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第一课时任意角ppt


任意角

1.初中所学角是如何定义的? 具有公共顶点的两条 射线组成的图形 2.初中学习过哪些角? 锐角、直角、钝角、 平角、和周角 3.初中学习的角的范围? 0? <α≤360?

观察一组图片

1.钟表的指针旋转

2 在体操运动中

“转体10800”

3.自行车的车轮周而复始地转动 一根辐条

4.在跳水运动中,
“转体720? ”、 “转体1080? ”等动

作名称的含义

探究一:角的形成结果; 角的形成过程
这些例子所提到的角不仅不在范围[00 ,3600 ] 中, 而且方向不同,因此,仅有0°~360°范围内的角 是不够的,所以有必要将角的概念推广到任意角, 想想用什么办法才能推广到任意角?.

一般地,一条射线绕其端点旋转,既可以 按逆时针方向旋转,也可以按顺时针方向旋转. 你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转 60度所形成的角,与按顺时针方向旋转60度所 形成的角是否相等? 在齿轮传动中,被动轮与主动轮是 按相反方向旋转的.

(一)角的概念:
平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所形成的图形
B

OA:角的始边

OB:角的终边 O:角的顶点

0

A

(二)角的大小:
1、任意角定义:

逆时针 顺时针

任 意 角

正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角
如α =-150?

记法:角 ? 或

零角:射线不作旋转时形成的角

,可简记为 ??

?

注意:

1:角的正负由旋转方向决定
2:角可以任意大小,绝对值大 小由旋转次数及终边位置决定

1.从中午12点到下午3点,
-900 时针走过的角度是__

2.钟表经过4小时,时针与

分针各转了_____________ -1440? -120? 、
看谁答得快

(三)角的位置:
1、象限角: 1)角的顶点与坐标原点重合
2)始边与X的非负半轴重合
y

?
o

终边落在第几象限就称 角是第几象限角
?
x

2.非象限角(界 限角、轴线角)

终边落在坐标轴 上就称角是非象 限角

1 .在直角坐标系中,作出下列各角 (1) 30° (2)120 ° (3)-60 ° (4) 225°

指出它们是第几象限角

30° 是第一象限角 120 °是第二象限角 -60 °是第四象限角 225° 是第三象限角


1)、锐角是第几象限的角? 答:锐角是第一象限的角。

2)、第一象限的角是否都是锐角? 举例说明 答:第一象限的角并不都是锐角。 3)、小于90°的角都是锐角吗?
答:小于90°的角并不都是锐角, 它也有可能是零角或负角。

3 请在坐标轴上画出30°,390°,-330°, 并找出它们的共同点?

-3300
3900

y 300 o x

-3300
3900

y
300 o

x

300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , 300-2x3600 300+3x3600 , 300-3x3600
…, …,
与300终边相同的角的一般形式为300+K· 3600,K ∈ Z

写出与-60°终边相同的角的集合 {β︱β= -60 °+ k· 360°,k∈Z} 写出与0°终边相同的角的集合

{β︱β= 0 °+ k· 360°,k∈Z}

(四)角的关系:
终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α 终边相同的角,
连同角α 在内,可构成一个集合

S={β ︱β =α+k· 360°,k∈Z}
即任何一个与角α终边相同的角,

都可以表示成角α与周角的整数倍的和.

注意以下四点:

(1) k ? Z

(2) ?是任意角; (3) k ? 360 与?之间是“+”号, 0 0 如k ? 360 -30°,应看成 k ? 360 +(-30°)
0

(4)终边相同的角不一定相等,但相等 的角,终边一定相同,终边相同的角 有无数多个,它们相差360°的整数倍.

例1 在0°~360°范围内,找出与950°12′角终边相同的角并判定它是第几象 限角: 0 0,
解 : ∵-950°12′= 129 48′-3×360

例2.求与3900°终边相同的最小正角 和最大负角.

∴在0°~360°范围内, 与-950°12′角 终边相同的角是129°48′, 它是第二象限 角.

300°,-60°.

例3.写出与60? 角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-360 ? ≤β< 720 ? 的元素β写出来. 解 S={β∣β= 60 °+ k· 360°,k∈Z}.
S中适合-360 °≤β< 720 °的 元素是: 60 ?-1×360°=- 300 ? , 60 ?+0×360°=60 ? ,

60 ?+1×360°=420 ? .

模仿一下吧
写出与-45? 角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720?≤β<360? 的元素β写出来.
解 S={β∣β= -45? + k· 360°,k∈Z}.

S中适合-720? ≤β< 360? 的 元素是: -45? 315? -405?

例4 写出终边落在y轴上的角的集合。

? 解:在0°~360°范围内,在终边在y轴上的角有 两个,90°,270 °90°角终边相同的角构成的集合 ∴与

S1={β| β=900+K?3600,K∈Z} {偶数}∪{奇数} ∴与270°角终边相同的角构成的集合 ={整数} 900+K?3600 0 0 S2={β| β=270 +K?360 ,K∈Z} Y X ={β| β=900+1800+2K?1800,K∈Z} O 所以 终边落在y轴上的角的集合为 S=S1∪S2={β| β=900+2K1800,K∈Z} 2700+k?3600 ∪{β| β=900+(2K+1)1800 ,K∈Z}

={β| β=900+n1800 ,n∈Z}

变式
y

? 写出终边在X轴上的角的集合

?? ? ? k ?180 , k ? Z ?
0

o

x

? 写出终边在坐标轴上的角的集合

?? ? ? k ?180 , k ? Z ? ?? ? ? ? 90 ? k ?180 , k ? Z ? ?? ? ? ? k ? 90 , k ? Z ?
0 0 0

y

o

x

0

小结1:终边在轴线上的角的集合
y
o y o y o y o x x x x

{? ? ? k ? 360 , k ? z}
?

终边在x轴非负半轴

终边在y轴非负半轴

{? ? ? 90 ? k ? 360 , k ? z}
? ?

?? ? ? 180 ?? ?180? ? k? k? 360 360, k, k ?? ZZ
0 0 0 0

终边在x轴非正半轴

?? ? ? 270 ?90

终边在y轴非正半轴
0 0

? k ? 360 , k ? Z
0 0

?

终边落在x轴上的角的集合

?? ? ? k ?180 , k ? Z ?
0

终边落在y轴上的角的集合

?? ? ? 90

0

? k ?180 , k ? Z
0

?

终边落在坐标轴上的角的集合

?? ? ? k ? 90 , k ? Z ?
0

例4

S={α|α=45°+k· 180°,k∈Z}.
0 0 0 0

?360 ?? ?720 ? 720 的元素 写出S中适合 ?360 ??
? S中适合 ?3600 ? ? ? 7200 的元素 (确定整数k) ? 45°—2x180°= -- 315° ? 45°—1x180°= -- 135° ? 45°+0x180°= 45° ? 45°+1x180°= 225° ? 45°+2x180°= 405° ? 45°+3x180°= 585°

区域角的表示
例5 写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合 y


o


x





S={α|-450+k· 3600<α<1200+k· 3600,k∈Z

小结2第一、二、三、四象限的角的集合 第一象限: S={α|k· 3600<α<900+k· 3600,k∈Z};
第二象限: S={α|900+k· 3600<α<1800+k· 3600,k∈Z}; 第三象限: S={α|1800+k· 3600<α<2700+k· 3600,k∈Z}; 第四象限: S={α|-900+k· 3600<α<k· 3600,k∈Z}.

变式练习:
把下图中终边落在阴影部分的 角用集合表示出来(包括边界)
y
50? 60?

o

x

S={α|-400+k· 1800<α<300+k· 1800,k∈Z}

已知α的象限,求α/n象限
例6:已知α在第一象限, α/3在第几象限? 0 0 0 因为α在第一象限,即 k· 360 <α< 90 +k· 360 ? o o o






k ?120 ? ? 30 ? k ?120 3 万 ? 0 0 k ? 0时, ? (0 ,30 ) ? 第一象限 3 能 ? k ? 1时, ? (120 0 ,150 0 ) ? 第二象限 3 方 ? 0 0 k ? 2时, ? (240 ,270 ) ? 第三象限 法 3 ? 0 0 k ? 3时, ? (360 ,390 ) ? 第一象限(重复) 3

α/3在第1、2、3象限

方 法 二
step1:把各象限n等分
step2:从x轴正方向起逆时 针依次 标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ step3:标号与α的象限 一致的即为α/n的象限







y
Ⅲ Ⅱ Ⅰ






x

o
Ⅰ Ⅱ




α/3在第1、2、3象限



即学即练

已知α为第二象限角,问2α, 2/α 分别是第几象限角? 2α是第三或第四象限 角,或是终边落在y轴 的非正半轴上的角
2/α 为第一或第三象限角.

1.与-496°终边相同的角

是 -496°+k· 360° (k∈Z) ;

224° 它们中最小正角是_____ 它是第 三 象限的角;

2.下列命题中正确的是( D ) A.终边在y轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角 D.若β=α+k· 360°(k∈Z),则α

与β终边相同

能力提升

· 3角α的终边经过P(-3,0),则角α( D
A.是第三象限角

)

B.是第二象限角
C.既是第二象限角又是第三象限角 D.不属于任何象限

· 4若α是锐角,则k?180?+α, (k∈Z)

所在的象限是( C )
A.第一象限 B.第一、二象限

C.第一、三象限 D.第一、四象限

5、已知α,β角的终边相同,那么α-β的终边 在( A )

x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
A

6、终边与坐标轴重合的角的集合是( C )
A {β|β=k· 360? (k∈Z) }

B {β|β=k· 180? (k∈Z) }
C {β|β=k· 90? (k∈Z) }

D {β|β=k· 180? +90? (k∈Z) }

7、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直,
那么α与β之间的关系是(

A. β=α+90o
B

) D

β=α±90o C β= k · 360o+90o+α,k∈Z D β= k · 360o±90o+α, k∈Z

B) 8、已知角α是第三象限角,则角-α的终边在(
A、第一象限 B、第二象限

C、第三象限 D、第四象限

9、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是( C ) A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角

C 10、若α是第四象限角,则180? -α是(



A
C

第一象限角
第三象限角

B
D

第二象限角
第四象限角

· 11 已知A={第一象限的角}, B={锐角},C={小于90? 的角},

则下列关系式正确的是( D )
A. A=B=C C. A∩C=B B. B∪C=A D. B∪C=C

12 设 o E ? {小于90 的角} F ? {锐角},G= {第一象限的角}
M ? 小于90 但不小于0 的角

?

0

0

?

A.F ? G ? E C.M ? ?E ? G ? D.?G ? M ? ? F B.F ? E ? G

,那么有( D ).

13、已知角α的终边在下图中阴 影所表示的范围内(不包括边 界),那么α∈

?? ?180

0

? 2? ? 180 ? k ? ? ? ? ? 180 ? k , k ? Z
0 0

?

?

y

O

θ

x

角的 概念

角的 大小

角的 位置

角的 关系

正角 负角 零角

象限角 轴线角

终边相同角



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