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广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学理试题


广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期开学摸底考试 数学理试题
试卷说明、参考公式略 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题

给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若全集 U ? R ,集合 M ? x ? x 2 ? x ? 2 ? 0 , N ? x x ? 1 ? 0 ,则下图中阴影部分表示的集合是 ( ) A. ? ??,1? B. ?1, ?? ? C. ? ??, ?2 ? D. (?2,1)

?

?

?

?

2.如果

a ? 3i ? b , a, b ? R , 则 a 等于( ) 2?i
) D. y ? x ? x
3

A. ? 6 B. 6 C. 3 D. ? 4 3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(

1 A. y ? ? x

?1? B. y ? ? ? ? 2 x ?2?

x

C. y ? sin x

4.函数 f ? x ? ? log a ( x 2 ? ax ? A. ?0,1? B.

?0,1? ? ?1,

1 ) 有最小值,则实数 a 的取值范围是( 2
2



?

C. 1, 2

?

?

D.

?

2 ,??

?


5.已知 a, b 为异面直线, a ? 平面 ? , b ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? a, l ? b, l ? ? , l ? ? ,则( A. C.

? 与 ? 相交,且交线平行于 l ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l
x

B. D.

? // ? ,且 l // ?

? ? ? ,且 l ? ?

6.函数 f ? x ? ? 2 log 0.5 x ? 1 的零点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 平面直角坐标系上有两个定点 A, B 和动点 P ,如果直线 PA 和 PB 的斜率之积为定值 m?m ? 0 ? , 则点 P 的轨迹不可能是( A.圆 B.椭圆 )(下列轨迹的一部分) C.双曲线 D.抛物线

8.设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“ ? ”(即对任意的 a, b ? S ,对于有 序元素对 ?a, b ? , S 中有唯一确定的元素 a ? b 与之对应), 在 若对任意的 a, b ? S , a ? (b ? a ) ? b , 有 则对任意的 a, b ? S ,下列等式中不恒成立的是 ( . A. ?a ? (b ? a )? ? ?a ? b ? ? a C. (a ? b) ? a ? a )

B. b ? (b ? b) ? b D. (a ? b) ? ?b ? (a ? b)? ? b

第Ⅱ卷(非选择题
横线上. (一)必做题(9~13 题) 9.函数 y ? sin 2 x ? 2 3 sin 2 x 的最小正周期 T 为 10.已知 f ?

共 110 分)

二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.将答案填在答案卷的相应的

***** *****

. . ***** .

?1 ? x ? 1? ? 2 x ? 3, 且 f ?m ? ? 6 ,则 m ? ?2 ?
2

11.若函数 f ? x ? 的导函数 f ?? x ? ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ?1 ? x ? 的单调减区间是 12.在等比数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 且 a 4 a 6 ? 4a 7 ,则 a 3 的值是
2

*****

.

13.今有直线 x ? y ? m ? 0

?m ? 0?

与圆 x + y = 2 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐标原点, ***** .

2

2

且 OA ? OB ? AB ,则实数 m 的取值范围是

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,已知圆 ? ? 4 cos ? 的圆心为 A ,点 B (6 2 , 则线段 AB 的长为 ***** .

3? ), 4

15.(几何证明选讲选做题) 如图所示, 过⊙ O 外一点 A 作一条直线与⊙ O 交于 C, D 两 点, AB 切⊙ O 于 B ,弦 MN 过 CD 的中点 P ,

已知 AC ? 4, AB ? 6, 则 MP ? NP ?

*****

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 cos(? x ? ? )(? ? 0, ?? ? ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,其图 象的一条对称轴是直线 x ? 1)求 f ( x ) 的表达式; 2)若 ? ? ? 0,

? . 8

?? 14 ? ?? ? ? 且 f ? ? ? ? ? ? ,求 8? 25 ? 2? ?

?? ? f ? ? 的值. ?2?
2

17.(本题 12 分)已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x ) 的图象关于 y 轴对称,且 f ( x) ? 2 x ? 4 x 1)求函数 y ? g ( x ) 的解析式; 2)解不等式

f ( x) ? g ( x) ?| x ? 1| ; 2

18.(本题 14 分) 如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 2 BC =2, ?ABC ? 120?. M、N 分别为线段 AB, CD 的 中点,连接 AN, DM 交于点 O ,将△ADM 沿直线 DM 翻折成△ A?DM , 使平面 A?DM ⊥平面 BCD, F 为线段 A?C 的中点。 1)求证: ON ? 平面 A?DM 2)求证:BF∥平面 A?DM ;

3)直线 FO 与平面 A?DM 所成的角.

19.(本题 14 分)

已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx
3 2

1)若函数 y ? f ? x ? 在 x ? 2 处有极值 ? 6 ,求 y ? f ? x ? 的单调递增区间; 2)若 y ? f ? x ? 的导数 f ?? x ? 对 x ? ?? 1,1? 都有 f ?? x ? ? 2 ,求

b 的取值范围. a ?1

20.(本题 14 分) 已知 F1 、 F2 是双曲线 C : x ?
2

y2 4 ? 1 的两个焦点,若离心率等于 的椭圆 E 与双曲线 C 的焦 5 15

点相同. 1)求椭圆 E 的方程;

x2 y2 ? ? 1. 2 2 判断直线 l : mx ? ny ? 1 与曲线 M 的公共点的个数,并说明理由;当直线 l 与曲线 M 相交时, 求直线 l : mx ? ny ? 1 截曲线 M 所得弦长的最大值.
2)如果动点 P (m, n) 满足 PF1 ? PF2 ? 10 ,曲线 M 的方程为:

21.(本题 14 分) 2 已知数列 ?a n ? 的各项均为正值, a1 ? 1, 对任意 n ? N ? , a n ?1 ? 1 ? 4a n (a n ? 1) ,

bn ? log 2 (a n ? 1) 都成立.
1)求数列 ?a n ? 、 ?bn ? 的通项公式; 2)令 c n ? a n ? bn ,求数列 ?c n ? 的前 n 项和 Tn ;
? 3)当 k ? 7 且 k ? N ? 时,证明对任意 n ? N , 都有

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? 成立. bn bn ?1 bn ? 2 bnk ?1 2

2013—2014 学年度第一学期高三理科摸底考试

理数 答案卡

2013-8

班级:___
题号 答案 1

_

姓名:____
2 3

_______ 学号:
4 5 6

评分:
7 8

一.选择题:1~8 题,每题 5 分,共 40 分, 每题只有一个正确答案,把正确答案填入表格内.

二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.答案填在答案卷相应的横线 上. 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; (在选做的题目前标涂) 14. ; 15. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) .

17.(本题 12 分)

班级:__

_

姓名:____

______ 学号:

18.(本题 14 分)

19.(本题 14 分)

20、21 题在背面作答 20.(本题 14 分)

21.(本题 14 分)

一.选择题:1~8 题,每题 5 分,共 40 分, 每题只有一个正确答案,把正确答案填入表格内. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 B 7 D 8 C

二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.答案填在答案卷相应的横线 上.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解:(I)设函数 y ? g ( x ) 图象上任意一点 P ( x, y ) ,

w.w.w..c.o.m

由已知点 P 关于 y 轴对称点 P '( ? x, y ) 一定在函数 y ? f ( x) 图象上, 代入得 y ? 2 x ? 4 x ,所以 g ( x) ? 2 x 2 ? 4 x
2

(II)

f ( x) ? g ( x) ?| x ? 1| 2
2

?2 x 2 ? x ? 1 ?2 x 2 ? 1 ? x 或? ? 2 x ?| x ? 1| ? ? ? x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0

1 ? ? x ? ? ??1 ? x ? 或? ?? 2 ? x ?1 ? x ?1 ?
? ? 不等式的解集是 ? x ? 1 ? x ? ?
另解:由

? ?1 ? x ?

1 2

1? ? 2?

f ( x) ? g ( x) ?| x ? 1| 得, 2 x 2 ? x ? 1 2

? x ? 1 ? 2 x 2 或 x ? 1 ? ?2 x 2

? 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 中,开口向上, ? ? ?7 ? 0 ,解集为 ?
2 x 2 ? x ? 1 ? 0 解得 ? 1 ? x ?

1 2

? ? 不等式的解集是 ? x ? 1 ? x ? ?
18.(本题 14 分)

1? ? 2?

(1)证明:连接 MN ,由平面几何知 AMND 是菱形

? AN ? DM ……1’ ? 平面 A ' DM ? 平面 ABCD , DM 是交线 AN ? 平面 ABCD ……2’ ? AN ? 平面 A ' DM ,即 ON ? 平面 A ' DM
(2)证明:取 A ' D 中点 E ,连接 EF、EM

……3’

? F 是 A ' C 中点
又 M 是 AB 中点

1 ? EF / / CD 2

……4’

1 ? 在菱形 ABCD 中, BM / / CD 2

? EF / /BM

……5’ ……6’ ……7’

? BF / / EM ? EFBM 是平行四边形 ? EM ? 平面 A ' DM , BF ? 平面 A ' DM ……8’ ? BF / / 平面 A ' DM

19.解:? f ( x) ? x ? ax ? bx
3 2

…1’ ? f '( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b 1)? 在 x ? 2 处有极值 ? 6 ? f '(2) ? 12 ? 4a ? b ? 0 ?? ? f (2) ? 8 ? 4a ? 2b ? ?6 5 ? ?a ? ? 解得 ? …3’ 2 ?b ? ?2 ? 5 f '( x ) ? 3x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x 2 当 x 变化时, y ', y 变化如下

得 x ? ? 或x ? 2

1 3

x y ’ y

1 (??, ? ) 3
+ ↗

?

1 3

1 (? , 2) 3

2 0 极 小值

(2, ??)
+ ↗ …5’

0 极 大值

?


1 ? f ( x) 的单调增区间是 (??, ? ) , (2, ??) , 3 1 41 y极大 ? f (? ) ? ? , y极小 ? f (2) ? ?6 3 54 ? f '(?1) ? 3 ? 2a ? b ? 2 2)? ? ? f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 2

…7’

? 2a ? b ? 1 ? 0 ?? ? 2a ? b ? 1 ? 0

…9’

不等式组确定的平面区域阴影部分如图所示 由?

…10’

? 2a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 0 得? ?2a ? b ? 1 ? 0 ?b ? ?1 ? Q(0, ?1) b 设z ? ,则 z 表示平面区域内的点 (a, b) 与点 P (1, 0) 连线的斜率 a ?1 ? k PQ ? 1 由图可知 z ? 1或z ? ?2
? b ? ?? ?,?2 ? ? ?1,?? ? a ?1
…14’

…12’

20.解:1)∵ F1 、 F2 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的两个焦点 ? c ? 1 ? 15 ? 4 15

不妨设 F1 (?4,0) 、 F2 (4,0) ∵椭圆 E 与双曲线 C 的焦点相同. ∴设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0 ? a2 b2 ? c?4 ?c?4 ? c 4 ? ? ∵根据已知得 ? ,解得 ? a ? 5 ? 2 a 25 2 ?b 2 ? 9 ? ?b ? a ? c 2 2 x y ∴椭圆 E 的方程为 ? ?1 25 9

3)设 S ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? bn bn ?1 bn ? 2 bnk ?1 n n ? 1 n ? 2 nk ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2S ? ( ? )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) -----(1) n nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n
当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy ,

1 1 1 1 1 ? ?2 ,? ? x ? y ?( ? ) ? 4 x y xy x y

1 1 4 ? ? ? x y x? y

当且仅当 x ? y 时等号成立.

∴上述(1)式中, k ? 7, n ? 0, n ? 1, n ? 2, ? , nk ? 1 全为正,

? 2S ?

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 nk ? 1 ? n n ? nk ? 1

?S ?

2(k ? 1) 2(k ? 1) 2 2 ? 3 ? ? ? 2(1 ? ) ? 2?1 ? ?? 1 k ?1 k ?1 ? 7 ?1? 2 1? k ? n
1 1 1 ? ??? n n ?1 8n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 = ??? ? ??? ? ??? ??? n 2n ? 1 2n 3n ? 1 3n 4n ? 1 8n ? 1

(法二)? k ? 8, S ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ??? ? ??? ? ??? ??? ??? 2n ? 1 2n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 4n ? 1 4n ? 1 8n ? 1 8n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2n ? 1 3n ? 1 4n ? 1 8n ? 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 83 1 1 3 ? 1? ? ? ? ? 1? ? ? 1? ? 4 5 7 8 140 8 2 2 ?


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