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山东省济南市2014届高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)


山东省济南市 2014 届高三上学期期末考试理科数学试卷(带解 析)
1.若 a ? bi ?

25 (a、b 都是实数,i 为虚数单位),则 a+b=( 3 ? 4i
C.7 D.-7

)

A.1 B.-1 【答案】B 【解析】

试题分析:因为 a ? bi ?

>
25(3 ? 4i) 25 , a ? bi ? 3 ? 4i , ,即 a ? bi ? 3 ? 4i 25

由复数相等的充要条件, a ? 3, b ? ?4, 所以, a ? b ? ?1 ,选 B. 考点:复数的四则运算,复数相等的充要条件. 2.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1} , N ? { y | x 2 ? y 2 ? 1} ,则 M ? N ? ( A. {(0,1)} 【答案】C 【解析】 试题分析:因为 M ? { y | y ? x2 ? 1} ? {y | y ? 1} , N ? {y | x2 ? y 2 ? 1} ? {y | ?1 ? y ? 1} , 所以 M ? N ? {1} ,选 C. 考点:集合的运算,函数的定义域、值域. 3.设 P ? e 0.2 , Q ? ln 0.2 , R ? sin A. P ? R ? Q 【答案】D 【解析】 B. R ? Q ? P B. {1,?2} C. {1} D. [?1,??) )

15 ? ,则( 7

) D. Q ? R ? P

C. R ? P ? Q

R ? sin 试题分析: 因为 P ? e0.2 ? 1, Q ? ln 0.2 ? 0 ,
所以 Q ? R ? P ,选 D. 考点:指数函数、对数函数的性质,诱导公式. 4.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a3 ? 6 , s3 ? A.1 【答案】C 【解析】 B. ?

15? ? ? 2 ? sin(2? ? ) ? sin ? ( ,1) , 7 7 7 2

? 4 xdx,则公比 q 的值为(
0

3

)

1 2

C.l 或 ?

1 2

D.-1 或 ?

1 2

试题分析:因为等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, s3 ?

? 4xdx ? 2x
0

3

2 3 0

| ? 18 , a3 ? 6 ,

设公比为 q ,则 a1 (1 ? q? q2 ) ? 18, a1q2 ? 6 ,所以 2q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q = l 或 ? C. 考点:等比数列的通项公式及前 n 项和,定积分计算.

1 ,选 2

5. 将函数 y ? sin x ? cos x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个长度单位后,所得到的函数为偶函数, 则 m 的最小值是( A. ) C.

?
4

? B. 6

3? 4

D.

5? 6

【答案】A 【解析】 试题分析: 函数 y ? sin x ? cos x 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位长度后, 所得到的图象关 于 y 轴对称,说明得到的是一个偶函数.而 y ? sin x ? cos x ? 移 m(m ? 0) 个单位长度后,得到函数 y ? 即 m ? k? ?

2 sin( x ?

?
4

2 sin( x ? ) 的图象向右平 4

?

? m) 所以

?

?
4

, k ? z ,m 的最小值是

?
4

4

? m ? k? ?

?

2

,k ? z

,选 A.

考点:三角函数辅助角公式,三角函数图像的平移,诱导公式. 6. “ m ? 3 ”是“直线 l1: 2(m ? 1) x ? (m ? 3) y ? 7 ? 5m ? 0 与直线 l2: (m ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

试题分析: m ? 3 时,有直线 l1: 8x ? 8 ? 0 , l2: 2 y ? 5 ? 0 ,两直线垂直;反之,如果“直线 , l1: 2(m ? 1) x ? (m ? 3) y ? 7 ? 5m ? 0 与直线 l2: (m ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直” 则 2(m? 1)(m? 3) ? (m? 3) ? 2 ? 0, m ? 3 或 m ? ?2 , 故“ m ? 3 ”是“直线 l1: 2(m ? 1) x ? (m ? 3) y ? 7 ? 5m ? 0 与直线 l2: (m ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直”的充分不必要条件,选 A. 考点:直线垂直的条件,充要条件.

?x ? y ? 0 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为( ?2 x ? y ? 1 ?
A.2 B.3 C.4 D.5

)

【答案】D 【解析】 试题分析: 画出可行域及直线 x ? 5 y ? 0(如图) , 平移直线 x ? 5 y ? 0 , 当其经过 A(0,1) 时,

z ? x ? 5 y ? 5 最大,故选 D.

考点:简单线性规划的应用 8.函数 y ? 2
x

? x 2 ( x ? R) 的图象大致为(

)

【答案】A 【解析】 试题分析:观察函数可知,該函数是偶函数,其图像关于 y 轴对称,据此可排除 B,D.又在 y 轴附近,函数值 y 接近 1,所以 C 不符合.选 A. 考点:函数的奇偶性,函数的图像. 9.已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,给出下列命题: ① 若 ? ? ? , m // ? , 则 m ? ? ; ② 若 m ? ? , n ? ? , 且 m ? n , 则 ? ? ? ; ③ 若

m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; ④若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? .其中正确命题的序号
是( ) A.①④ 【答案】B 【解析】 B.②③ C.②④ D.①③

试题分析:当 ? ? ? , m // ? 时,有 m ? ? 、 m / / ?、m ? ? 等多种可能情况,所以①不正 确;

当 m ? ? , n ? ? 且 m ? n 时,由平面垂直的判定定理知 ? ? ? ,所以②正确; 因为 m ? ? , m // ? ,所以 ? ? ? ,③正确; ④若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? 或 ? , ? 相交,其不正确,故选 B. 考点:平行关系,垂直关系. 10.设 M 是 ?ABC 边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点,若 AN ? ? AB ? ? AC ,则 λ +μ 的值 为( ) B.

1 A. 2
【答案】A 【解析】

1 3

C.

1 4

D.1

1 1 1 1 AM= ( AB ? BM ) ? AB ? BM 2 2 2 2 1 1 1 t 1 t t ( ? ) AB ? AC = AB ? t BC ? AB ? ( AC ? AB ) ? 2 2 2 2 2 2 2 1 t t 1 ∴ ?= ? ?= ,? ? ? ?= 2 2 2 2
试题分析:设 BM =t BC ,则 AN = 故 选 A. 考点:平面向量的线性运算

x2 y2 11.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F,点 A a b 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为( )
2

A.2

B. 1 ? 3

C. 2 ?

2

D. 1 ?

2

【答案】D 【解析】 试题分析:因为∵ 抛 物 线 的 焦 点 和 双 曲 线 的 焦 点 相 同 , ∴ p ? 2c , ∵ A 是 它 们 的 一 个 公 共 点 , 且 AF ? x 轴

( ,p) 设 A 点 的 纵 坐 标 大 于 0 ,∴ AF ? p , ∴ A
∵ 点 A 在 双 曲 线 上 ,∴

p 2

p2 p2 ? ?1 4a 2 b 2
c2 4c 2 ? ?1 a2 c2 ? a2

∵ p ? 2c,b2 ? c2 ? a2 ,∴

化 简 得 : c4 ? 6 c2 a2 ? a4 ? 0, ? e4 ?6 e2 ?1 ? 0 ∵ e2> 1?e2 ? 3 ? 2 2, e ? 2 ?1 ,选 D.

考点:双曲线、抛物线的几何性质 12.设 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,当 x≠0 时, f ( x) ?


f ( x) ? 0 ,则关于 x 的函数 x

g ( x) ? f ( x) ?

1 的零点个数为( x
C.0

) D.0 或 2

A.l B.2 【答案】C 【解析】


xf ' ( x) ? f ( x) f ( x) ? 0 ,得 ? 0, 试题分析:由 f ( x) ? x x
当 当 时, 时, ,即 ,即 ,函数 ,函数 单调递增; 单调递减.

又 的零点个数. 当 时, ,当

,函数

的零点个数等价为函数

时,

,所以函数



零点,所以函数

的零点个数为 0 个.故选 C.

考点:函数的零点,利用导数研究函数的单调性.

13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 是________.

【答案】1007 【解析】 试 题 分 析 : 观 察 并 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 其 表 示 计 算 s ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ...... ? 2013 ? 2014 ,所以输出 S 为 1007. 考点:算法与程序框图,数列的求和.

14. 一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则这个几何体 的体积是________.

【答案】

1 2

【解析】 试题分析: 观察三视图可知, 该几何体底面为直角梯形的四棱锥, 且其一个侧面与底面垂直. 根 据 主 视图 是 腰长 为 1 的 等 腰 直角 三 角形 , 可 得四 棱 锥 的高 为

2 , 所 以 其体 积 为 2

1 1 1 2 1 ? ? (1 ? 2) ? 12 ? 12 ? ? ,故答案为 . 2 3 2 2 2
考点:三视图,几何体的体积. 15 . 已 知 定 点 Q(2,?1) ,F 为 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 , 动 点 P 为 抛 物 线 上 任 意 一 点 , 当

| PQ | ? | PF | 取最小值时 P 的坐标为________.
【答案】 ( , ?1) 【解析】 试题分析:设 点 P 在 准 线 上 的 射 影 为 D , 则 根 据 抛 物 线 的 定 义 可 知 PF ? PD,

1 4

, Q三 点 共 线 时 | PQ | ? | PF | 最 小 . ∴ 要 使 | PQ | ? | PF | 取 得 最 小 值 , 即 须 D, P
将 Q(2,?1) 的纵坐标代入 y 2 ? 4 x 得 x ? 考点:抛物线的定义及其几何性质 16. 已知 m ? 0 , n ? 0 ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相切, 则 m ? n 的取值范围是________. 【答案】 m ? n ? 2 ? 2 2 【解析】 试题分析: 因 为 m ? 0 , n ? 0 ,直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

1 1 ,故 P 的坐标为 ( , ?1) . 4 4

相切,, 所 以 圆 心 C (1, 1) 到直线的距离为半径 1. 所以

| m? 1 ? n ? 1 ? 2 | (m? 1) ? (n ? 1)
2 2

? 1 , 即 | m ? n |? (m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ,
mn ? m ? n ? 1 , 由 基 本 不 等 式 得

两 边 平 方 并 整 理 得 ,

m ? n ?1 ? (

m?n 2 ) , (m ? n) 2 ? 4(m ? n) ? 4 ? 0 2

解得 m ? n ? 2 ? 2 2 ,故答 案 为 m ? n ? 2 ? 2 2. 考点:直线与圆的位置关系,距离公式,基本不等式,一元二次不等式的解法.

17.已知 m ? (2 sin x, sin x ? cos x) , n ? ( 3 cos x, sin x ? cos x) ,函数 f ( x) ? m ? n. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a, b, c ,若 f ( ) ? 2 , b ? 1 , ?ABC 的面积为 求 a 的值. 【答案】(1) f ( x) ? 2sin(2 x ? 【解析】 试题分析: (1)利用平面向量的坐标运算及倍角的三角函数公式, 即可化简得到函数 f ( x ) 的 解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ?

A 2

3 , 2

?
6

) ;(2) a ? 7 .

?
6

);

(2) 利用 f ( ) ? 2 可建立方程 sin( A ? 式及余弦定理,即可求得 a ?

A 2

?
6

) ? 1 从而首先得到 A ?

2? ,进一步应用面积公 3

7.

本题解答思路清晰,难度不大,较为注重了基础知识的考查. 试题解析:(1)∵ f ( x) ? m ? n = (2sin x,sin x ? cos x) ? ( 3 cos x,sin x ? cos x) = 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos2 x 3分

? 2sin(2 x ? ) 6
故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)∵ f ( ) ? 2sin( A ?

?

?
6

)

6分 8分

A 2

?

? 2? ) ? 2 即 sin( A ? ) ? 1 所以 A ? 6 6 3
10 分



1 3 bc sin A ? ,可得: c ? 2 2 2

所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ,得 a ?
2 2 2

7

12 分

考点: 平面向量的坐标运算, 和差倍半的三角函数, 已知三角函数值求角, 余弦定理的应用. 18.已知函数 f ( x) ? (1)求 m 的值: (2)设 g ( x) ? 2 x?1 ? a .若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象至少有一个公共点.求实数 a 的取值范 围. 【答案】 (1) m ? ?1 . 【解析】 试题分析: ( (1)由函数 f ( x ) 是奇函数可知: f (0) ? 1+m ? 0 , 即得 m ? ?1 . (2) [2, ??) .

4x ? m 是奇函数. 2x

(2)根据函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象至少有一个公共点,转化得到方程
x x

4x ? 1 ? 2x?1 ? a 至少 2x
2

x 有一个实根.即方程 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0 至少有一个实根 , 令t ? 2 ? 0, 则方程 t ? at ? 1 ? 0

至少有一个正根. 接下来可有两种思路,一是通过分离参数,应用基本不等式;二是利用二次函数知识. 试题解析: (1)由函数 f ( x ) 是奇函数可知: f (0) ? 1+m ? 0 , 解得 m ? ?1 . (2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象至少有一个公共点 4分 2分

即方程

4x ? 1 ? 2x?1 ? a 至少有一个实根 x 2
x x

6分

即方程 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0 至少有一个实根
x 令 t ? 2 ? 0 ,则方程 t ? at ? 1 ? 0 至少有一个正根

8分

2

方法一:由于 a ? t ? ? 2 ∴a 的取值范围为 [2, ??) . 12 分

1 t

?? ? 0 ? 方法二:令 h(t ) ? t ? at ? 1 ,由于 h(0) ? 1 ? 0 ,所以只须 ? a , ? 0 ? ?2
2

解得 a ? 2 . ∴a 的取值范围为 [2, ??) .

考点:函数的奇偶性,指数函数的性质,二次函数的性质,基本不等式. 19.已知 {an } 为等比数列,其中 a1=1,且 a2,a3+a5,a4 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式: (2)设 bn ? (2n ? 1) ? an ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn.

?1? 【答案】(1) an ? ? ? ?2?
【解析】

n ?1

;(Ⅱ) Tn ? 6 ?

2n ? 3 . 2n ?1

试题分析:(1)设在等比数列 ?an ? 中,公比为 q , 根据因为 a2 , a3 ? a5 , a4 成等差数列.建立 q 的方程.

?1? (Ⅱ)由(I)可得 bn ? (2n ? 1) ? ? ?2?

n ?1

.从其结构上不难看出,应用“错位相减法”求和.

此类问题的解答,要特别注意和式中的“项数”. 试题解析:(1)设在等比数列 ?an ? 中,公比为 q , 因为 a2 , a3 ? a5 , a4 成等差数列. 所以

2(a3 ? a5 ) ? a2 ? a4

2分

2(q2 ? q4 ) ? q ? q3
解得

q?

1 2
n ?1

4分

?1? 所以 an ? ? ? ?2?

6分
n ?1

(Ⅱ) bn ? (2n ? 1) ? ?

?1? ?2?

.

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

1 ?1? Tn ? 1?1 ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? 2 ?2?
2

2

?1? ? (2n ? 1) ? ? ? ?2?
3

n ?1


n

1 1 ?1? ?1? Tn ? 1? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 2 2 ?2? ?2?
①—②,得

?1? ? (2n ? 1) ? ? ? ② ? 2?

8分

? 1 ? 1 ?2 1 Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ?2 ? 2 ?

?1? ?? ? ?2?

n ?1

n ? ?1? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ?2? ? ?

n ? ? 1 ?n ?1 ? ?1? ? 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ?(2n ? 1) ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ?

? 3?

2n ? 3 2n

10 分

所以 Tn ? 6 ?

2n ? 3 2n ?1

12 分

考点:等差数列的性质,等比数列的通项公式, “错位相减法”. 20.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=1,AA1=AB=2.点 E 是线段 AB 上的动点,点 M 为 D1C 的中点.

(1)当 E 点是 AB 中点时,求证:直线 ME‖平面 ADD1 A1; (2)若二面角 AD1EC的余弦值为

4 5 .求线段 AE 的长. 15
3 . 2

【答案】 (1)证明:见解析; (2) AE ? 【解析】

试题分析: (1)证明:取 DD1 的中点 N,连结 MN、AN、 ME ,由三角形中位线定理得到 MN∥

1 1 CD ,AE∥ CD ,所以四边形 MNAE 为平行四边形,可知 ME∥AN,即得证. 2 2

(2)利用空间向量. 设 AE ? m ,建立空间直角坐标系,将问题转化成计算平面的“法向量”夹角的余弦,建立 AE ? m 的方程. 试题解析: ( (1)证明:取 DD1 的中点 N,连结 MN、AN、 ME , MN∥ 1分

1 1 CD ,AE∥ CD , 2 2

3分 4分

? 四边形 MNAE 为平行四边形,可知 ME∥AN

AN ? 平面ADD1 A1 ME ? 平面ADD1 A1

? ME ∥平面 AD1 .
(2)设 AE ? m ,如图建立空间直角坐标系
z D1 A1 N M B1 C1

6分 7分

D

C y

A x

E

B

A(1,0,0), E(1, m,0), C(0, 2,0), D1 (0,0, 2) ,

AD1 ? (?1,0,2), AE ? (0, m,0), DC ? (0,2, ?2), EC ? (?1,2 ? m,0), 平面 AD1 E 的法向量 1
为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 n1 ? AD1 ? 0 及 n1 ? AE ? 0 得 n1 ? (2,0,1) 9分

平面 D1 EC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,由 n2 ? D1C ? 0 及 n2 ? EC ? 0 得 n2 ? (2 ? m,1,1) 11 分

cos ? ?

n1 n2 n1 n2

?

5 ? 2m 5 (2 ? m) ? 1 ? 1
2

?

4 5 02? , 即 2 m 15

1m1 ?6

?1 , 2 9解 得 0

3 4 3 m ? 或m ? (舍) 2 1 0 3 所以 AE ? 2
21.已知函数 f ( x) ?

12 分

考点:直线与平面平行的判定,二面角,距离的计算,空间向量的应用.

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x,a ? 1 . 2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 g ( x) ? (2 ? a) x ? ln x , f ( x) ? g ( x) 在区间 [e,??) 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】(1)(i) a ? 2 , f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加. (ii) 1 ? a ? 2 , f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加. (iii) a ? 2 , f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调递增. (2) a ? 2e ?

1 2 e . 2

【解析】 试 题 分 析 : (1)

f ( x)











( ?? 0

, .

)

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)(x ? 1? a ) ? ? x x x

注意分以下情况讨论导函数值

的正负,确定函数的单调区间. a ? 2 , 1 ? a ? 2 , a ? 2 等.

1 2 x ? a ln x ? 2 x ? 0 恒成立. 2 1 2 a ' 引入函数 F(x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? a ln x ? 2 x , 则 F (x) ? x ? ? 2 ? 2 a ? 2 ? 0 2 x 1 2 得到 F( 上 是 增 函 数 , 从 而 只 需 F(e) ? e ? a ? 2e ? 0 , 求 得 x )在 区 间 [e,? ?) 2 1 a ? 2e ? e 2 . 2
(2)由题意得 f ( x) ? g ( x) ? 试题解析:(1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . 1分

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x

3分

' (i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则 f ( x) ?

( x ? 1) 2 故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加. x

4分

(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? (0, a ? 1) 或 x ? (1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ; 故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加. (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 , 同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调递增. (2)由题意得 f ( x) ? g ( x) ? 设 F(x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F (x) ? x ?
'

5分

6分

1 2 x ? a ln x ? 2 x ? 0 恒成立. 2
8分

1 2 x ? a ln x ? 2 x , 2

a ?2? 2 a ?2?0 x
10 分 12 分

所以 F(x) 在区间[e,? ?) 上是增函数, 只需 F(e) ?

1 2 1 e ? a ? 2e ? 0 即 a ? 2 e ? e 2 2 2

考点:应用导数研究函数的单调性、最值.


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