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100测评网高中数学复习新6


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溱潼中学第二学期高二期中数学(理科)试卷(三)
(时间 120 分钟 分值 160 分)

班级
一、填空题(本小题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分, ) 1.设 f 0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f 0 ( x) , f 2 ( x) ? f1' ( x),
'

姓名

, fn?1 ( x) ? fn' ( x) ,n∈N,

则 f 2008 ( x) ? . 2. 从 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),?,推广到第 n 个等式为 ___________________ _. 3.有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,
?

这是因为 4.给出下列命题:①若复平面内复数 z ? x ? 数 x 的取值范围是 ?

.

1 i 所对应的点都在单位圆内,则实 2

3 3 ;②在复平面内, 若复数 z 满足 | z ? i|?| z ? i| ? 4 , ?x? 2 2
3

则 z 在复平面内对应的点 Z 的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆;③若 z =1,则复数 z 一定等于 1;④若 ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x =±1.其中,正确命 题的序号是 5.计算: 6. ( x 2 ? .

(?1 ? 3i) 3 2 ? i ? + 1 ? 2i (1 ? i) 6
.

4 ? 4) 5 展开式中含 x 4 项的系数为 2 x 7.设离散型随机变量 X 的概率分布如下:

X
Pi
1 2 3

0
1 6
33

1
1 3

2
1 6

3 p
.

则 X 的数学期望为 8.C 33 +C 33 +C 33 +?+C 33 除以 9 的余数是 9. 若 X ~ B(n, p) , E ( X ) ? np, V ( X ) ? np(1 ? p) , E ( X ) ? 2.4 , V ( X ) ? 1.44 则 P( X ? 1) ? .

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10. 不同的五种商品在货架上排成一排,其中 a , b 两种必须排一起,而 c , d 两种不能 排在一起,则不同的排法共有 . 11.甲,乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是 0.6,则投球命中的 概率是 . 12.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同),依次不放回地摸出 2 个球,在第一次摸 出红球的条件下,第二次也摸到红球的概率是 . 13.用数学归纳法证明“ 5 ? 2 能被 3 整除” 的第二步中,当 n ? k ? 1 时,为了使用归纳
n n

假设,应将 5

k ?1

? 2k ?1 变形为
.

x x ?1 14.若 3 A8 ,则 x ? ? 4 A9

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,要求:除特殊说明外,解答应有相应的过程) 15. (10 分)某人有 5 把钥匙,其中只有 1 把能打开某一扇门,今任取一把试开,不能打开的 除去,求打开此门所需试开次数的数学期望和方差.

16. (15 分)设 a, b ? R, a ? 1,| b |? 1, 求证:

a?b ? 1。 1 ? ab

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17.(15 分)在二项式 (1 ? 2 x)n 的展开式中,第 6 项与第 7 的系数相等,求展开式中二项式 系数最大的项和系数最大的项.

18. (15 分 )求证: 3 ? (n ? 2)2
n

n?1

(n ? N * , 且n ? 2)

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19.(15 分)设 an ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

1 ? (n ? N * ) ,是否存在整式 g (n) ,使得 n

a1 ? a2 ? a3 ?

? an?1 ? g (n)(an ? 1) 对 n≥2 的一切自然数都成立?并试用数学

归纳法证明你的结论.

20.(Ⅰ) (20 分)在复数范围内解方程 z (Ⅱ)设 z 是虚数,ω =z+

2

? ( z ? z )i ?
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3?i (i 为虚数单位) 2?i

1 是实数,且-1<ω <2 z

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; (10 分) (2)设 u=

1? z ,求证:u 为纯虚数; (5 分) 1? z
2

(3)求ω -u 的最小值,(5 分)

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答案 3 一、填空 1. 简解: f 0 ( x) ? cos x , f1 ( x) ? ? sin x , f 2 ( x) ? ? cos x , f3 ( x) ? sin x , f 4 ( x) ? cos x , 则周期为 4. 而 2008÷4 的余数为 0,则 f 2008 ( x) ? f 0 ( x) ? cos x 2. 1 ? 4 ? 9 ?16 ?

? (?1)n?1 n2 ? (?1)n?1 (1 ? 2 ? 3 ? ?n)

3. 大前提错误导致结论错误 4.①② 5.0 原式=

(?1) 3 ? 3 ? (?1) 2 ? 3i ? 3 ? (?1) ? ( 3i) 2 ? ( 3i) 3 (2 ? i)(1 ? 2i) ? (1 ? 2i)(1 ? 2i) [(1 ? i) 2 ]3

=

8 ? 5i ? 1 ? 3 3i ? 9 ? 3 3i 2 ? 4i ? i ? 2 ? = = i-i = 0 ? 3 2 2 ? 8i 5 (2i) 1 ?2
1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? ? , EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 6 3 6 3 6 3 6 3 3

6. -960 7. p ? 1 ? 8.7
1 9. P( X ? 1) ? C12 0.51 (1 ? 0.5)11 ? 3? 2?10

10. A2 A2 A3 ? 24
2 2 2

11. 1 ? (1 ? 0.6)(1 ? 0.6) ? 0.84 12.

5 9
k k k

13. 5(5 ? 2 ) ? 3 ? 2

14. x ? 6 二、解答题 15. 解:设 X 为打开此门所需试开次数,则 X 的可能取值为 1,2,3,4,5.

P( X ? 1) ?

1 4 ?1 1 4 ? 3 ?1 1 ? , P( X ? 3) ? ? , , P ( X ? 2) ? 5 5? 4 5 5? 4? 3 5

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P( X ? 4) ? 4 ? 3 ? 2 ?1 1 4 ? 3 ? 2 ?1?1 1 ? , P( X ? 5) ? ? . 5? 4 ? 3? 2 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 5
1 2 3 4 5

故随机变量的概率分布列为 X

Pi
∴ E ( X ) ? 1?

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 3 , 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 D( X ) ? (1 ? 3) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? (3 ? 3) 2 ? ? (4 ? 3) 2 ? ? (5 ? 3) 2 ? ? 2 5 5 5 5 5

16. (15 分)设 a, b ? R, a ? 1,| b |? 1, 求证:
2

a?b ? 1。 1 ? ab

a?b ? a?b ? ?1 ? ?1, 证明:要证明 1 ? ab ,只要证明 ? ? 1 ? ab ?

1 , 3 ( a ? b) 2 (a ? b)2 ? (1 ? ab)2 a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2b 2 , ?1 ?0 ?0 即证明 (1 ? ab) 2 , , (1 ? ab)2 (1 ? ab)2 5

(a 2 ? 1) ? b2 (1 ? a 2 ) (a 2 ? 1)(1 ? b2 ) ? 0 ?0 即证明 ,只要证明 , (1 ? ab)2 (1 ? ab)2

a ? 1,| b |? 1, ∴ a 2 ? 1, b2 ? 1 , | ab |? 1, ∴ a2 ?1 ? 0,1 ? b2 ? 0, ?1 ? ab ? 1


a?b (a 2 ? 1)(1 ? b2 ) ? 1 成立. ?0 2 是成立的,由于上述步步可逆,∴ 1 ? ab (1 ? ab)

17. 解:二项式 (1 ? 2 x) 的展开式的通项 Tr ?1 ? Cn (2x) ? 2 Cn x ,
n

r

r

r

r

r

5 6 ∵ T6 ? T7 ,∴ 25 Cn ,∴n=8, ? 26 Cn

∴当 r ?

8 4 ? 4 时, 二项式系数 C84 最大, ∴ T5 ? C8 (2x)4 ? 1120x4 ; 2 设第 r ? 1 项系数最大,则有

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?C 2 ? C ? ? r r r ?1 ? ?C8 2 ? C8
r 8 r r ?1 8

8! ? 8! 2r ? 2r ?1 ? 2 (r ? 1)!(9 ? r )! ? r !(8 ? r )! ,∴ ? r ?1 8! 2 ? 8! 2r ? 2r ?1 ? (r ? 1)!(7 ? r )! ? r !(8 ? r )!
r ?1

1 1 ?2 ?2 ?r ? ? ?9?r ? ? ? ?r 9? r ?r 9? r ?2 ,? ,? ∴ 5 ? r ? 6 ,∴ r ? 5或r ? 6 . ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ?8 ? r ? r ? 1 ?8 ? r r ? 1 ? ?8 ? r r ? 1 ? ? 2 ?
∴系数最大的项为 T6 ? 1792x5 , T7 ? 1792x6 . 18. (10 分 )求证: 3n ? (n ? 2)2 n?1 (n ? N * , 且n ? 2)
1 2 证明: 3n ? (1 ? 2)n ? 1 ? 2Cn ? 22 Cn ?
*

n?1 n ? 2n?1Cn ? 2n Cn

∵ (n ? N , 且n ? 2) ∴展开式至少有 4 项,
n?1 n ∴ 3n ? (1 ? 2)n ? 2n?1 Cn ? 2n Cn ? n2n?1 ? 2n ? (n ? 2)2n?1 .

也可用数学归纳法证明。 19.( 解:假设存在整式 g (n) ,使得 a1 ? a2 ? a3 ? 自然数都成立,则

? an?1 ? g (n)(an ? 1) 对 n≥2 的一切

1 ,∴ g (2) ? 2 ; 2 1 1 1 当 n=3 时有 a1 ? a2 ? g (3)(a3 ?1) ,又∵ a1 ? 1, a2 ? 1 ? , a3 ? 1 ? ? , 2 2 3
当 n=2 时有 a1 ? g (2)(a2 ? 1) ,又∵ a1 ? 1, a2 ? 1 ? ∴ g (3) ? 3 ;??, 猜想:g(n)=n(n≥2), 下面用数学归纳法加以证明: (1) 当 n=2 时,已经得到证明. (2) 假设当 n=k(k≥2,k∈N)时,结论成立,即 存在 g(k)=k, 使得 a1 ? a2 ? a3 ? 则当 n=k+1 时,

? ak ?1 ? k (ak ?1) 对 k≥2 的一切自然数都成立成立. ? ak ?1 ) ? ak ? k (ak ?1) ? ak ? (k ? 1)ak ? k ,

a1 ? a2 ? a3 ?
又∵ ak ?1 ? 1 ?

? ak ? (a1 ? a2 ? a3 ?
1 1 ? ? 2 3 ?

1 1 1 1 ? ? ak ? ∴ ak ? ak ?1 ? , k k ?1 k ?1 k ?1

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∴ a1 ? a2 ? a3 ?

? ak ? (k ? 1)(ak ?1 ?

1 ) ? k ? (k ? 1)(ak ?1 ? 1) , k ?1

∴当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)知,对一切 n(n≥2,n∈N )有 g (n) =n,使得
*

a1 ? a2 ? a3 ?

? an?1 ? g (n)(an ? 1) 都成立.
2

20.(Ⅰ) (10 分)在复数范围内解方程 z (Ⅱ)设 z 是虚数,ω =z+

? ( z ? z )i ?
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3?i (i 为虚数单位) 2?i

1 是实数,且-1<ω <2 z

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(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; (10 分) (2)设 u=

1? z ,求证:u 为纯虚数; (5 分) 1? z
2

(3)求ω -u 的最小值,(5 分) 解: (Ⅰ)原方程化简为 z
2

? ( z ? z )i ? 1 ? i ,
2 2

设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x +y +2xi=1-i, ∴x +y =1 且 2x=-1,解得 x=2 2

1 3 且 y=± , 2 2

∴原方程的解是 z=-

1 3 ± i. 2 2

(Ⅱ) (1)设 z=a+bi(a、b∈R,b≠0), a b 1 则ω =a+bi+ =(a+ 2 )+(b- 2 )i 2 a ?b a ? b2 a ? bi ∵ω 是实数,∴ b ?
2

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b 2 2 ,又∵b≠0,∴a +b =1,即|z|=1 2 a ?b
1 ,1) 2
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∵ω =2a,-1<ω <2,∴z 的实部的取值范围是(-

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(2)证明:u=

1 ? z 1 ? a ? bi (1 ? a ? bi)(1 ? a ? bi) 1 ? a 2 ? b 2 ? 2bi = = = 1 ? z 1 ? a ? bi (1 ? a ? bi)(1 ? a - bi) (1 ? a) 2 ? b 2
2

由(1)知 a +b =1,∴u=- ∴u 为纯虚数
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2

b 1 I,又∵a∈(- ,1),b≠0, a ?1 2

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(3)解:ω -u =2a+

2

b2 1? a2 a ?1 =2a+ =2a- 2 2 a ?1 (a ? 1) (a ? 1)

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2 1 =2[(a+1)+ ]-3 a ?1 a ?1 1 ∵a∈(- ,1),∴a+1>0, 2 1 1 ∴(a+1)+ ≥2(当 a+1= ,即 a=0 时,上式取等号.) a ?1 a ?1
=2a-1+
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∴ω -u ≥2×2-3=1,∴ω -u 的最小值为 1.

2

2

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