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全国高中物理竞赛大纲


全国高中物理竞赛大纲 一、 力学 a) 运动学 参照系 质点运动的位移和路程、速度、加速度 相对速度 向量和标量 向量的合成和分解 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成 抛体运动 圆周运动 刚体的平动和绕定轴的转动 质心 质心运动定理 b) 牛顿运动定律 力学中常见的几种力 牛顿第一、二、三运动定律 惯性系的概念 摩擦力 弹性力 胡克定律 万有引力定律 均匀球壳对壳内和壳外质

点的引力公式(不要求导出) 开普勒定律 行星和人造卫星运动 惯性力的概念 c) 物体的平衡 共点力作用下物体的平衡

力矩 刚体的平衡条件 重心

物体平衡的种类

d) 动量 冲量 动量 动量定理 动量守恒定律 e)

反冲运动及火箭

冲量矩 质点和质点组的角动量 角动量守恒定律

f) 机械能 功和功率 动能和动能定理 重力势能 引力势能 质点及均匀球壳壳内与壳外的引力势能公式(不要求导出) 弹簧的弹 性势能 功能原理 机械能守恒定律 碰撞 g) 流体静力学 静止流体中的压强

浮力

h) 振动 简谐振动 振幅 频率和周期 相位 振动的图像 参考圆 振动的速度和加速度 由动力学方程确定简谐振动的频率 阻尼振动 受迫振动和共振(定性了解) i) 波和声 横波和纵波 波长、频率和波速的关系 波的图像 波的干涉和衍射(定性) 驻波 声波 声音的响度、音调和音品 声音的共鸣 乐音和噪声 多普勒效应 二、 热学 a) 分子动理论 原子和分子的量级

分子的热运动 布朗运动 温度的微观意义

分子力分子的动能和分子间的势能 物体的内能 b) 热力学第一定律 热力学第一定律 c) 热力学第二定律 热力学第二定律 可逆过程与不可逆过程 d) 气体的性质 热力学温标 理想气体状态方程 普适气体恒量 理想气体状态方程的微观解释(定性) 理想气体的内能 理想气体的等容、等压、等温和绝热过程(不要求用微积分运算) e) 液体的性质 液体分子运动的特点 f) 固体的性质 晶体和非晶体 空间点阵

表面张力系数

浸润现象和毛细现象(定性)

固体分子运动的特点

g) 物态变化 熔解和凝固 熔点 熔解热 蒸发和凝结 饱和气压 沸腾和沸点 汽化热 临界温度 固体的升华 空气的湿度和湿度计 露点 h) i) 热传递的方式 热膨胀 传导、对流和辐射 热膨胀和膨胀系数

三、 电学 a) 静电场 库仑定律 电荷守恒定律 电场强度 电场线 点电荷的场强 场强叠加原理 均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公 式(不要求导出) 匀强电场 电场中的导体 静电屏蔽 电势和电势差 等势面 点电荷电场的电势公式(不要求导出) 电势叠加原理 均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式(不要求导出) 电容 电容器的连接 平行板电容器的电容公式(不要求导出) 电容器充电后的电能 电介质的极化 介电常数 b) 稳恒电流 欧姆定律 电阻率和温度的关系 电功和电功率 电阻的串、并联 电动势 闭合电路的欧姆定律 一段含源电路的欧姆定律 基尔霍夫定律 电流表 电压表 欧姆表 惠斯通电桥 补偿电路

c) 物质的导电性 金属中的电流 欧姆定律的微观解释 液体中的电流 法拉第电解定律 气体中的电流 被激放电和自激放电(定性) 真空中的电流 示波器 半导体的导电特性 P 型半导体和 N 型半导体 晶体二极管的单向导电性 三极管的放大作用(不要求机理) 超导现象 d) 磁场 电流的磁场 磁感应强度 磁感线 匀强磁场 安培力 洛仑兹力 电子荷质比的测定 质谱仪 回旋加速器 e) 电磁感应 法拉第电磁感应定律 楞次定律 感应电场(涡旋电场) 自感系数 互感和变压器 f) 交流电 交流发电机原理 交流电的最大值和有效值 纯电阻、纯电感、纯电容电路 整流、滤波和稳压 三相交流电及其连接法 感应电动机原理 g) 电磁震荡和电磁波 电磁震荡 震荡电路及震荡频率 电磁场和电磁波 电磁波的波速 赫兹实验 电磁波的发射和调制 电磁波的接收、调谐、检波 四、 光学 a) 几何光学 光的直进、反射、折射 全反射 光的色散 折射率和光速的关系 平面镜成像 球面镜成像公式及作图法 薄透镜成像公式及作图法 眼睛 放大镜 显微镜 望远镜 b) 波动光学 光的干涉和衍射(定性) c) 光的本性 光的学说的历史发展 五、 近代物理 a) 原子结构 卢瑟福实验 原子的核式结构 原子的受激辐射 激光

光谱和光谱分析 电磁波谱

光电效应 爱因斯坦方程

光的波粒二象性

玻尔模型 用玻尔模型解释氢光谱 玻尔模型的局限性

b) 原子核 原子核的量级 天然放射现象 放射线的探测 质子的发现 中子的发现 原子核的组成 核反应方程 质能方程 裂变和聚变 “基本”粒子 夸克模型 c) 不确定关系 实物粒子的波粒二象性

d) e)

狭义相对论 爱因斯坦假设 时间和长度的相对论效应 太阳系 银河系 宇宙和黑洞的初步知识

六、 其它方面 a) b) c) 物理知识在各方面的应用。对自然界、生产和日常生活中一些物理现象的解释 近代物理的一些重大成果和现代的一些重大消息 一些有重要贡献的物理学家的姓名和他们的主要贡献

七、 数学基础 a) b) c) 中学阶段全部初等数学(包括解析几何) 向量的合成和分解 极限、无限大和无限小的初步概念 不要求用复杂的积分进行推导和运算 动力学 第 16 届预赛题. 1.(15 分)一质量为 M 的平顶小车,以速度 v0 沿水平的光滑轨道作匀速直 线运动。现将一质量为 m 的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩 擦系数为 ? 。
1.

若要求物块不会从车顶后缘掉下,则该车顶最少要多长? 若车顶长度符合 1 问中的要求,整个过程中摩擦力共做了多少功?

2.

参考解答 1. 物块放到小车上以后,由于摩擦力的作用,当以地面为参考系时,物块将从静止开 始加速运动, 而小车将做减速运动, 若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速 度,则物块就刚好不脱落。令 v 表示此时的速度,在这个过程中,若以物块和小车为系统, 因为水平方向未受外力,所以此方向上动量守恒,即

Mv0 ? (m ? M )v

(1)

从能量来看,在上述过程中,物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功,即

1 2 mv ? ? mgs1 2

(2)

其中 s1 为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功,即

1 2 1 2 Mv ? mv0 ? ?? mgs2 2 2
其中 s 2 为小车移动的距离。用 l 表示车顶的最小长度,则

(3)

l ? s2 ? s1
由以上四式,可解得

(4)

l?

2 Mv0 2? g (m ? M ) 2 Mv0 。 2? g (m ? M )

(5)

即车顶的长度至少应为 l ?

2.由功能关系可知,摩擦力所做的功等于系统动量的增量,即

1 1 2 W ? (m ? M )v2 ? Mv0 2 2
由(1)、(6)式可得

(6)

W ??

2 mMv0 2(m ? M )

(7)

2.(20 分) 一个大容器中装有互不相溶的两种液体,它们的密度分别为 ?1 和 ?2 ( ?1 ? ? 2 ) 。 现让一长为 L 、密度为 ( ?1 ? ?2 ) 的均匀木棍,竖直地放在上面的液体内,其下端离两液体 分界面的距离为

1 2

3 L ,由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍 4

运动而产生的液体阻力可以忽略不计, 且两液体都足够深, 保证木棍始终都在液体内部运动, 未露出液面,也未与容器相碰。 参考解答 1.用 S 表示木棍的横截面积,从静止开始到其下端到达两液体交界面为止,在这过程 中,木棍受向下的重力 ( ?1 ? ?2 ) ? LSg 和向上的浮力 ?1LSg 。由牛顿第二定律可知,其下 落的加速度

1 2

a1 ?

? 2 ? ?1 g ?1 ? ? 2

(1)

用 t1 表示所需的时间,则

3 1 2 L ? a1t1 4 2

(2)

由此解得

t1 ?

3L( ?1 ? ?2 ) 2( ?2 ? ?1 ) g

(3)

2.木棍下端开始进入下面液体后,用 L' 表示木棍在上面液体中的长度,这时木棍所受 重力不变,仍为 ( ?1 ? ?2 ) ? LSg ,但浮力变为 ?1L?Sg ? ?2 ( L ? L?)Sg .当 L ? L' 时,浮力 小于重力;当 L ' ? 0 时,浮力大于重力,可见有一个合力为零的平衡位置.用 L0? 表示在此 平衡位置时,木棍在上面液体中的长度,则此时有

1 2

1 ( ?1 ? ?2 ) ? LSg ? ?1L0?Sg ? ?2 ( L ? L0? )Sg 2
由此可得

(4)

L0? ?

L 2

(5)

即木棍的中点处于两液体交界处时, 木棍处于平衡状态, 取一坐标系, 其原点位于交界面上, 竖直方向为 z 轴,向上为正,则当木棍中点的坐标 z ? 0 时,木棍所受合力为零.当中点坐 标为 z 时,所受合力为

? ?1 1 ? ?1 ? ? ? ( ?1 ? ?2 ) ? LSg ? ? ?1 ? L ? z ? Sg ? ?2 ? L ? z ? Sg ? ? ?( ?2 ? ?1 )Sgz ? ?kz 2 ? ?2 ? ? ? ?2
式中

k ? ( ?2 ? ?1 )Sg

(6)

这时木棍的运动方程为

1 ?kz ? ( ?1 ? ?2 ) LSaz 2
az 为沿 z 方向加速度

az ? ?2 ( ? 2 ? ?1 ) g ( ?1 ? ? 2 ) L

( ? 2 ? ?1 ) gz ? ?? 2 z ( ?1 ? ? 2 ) L
(7)

?2 ? 2

由此可知为简谐振动,其周期

T?

2?

?

? 2?

( ?1 ? ?2 ) L 2( ?2 ? ?1 ) g

(8)

为了求同时在两种液体中运动的时间, 先求振动的振幅 A . 木棍下端刚进入下面液体时, 其速度

v ? a1t1

(9)

由机械能守恒可知

1 ?1 1 1 ? ( ?1 ? ? 2 ) SL ? v 2 ? kz 2 ? kA2 ? 2 ?2 2 2 ?
式中 z ?

(10)

1 L 为此时木棍中心距坐标原点的距离,由(1)、(3)、(9)式可求得 v ,再将 2

v 和(6)式中的 k 代人(10)式得

A? L

(11)

由此可知, 从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达 坐标原点所走的距离是振幅的一半,从参考圆(如图预解 16-9)上可知,对应的 ? 为30?,对应的时间为 T /12 。因此 木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的 时间,即棍中心从 z ?

L L 到 z ? ? 所用的时间为 2 2
(12)

t2 ? 2

T ? ( ?1 ? ?2 ) L ? 12 3 2( ?2 ? ?1 ) g

3.从木棍全部浸入下面液体开始,受力情况的分析和1中类似,只是浮力大于重力,所 以做匀减速运动,加速度的数值与 a1 一样,其过程和1中情况相反地对称,所用时间

t3 ? t1
4.总时间为

(13)

t ? t1 ? t2 ? t3 ?

6 6 ? 2? 6

( ?1 ? ?2 ) L ( ?2 ? ?1 ) g

(14)

第 17 届预赛题.1.(20 分)如图预 17-8 所示,在水平桌面上放有长木板 C , C 上右端是固 定挡板 P ,在 C 上左端和中点处各放有小物块 A 和 B , A 、 B 的尺寸以及 P 的厚度皆可忽 略不计, A 、 B 之间和 B 、 P 之间的距离皆为 L 。设木板 C 与桌面之间无摩擦, A 、 C 之 间和 B 、 C 之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为 ? ; A 、 B 、 C (连同挡板 P )的质量 相同.开始时, B 和 C 静止, A 以某一初速度向右运动.试问下列情况是否能发生?要求 定量求出能发生这些情况时物块 A 的初速度 v0 应满足的条件, 或定量说明不能发生的理由. (1)物块 A 与 B 发生碰撞; (2)物块 A 与 B 发生碰撞(设为弹性碰撞)后,物块 B 与挡板 P 发生碰撞; (3)物块 B 与挡板 P 发生碰撞(设为弹性碰撞)后,物块 B 与 A 在木板 C 上再发生碰

撞; (4)物块 A 从木板 C 上掉下来; (5)物块 B 从木板 C 上掉下来. 参考解答 1. 以 m 表示物块 A 、 B 和木板 C 的质量,当物块 A 以初速 v0 向右运动时,物块 A 受 到木板 C 施加的大小为 ?mg 的滑动摩擦力而减速,木板 C 则受到物块 A 施加的大小为 物块则因受木板 C 施 ?mg 的滑动摩擦力和物块 B 施加的大小为 f 的摩擦力而做加速运动, 加的摩擦力 f 作用而加速,设 A 、 B 、 C 三者的加速度分别为 aA 、 aB 和 aC ,则由牛顿第 二定律,有

? mg ? ma A

? mg ? f ? maC

f ? maB

事实上在此题中, aB ? aC ,即 B 、 C 之间无相对运动,这是因为当 aB ? aC 时,由上式可 得 f ?

1 ? mg 2

(1)

它小于最大静摩擦力 ?mg .可见静摩擦力使物块 B 、木板 C 之间不发生相对运动。若物块 则物块 A 运动到物块 B 所在处时,A 与 B 的速度大小相等. 因 A 刚好与物块 B 不发生碰撞, 为物块 B 与木板 C 的速度相等,所以此时三者的速度均相同,设为 v1 ,由动量守恒定律得

mv0 ? 3mv1
在此过程中,设木板 C 运动的路程为 s1 ,则 物块 A 运动 的路程为 s1 ? L ,如图预解 17-8 所 示.由动能定理有

(2)

1 2 1 2 mv1 ? mv0 ? ?? mg (s1 ? L) 2 2 1 2 (2m)v1 ? ? mgs1 2

(3) (4)

或者说,在此过程中整个系统动能的改变等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和 ((3)与(4)式等号两边相加),即

1 1 2 2 (3m)v1 ? mv0 ? ?? mgL 2 2
式中 L 就是物块 A 相对木板 C 运动的路程.解(2)、(5)式,得

(5)

v0 ? 3? gL

(6)

即物块 A 的初速度 v0 ? 3? gL 时, A 刚好不与 B 发生碰撞, 若 v0 ? 3? gL , 则 A 将与 B 发 生碰撞,故 A 与 B 发生碰撞的条件是

v0 ? 3? gL

(7)

2. 当物块 A 的初速度 v0 满足(7)式时, A 与 B 将发生碰撞,设碰撞的瞬间, A 、 B 、
C 三者的速度分别为 vA 、 vB 和 vC ,则有

vA ? vB

vB ? vC

(8)

在物块 A 、 B 发生碰撞的极短时间内,木板 C 对它们的摩擦力的冲量非常小,可忽略不计。 故在碰撞过程中, A 与 B 构成的系统的动量守恒,而木板 C 的速度保持不变.因为物块 A 、

B 间的碰撞是弹性的,系统的机械能守恒,又因为质量相等,由动量守恒和机械能守恒可
以证明(证明从略),碰撞前后 A 、 B 交换速度,若碰撞刚结束时, A 、 B 、 C 三者的速 度分别为 vA? 、 vB? 和 vC? ,则有

vA? ? vB

vB? ? vA

vC? ? vC

由(8)、(9)式可知,物块 A 与木板 C 速度相等,保持相对静止,而 B 相对于 A 、 C 向 右运动,以后发生的过程相当于第1问中所进行的延续,由物块 B 替换 A 继续向右运动。 若物块 B 刚好与挡板 P 不发生碰撞, 则物块 B 以速度 vB? 从板 C 板的中点运动到挡板 P 所在处时, B 与 C 的速度相等.因 A 与 C 的速度大小是相等的,故 A 、 B 、 C 三者的速度 相等,设此时三者的速度为 v 2 .根据动量守恒定律有

mv0 ? 3mv2

(10)

碰撞后物块 A 相对木板 C 静止, A 以初速度 v0 开始运动,接着与 B 发生完全弹性碰撞,

B 到达 P 所在处这一整个过程中,先是 A 相对 C 运动的路程为 L ,接着是 B 相对 C 运动的
路程为 L ,整个系统动能的改变,类似于上面第1问解答中(5)式的说法.等于系统内部相 互问的滑动摩擦力做功的代数和,即

1 1 2 2 (3m)v2 ? mv0 ? ?? mg ? 2L 2 2
解(10)、(11)两式得

(11)

v0 ? 6? gL

(12)

即物块 A 的初速度 v0 ? 6? gL 时,A 与 B 碰撞, 但 B 与 P 刚好不发生碰撞, 若 v0 ? 6? gL , 就能使 B 与 P 发生碰撞,故 A 与 B 碰撞后,物块 B 与挡板 P 发生碰撞的条件是

v0 ? 6? gL

(13)

3. 若物块 A 的初速度 v0 满足条件(13)式,则在 A 、 B 发生碰撞后, B 将与挡板 P 发 生碰撞,设在碰撞前瞬间, A 、 B 、 C 三者的速度分别为 vA?? 、 vB?? 和 vC?? ,则有

vB?? ? vA?? ? vC??

(14)

B 与 P 碰撞后的瞬间, A 、 B 、 C 三者的速度分别为 v A??? 、 vB??? 和 vC??? ,则仍类似于第2问
解答中(9)的道理,有

vB??? ? vC??

vC??? ? vB??

vA??? ? vA??

(15)

由(14)、(15)式可知 B 与 P 刚碰撞后,物块 A 与 B 的速度相等,都小于木板 C 的速度, 即

vC??? ? vA??? ? vB???

(16)

在以后的运动过程中,木板 C 以较大的加速度向右做减速运动,而物块 A 和 B 以相同的较 小的加速度向右做加速运动,加速度的大小分别为

aC ? 2? g

a A ? aB ? ? g

(17)

加速过程将持续到或者 A 和 B 与 C 的速度相同,三者以相同速度 v0 向右做匀速运动,或 者木块 A 从木板 C 上掉了下来。因此物块 B 与 A 在木板 C 上不可能再发生碰撞。 4. 若 A 恰好没从木板 C 上掉下来,即 A 到达 C 的左端时的速度变为与 C 相同,这时 三者的速度皆相同,以 v3 表示,由动量守恒有

1 3

3mv3 ? mv0

(18)

从 A 以初速度 v0 在木板 C 的左端开始运动,经过 B 与 P 相碰,直到 A 刚没从木板 C 的左端 掉下来,这一整个过程中,系统内部先是 A 相对 C 的路程为 L ;接着 B 相对 C 运动的路程 也是 L ;B 与 P 碰后直到 A 刚没从木板 C 上掉下来,A 与 B 相对 C 运动的路程也皆为 L . 整 个系统动能的改变应等于内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和,即

1 1 2 2 (3m)v3 ? mv0 ? ?? mg ? 4L 2 2

(19)

由(18)、(19)两式,得

v0 ? 12? gL

(20)

即当物块 A 的初速度 v0 ? 12? gL 时, A 刚好不会从木板 C 上掉下. 若 v0 ? 12? gL , 则A 将从木板 C 上掉下,故 A 从 C 上掉下的条件是

v0 ? 12? gL

(21)

5. 若物块 A 的初速度 v0 满足条件(21)式,则 A 将从木板 C 上掉下来,设 A 刚要从木 板 C 上掉下来时, A 、 B 、 C 三者的速度分别为 vA???? 、 vB???? 和 vC???? ,则有

vA???? ? vB???? ? vC????
这时(18)式应改写为

(22)

mv0 ? 2mvA???? ? mvC????
(19)式应改写为

(23) (24)

1 1 1 2 (2m)vB????2 ? mvC????2 ? mv0 ? ?? mg ? 4L 2 2 2

当物块 A 从木板 C 上掉下来后,若物块 B 刚好不会从木板 C 上掉下,即当 C 的左端赶上 B 时, B 与 C 的速度相等.设此速度为 v 4 ,则对 B 、 C 这一系统来说,由动量守恒定律,有

mvB???? ? mvC???? ? 2mv4

(25)

在此过程中,对这一系统来说,滑动摩擦力做功的代数和为 ? ? mgL ,由动能定理可得

1 1 ?1 ? 2 (2m)v4 ? ? mvB????2 ? mvC????2 ? ? ? ? mgL 2 2 2 ? ?
由(23)、(24)、(25)、(26)式可得

(26)

v0 ? 4 ? gL

(27)

即当 v0 ? 4 ? gL 时,物块 B 刚好不能从木板 C 上掉下。若,则 B 将从木板 C 上掉下,故物 块 B 从木板 C 上掉下来的条件

v0 ? 4 ? gL

(28)

第 18 届预赛题 1.(25 分)如图预 18-5 所示,一质量为 M 、长为 L 带薄挡板 P 的木板, 静止在水平的地面上,设木板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等,皆为 ? .质量为

m 的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加速地向前走向另一端,到达另一端时便骤
然抓住挡板 P 而停在木板上. 已知人与木板间的静摩擦系数足够大, 人在木板上不滑动. 问: 在什么条件下,最后可使木板向前方移动的距离达到最大?其值等于多少?

参考解答 在人从木板的一端向另一端运动的过程中,先讨论木板发生向后运动的情形,以 t 表示 人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间,设以 x1 表示木板向后移动的 距离,如图预解 18-5 所示.以 f 表示人与木板间的静摩擦力,以 F 表示地面作用于木板的 摩擦力,以 a1 和 a2 分别表示人和木板的加速度,则

f ? m1 a

(1) (2) (3) (4)

1 L ? x1 ? a1t 2 2
f ? F ? Ma2

1 x1 ? a2t 2 2
解以上四式,得

t?

2 LMm Mf ? m( f ? F )

(5)

对人和木板组成的系统, 人在木板另一端骤然停下后, 两者的总动量等于从开始到此时 地面的摩擦力 F 的冲量,忽略人骤然停下那段极短的时间,则有

Ft ? ( M ? m)v

(6)

设人在木板另一端停下后两者一起向前 v 为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度. 移动的距离为 x2 ,地面的滑动摩擦系数为 ? ,则有

1 (M ? m)v2 ? ? (M ? m) gx2 2
木板向前移动的净距离为

(7)

X ? x2 ? x1
由以上各式得

(8)

? ? ? 1 ? F ? ? LMm Lm X? ? ? ( f ? F)? ? ? ? ? ? g ? M ? m ? ? (M ? m)( f ? F ) ? MF ? ? Mf ? m( f ? F ) ?
由此式可知,欲使木板向前移动的距离 X 为最大,应有

2

f ?F

(9) 即

f ? Fmax ? ? ( M ? m) g

(10)

即木板向前移动的距离为最大的条件是: 人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑

动摩擦力. 移动的最

X max ?

m L M ?m

(11)

由上可见,在设木板发生向后运动,即 f ? F 的情况下, f ? F 时, X 有极大值,也就是 说,在时间0~ t 内,木板刚刚不动的条件下 X 有极大值. 再来讨论木板不动即 f ? F 的情况,那时,因为 f ? F ,所以人积累的动能和碰后的总 动能都将变小,从而前进的距离 x 也变小,即小于上述的 X max 。 2.(1 8 分)在用铀 235 作燃料的核反应堆中,铀 235 核吸收一个动能约为 0.025 eV 的热 中子(慢中子)后,可发生裂变反应,放出能量和 2~3 个快中子,而快中子不利于铀 235 的裂变.为了能使裂变反应继续下去,需要将反应中放出的快中子减速。有一种减速的方法 是使用石墨(碳 12)作减速剂.设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞,问一个动能为

E0 ? 1.75 MeV 的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次,才能减速成为 0.025 eV 的热中
子? 参考解答 设中子和碳核的质量分别为 m 和 M ,碰撞前中子的速度为 v0 ,碰撞后中子和碳核的速 度分别为 v 和 v ? ,因为碰撞是弹性碰撞,所以在碰撞前后,动量和机械能均守恒,又因 v0 、

v 和 v ? 沿同一直线,故有

mv0 ? mv ? Mv?
解上两式得

(1)

1 2 1 2 1 mv0 ? mv ? Mv?2 2 2 2

(2)

v?
因 M ? 12 m

m?M v0 m?M v?? 11 v0 13
(4)

( 3)

代入(3)式得

负号表示 v 的方向与 v0 方向相反,即与碳核碰撞后中子被反弹.因此,经过一次碰撞后中子

的能量为

1 1 ? 11 ? 2 E1 ? mv 2 ? m ? ? ? v0 2 2 ? 13 ? ? 11 ? E1 ? ? ? E0 ? 13 ?
2

2

于是

(5)

经过 2,3,?, n 次碰撞后,中子的能量依次为 E2 , E3 , E4 ,?, En ,有

? 11 ? ? 11 ? E2 ? ? ? E1 ? ? ? E0 13 ? ? ? 13 ? ? 11 ? E3 ? ? ? E0 ? 13 ?
??
6

2

4

?E ? ? 11 ? En ? ? 1 ? E0 ? ? ? E0 ? 13 ? ? E0 ?
因此

n

2n

(6)

n?

1 lg( En / E0 ) 2 lg(11/13)

(7)

已知 代入(7)式即得

En 0.025 1 ? ? ? 10-7 6 E0 1.75 ? 10 7

1 lg( ? 10-7 ) ?7 ? lg 7 7.8451 n? 7 ? ? ? 54 11 2( ? 0.07255) 0.1451 2lg( ) 13

(8)

故初能量 E0 ? 1.75 MeV 的快中子经过近 54 次碰撞后,才成为能量为 0.025 eV 的热中子。 第 19 届预赛 1.(15 分)今年 3 月我国北方地区遭遇了近 10 年来最严重的沙尘暴天气.现 把沙尘上扬后的情况简化为如下情景:v 为竖直向上的风速,沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中 (不动) .这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度 v 竖直向下运动时所受的阻 力.此阻力可用下式表达

f ? ?? Av 2
其中 ? 为一系数, A 为沙尘颗粒的截面积, ? 为空气密度. (1)若沙粒的密度 ?S ? 2.8 ?103 kg ? m-3 ,沙尘颗粒为球形,半径 r ? 2.5 ?10-4 m ,地球 表面处空气密度 ?0 ? 1.25 kg ? m-3 , ? ? 0.45 ,试估算在地面附近,上述 v 的最小值 v1 . (2) 假定空气密度 ? 随高度 h 的变化关系为 ? ? ?0 (1 ? Ch) , 其中 ?0 为 h ? 0 处的空气密度,
C 为一常量, C ? 1.18 ?10?4 m-1 ,试估算当 v ? 9.0 m ? s-1 时扬沙的最大高度. (不考虑重

力加速度随高度的变化) 参考解答

(1)在地面附近,沙尘扬起要能悬浮在空中,则空气阻力至少应与重力平衡,即
2 ??0 Av1 ? mg



式中 m 为沙尘颗粒的质量,而

A ? ? r2

② ③

4 m ? ? r 3 ?s 3


v1 ?

4 ?s gr 3 ??0



代入数据得

v1 ? 4.0 m ? s-1



(2)用 ?h 、 h 分别表示 v ? 9.0 m ? s-1 时扬沙到达的最高处的空气密度和高度,则有

?h ? ?0 (1 ? Ch)
此时式①应为



??h Av2 ? mg
由②、③、⑥、⑦可解得 代入数据得



h?

4r ?s g ? 1? ?1 ? ? C ? 3? v2 ?0 ?



h ? 6.8 ?103 m



电磁学
(第 20 届预赛) 1.(20 分)图预 20-7-1 中 A 和 B 是真空中的两块面积很大的平行金属 板、加上周期为 T 的交流电压,在两板间产生交变的匀强电场.己知 B 板电势为零,A 板电 势 UA 随时间变化的规律如图预 20-7-2 所示, 其中 UA 的最大值为的 U0, 最小值为一 2U0. 在 图预 20-7-1 中,虚线 MN 表示与 A、B 扳平行等距的一个较小的面,此面到 A 和 B 的距离 皆为 l.在此面所在处,不断地产生电量为 q、质量为 m 的带负电的微粒,各个时刻产生带 电微粒的机会均等.这种微粒产生后,从静止出发在电场力的作用下运动.设微粒一旦碰到 金属板,它就附在板上不再运动,且其电量同时消失,不影响 A、B 板的电压.己知上述的 T、U0、l,q 和 m 等各量的值正好满足等式
2

3 U0q ? T ? l ? ? ? 16 2m ? 2 ?
2

若在交流电压变化的每个周期 T 内,平均产主 320 个上述微粒,试论证在 t=0 到 t=T/2 这段时间内产主的微粒中,有多少微粒可到达 A 板(不计重力,不考虑微粒之间的相互作

用) 。

参考解答 在电压为 U 0 时,微粒所受电场力为 U 0 q / 2l ,此时微粒的加速度为 a0 ? U 0 q / 2lm 。将 此式代入题中所给的等式,可将该等式变为

3 ?T ? l ? a0 ? ? 16 ? 2 ?

2

(1)

现在分析从 0 到 T / 2 时间内,何时产生的微粒在电场力的作用下能到达 A 板,然后计 算这些微粒的数目。 在 t ? 0 时产生的微粒,将以加速度 a0 向 A 板运动,经 T / 2 后,移动的距离 x 与式(1) 相比,可知

1 ?T ? x ? a0 ? ? ? l 2 ?2?

2

(2)

即 t ? 0 时产生的微粒,在不到 T / 2 时就可以到达 A 板。在 U A ? U 0 的情况下,设刚能到达 A 板的微粒是产生在 t ? t1 时刻,则此微粒必然是先被电压 U 0 加速一段时间 ?t1 ,然后再被 电压 ?2U 0 减速一段时间,到 A 板时刚好速度为零。用 d 1 和 d2 分别表示此两段时间内的位 移, v1 表示微粒在 ?t1 内的末速,也等于后一段时间的初速,由匀变速运动公式应有

1 d1 ? a0 (?t1 )2 2
0 ? v12 ? 2(?2a0 )d2
又因

( 3) (4)

v1 ? a0 ?t1 ,

(5)

d1 ? d2 ? l ,

(6) (7)

t1 ? ?t1 ?
由式(3)到式(7)及式(1) ,可解得

T , 2

t1 ?

T , 2

(8)

这就是说, 在 U A ? U 0 的情况下, 从 t ? 0 到 t ? T / 4 这段时间内产生的微粒都可到达 A 板 (确 切地说,应当是 t ? T / 4 ) 。 为了讨论在 T / 4 ? t ? t / 2 这段时间内产生的微粒的运动情况, 先设想有一静止粒子在 A 板附近,在 U A ? ?2U 0 电场作用下,由 A 板向 B 板运动,若到达 B 板经历的时间为 ? ,则 有

1 2l ? (2a0 )? 2 2
根据式(1)可求得

??

3 1 ? T 2 4

由此可知,凡位于 MN 到 A 板这一区域中的静止微粒,如果它受 U ? ?2U 0 的电场作用时间 大于 ? ,则这些微粒都将到达 B 板。 在 t ? T / 4 发出的微粒, 在 U A ? U 0 的电场作用下, 向 A 板加速运动, 加速的时间为 T / 4 , 接着在 U A ? ?2U 0 的电场作用下减速, 由于减速时的加速度为加速时的两倍, 故经过 T / 8 微 粒速度减为零。由此可知微粒可继续在 U A ? ?2U 0 的电场作用下向 B 板运动的时间为

?1 ? T ? T ? T ? ? T
由于 ? 1 ? ? ,故在 t ? T / 4 时产生的微粒最终将到达 B 板(确切地说,应当是 t ? T / 4 ) ,不 会再回到 A 板。 在 t 大于 T / 4 但小于 T / 2 时间内产生的微粒,被 U A ? U 0 的电场加速的时间小于 T / 4 , 在 U A ? ?2U 0 的电场作用下速度减到零的时间小于 t ? T / 8 ,故可在 U A ? ?2U 0 的电场作用 下向 B 板运动时间为

1 2

1 8

3 8

3 1 2 4

? ? ? T ? T ? ?1
所以这些微粒最终都将打到 B 板上,不可能再回到 A 板。 由以上分析可知,在 t ? 0 到 t ? T / 2 时间内产生的微粒中,只有在 t ? 0 到 t ? T / 4 时间

1 2

1 8

内产生的微粒能到达 A 板,因为各个时刻产生带电微粒的机会均等,所以到达 A 板的微粒 数为

1 N ? 320 ? ? 80 4

(9)

第 21 届预赛, 1.(15 分)测定电子荷质比(电荷 q 与质量 m 之比 q /m)的实验装置如图 所示.真空玻璃管内,阴极 K 发出的电子,经阳极 A 与阴极 K 之间的高电压加速后,形成 一束很细的电子流, 电子流以平 行于平板电容器极板的速度进 入两极板 C、D 间的区域.若两 极板 C、D 间无电压,则离开极 板区域的电子将打在荧光屏上 的 O 点;若在两极板间加上电 压 U,则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的 P 点;若再在极板间加一方向垂直于纸面 向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场,则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到 O 点.现已 知极板的长度 l = 5.00cm, C、D 间的距离 d = 1.50cm,极板区的中点 M 到荧光屏中点 O 的 距离为 L = 12.50 cm,U = 200V,P 点到 O 点的距离 y ? OP ? 3.0cm , B = 6.3×10-4T.试 求电子的荷质比. (不计重力影响) . 参考解答: 设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为 v0,因为速度方向平行于电容器的极板, 通过长度为 l 的极板区域所需的时间
- K A + + M - C D O P

t1 ? l v 0

(1)

当两极板之间加上电压时,设两极板间的场强为 E,作用于电子的静电力的大小为 qE 方向 垂直于极板由 C 指向 D,电子的加速度



qE m U E? d a? 1 y1 ? at12 2
v y ? at1

(2) (3)

因电子在垂直于极板方向的初速度为 0,因而在时间 t1 内垂直于极板方向的位移 (4)

电子离开极板区域时,沿垂直于极板方向的末速度 (5)

??设电子离开极板区域后,电子到达荧光屏上 P 点所需时间为 t2

t 2 ? ?L ? l 2 ? v 0

(6)

在 t2 时间内,电子作匀速直线运动,在垂直于极板方向的位移

y2 ? v y t 2

(7)

P 点离开 O 点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移

y ? y1 ? y 2
由以上各式得电子的荷质比为 2 d q v0 ? y m UlL 子所受电场力与磁场力相等,即

(8)

(9)

加上磁场 B 后,荧光屏上的光点重新回到 O 点,表示在电子通过平行板电容器的过程中电

qE ? qv0 B

(10)

注意到 (3) 式,可得电子射入平行板电容器的速度

v0 ?

U Bd

(11)

代入(9)式得 q U ? y m B 2 lLd 代入有关数据求得

(12)

q ? 1.6 ? 1011 C/kg m

(13)

第 21 届预赛 2.(15 分)如图所示,两条平行的长直金属细导轨 KL、PQ 固定于同一水平面 内,它们之间的距离为 l,电阻可忽略不计;ab 和 cd 是两根质量皆为 m 的金属细杆,杆与 导轨垂直,且与导轨良好接触,并可沿导轨无摩擦地滑动.两杆的电阻皆为 R.杆 cd 的中 点系一轻绳,绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为 M 的物体,滑轮与转轴之间的摩擦 不计,滑轮与杆 cd 之间的轻 绳处于水平伸直状态并与导 轨平行.导轨和金属细杆都 处于匀强磁场中,磁场方向 垂直于导轨所在平面向上, 磁感应强度的大小为 B.现 大小各为多少? 参考答案:用 E 和 I 分别表示 abdc 回路的感应电动势和感应电流的大小,根据法拉第电磁 感应定律和欧姆定律可知 M 两杆及悬物都从静止开始运动,当 ab 杆及 cd 杆的速度分别达到 v1 和 v2 时,两杆加速度的 P b d Q K a B c B L

E ? Bl ?v 2 ? v1 ?

(1) (2)

I?

E 2R

令 F 表示磁场对每根杆的安培力的大小,则
F ? IBl

(3)

令 a1 和 a2 分别表示 ab 杆、cd 杆和物体 M 加速度的大小,T 表示绳中张力的大小,由牛顿 定律可知

F ? ma1 Mg ? T ? ma2 T ? F ? ma2
由以上各式解得 B 2 l 2 ?v 2 ? v1 ? a1 ? 2 Rm

(4) (5) (6)

(7)

a2 ?

2MgR ? B 2 l 2 ?v 2 ? v1 ? 2?M ? m ?R

(8)

第 21 届预赛,3.(17 分)如图所示的电路中,各电源的内阻均为零,其中 B、C 两点与其 右方由 1.0Ω 的电阻和 2.0Ω 的电阻构成的 无穷组合电路相接.求图中 10μ F 的电容 器与 E 点相接的极板上的电荷量. 参考解答: 设 B、C 右方无穷组合电路的等效电 阻为 RBC ,则题图中通有电流的电路可以 简化为图 1 中的电路.B、 C 右方的电路又 可简化为图 2 的电路, 其中 RB?C? 是虚线右 10V 18?
图1

10? B 20V 30? B 1.0?
B?

R BC
24V C C

2.0?

RB?C?
C?

图2

方电路的等效电阻.由于 B ? 、 C ? 右方的电路与 B、C 右方的电路结构相同,而且都是无穷 组合电路, 故有

RBC ? RB?C?
由电阻串、并联公式可得

(1) 20V (2) 30? 10V

10? B B 1.0?
B?

R BC ? 1 ?

2 R B?C ? 2 ? R B?C ?

R BC
24V 18?
图1

2.0? C C
图2

RB?C?
C?

由式(1)、(2)两式得
2 RBC ? RBC ? 2 ? 0

解得

RBC ? 2.0?
图 1 所示回路中的电流为

(3)

I?

20 ? 10 ? 24 A ? 0.10 A 10 ? 30 ? 18 ? 2

(4)

电流沿顺时针方向。 设电路中三个电容器的电容分别为 C1、C2 和 C3,各电容器极板上的电荷分别为 Q1、Q2 和 Q3,极性如图 3 所示.由于电荷守恒,在虚线框内, 三个极板上电荷的代数和应为零,即 10? (5) 20V A 30? (6) 10V
图3 -+
1

Q1 ? Q3 ? Q2 ? 0
A、E 两点间的电势差

Q +C2
2

B



C Q
1

D Q+ 24V C 18?

2?

U A ?UE ? ?
又有

Q1 Q3 ? C1 C 3

- C3 3 E

U A ? U E ? ?10 ? 30 ? 0.10?V ? 7.0V
B、E 两点间的电势差

(7)

UB ?UE ?
又有

Q2 Q3 ? C 2 C3

(8)

U B ? U E ? ?24 ? 20 ? 0.10?V ? 26V

( 9)

根据(5)、(6)、(7)、(8)、(9) 式并代入 C1、C2 和 C3 之值后可得

Q3 ? 1.3 ? 10 ?4 C

(10)

即电容器 C3 与 E 点相接的极板带负电,电荷量为 1.3 ? 10 ?4 C . 第 22 届预赛, 1.(25 分)三个电容器分别有不同的电容值 C1、C2、C3 .现把这三个电容 器组成图示的(a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路,试论证:是否可以通过适当选择 C1、C2、C3 的数值,使其中某两种混联电路 A、B 间的等效电容相等. A C1 C2 B (a) 参考解答: 由电容 C ? 、 C ?? 组成的串联电路的等效电容 C3 C1 C3 B (b) A C2 C1 C3 B (c) A C2 C1 C2 B (d) A C3

C串 ?
由电容 C ? 、 C ?? 组成的并联电路的等效电容

C ?C ?? C ? ? C ??

C并 ? C ? ? C ??
利用此二公式可求得图示的 4 个混联电路 A、B 间的等效电容 Ca、Cb、Cc、Cd 分别为

Ca ?

C C ? C1C3 ? C 2 C3 C1C 2 ? C3 ? 1 2 ? C3 C1 ? C 2 C1 ? C 2 C1C 3 C C ? C1C3 ? C 2 C3 ? C2 ? 1 2 ? C2 C1 ? C 3 C1 ? C 3

(1)

Cb ?

(2)

Cc ?

?C1 ? C2 ?C3 ?C1 ? C2 ? ? C3
?C1 ? C3 ?C 2 ?C1 ? C3 ? ? C 2
?

?

C1C3 ? C 2 C3 ? C3 C1 ? C 2 ? C3

(3)

Cd ?

C1C 2 ? C 2 C3 ? C2 C1 ? C 2 ? C3

(4)

由(1) 、 (3)式可知

Ca ? Cc
由(2) 、 (4)式可知

( 5)

C b ? Cd
由(1) 、 (2)式可知

( 6)

Ca ? C b
由(3) 、 (4)式可知

( 7)

Cc ? Cd
若 Ca ? Cd ,由(1) 、 (4)式可得

( 8)

C12 ? 2C1C2 ? C1C3 ? C2 C3 ? 0
因为 C1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此

Ca ? Cd

(9)

若 C b ? Cc ,由(2) 、 (3)式可得 C12 ? 2C1C3 ? C1C2 ? C2 C3 ? 0 因为 C1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此

C b ? Cc

(10)

综合以上分析,可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的.

热学
第 22 届预赛,1.(25 分)如图所示,两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨,处于 恒定磁场中,磁场方向与导轨所在平面垂直.一质量为 m 的均匀导体细杆,放在导轨上, 并与导轨垂直,可沿导轨无摩擦地滑动,细杆与导轨的电阻均可忽略不计.导轨的左端与一 根阻值为 R0 的电阻丝相连,电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝的热容量不计.容器与一水 平放置的开口细管相通,细管内有一截面为 S 的小液柱(质量不计) ,液柱将 1mol 气体(可 视为理想气体)封闭在容器中.已知温度升高 1K 时,该气体的内能的增加量为 5 R 2 (R 为普适气体常量) ,大气压强为 p0,现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到平衡 时细管中液柱的位移.

R0

v0

参考解答: 导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流,细杆将受到 安培力的作用,安培力的方向与细杆的运动方向相反,使细杆减速,随着速度的减小,感应 电流和安培力也减小,最后杆将停止运动,感应电流消失.在运动过程中,电阻丝上产生的 焦耳热,全部被容器中的气体吸收. 根据能量守恒定律可知,杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的焦耳热 Q 应等 于杆的初动能,即

1 2 Q ? mv0 2 5 RΔT 2
A ? p0 SΔl

(1)

容器中的气体吸收此热量后,设其温度升高?T,则内能的增加量为

ΔU ?

(2)

在温度升高?T 的同时, 气体体积膨胀, 推动液柱克服大气压力做功. 设液柱的位移为 Δl , 则气体对外做功 (3)
ΔV ? SΔl

S Δ l 就是气体体积的膨胀量

(4)

由理想气体状态方程 pV ? RT ,注意到气体的压强始终等于大气压 p 0 ,故有

p 0 ΔV ? RΔT
由热力学第一定律 由以上各式可解得

(5)

Q ? A ? ΔU

(6) (7)

Δl ?

2 mv 0 7 p0 S

第 17 届预赛题.1.(20 分)绝热容器 A 经一阀门与另一容积比 A 的容积大得很多的绝热容器 B 相连。开始时阀门关闭,两容器中盛有同种理想气体,温度均为 30℃, B 中气体的压强 为 A 中的 2 倍。现将阀门缓慢打开,直至压强相等时关闭。问此时容器 A 中气体的温度为

多少?假设在打开到关闭阀门的过程中处在 A 中的气体与处在 B 中的气体之间无热交 换.已知每摩尔该气体的内能为 U ?

5 RT ,式中 R 为普适气体恒量, T 是热力学温度. 2

参考解答 设气体的摩尔质量为 ? ,容器 A 的体积为 V ,阀门打开前,其中气体的质量为 M 。压 强为 p ,温度为 T 。由

pV ?


M

?

RT

M?

? pV
RT

(1)

因为容器 B 很大,所以在题中所述的过程中,容器 B 中气体的压强和温度皆可视为不变。 根据题意,打开阀门又关闭后, A 中气体的压强变为 2 p ,若其温度为 T ? ,质量为 M ? ,则 有

M? ?

2? pV RT ?

(2)

进入容器 A 中的气体的质量为

?M ? M ? ? M ?

? pV ? 2

1? ? ?? ? R ?T T ?

(3)

设这些气体处在容器 B 中时所占的体积为 ? V ,则

?V ?

?M RT 2? p

(4)

因为 B 中气体的压强和温度皆可视为不变,为把这些气体压入容器 A ,容器 B 中其他气体 对这些气体做的功为 W ? 2 p?V (5) 由(3)、(4)、(5)式得

? 2T ? W ? pV ? ? 1? ? T ? ?
容器 A 中气体内能的变化为

(6)

?U ?

M?

?

? 2.5R(T ? ? T )

(7)

因为与外界没有热交换,根据热力学第一定律有 W ? ?U 由(2)、(6)、(7)和(8)式得

(8)

T? ? 2T ? ? ? ? ? 1? ? 2 ? 2.5 ?1 ? ? ? ?T ? ? T ?
结果为

(9)

T ? ? 353.5 K


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