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浙江省考试院2013届高三测试卷数学(文)试题


测试卷
数学(文科)
姓名______________ 准考证号___________________

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题 部分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部

分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
2

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S 2 3

球的体积公式 V=
4 πR 3 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V= Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高
1 3

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={-2,-1,1,2 },B={x | x2-x-2≥0 },则 A∩B= A.{-1,1,2 } C.{-2,1,2 } 2.已知 a∈R,则“a>0”是 “a+ B.{-2,-1,2 } D.{-2,-1,1}

1 ≥2”的 a

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.已知直线 l,m 和平面 α, A.若 l∥m,m ? α,则 l∥α C.若 l⊥m,l⊥α,则 m⊥α

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B.若 l∥α,m ? α,则 l∥m D.若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m

4.若函数 f (x) (x∈R)是奇函数,函数 g (x) (x∈R)是偶函数,则 A.函数 f [g(x)]是奇函数 C.函数 f (x) ? g(x)是奇函数 B.函数 g [f (x)]是奇函数 D.函数 f (x)+g(x)是奇函数 7 8 9 9 4 2
(第 5 题图)

5.在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中,八位评委 为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所 示.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平 均数与方差分别为 A.86,3 6.函数 y=sin (2x+ A.向左平移 B.86,

4

5

7

8

8

5 3

C.85,3

D.85,

5 3

π )的图象可由函数 y=cos 2x 的图象 4 π 个单位长度而得到 8 π D.向右平移 个单位长度而得到 4
B.向右平移
D C

π 个单位长度而得到 8 π C.向左平移 个单位长度而得到 4

7.如图,在四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD⊥DC.若| AB |=a, | AD |=b,则 AC ? BD = A.a -b
2 2

B.b -a D.ab

2

2

A (第 7 题图)

B

C.a2+b2

8.设函数 f (x)=x3-4x+a,0<a<2.若 f (x)的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 A.x1>-1 B.x2<0 C.x2>0 D.x3>2

9.已知双曲线 x2-

y2 =1,点 A(-1,0),在双曲线上任取两点 P,Q 满足 AP⊥AQ,则 2

直线 PQ 恒过点 A.(3,0) C.(-3,0) B.(1,0) D.(4,0)
-1 O A y 1 1 O -1 x -1 (第 10 题图) 1 O -1 x C y 1 B 1 x

10.如图,函数 y=f (x)的图象为折线 ABC,设 g (x)=f [f (x)], 则函数 y=g (x)的图象为
y 1

A.

-1

B.

-1

y 1

y 1 1

C.

-1 O -1

x

D.

-1 O -1

1 x

非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11.已知 i 是虚数单位,a∈R.若复数 则 a= .
a ? 2i 1 ? 2i

的实部为 1,
2 2 正视图

2 侧视图 2 俯视图 (第 12 题图)

12.某四棱柱的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱柱 的体积为 cm3.

13 .若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值 是 .
开 始 i=10, S=0 i>1? 是 S=S+ 1 i(i-1) 输出 S 结 束 否

14.从 3 男 2 女这 5 位舞蹈选手中,随机(等可能)抽出 2 人 参加舞蹈比赛,恰有一名女选手的概率是 .

? x ? y ? 0, ? 15.当实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 0, (m 为常数)时, ?x ? y ? m ? 0 ?
2x+y 的最大值为 4,则 m= 16.设 F1,F2 是椭圆 C: .

i=i-1 (第 13 题图)

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦 a2 b2 点,过 F1 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点.若 AB⊥AF2, | AB | : | AF2 |=3:4,则椭圆的离心率为 . x 2 ? ax ? 7 ? a ,a∈R.若对于任意的 x∈N*,f (x)≥4 恒成立,则 a x ?1


17.已知函数 f (x)= 的取值范围是

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2a cos A=b cos C+c cos B. (Ⅰ) 求 A 的大小; (Ⅱ) 求 cos B- 3 sin C 的取值范围.

19. (本题满分 14 分)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-a,n∈N*.设公差不为零的 等差数列{bn}满足:b1=a1+2,且 b2+5,b4+5,b8+5 成等比. (Ⅰ) 求 a 及 bn; (Ⅱ) 设数列{ log an}的前 n 项和为 Tn.求使 Tn>bn 的最小正整数 n 的值.
2

20. (本题满分 15 分)如图,四棱锥 P-ABCD,PA⊥底 面 ABCD, AB∥CD, AB⊥AD, AB=AD= PA=2,E,F 分别是 PC,PD 的中点. (Ⅰ) 证明:EF∥平面 PAB; (Ⅱ) 求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值. 21. (本题满分 15 分)已知函数 f (x)=x3-3ax+1,a∈R. (Ⅰ) 求 f (x)的单调区间; (Ⅱ) 求所有的实数 a, 使得不等式-1≤f (x)≤1 对 x∈[0, 3 ]恒成立. 22. (本题满分 14 分)如图,A,B 是焦点为 F 的抛物 线 y =4x 上的两动点, 线段 AB 的中点 M 在定直线 ... x=t (t>0)上. (Ⅰ)求|FA|+|FB|的值; (Ⅱ)求| AB |的最大值.
x=t (第 22 题图)
2

1 CD=2, 2

P F D A B (第 20 题图) E C

y B M A O F x

数学测试题(文科)答案及评分参考
说明: 一、 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如 果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细 则。 二、 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。 三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 6.B 2.C 7.B 3.D 8.C 4.C 9.A 5. A 10.A

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11.9 15. 12.12 16.

8 3

5 3

9 10 1 17.[ ,+ ? ) 3
13.

14.

3 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 由余弦定理得

2a cos A=b ? =a, 所以

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 +c ? 2ab 2ac

cos A= 又 A∈(0,π),故

1 . 2

A= (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 C=

π . 3

???? 7 分

2π -B,故 3 2π -B) 3

cos B- 3 sin C=cos B- 3 sin ( =-

3 1 sin B- cos B 2 2 π =-sin (B+ ). 6
因为 0<B<

2π ,所以 3

π π 5π <B+ < , 6 6 6
所以

π 1 )<- . 2 6 1 所以 cosB- 3 sinC 的取值范围是[-1,- ). 2
-1≤-sin(B+ ???? 14 分 19.本题主要考查等差、等比数列的概念,通项公式及求和公式等基础知识,同时考查运 算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ ) 当 n=1 时,a1=S1=2-a. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1. 所以 1=2-a,得 a=1, 所以

an=2n-1. 设数列{bn}的公差为 d,由 b1=3,(b4+5)2=(b2+5)(b8+5),得 (8+3d)2=(8+d)(8+7d), 故 d=0 (舍去) 或 d=8. 所以 a=1,bn=8n-5,n∈N*. ???? 7 分 (Ⅱ) 由 an=2n-1,知

log 2 an=2(n-1).
所以 Tn=n(n-1). 由 bn=8n-5,Tn>bn,得 n2-9n+5>0, 因为 n∈N*,所以 n≥9. 所以,所求的 n 的最小值为 9. ???? 14 分 20.本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考查空间想象 能力和推理论证能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 因为 E,F 分别是 PC,PD 的中点,所以 EF∥CD, 又因为 CD∥AB, 所以 EF∥AB, 又因为 EF?平面 PAB 所以 EF∥平面 PAB. ???? 7 分 (Ⅱ) 取线段 PA 中点 M,连结 EM,则 EM∥AC,

故 AC 与面 ABEF 所成角的大小等于 ME 与面 ABEF 所成角的大小. 作 MH⊥AF,垂足为 H,连结 EH. 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥AB, 又因为 AB⊥AD,所以 AB⊥平面 PAD, 又因为 EF∥AB, 所以 EF⊥平面 PAD. 因为 MH ? 平面 PAD,所以 EF⊥MH, 所以 MH⊥平面 ABEF, 所以∠MEH 是 ME 与面 ABEF 所成的角.
A M H D B (第 20 题图) C P E F

2 1 AC= 5 ,MH= ,得 2 2 10 sin ∠MEH= . 10 10 所以 AC 与平面 ABEF 所成的角的正弦值是 . 10
在直角△EHM 中,EM= ???? 15 分 21.本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质,及导数应用等基础知识,同时考查 推理论证能力。满分 15 分。 (Ⅰ) f ′(x)=3x2-3a. 当 a≤0 时,f ′(x)≥0 恒成立,故 f (x)的增区间是(-∞,+∞). 当 a>0 时,由 f ′(x)>0,得 x<- a 或 x> a , 故 f (x)的增区间是(-∞,- a ]和[ a ,+∞),f (x)的减区间是[- a , a ]. ???? 7 分

(Ⅱ) 当 a≤0 时,由(Ⅰ)知 f (x)在[0, 3 ]上递增,且 f (0)=1,此时无解. 当 0<a<3 时,由(Ⅰ)知 f (x)在[0, a ]上递减,在[ a , 3 ]上递增,所以 f (x)在[0,

3 ]上的最小值为
f ( a )=1-2a a . 所以

? f ( a ) ? ?1, ? ? ? f ( 3) ? 1, ? f (0) ? 1, ? ?


? ?a a ? 1, ? ? ?a ? 1,
所以 a=1. 当 a≥3 时,由(Ⅰ)知 f (x)在[0, 3 ]上递减,又 f (0)=1,所以 f ( 3 )=3 3 -3 3 a+1≥-1, 解得 a≤1+ 此时无解. 综上,所求的实数 a=1. ???? 15 分 22.本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本 思想方法和运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),M(t,m),则 x1+x2=2t,y1+y2=2m. 由抛物线定义知 | FA |=x1+1,| FB |=x2+1. 所以
A O F x y B M

2 3 , 9

x=t (第 22 题图)

| FA |+| FB |=x1+x2+2=2t+2. ???? 6 分 (Ⅱ) 由 ?
2 ? ? y1 ? 4 x1 , 得 2 y ? 4 x , ? 2 ? 2

(y1+y2) (y1-y2)=4(x1-x2), 所以

x1 ? x2 m = . y1 ? y2 2
故可设直线 AB 方程为

m (y-m)=x-t,即 2 m2 m x= y- +t. 2 2

? m m2 ? t, ?x ? y ? 联立 ? 消去 x,得 2 2 ? y 2 ? 4 x, ?
y2-2my+2m2-4t=0. 则 Δ=16t-4m2>0, y1+y2=2m, 所以 | AB |= 1 ? y1y2=2m2-4t.

m2 | y1-y2| 4

= (4t ? m2 )(4 ? m2 ) = ?[m2 ? 2(t ? 1)]2 ? 4(t ? 1)2 , 其中 0≤m2<4t. 当 t≥1 时,因为 0≤2t-2<4t,所以,当 m2=2t-2 时,| AB | 取最大值 | AB | max=2t+2.

当 0<t<1 时,因为 2t-2<0,所以,当 m2=0 时,| AB | 取最大值 | AB | max=4 t . 综上,| AB | max= ?

? ?2t? 2, t ? 1 ? ?4 t . 0 ? t ? 1
???? 14 分


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