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17-18版:习题课 正弦定理和余弦定理


第二章 解三角形 习题课 正弦定理和余弦定理 学习目标 1.学会利用三角形中的隐含条件. 2.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用. 3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的 综合问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 有关三角形的隐含条件 思考 我们知道y=sin x在区间(0,π)上不单调,所以由0<α<β<π得不到sin α <sin β.那么由A,B为△ABC的内角且A<B,能得到sin A<sin B吗?为 什么? 答案 能.由于三角形中大边对大角, ∴当A<B时,有a<b. 由正弦定理,得2Rsin A<2Rsin B, 从而有sin A<sin B. 梳理 “三角形”这一条件隐含着丰富的信息,利用这些信息可以得到富有 三角形特色的变形和结论: (1)由A+B+C=180°可得 sin(A+B)= sin C ,cos(A+B)=-cos C , A+B C - tan C tan(A+B)= , sin = cos , 2 2 C. A+B = sin 2 cos 2 (2)由三角形的几何性质可得 acos C+ccos A= b ,bcos C+ccos B= a , acos B+bcos A= c . (3)由大边对大角可得sin A>sin B?A > B. (4)由锐角△ABC可得sin A > cos B. 知识点二 已知条件 三边 两边及其夹角 两边及一边对角 一边及两角 解三角形的基本类型 适用定理 解的个数 __ 1 1 __ 0,1,2 _____ __ 1 余弦定理 _________ 余弦定理 _________ 正弦定理或 余弦定理 ________ _________ 正弦定理 知识点三 三角形有关问题的解决思路 这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为代数 问题或者三角恒等式,再利用三角恒等变换解决问题,中间往往会用 到一些三角形的隐含条件如内角和等. 题型探究 类型一 利用正弦、余弦定理解三角形 2 例1 在△ABC中,若c· cos B=b· cos C,cos A= ,求sin B的值. 3 解答 引申探究 1.对于例1中的条件,c· cos B=b· cos C,能否使用余弦定理? 解答 a2+c2-b2 a2+b2-c2 由余弦定理,得 c· 2ac =b· 2ab . 化简得a2+c2-b2=a2+b2-c2, ∴c2=b2,从而c=b. 2.例1中的条件c· cos B=b· cos C的几何意义是什么? 解答 如图,作AD⊥BC,垂足为D. 则c· cos B=BD,b· cos C=CD. ∴ccos B=bcos C的几何意义为边AB, AC在BC边上的射影相等. 反思与感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段; (2)解题时要画出三角形,将题目条件直观化,根据题目条件,灵活选 择公式. 跟踪训练1 在△ABC中,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc. (1)求A的大小; 解答 由题意知,b2=ac b2+c2-a2 ac+bc-ac 1 ?cos A= 2bc = =2, 2bc π ∵A∈(0,π),∴A=3. bsin B (2)求 c 的值. 2 解答 b a 由 b =ac,得 c=b, bsin B sin A 3 a ∴ c =sin B· b=sin B· sin B=si


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