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吉林省实验中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


吉林省实验中学 2015---2016 学年度上学期高二年级数学(文科) 期末考试试题
第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.抛物线 x 2 ? ?2 y 的准线方程是 A. y ?

1 8

B. y ? ?

1 8

C. y ? ?

/>
1 2

D. y ?

1 2

2.下列选项叙述错误的是 A. 命 题 “ 若 x ? 1 , 则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” 的 逆 否 命 题 是 “ 若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , 则

x ?1” B.若 p ? q 为真命题,则 p 、 q 均为真命题
? 2 2 C.若命题 p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ,则 p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0
2 D.“ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

x2 y2 ? =1 的焦点在 y 轴上,则 m 的取值范围是 3.椭圆 25 ? m 16 ? m
A. (?16,25) B. ( ,25 )

9 2

C. ( ?16, 9 )
2

D. ( ,?? )

9 2

4.设 f ( x) ? x ln x, f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 = A. e
2

B. e

C. ln 2
2

D. ln 2

5.曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 P (1, ?1) 处的切线方程为 A. y=3x-4 B. y=-3x+2
2

C. y=-4x+3

D. y=4x-5

6.某质点的运动方程是 S ? (2t ? 1) ,则在 t=1 时的瞬时速度为 A.-1 B.-3 C.4 D.13

7.下列函数在区间 (0,??) 上是增函数的是

1

A. y ? sin x B. y ? xe x

C. y ? x 3 ? x

D. y ? ln x ? x

8. 已知椭圆的长轴长、短轴长和焦距依次成等差数列,则该椭圆的离心率是 A .

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 9.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴 5

上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ,则 C 的实轴长为 A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8

10.过点 A(4,-3)作直线,斜率为 k,如果直线与双曲线 点,则 k 的值为 A. 0<k<

x2 y2 - =1 只有一个公共 16 9
3 4

3 4

B. k=

3 4
3 2

C. k=-

3 4

D. k >

11.对任意的 x ? R ,函数 f ( x) ? x ? ax ? 7ax 有三个单调区间,则 A. 0 ? a ? 21 C. a ? 0 或 a ? 21 B. a ? 0 或 a ? 21 D. a ? 0 或 a ? 7

12.设 f ( x), g ( x) 在 R 上可导,且 f ?( x) ? g ?( x) ,则当 a ? x ? b 时,有 A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) B.

f ( x) ? g ( x)

D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. 函数 f ( x) 的定义域为 ( a, b) , 导函数 f ?( x ) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点 个 .
a
y

y ? f ?( x)

b

O

x

14 .若 P 为抛物线 y ? 2 x 任意一点, F 为焦点,点
2

2

A(3,2) ,则 PA ? PF 的最小值为

.

15.如果圆柱的轴截面周长为定值 4,则圆柱体积的最大值为

.

16.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, x ? ?? 2,2?表示过原点的曲线,且在 x ? ?1 处的 切线的倾斜角均为

3? ,有以下命题:① f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x 3 ? 4 x, x ? ?? 2,2?; 4

② f ( x) 的极值点有且只有一个;③ f ( x) 的最大值与最小值之和等于零;其中正确的序 号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 已知双曲线的中心在坐标原点, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上, 离心率为 2 , 且过点 (4,? 10) (1)求此双曲线的方程; (2)若点 M (3, m) 在双曲线上,求 ?F1 MF2 的面积.

18. (本小题满分 12 分)
2 2 设命题 p :实数 x 满 足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实数 x 满足

x2 ? 2 x ? 8 ? 0,且 ?p是?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

2 19. (本小题满分 12 分)若函数 f ( x) ? ax ? 2 x ?

4 ln x 在 x ? 1 处取得极值 3

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值.

3

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) ) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

21.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B ( 0,?1) ,且其右焦点到直线
x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.

(1) 求椭圆的方程;
3 (2) 是否存在斜率为 k ( k ? 0) ,且过定点 Q(0, ) 的直线 l ,使 l 与椭圆交于两个不同 2 | BM | ? | BN | 的 点 M 、 N ,且 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3)e ,
2 x

(1)若 x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极值点,求实数 a 的值;

1 ,2] 时,函数 f ( x) 的图象恒不在直线 y ? e2 上方,求实数 a 的 (2)设 a ? 0 ,当 x ? [ 取值范围。

4

吉林省实验中学 2015---2016 学年度上学期 高二年级数 学(文科)期中考试试题答案 一、选择题(本大题 共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 B 5 B 6 C 7 B 8 C 9 C 10 B 11 C 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)

13、1 ;

14、

7 ; 2

15、

8? ; 27

16、 (1) (3).

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

x2 y2 ? ?1; 17.解: (1) 6 6
(2) m ? ? 3, S ? 6 18. a ? ?4

19. (1) f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2 ;
3 2

(2)增区间: (??,1 ? 2 ), (1 ? 2 ,??) , 减区间: (1 ? 2 ,1 ? 2 ) 。

20.(1) a ? ?

1 ; 3 8 4 5 ? ln 2 ;极小值为 f (1) ? 。 3 3 3
2 x 2 ? y ? 1, (a ? b ? 0) 2 2 a b ,由已知得 b ? 1 .

(2)极大值为 f (2) ?

21.解: (Ⅰ)设椭圆的方程 为

5

设右焦点为 (c, 0) ,由题意得

c ? 2 2 ? 3,? c ? 2. 2

??????2 分

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 .
x2 ? y 2 ? 1 ? 椭圆的方程为 3 .
(Ⅱ)直线 l 的方程 ???????????????4 分

y ? kx ? 3 2 , 代入椭圆 方程,得

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 9kx ? 15 ? 0. 4
由 ? ? 81k 2 ? 15(1 ? 3k 2 ) ? 0 得 k 2 ? 5 ??????????????6 分 12

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 设点

x1 ? x2 ? ?9k 2 . 1 ? 3k 则
??8 分

( ?9k 2 , 3 2 ) N 设 M 、 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 2 ? 6k 2 ? 6k .

? | BM |?| BN |, ? 点 B 在线段 MN 的中垂线上.
3 ?1 2 ? 6k 2 1 ?? ? . k ?9k 2 ? 6k 2

? kBP

k2 ? 2 3. 化简,得

??10 分

? 2 ? 5 .? k ? ? 6 . 3 12 3
所以,存在直线 l 满足题意,直线 l 的方程为

6 x? y? 3 ?0 6 x? y? 3 ?0 3 2 2 或 3 . ???????????12 分

22.解: (1)由 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3)e 可得
2 x

f ?( x) ? (2x ? a)ex ? ( x2 ? ax ? 2a ? 3)ex ? [ x2 ? (2 ? a) x ? a ? 3]e x ? ( x ? a ? 3)( x ?1)ex
???????2 分

6

∵ x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极值点,∴ f ?(2) ? 0 ∴ (a ? 5)e2 ? 0 , 解得 a ? ?5 ???????4 分

代入 f ?( x) ? ( x ? a ? 3)( x ?1)e x ? ( x ? 2)( x ?1)e x , 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 个极值点。 ∴ a ? ?5 ??????6 分 可知 x ? 2 是函数 f ( x) 的一

(2)要 x ? [1, 2] 时,函数 f ( x) 的图象恒不在直线 y ? e2 上方, 即 x ? [1, 2] 时, f ( x) ? e2 恒成立, 只要 x ? [1, 2] 时, f ( x)max ? e2 成立 ???????7 分

由(1)知 f ?( x) ? ( x ? a ? 3)( x ?1)e x ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?a ? 3, x2 ? 1 当 a ? ?5 时, ? a ? 3 ? 2 ,∴ f ( x) 在 x ? [1, 2] 上单调递减,

f ( x)max ? f (1) ? (?a ? 2)e ? e2 , a ? ?e ? 2 与 a ? ?5 矛盾,舍去
当 ?5 ? a ? ?4 时, 1 ? ?a ? 3 ? 2 ,

f ( x) 在 x ? (1, ?a ? 3) 上单调递减,在 x ? (?a ? 3, 2) 上单调递增
∴ f ( x)max 在 f (1) 或 f (2) 处取到

f (1) ? (?a ? 2)e, f (2) ? e2
∴只要 f (1) ? (?a ? 2)e ? e ,解得 ?e ? 2 ? a ? ?4
2

当 ?4 ? a ? 0 时, ?a ? 3 ? 1 ,∴ f ( x) 在 x ? [1, 2] 上单调递增,

f ( x)max ? f (2) ? e2

符合题意 ???12 分

综上所述, a 的取值范围是 a ?[?e ? 2, 0)

7


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