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阶段仿真模拟(一)


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阶段仿真模拟(一)
(第一、二章) (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项

是符合题目要求的) 1.(预测题)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,a-2,5}, ?U A={2,4},则 a 的值为 ( (A)3 (B)4 (C)5 ) (D)6 )

2.下列四个命题中的真命题为( (A)? x0∈R,使得 sinx0-cosx0=-1.5 (B)? x∈R,总有 x2-2x-3≥0 (C)? x∈R,? y∈R,y2<x (D)? x0∈R,? y∈R,y·x0=y

3.(2012·福州模拟)下列结论错误的是(

)

(A)命题“若 p,则 q”与命题“若 q,则 p”互为逆否命题 (B)命题 p:? x∈[0,1],ex≥1,命题 q:? x0∈R, +x0+1<0,则 p∨q 为真 (C)“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题 (D)若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题 4.(2013·厦门模拟)如图,U 是全集,M,N,S 是 U 的子集,则图中阴影部分所示的
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集合是(

)

(A)( ?U (M∩N))∩S (B)( ?U M∩ ?U N)∩S (C)( ?U N∩ ?U S)∪M (D)( ?U M∩ ?U S)∪N 5.(2013· 莆田模拟)若 m>0 且 m≠1,n>0,则 “logmn<0” 是 “(m-1)(n-1)<0” 的( (A)充要条件 (C)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ) )

6.函数 f(x)对任意 x∈R,恒有 f(x+2)=-f(x),且 f(1)=2,则 f(11)=( (A)-2 (B)2 (C)0 (D)1

7.已知 a>0,设 p:存在 a∈R,使 y=ax 是 R 上的单调递减函数; q:存在 a∈R,使函数 g(x)=lg(2ax2+2x+1)的值域为 R,如果 “p∧q” 为假,“p∨q” 为真,则 a 的取值范围是( (A)( ,1) (C)(0, ]∪[1,+∞) ) (B)( ,+∞) (D)(0, )

8.(2013·三明模拟)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(1)=0,则不等式 x[f(x)-f(-x)]<0 的解集为( (A){x|-1<x<0,或 x>1} (B){x|x<-1,或 0<x<1}
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)

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(C){x|x<-1,或 x>1} (D){x|-1<x<0,或 0<x<1} 9.定积分 (A)-1 exdx 的值为( (B)1 ) (C)e2-1 (D)e2

10.设函数 f(x)=x·sinx,若 x1,x2∈[- , ],且 f(x1)>f(x2),则下列不等式恒成 立的是( (A)x1>x2 (C)x1+x2>0 ) (B)x1<x2 (D) >

二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线 上) 11.(2012·泉州模拟)若命题“? x0∈R,使 +(a-1)x0+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为_____________. 12.(2012·南平模拟)函数 f(x)=2x3-3x2+10 的单调递减区间为___________. 13.(易错题)已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若 p 是 q 的充分条件,则实数 a 的取值范围是_____________. 14.函数 f(x)=(x+a)3 对任意 t∈R,总有 f(1+t)=-f(1-t),则 f(2)+f(-2)等于 ___________. 15.(能力挑战题)已知函数 f(x)= 若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不

相等的实数根,则实数 a 的取值范围为 ____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 16.(13 分)设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中 x∈R,如果 A∩B=B,
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求实数 a 的取值范围. 17.(13 分)已知命题 p: “? x∈[1,2],x2-a≥0” ,命题 q: “? x0∈R, +2ax0+2-a=0” , 若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 18.(13 分)(易错题)两个二次函数 f(x)=x2+bx+c 与 g(x)=-x2+2x+d 的图象有唯一 的公共点 P(1,-2). (1)求 b,c,d 的值; (2)设 F(x)=(f(x)+m)·g′(x),若 F(x)在 R 上是单调函数,求 m 的取值范围,并 指出 F(x)是单调递增函数,还是单调递减函数. 19.(13 分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价 是 20 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提 高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为 x(0<x<1),那么月 平均销售量减少的百分率为 x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均 利润是 y(元). (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2) 改进工艺后,确定该纪念品的售价 ,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润 最大. 20.(14 分)(2012·宁德模拟)定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23 且对 任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 21.(14 分)(2012·福建高考)已知函数 f(x)=ex+ax2-ex,a∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)的单调区间;
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(2)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切 线与曲线只有一个公共点 P.

答案解析
1.【解析】选 C.≧ ?U A={2,4},?A={1,3,5}, ?a-2=3,?a=5. 2.【解析】选 D.当 x0=1 时,对? y∈R,y〃x0=y 恒成立,故选 D. 3.【解析】选 C.选项 C 的逆命题“若 a<b,则 am2<bm2”,当 m=0 时不成立,故选 C. 4.【解析】选 B.根据韦恩图的意义,选 B. 5.【解析】选 A.由 logmn<0 知 m,n 中一个大于 1,另一个大于 0 而小于 1,即 (m-1)(n-1)<0.反之(m-1)(n-1)<0 可得 logmn<0. 6.【解析】选 A.≧f(x+2)=-f(x), ?f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即周期为 4, ?f(11)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-2. 7.【解析】选 A.由题意知 p:0<a<1,q:0<a≤ , 因为“p∧q”为假,“p∨q”为真,所以 p、q 一真一假. 当 p 真 q 假时,得 <a<1, 当 p 假 q 真时,a 的值不存在,综上知 <a<1. 8.【解析】选 D.≧f(x)是奇函数,
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?f(-x)=-f(x). ?f(x)-f(-x)=2f(x). 又 f(x)在(0,+≦)上是增函数,且 f(1)=0. ?x[f(x)-f(-x)]<0 的解集为{x|-1<x<0,或 0<x<1}. 故选 D.

9.【解析】选 B.

exdx=ex

=eln2-e0=2-1=1.

10.【解析】选 D.显然 f(x)为偶函数, 当 x∈(0, ]时,f′(x)=sinx+xcosx>0, ?f(x)在(0, ]上单调递增. 又 f(x1)>f(x2)?f(|x1|)>f(|x2|)?|x1|>|x2|? > . 11.【解析】由题意可知对? x∈R 都有 x2+(a-1)x+1≥0 成立,?Δ=(a-1)2-4≤0, 解得-1≤a≤3. 答案:[-1,3] 12.【解析】f′(x)=6x2-6x,由 f′(x)<0 得 0<x<1, ?f(x)的单调减区间为(0,1). 答案:(0,1) 13.【解析】p:-4<x-a<4?a-4<x<a+4, q:(x-2)(3-x)>0?2<x<3, 又 p 是 q 的充分条件,即 p? q,等价于 q? p, 所以 答案:[-1,6] 【误区警示】解答本题时易弄错 p、q 的关系,导致答案错误,求解时,也可先求
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,解得-1≤a≤6.

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出 p、 q,再根据其关系求 a 的取值范围. 14.【解析】令 t=1,则 f(2)=-f(0). ?(2+a)3=-a3,?a=-1, ?f(2)+f(-2)=(2-1)3+(-2-1)3=-26. 答案:-26 15.【解析】作出函数 f(x)的图象如图,由图象可知当直线为 y=x+1 时,直线与函 数 f(x)只有一个交点,要使直线与函数有两个交点,则需要把直线 y=x+1 向下平 移,此时直线和函数 f(x)恒有两个交点,所以 a<1.

答案:(-≦,1) 16.【解析】A={0,-4},又 A∩B=B,所以 B? A. (1)B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,得 a<-1; (2)B={0}或 B={-4}时, 把 x=0 代入 x2+2(a+1)x+a2-1=0 中得 a=〒1, 把 x=-4 代入 x2+2(a+1)x+a2-1=0, 得 a=1 或 7,又因为Δ=0,得 a=-1; (3)B={0,-4}时,Δ=a+1>0, ,解得 a=1. 综上所述实数 a=1 或 a≤-1.
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17.【解析】由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,a≤x2 恒成立,≧x∈[1,2],?a≤1. 若 q 为真命题,即 x2+2ax+2-a=0 有实根, Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2, 综上,实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 18.【解题指南】(1)把点 P 的坐标代入两函数解析式,结合 x2+bx+c=-x2+2x+d 有 唯一解,可求得 b,c,d, (2)若 F(x)在 R 上是单调函数,则 F′(x)在 R 上恒有 F′(x)≥0 或 F′(x)≤0. 【解析】(1)由已知得 化简得 , ,

且 x2+bx+c=-x2+2x+d, 即 2x2+(b-2)x+c-d=0 有唯一解, 所以Δ=(b-2)2-8(c-d)=0,即 b2-4b-8c-20=0, 消去 c 得 b2+4b+4=0,解得 b=-2,c=-1,d=-3. (2)由(1)知 f(x)=x2-2x-1,g(x)=-x2+2x-3, 故 g′(x)=-2x+2, F(x)=(f(x)+m)〃g′(x) =(x2-2x-1+m)〃(-2x+2) =-2x3+6x2-(2+2m)x+2m-2, F′(x)=-6x2+12x-2-2m. 若 F(x)在 R 上为单调函数,则 F′(x)在 R 上恒有 F′(x)≤0 或 F′(x)≥0 成立. 因为 F′(x)的图象是开口向下的抛物线,
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所以 F′(x)≤0 在 R 上恒成立, 所以Δ=122+24(-2-2m)≤0,解得 m≥2, 即 m≥2 时,F(x)在 R 上为单调递减函数. 19.【解析】(1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x)元,月平均销售量为 a(1-x2)件, 则月平均利润 y=a(1-x2)〃[20(1+x)-15](元), ?y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1). (2)y′=5a(4-2x-12x2),令 y′=0 得 x1= ,x2=- (舍), 当 0<x< 时 y′>0; <x<1 时 y′<0, ?函数 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1)在 x= 处取得最大值. 故改进工艺后,产品的销售价为 20(1+ )=30 元时,旅游部门销售该纪念品的月平 均利润最大. 【变式备选】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距 m 米,余下的工 程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万 元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ )x 万元.假设桥墩等距离 分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 【解析】(1)设需要新建 n 个桥墩,(n+1)x=m,即 n= -1, 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ )x
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=256( -1)+ (2+ )x = +m +2m-256. +m

(2)由(1)知,f′(x)== ( -512).

令 f′(x)=0,得 =512,所以 x=64, 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)上为减函数; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)上为增函数, 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值,此时, n= -1= -1=9, 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 20.【解析】(1)f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ① 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x). 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数. (2)f(3)=log23>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)在 R 上是单调函数,所以 f(x)在 R 上是 增函数,又由(1)知 f(x)是奇函数.所以有 f(k〃3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2), 即 k〃3x<-3x+9x+2, 32x-(1+k)〃3x+2>0 对任意 x∈R 成立. 令 t=3x>0,问题等价于 t2-(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 令 g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴 t= 当 当 .

<0 即 k<-1 时,g(0)=2>0,符合题意; =0 即 k=-1 时,g(t)=t2+2,
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对任意 t>0,g(t)>0 恒成立; 当 >0 时,对任意 t>0,g(t)>0 恒成立? ,

解得-1<k<-1+2 , 综上所述当 k<-1+2 时, f(k〃3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立. 21. 【解析】 (1)由于 f′ (x)=ex+2ax-e,曲线 y=f(x) 在点(1,f(1)) 处切线斜率 k=2a=0, 所以 a=0,即 f(x)=ex-ex. 此时 f′(x)=ex-e,由 f′(x)=0 得 x=1. 当 x∈(-≦,1)时,有 f′(x)<0; 当 x∈(1,+≦)时,f′(x)>0. 所以 f(x)的单调递减区间为(-≦,1),单调递增区间为(1,+≦). (2)设点 P(x0,f(x0)),曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′(x0)(x-x0)+f(x0), 令 g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0), 故曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与曲线只有一个公共点 P 等价于函数 g(x)有唯一 零点. 因为 g(x0)=0,且 g′(x)=f′(x)-f′(x0)=ex+2a(x-x0).

①若 a≥0,当 x>x0 时,g′(x)>0,则 x>x0 时,g(x)>g(x0)=0; 当 x<x0 时,g′(x)<0, 则 x<x0 时,g(x)>g(x0)=0, 故 g(x)只有唯一零点 x=x0. 由 P 的任意性,a≥0 不合题意.
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②若 a<0,令 h(x)=ex-

+2a(x-x0),

则 h(x0)=0,h′(x)=ex+2a. 令 h′(x)=0,得 x=ln(-2a),记 x*=ln(-2a), 则当 x∈(-≦,x*)时,h′(x)<0,从而 h(x)在(-≦,x*)内单调递减; 当 x∈(x*,+≦)时,h′(x)>0,从而 h(x)在(x*,+≦)内单调递增. 若 x0=x*,由 x∈(-≦,x*)时,g′(x)=h(x)>h(x*)=0;x∈(x*,+≦)时, g′(x)=h(x)>h(x*)=0,知 g(x)在 R 上单调递增. 所以函数 g(x)在 R 上有且只有一个零点 x=x*. 若 x0>x*,由于 h(x)在(x*,+≦)内单调递增,且 h(x0)=0,则当 x∈(x*,x0)时有 g′(x)=h(x)<h(x0)=0,g(x)>g(x0)=0;任取 x1∈(x*,x0)有 g(x1)>0. 又当 x∈(-≦,x1)时,易知 g(x)=ex+ax2-(e+f′(x0))x-f(x0)+x0f′(x0)< (e+f′(x0))x-f(x0)+x0f′(x0)=ax2+bx+c, 其中 b=-(e+f′(x0)),c= -f(x0)+x0f′(x0), +ax2-

由于 a<0,则必存在 x2<x1,使得 a +bx2+c<0, 所以 g(x2)<0,故 g(x)在(x2,x1)内存在零点, 即 g(x)在 R 上至少有两个零点. 若 x0<x*,同理可证函数 g(x)在 R 上至少有两个零点. 综上所述,当 a<0 时,曲线 y=f(x)上存在唯一点 P(ln(-2a),f(ln(-2a))),曲线在 该点处的切线与曲线只有一公共点 P.

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