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3必修2解析几何


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直线部分基础知识
1. 直线的倾斜角 ? 范围: ________________

k

2.

斜率定义: ____________

图像:

想象直线随倾斜角增大斜率变化

情况 3. 点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y 2 ) 直线 P 1P 2 的斜率 k _________________

o

?
2

?

?

P1 , P2 的中点 M 坐标
__________________

P1 , P2 的距离

P1 P2 = _________________
--( ____式) --(_____式)

4. 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且斜率为 斜率为 k ,在 在x,

k 的直线方程

: __________________ :_______________

y 轴上的截距为 b 的直线方程

y 轴上的截距分别是 a , b 的直线方程

: ________________--( ____式) 斜率是: ____________

5. 直线方程的一般式 : ________________________ 6. 两条直线 l1 , l2 平行,垂直其斜率 k1 , k 2 的关系

l1 // l2 ? __________________

l1 // l2 ? _____________________

7. 点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离公式

d?
8.怎样求两条直线的交点

语言描述怎样求两条平行直线间的距离:

1

直线部分基础知识应用 已知点 A(1,2) , B(?3,?1) , C (4,?2) 1、 直线 AB 的斜率 k _________________

A, B 的中点 M 坐标
__________________

A, B 的距离

AB = _________________

2、写出直线 AB 的各种形式方程------点斜式、斜截式、截距式、一般式

3、写出过点 C 且平行于直线 AB 的方程并求两直线间的距离

4、写出过点 C 且垂直于直线 AB 的方程

5、求点 B 到直线 AC 的距离

附加:点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y 2 ) ,直线 P 1P 2 的倾斜角为 ? ,斜率为 k 。 用他们表示直线的方向向量

2

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9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程
1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上 A,B 两点的距离: 数轴上点 A 坐标为 x1,点 B 坐标为 x2,则 A,B 两点间距离|AB|=______. (2)平面直角坐标系中的基本公式: ①两点间的距离公式: 在平面直角坐标系中,两点 A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式为 d(A,B)=|AB|=__________________________. ②线段的中点坐标公式:若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则 2.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴_______ 与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴_______ 或_____时,我们规定它的倾斜角为 0° .故,直线的倾斜角 α 取值范围为_____. (2)斜率:一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率,常用小写 字母 k 表示,即 k=______(α≠______). 当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时,k______0; 当直线的倾斜角为锐角时,k______0; 当直线的倾斜角为钝角时,k______0; 倾斜角为______的直线没有斜率. (3)过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)直线的斜率公式为 k=_________.
3

?x= ? ? ? ? y=

, .

3.直线方程的几种形式 (1)截距:直线 l 与 x 轴交点(a,0)的___________叫做直线 l 在 x 轴上的截距, 直线 l 与 y 轴交点(0,b)的____________叫做直线 l 在 y 轴上的截距. 注:截距____________距离(填“是”或“不是”). (2)直线方程的五种形式: 名称 点斜式 方程 适用范围 k 存在

斜截式

k 存在

两点式

截距式

a≠0 且 b≠0

一般式

平面直角坐标系内的所有直线

注:斜截式是________的特例;截距式是________的特例. (3)过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 ①若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为____________; ②若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为____________; ③若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即为 y 轴,方程为____________; ④若 x1≠x2,且 y1=y2=0,直线即为 x 轴,方程为____________.

4

类型一

直线的倾斜角和斜率

(1)已知直线 l 经过 A(cosθ,sin2θ)和 B(0,1)不同的两点, 求直线 l 倾斜角的取值范围.

(2)如图所示,直线 l1 的倾斜角 α1=30°, 直线 l1 与 l2 垂直,则直线 l1 的斜率 k1=________, 直线 l2 的斜率 k2=________.

(1)设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα=0,则 a,b 满足( A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0

)

(2)已知直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)两点,求直线 l 的倾斜角的取值范围. 类型二 求直线方程 根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 10

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距相等; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5.

5

1 求倾斜角是直线 y=- 3x+1 的倾斜角的 ,且分别满足下列条件直线方程: 4 (1)经过点( 3,-1); (2)在 y 轴上的截距是-5.

类型三

直线方程的应用 已知点 A(4,-1),B(8,2)和直线 l:x-y-1=0,

动点 P(x,y)在直线 l 上,求|PA|+|PB|的最小值.

在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A,B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回 到点 P(如图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于( A.2 B.1 C. 8 3 D. 4 3 )

6

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1.若 A-B+C=0,则直线 Ax+By+C=0 必经过点( A.(0,1) B.(1,0) C.(1,-1)
? ?

)

D.(-1,-1) )

?1 ? 2.若三点 A(2,3),B(3,-2),C?2,m?共线,则 m 的值是(

6 A. 5

B.2

C.

21 2 )

D.13

3.下列命题中,正确的是(

A.直线的斜率为 tanα,则直线的倾斜角是 α B.直线的倾斜角为 α,则直线的斜率为 tanα C.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大
? π? ?π ? D.直线倾斜角 α∈?0,2?∪?2,π?时,直线斜率分别在这两个区间上单调递增 ? ? ? ?

4.已知直线的倾斜角为 120°,在 y 轴上的截距为-2,则此直线的方程为( A.y= 3x+2 C.y=- 3x-2 B.y=- 3x+2 D.y= 3x-2 )

)

4 5.已知直线 l 过点(0,2),且其倾斜角的余弦值为 ,则直线 l 的方程为( 5 A.3x-4y-8=0 C.3x+4y+8=0 B.3x+4y-8=0 D.3x-4y+8=0

6.若 A(a,b),B(c,d)是直线 y=mx+n 上两点,那么 A,B 间的距离为( A.|a-c| 1+m2 B.|a-c|(1+m2) C.

)

|a-c|
1+m2

D.|a-c|·|m|

7

7.过点(3,5)且斜率为-2 的直线的方程为____________.

8.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半 轴上,则直线 AB 的方程为___________.

9.设直线 l 的方程为 x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定 m 的值: (1)直线 l 在 x 轴上的截距是-3; (2)直线 l 的斜率是 1.

10.已知三角形三个顶点分别是 A(-3,0),B(2,-2),C(0,1). 求这个三角形三边各自所在直线的方程.

1 11.已知直线 l 的斜率为 ,且和坐标轴围成面积为 3 的三角形,求直线 l 的方程. 6

已知△ABC 中,顶点 A(4,5),点 B 在直线 l:2x-y+2=0 上,点 C 在 x 轴上,求△ABC 周长的最小值.

8

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9.2 两条直线的位置关系
1.两条直线的位置关系 (1)平行:对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2, 有 l1∥l2 ? ____________ , 特别地,当直线 l1,l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 的关系为________. (2)垂直:如果两条直线 l1,l2 的斜率都存在,且分别为 k1,k2, 则有 l1⊥l2 ? ____________, 特别地,若直线 l1:x=a,直线 l2:y=b,则 l1 与 l2 的关系为__________. 2.两条直线的交点坐标
? ?A1x+B1y+C1=0, 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组? ?A2x+B2y+C2=0. ?

若方程组有惟一解,则两条直线__________,此解就是__________; 若方程组无解,则两条直线____________,此时两条直线____________; 若方程组有无穷多解,则两条直线____________. 3.距离公式 (1)点到直线的距离: 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= (2)两条平行直线间的距离: 两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离 d=____________________. 4.过两直线交点的直线系方程 若已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 相交,则方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中 λ∈R,这条直线可以是 l1,但 不能是 l2) 表示过 l1 和 l2 交点的直线系方程. .

9

类型一

两条直线平行、重合或相交 已知两条直线:l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,

当 m 为何值时,l1 与 l2:(1)相交;

(2)平行;

(3)重合.

当实数 m 为何值时,三条直线 l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0, l3:6x+y-5=0 不能围成三角形.

类型二

两条直线垂直 直线 l1:x+3y=7 与直线 l2:kx-y=2,以及与 x,y 轴围成的凸四边形

有外接圆,求实数 k 的值.

10

已知直线 l1:ax+(a+1)y+1=0,l2:x+ay+2=0, 则“a=-2”是“l1⊥l2”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

类型三

对称问题

求直线 l:x-2y+6=0 关于点 M(-1,1)对称的直线 l′的方程.

已知三角形的一个顶点 A(4,-1),它的两条角平分线所在直线的方程 分别为 l1:x-y-1=0 和 l2:x-1=0,求 BC 边所在直线的方程.

类型四

距离问题 已知点 A(-2,0),B(0,4)到直线 l 的距离均为 5,求直线 l 的方程.

11

两平行直线 l1,l2 分别过 A(1,0)与 B(0,5).若 l1 与 l2 的距离为 5, 求这两直线方程.

类型五

直线系及其应用 求证:动直线(m2+2m+3)x+(1+m-m2)y+3m2+1=0(其中 m∈R)

恒过定点,并求出定点坐标.

已知直线 l:(a+b)x+(a-b)y+2=0,其中 a,b 满足 3a-b+2=0. 求证:直线 l 恒过一定点.

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1.过点 A(2,3)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( A.x-2y+4=0 C.x-2y+3=0 B.2x+y-7=0 D.x-2y+5=0

)

2.已知两条直线 y=ax-2 和 3x-(a+2)y+1=0 互相平行,则 a 等于( A.1 或-3 C.1 或 3 B.-1 或 3 D.-1 或-3

)

3.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点( A.(0,4) C.(-2,4) B.(0,2) D.(4,-2)

)

4.直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是( A. 17 10 B. 17 5 C.8 D.2 )

)

5.如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2 与 y 轴平行,则 m=( A.-1 或-2 C.-1 或 2 B.-1 D.-2

6.直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 是( A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 B.x-y+2=0 D.x-y+3=0

)

7.直线 l1:x+(1+k)y=2-k 与 l2:kx+2y+8=0 平行,则 k 值是____________.

8.经过两条直线 2x-3y+10=0 和 3x+4y-2=0 的交点,且垂直于直线 3x-2y+4=0 的直线方程为______________.

13

9.若三条直线 x+y-3=0,3x-y-1=0 和 2x+3y+m=0 相交于一点, 求实数 m 的值.

10.已知△ABC 的顶点 B(2,1),C(-6,3),其垂心为 H(-3,2), 求顶点 A 的坐标.

11.设一直线 l 经过点(-1,1),此直线被两平行直线 l1:x+2y-1=0 和 l2:x+2y-3=0 所截得线段的中点在直线 x-y-1=0 上,求直线 l 的方程.

已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则
? ?a1x+b1y=1, 关于 x 和 y 的方程组? 的解的情况是( ? ?a2x+b2y=1

)

A.无论 k,P1,P2 如何,总是无解 B.无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 C.存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在 k,P1,P2,使之有无穷多解
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§9.3
1.圆的定义:在平面内,到 确定一个圆最基本的要素是 2.圆的标准方程与一般方程

圆的方程
的点的 . 叫圆.

的距离等于 和

(1)圆的标准方程:方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 叫做以点_________为圆心, 为半径长的圆的标准方程.

(2)圆的一般方程:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(____________) 叫做圆的一般方程. D?2 ? E?2 D +E -4F ? 注:将上述一般方程配方得?x+ 2 ? +?y+ 2 ? = ,此为该一般方程 4 ? ? ? ? 对应的标准方程,表示的是以__________为圆心,__________为半径长的圆. 3.点与圆的位置关系 有三种
2 2

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点 M(x0,y0), (1)点 M 在圆上: _____________________; (2)点 M 在圆外: ____________________; (3)点 M 在圆内: ____________________.

类型一

求圆的方程

已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3),求以 P1P2 为直径的圆的方程,并且判断 点 M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外.

圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的
15

长为 2 3,则圆 C 的标准方程为____________.

类型二

三角形的内切圆与外接圆

已知三角形的三边所在直线分别为 x+2y=5,2x-y=5,2x+y=5, 求三角形的内切圆方程.

△ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5), 求其外接圆的方程.

类型三

与圆有关的轨迹问题

已知点 A(3,0),点 P 是圆 x2+y2=1(x≠1)上的一点, ∠AOP 的角平分线交 AP 于 Q,求点 Q 的轨迹方程.

已知 A,B 两点为定点,动点 M 到 A,B 两点的距离比是常数 λ,求点 M 的 轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

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16

1.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) B.(-2,3)

) D.(2,-3)

C.(-2,-3)

2.若圆 C 的半径长为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴相切, 则该圆的标准方程是(
? 7?2 A.(x-3)2+?y-3? =1 ? ?

) B.(x-2)2+(y-1)2=1
? 3?2 D.?x-2? +(y-1)2=1 ? ?

C.(x-1)2+(y-3)2=1

3.已知直线 l:y=x+m(m∈R),若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于 点 P,且 P 在 y 轴上,则该圆的方程为( A.(x-2)2+y2=8 C.(x-2)2+y2=4 )

B.(x-2)2+y2=6 D.(x-2)2+y2=2

4.已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a=( 1 A.- 2 B.1 ) C.2 D. 1 2

5.已知圆 x2+y2-2x+my-4=0 上两点 M,N 关于直线 2x+y=0 对称,则圆 的半径为( A.9 ) B.3 C.2 3 D.2

6.设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则

|PQ|的最小值为(
A.6 B.4

) C.3 D.2

7.以点(1,0)为圆心,且过点(-3,0)的圆的标准方程为____________. 8.若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是 ________________ 9.求过点 M(-1,1),且圆心与已知圆 C:x2+y2-4x+6y-3=0 相同的圆
17

的方程.

10.已知圆经过 A(2,-3)和 B(-2,-5)两点,若圆心在直线 x-2y-3=0 上, 求圆的方程.

11.求过点 A(-1,0),B(3,0)和 C(0,1)的圆的方程.

在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有 三个交点.记过三个交点的圆为圆 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)圆 C 是否经过定点(与 b 的取值无关)?证明你的结论.

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§9.4
1.直线与圆的位置关系 位置关系 图示

直线、圆的位置关系

公共点个数 几何特征

代数特征(解的个数) 无实数解

2.圆与圆的位置关系 代数特征(两个圆的方 几何特征(O1O2=d) 程组成的方程组的解 的个数)

位置关系 图示(R>r)

公共点 个数

无实数解

两组相同实数解

两组不同实数解

两组相同实数解

无实数解

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类型一

直线与圆的位置关系

(1)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置 关系是( A.相切 ) B.相交 C.相离 D.不确定

(2)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] )

B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞)

(1)在同一坐标系下,直线 ax+by=ab 和 圆(x-a)2+(y-b)2=r2(ab≠0,r>0) 的图象可能是( )

(2)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是(
? π? A.?0,6? ? ? ?

)
? ? π? C.?0,6? ? ? ? π? D.?0,3? ? ?

? π? B.?0,3?

20

类型二

圆的切线

已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2,点 P(2,-1),过 P 点作圆 C 的切线 PA,PB,A,B 为切点. (1)求 PA,PB 所在直线的方程; (2)求切线 PA 的长.

已知圆 O:x2+y2=4,求过点 P(2,4)且与圆 O 相切的切线.

类型三

圆的弦长

(1)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为____________.

(2)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短弦的长为________.

已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦 分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 B.20 6 C.30 6 ) D.40 6

21

类型四

圆与圆的位置关系

已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0, 圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问:m 为何值时, (1)圆 C1 和圆 C2 相外切? (2)圆 C1 和圆 C2 内含?

若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( A.21 B.19 C.9 D.-11

)

类型五

两圆的公共弦及圆系方程

求以相交两圆 C1:x2+y2+4x+y+1=0 及 C2:x2+y2+2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程.

在以 k 为参数的圆系:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0 中,试证两个 不同的圆相内切或相外切.

已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆,车辆只能在道路中 心线一侧行驶,一辆宽为 2.7m,高为 3m 的货车能不能驶 入这个隧道?假设货车的最大宽度为 am,那么要正常驶入 该隧道,货车的限高为多少?
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1.直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 长度等于( A.2 5 B.2 3 C. 3 D.1

)

2.若直线 2x-y+a=0 与圆(x-1)2+y2=1 有公共点,则实数 a 取值范围为( A.-2- 5<a<-2+ 5 C.- 5≤a≤ 5 B.-2- 5≤a≤-2+ 5 D.- 5<a< 5 )

)

3.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的直线方程是( A.x+y- 2=0 C.x+y-1=0 B.x+y+1=0 D.x+y+ 2=0

4.已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( A.-2 ) B.-4 C.-6 D.-8

5.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是 1 “△OAB 的面积为 ”的( 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

6.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为( A.7 B.6 C.5 D.4 )

7.圆 x2+y2-2x+4y=0 外一点 P(-2,1),引圆的切线 PQ,Q 为切点,则线段 PQ 的长为____________.

8.已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A,B 两 点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为____________.
23

9.过点 P(-3,-4)作直线 l,当斜率为何值时,直线 l 与圆 C:(x-1)2+(y+2)2=4 有公共点.

10.判断圆 C1:x2+y2+2x-6y-26=0 与圆 C2:x2+y2-4x+2y+4=0 的 位置关系.

11.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)若圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2 3,求直线 MN 的方程.

已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.

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