ? 2m2 ? 4m 成 立 , 只

4m ? 2m 2 ? f(x )min ,解出实数 m 的取值范围.
试题解析: (Ⅰ)当 x ? ?2 时, f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ? x ? 3, f ( x) ? 0 , 即 ? x?3?0 , 解 得

x ? 3 , 又 x ? ?2 , ∴ x ? ?2 ; 当 ? 2 ? x ?

1 时 , 2
1 ,又 3

f ( x) ?| 2x ? 1 | ? | x ? 2 |? 1 ? 2x ? x ? 2 ? ?3x ? 1 , f ( x) ? 0 , 即 ? 3 x ? 1 ? 0 , 解 得 x ? ?

?2? x?

1 1 1 ,∴ ? 2 ? x ? ? ;当 x ? 时, f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 , f ( x) ? 0 , 2 2 3

即x?3? 0, 解得 x ? 3 , 又x?

1? 1 ? , ∴ x ? 3 .综上, 不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ? ?,? ? ? (3,??) . 3? 2 ?

? ? ? x ? 3, x ? ?2 ? (Ⅱ) 1 ,∴ ? f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?? 3x ? 1, ?2 ? x ? 2 ? 1 ? x ? 3, x ? ? 2 ?
2 f ( x0 ) ? 2m2 ? 4m ,∴ 4m ? 2m ? f ( x) min ? ?

5 ?1? f ( x) min ? f ? ? ? ? .∵ ?x0 ? R ,使得 2 ?2?

5 2 ,整理得: 4m ? 8m ? 5 ? 0 ,解得: 2
- 10 -

?

1 5 ?m? , 2 2

因此 m 的取值范围是 ? ?

? 1 5? , ? .考点:不等式; ? 2 2?

- 11 -


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