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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5第一章正弦定理和余弦定理习题课课件


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习题课

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学习要求 1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用. 2.提高对正、余弦定理应用范围的认识. 3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问 题.

习题课

学法指导 解三角形的问题

可以分为以下四类: (1)已知三角形的两边和其中一边的对角,解三角形. 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角,用 三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边, 注意判断解的个数. (2)已知三角形的两角和任一边,解三角形. 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时,可由正弦定 理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定 理求第三边.若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和 定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.

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习题课

(3)已知两边和它们的夹角,解三角形. 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边,再用正弦定理 或余弦定理求另一角,最后用三角形内角和定理求第三个角. (4)已知三角形的三边,解三角形. 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角,再用正弦定 理或余弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理,求出 第三个角. 要解三角形,必须已知三角形的一边的长.若已知条件中一条 边的长也不给出,三角形可以是任意的,因此无法求解.

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习题课

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1.在△ABC 中,边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,则有: π C A+B - (1)A+B+C=π , =________. 2 2 2 (2)sin(A+B)= sin C ,cos(A+B)= -cos C , tan(A+B)= -tan C . C C A+B cos A+B sin 2 ,cos 2 . (3)sin = = 2 2

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2.正弦定理及其变形 a b c (1) = = = 2R . sin A sin B sin C (2)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c=2Rsin C . a b c (3)sin A= 2R ,sin B= 2R ,sin C= 2R . (4)sin A∶sin B∶sin C= a∶b∶c .

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3.余弦定理及其推论 (1)a2= b2+c2-2bccos A .

习题课

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b2+c2-a2 (2)cos A= 2bc

.

(3)在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为 直角 ;c2>a2+b2?C 为 钝角 ;c2<a2+b2?C 为 锐角 . 4.三角形常用面积公式
1 ah (1)S= 2 a

(ha 表示 a 边上的高); 1 1 1 acsin B bcsin A (2)S= absin C= 2 = 2 ; 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径). 2

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1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2- b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则A等于 A.30° C.120° 解析 ∴c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 ∴cosA= = 2bc 2bc - 3bc+2 3bc 3 = = , 2 2bc ∵A为△ABC的内角, ∴A=30° ,故选A. B.60° D.150° ( A )

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∵sinC=2 3sinB,

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2.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若c· cosB 2 =b· cosC,且cosA= ,则sinB等于 ( ) 3 6 6 A.± B. 6 6 30 30 C.± D. 6 6 解析 由c· cosB=b· cosC, 结合正弦定理得,sinCcosB=sinBcosC, 故sin(B-C)=0,易知B=C,故b=c.

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2 因为cosA= , 3 所以由余弦定理得3a2=2b2, 6 再由余弦定理得cosB= , 6 30 故sinB= . 6 答案 D

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3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cosB 1 sin C 15 = , =2,且S△ABC= ,则b等于 ( C ) 4 sin A 4 A.4 B.3 C.2 D.1 解析 依题意得,c=2a,b2=a2+c2-2accosB=a2+(2a)2- 1 2×a×2a× =4a2, 4 15 2 所以b=c=2a.sinB= 1-cos B= 4 ,
1 1 b 15 又S△ABC=2acsinB=2×2×b× 4 , 所以b=2,选C.

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4.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a= 3,b = 2,且 1+2cos(B+C)=0,则 BC 边上的高为 ( ) A. 3-1 B. 3+1 3-1 3+1 C. D. 2 2 解析 由题意知,1+2cos(B+C)=0?1-2cosA=0?cosA= 1 π ?A= . 2 3 2+ 6 π 2 设AB=x,则3=x +2-2· 2cos ?x= x· . 3 2

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习题课

设BC边上的高为h, 1 1 则 AB· ACsinA= · h, BC· 2 2 3+1 1 3 1 即 x· 2· = · 3h?h= ,故选D. 2 2 2 2
答案 D

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研一研· 题型解法、解题更高效

习题课

题型一

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利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a +c -b 例 1 在△ABC 中,求证: = . tan B b2+c2-a2
证明 方法一 sin A cos A sin Acos B 因为左边= sin B =sin Bcos A cos B

a2+c2-b2 a2+c2-b2 2ac a = ·2 2 = =右边, b b +c -a2 b2+c2-a2 2bc
2 2 2 tan A a +c -b 所以tan B= 2 2 . b +c -a2

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a2+c2-b2 · 2ac 2ac 右边= 2 2 2 b +c -a · 2bc 2bc

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方法二

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a2+c2-b2 · a 2ac cos B sin A = 2 2 2 = · cos A sin B b +c -a b 2bc ·

sin A cos B tan A =cos A· B =tan B=左边, sin
2 2 2 tan A a +c -b 所以 = . tan B b2+c2-a2

小结

证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差

异.形式上一般有:左?右;右?左或左?中?右三种.

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习题课

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跟踪训练 1 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对 cos B c-bcos A 边,求证: = . cos C b-ccos A
a2+c2-b2 b(a2+c2-b2) 2ac 证明 方法一 左边= 2 = , a +b2-c2 c(a2+b2-c2) 2ab b2+c2-a2 c-b· b(a2+c2-b2) 2bc 右边= = , b2+c2-a2 c(a2+b2-c2) b-c· 2bc ∴等式成立.

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习题课

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方法二

2Rsin C-2Rsin B· A cos 右边= 2Rsin B-2Rsin C· A cos

sin(A+B)-sin Bcos A = sin(A+C)-sin Ccos A
sin Acos B cos B =sin Acos C= = 左边. cos C

∴等式成立.

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习题课

题型二

利用正、余弦定理判断三角形的形状

例 2 在△ABC 中,若 B=60° ,2b=a+c,试判断△ABC 的 形状.
解 方法一 根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B.
∵B=60° ,2b=a+c,
?a+c? ?2 ∴? =a2+c2-2accos ? 2 ? ? ?

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60° ,

整理得(a-c)2=0,∴a=c.
∴△ABC 是等边三角形.

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方法二 根据正弦定理,

习题课

2b=a+c 可转化为 2sin B=sin A+sin C.
又∵B=60° ,∴A+C=120° .
∴C=120° -A,
∴2sin 60° =sin A+sin(120° -A),
整理得 sin(A+30° )=1,∴A=60° ,C=60° .
∴△ABC 是等边三角形.

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小结

本题中边的大小没有明确给出,而是通过一个关系式

来确定的,可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关 系,也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判 断.

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跟踪训练 2 在△ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且 sin A=2sin Bcos C,试确定△ABC 的形状.
解 由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得 b2+2bc+c2-a2=3bc,
即 a2=b2+c2-bc,
b2+c2-a2 bc 1 ∴cos A= 2bc =2bc=2,
π ∴A=3.又 sin A=2sin Bcos C. a2+b2-c2 a2+b2-c2 ∴a=2b· 2ab = , a ∴b2=c2,b=c, ∴△ABC 为等边三角形.

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题型三 利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题

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例 3 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, 3 → → cos B= ,且AB· =-21. BC 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 a=7,求角 C. → → 解 (1)∵AB· =-21, BC
→ → ∴BA· =21. BC
→ → → → ∴BA· =|BA|· |· B=accos B=21. BC |BC cos 3 4 ∴ac=35,∵cos B=5,∴sin B=5. 1 1 4 ∴S△ABC=2acsin B=2×35×5=14.

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(2)ac=35,a=7,∴c=5.
由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B=32, c b ∴b=4 2.由正弦定理:sin C=sin B. c 5 4 2 ∴sin C= sin B= × = . b 4 2 5 2 ∵c<b 且 B 为锐角,∴C 一定是锐角.∴C=45° .

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小结

这是一道向量与正、余弦定理的综合题,解题的关键

是化去向量的“伪装”,找到三角形的边角关系.

研一研· 题型解法、解题更高效

习题课

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跟踪训练 3 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、 3 2 b、c,已知 b =ac 且 cos B= . 4 1 1 (1)求 + 的值; tan A tan C → → 3 (2)设BA· = ,求 a+c 的值. BC 2 3 解 (1)由 cos B= , 4
得 sin B=
?3? 1-?4?2= ? ?

7 . 4

由 b2=ac 及正弦定理得 sin2B=sin Asin C. 1 1 cos A cos C 于是 + = + tan A tan C sin A sin C sin Ccos A+cos Csin A sin(A+C) = = sin Asin C sin2B sin B 1 4 7 =sin2B=sin B= 7 .

研一研· 题型解法、解题更高效

习题课

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3 → → 3 (2)由BA· = 得 ca· B= , BC cos 2 2 3 由 cos B=4,可得 ca=2,即 b2=2.
由余弦定理 b2=a2+c2-2ac· B, cos 得 a2+c2=b2+2ac· B=5, cos ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,∴a+c=3.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

习题课

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1.在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状一 定是 A.等腰直角三角形 ( C ) B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形 解析 ∵2cos Bsin A=sin C=sin(A+B),
∴sin Acos B-cos Asin B=0, 即 sin(A-B)=0,∴A=B.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

习题课

2.下列判断中正确的是 A.△ABC 中,a=7,b=14,A=30° ,有两解 B.△ABC 中,a=30,b=25,A=150° ,有一解 C.△ABC 中,a=6,b=9,A=45° ,有两解 D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60° ,无解
解析 A:a=bsin A,有一解;
B:A>90° ,a>b,有一解;

( B )

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C:a<bsin A,无解;
D:c>b>csin B,有两解.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

习题课

3.在△ABC 中,求证: a2+b2+c2=2(bccos A+cacos B+abcos C).
证明 根据余弦定理, b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 右边=2(bc× 2bc +ca× 2ac +ab× 2ab ) =(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边, 即 a2+b2+c2=2(bccos A+cacos B+abcos C).

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4.如图所示,在四边形 ABCD 中, AC 平分∠DAB,∠ABC=60° , 15 3 AC=7,AD=6,S△ACD= . 2 求 AB 的长.
解 在△ACD 中, 1 S△ACD=2AC· ADsin∠1, 15 3 2× 2S△ACD 2 5 3 ∴sin∠1= = = , AC· AD 14 7×6
5 3 ∴sin∠2= . 14

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习题课

ACsin∠2 在△ABC中,BC= =5 sin 60°
∴AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB,

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即49=AB2+25-5AB, ∴AB2-5AB-24=0,∴AB=8(AB=-3舍).

习题课

1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形 (如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等). 2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题,一般地,应 运用正弦定理和余弦定理,要么把它统一为边的关系,要 么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识,三角 恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简,从 而得出结论. 3.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具 体情况引入未知数,运用方程思想来解决问题;平面向量 与解三角形的交汇问题,应注意准确运用向量知识转化为 解三角形问题,再利用正、余弦定理求解.

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