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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程单元小练 文


单元小练 11
一、 填空题
2

圆锥曲线与方程


1.已知抛物线y =2px(p>0)的准线经过点(-1,1),那么抛物线的焦点坐标为

x2 y 2 1 2.已知双曲线 m - 3 =1(m>0)的一条渐近线方程为y= 2 x,那么实数m的值为



2 2 3.已知双曲线ax -4y =1的离心率为 3 ,那么实数a的值为



4.若顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是



x2 y 2 1 2 2 5.若椭圆 a + b =1(a>b>0)上任意一点P到两焦点的距离之和为 6,且椭圆的离心率为 3 ,
则椭圆方程为 .

x2 y 2 2 2 2 2 6.若椭圆 a + b =1的焦点在x轴上,过点(2,1)作圆x +y =4的切线,切点分别为A,B,直
线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程为 .

x2 y 2 2 2 2 2 7.已知双曲线C: a - b =1(a>0,b>0)的渐近线与圆E:(x-5) +y =9相切,那么双曲线C的
离心率等于 .

x2 2 2 8.已知抛物线y =2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线 a -y =1的左顶
点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a= .

1

x2 y 2 2 2 9.已知椭圆C: a + b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与 ???? ? ??? ? x轴,y轴分别交于A,B两点,M是直线l与椭圆C的一个公共点,若 AM =e AB ,则该椭圆的离
心率e= .

x2 y 2 2 2 10.已知椭圆C: a + b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的
点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是 .

二、 解答题 11.求下列椭圆的标准方程: (1)已知椭圆的焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍,且经过点M(3,2); (2)与椭圆4x +9y =36有相同焦点,且过点(3,-2).
2 2

x2 y 2 2 2 2 12.如图,已知椭圆C: b + a =1(a>b>0)的离心率e= 2 ,短轴的右端点为A,M(1,0)为线
段OA的中点. (1)求椭圆C的方程. (2) 过点 M 任作一条直线与椭圆 C 相交于 P , Q 两点,试问在 x 轴上是否存在定点 N ,使得∠PNM =∠QNM?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

(第12题)

2

x2 y 2 2 2 2 13.已知椭圆 a + b =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为 2 ,直线l与椭圆相交

1 于A,B两点,且满足AF1+AF2=4 2 ,kOA·kOB=- 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程; (2)求 OA · OB 的最值.

??? ?

??? ?

【单元小练答案】 单元小练11 圆锥曲线与方程

p 1. (1,0) 【解析】由抛物线y =2px(p>0)得准线方程为x=- 2 .因为准线经过点(-1,1),所
2

以p=2,所以抛物线焦点坐标为(1,0).

3 x2 y 2 2. 12 【解析】双曲线 m - 3 =1(m>0)的一条渐近线方程为y=± m x,其中一条为
3 1 1 y= 2 x,所以 m = 2 ,解得m=12.

x2 y 2 1 1 1 1 2 2 2 3. 8 【解析】将双曲线方程ax -4y =1化成标准式可得 a - 4 =1,所以c = a + 4 .又因为

1 1 ? a 4 a 1 2 e = a =1+ 4 =3,所以a=8.

3

9 4 2 2 4. y =- 2 x或x = 3 y 【解析】过点(-2,3)的抛物线的焦点在y轴正半轴或x轴负半轴.①设抛 2 4 2 物线方程为x =2py(p>0),则4=6p,所以p= 3 ,所以抛物线方程为x = 3 y;②设抛物线方程为
2

9 9 4 2 2 y =-2px(p>0),则9=4p,所以p= 4 ,所以抛物线方程为y =- 2 x.综上,抛物线的方程为x = 3 y
2

9 2 或y =- 2 x.

x2 y 2 c 1 2 2 5. 9 + 8 =1 【解析】由题意得2a=6,故a=3,又离心率e= a = 3 ,所以c=1,所以b =a x2 y 2 c2=8,故椭圆方程为 9 + 8 =1.

x2 y2 n-1 n 2 2 6. 20 + 16 =1 【解析】设切点坐标为(m,n),则 m-2 · m =-1,即m +n -n-2m=0,因为
m2+n2=4,所以2m+n-4=0,即直线AB的方程为2x+y-4=0.因为直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上

x2 y2 2 2 2 顶点,所以2c-4=0,b-4=0,解得c=2,b=4,所以a =b +c =20,所以椭圆方程为 20 + 16 =1.

5 7. 4

5b
【解析】由圆心E(5,0)到直线bx-ay=0的距离等于3,得

a 2 ? b2 =3,即

c 5 2 2 2 2 2 2 9a =16b =16(c -a ),即25a =16c ,所以e= a = 4 . 1 8. 9 p p 【解析】因为抛物线的准线方程为x=- 2 ,则有1+ 2 =5,解得p=8,所以m=4.又双曲

4 1 1 线的左顶点坐标为(- a ,0),则有 1 ? a = a ,解得a= 9 .

4

9.

5-1 2

【解析】因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴,y轴的交点,所以点A,B的坐标

a ? ? x0 ? ? a, e ? ? a ? 0? ???? ? ??? ? ?- , ? y ? ea 分别是 ? e ? ,(0,a).设点M的坐标是(x0,y0),由 AM =e AB ,得 ? 0 (*).因为
2 2 x0 y0 (e-1)2 e 2 a 2 2 2 2 2 2 点M在椭圆上,所以 a + b =1,将(*)式代入,得 e + b =1,整理得e +e-1=0,又

5-1 e>0,所以解得e= 2 . ?1 1? ?1 ? 1? ? ,? ? , 10. ? 3 2 ? ∪ ? 2 ?

【解析】由题知6个不同的点有两个为短轴的两个端点,另外4个分别

在第一、二、三、四象限,且上下对称且左右对称.不妨设点P在第一象限,PF1>PF2,当

c 1 1 PF1=F1F2=2c时,PF2=2a-PF1=2a-2c,即2c>2a-2c,解得e= a > 2 ,又因为e<1,所以 2 <e<1;当 1 1 1 1 PF2=F1F2=2c时,PF1=2a-PF2=2a-2c,即2a-2c>2c且2c>a-c,解得 3 <e< 2 ,综上, 3 <e< 2 或 1 2 <e<1.

x2 y 2 2 2 11. (1) 当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为 a + b =1(a>b>0),又点M(3,2)在椭圆
? a ? 3b, ? 2 ?3 22 ? 2 ? 2 ? 1, b 上,由题意得 ? a

?a 2 ? 45, ? 2 b ? 5, 所以 ?
x2 y2 所以椭圆的标准方程为 45 + 5 =1;

5

y 2 x2 2 2 当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为 a + b =1(a>b>0),
又点M(3,2)在椭圆上,

? a ? 3b, ?a 2 ? 85, ? 2 ? ?2 ? 2 85 32 ? 2 ? 2 ? 1, ?b ? , b 9 由题意得 ? a 所以 ?

x2 85 y 2 所以椭圆的标准方程为 9 + 85 =1; x2 x2 y2 85 y 2 综上,椭圆的标准方程为 45 + 5 =1或 9 + 85 =1.

x2 y 2 2 2 (2) 椭圆4x +9y =36,可化为 9 + 4 =1,焦点为(- 5 ,0),( 5 ,0),所以c= 5 .
?a 2 ? 5 ? b2, ? 2 ? 3 (-2)2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 1, 2 2 b 设所求椭圆的标准方程为 a + b =1(a>b>0),由题意得 ? a

?a 2 ? 15, ? 2 b ? 10, 所以 ?
x2 y 2 所以椭圆的标准方程为 15 + 10 =1.

12. (1) 由题意得b=2,a=2 2 ,

x2 y 2 所以椭圆C的方程为 4 + 8 =1.
(2) 若存在满足条件的点N,设其坐标为(t,0),其中t为常数, 由题意知直线PQ的斜率不为0,直线PQ的方程可设为x=my+1(m∈R), 设P(x1,y1),Q(x2,y2),

? x ? my ? 1, ? 2 ?x y2 ? ? 1, ? 4 8 ? 联立
6

y1 4m 6 2 2 2 2 x -t 消去x得(1+2m )y +4my-6=0,Δ >0,且y1+y2=- 1 ? 2m ,y1y2=- 1 ? 2m ,且kPN= 1 ,

y2 kQN= x2 -t , y1 y2 x -t x -t 由∠PNM =∠QNM知kPN+kQN=0,即 1 + 2 =0,
y1 y2 my1 ? 1-t =- my2 ? 1-t ,展开整理得2my1y2+(1-t)(y1+y2)=0, 即

12m 4m(1-t ) 2 2 即- 1 ? 2m - 1 ? 2m =0,
即m(t-4)=0, 又m不恒为0,所以t=4,故满足条件的点N存在,坐标为(4,0).

2 13. (1) 由椭圆的离心率为 2 ,得a= 2 c.
又2a=AF1+AF2=4 2 , 所以a=2 2 ,c=2,所以b=2,

x2 y 2 所以椭圆方程为 8 + 4 =1.
(2) 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),

? y ? kx ? m, ? 2 ?x y2 ? ? 1, ? 4 联立 ? 8
得(1+2k )x +4kmx+2m -8=0, Δ =(4km) -4(1+2k )(2m -8)=8(8k -m +4)>0,
2 2 2 2 2 2 2 2

2m 2 -8 -4km 2 2 x1+x2= 1 ? 2k ,x1·x2= 1 ? 2k .

1 因为kOA·kOB=- 2 ,

7

y1 y2 1 xx 所以 1 2 =- 2 ,
m 2 -4 1 2 所以y1y2=- 2 x1x2=- 1 ? 2 k . m 2 -8k 2 2 2 2 又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m = 1 ? 2k , m 2 -4 m 2 -8k 2 2 2 所以- 1 ? 2 k = 1 ? 2k ,
所以-(m -4)=m -8k , 所以 4k +2=m ,
2 2 2 2 2

2m 2 -8 m 2 -4 4 ??? ? ??? ? 2 2 OA · OB =x1x2+y1y2= 1 ? 2k - 1 ? 2k =2- 1 ? 2k 2 , ??? ? ??? ? 所以-2≤ OA · OB <2, ??? ? ??? ? 2 OA OB 当k=0(此时m =2满足上式),即直线AB平行于x轴时, · 取得最小值为-2;

y12 1 y1 y2 x2 x x 当斜率不存在时,有x1=x2,y1=-y2,kOA·kOB= 1 · 2 =- 1 =- 2 ,
所以

x12 =2 y12 .
y12 =2,

将点A坐标代入椭圆方程,可得 所以 OA · OB =x1x2+y1y2=

??? ?

??? ?

y12 =2,

??? ? ??? ? OA OB 所以 · 取得最大值为2, ??? ? ??? ? 综上所述, OA · OB 的最小值为-2,最大值为2.

8



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