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5.高三文数一轮复习学案-解析几何


南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何 1
使用时间: 2015 年 9 月 12 日 学生姓名: 班级:

课 题 考 纲 要 求

5.1 直线的方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式 3、掌握确定直线位置的几何要素 4、掌握直线方程的几种形式(点斜式、两

点式及一般式) 5、了解斜截式与一次函数的关系

【知识梳理】
1. 直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角的定义:x 轴______与直线___________所成的角叫做这条直线的倾斜角 直线 l 的倾斜角的取值范围: (2)当直线的倾斜角不是 90 ? 时,直线的斜率 k=________ 当直线的倾斜角等于 90 ? 时,直线的斜率________ 当倾斜角 0° ? ? <90°时,斜率 k 当倾斜角 90°< ? <180°时,斜率 k 0,倾斜角越大,直线的斜率 0, 倾斜角越大,直线的斜率 ; ;

k? l (3)过两点 P 1 ?x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y 2 ? 直线 的斜率计算公式:
2. 直线的截距坐标公式 直线与 x 轴交点的__________叫做直线在 x 轴上的截距; 直线与 y 轴交点的__________叫做直线在 y 轴上的截距; 3. 直线的中点坐标公式:

? x ? ________ A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点间的中点 M(x,y)满足: ? ? y ? ________
4. 直线方程的五种形式 名称 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 已知条件 标准方程 使用范围 斜率存在的直线 斜率存在的直线 不垂直于 x 轴,不垂直于 y 轴的直线 不垂直于 x 轴,不垂直于 y 轴,不过原点的直线

y ? kx ? b

Ax ? By ? C ? 0

所有直线

【典型例题】
例 1.(1)若直线过点(1,2) , (4,2+ 3 ) ,则此直线的倾斜角是( A. 30° B. 60° C. 45° D. 90° )

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何 2
(2)直线 3x ? y ? 1 ? 0 的斜率是( A. 3 B. ? 3 ) C.

3 3

D. ?

3 3

(3)直线 x+6y ? 2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 (4)已知直线 l 经过点 A(1, ?1) ,且斜率为 ?

3 ,则直线 l 的方程是 4
.

.

(5)过(4,3)和(-4,1)两点的直线方程是

(6)直线过点(-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为

.

例 2.一条直线经过 P(3,2) ,并且分别满足下列条件,求直线方程。 (1)倾斜角是直线 x-4y+3=0 的倾斜角的 2 倍 (2)夹在两坐标轴间的线段被 P 分成 1:2

例 3.过点 P(2,1)的直线 L 交 x 轴、y 轴的正半轴于 A、B 两点, 求使: (1)△AOB 面积最小时 L 的方程(2) PA ? PB 最小时 L 的方程

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何 3
例 4.若直线满足如下条件,分别求出其方程 (1)斜率为

3 ,且与两坐标轴围成的三角形面积为 6; (2)经过两点 A(1,0) 、B(m,1) 。 4

【当堂检测】 1.直线 x =3 的倾斜角是(
A. 0° B.90°

) C. 45° D. 不存在 ) D.第四象限

2.若 AC<0 且 BC<0,那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

3. 如图 1,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则必有 A. k1<k3<k2 C. k1<k2<k3 B. k3<k1<k2 D. k3<k2<k1

4. 已知 A(1,2) 、B(-1,4) 、C(5,2) ,则Δ ABC 的边 AB 上的中 线所在的直线方程为( ) A.x+5y-15=0 B.x=3 C.x-y+1=0 D.y-3=0 )

5. 过点(-2,1)在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6. 直线 xcos ? +y+m=0 的倾斜角范围是( (A) [0, ?) (B) [ ) (C) [ ,

? ?

? 3? , )?( , ] 4 2 2 4

? 3? ] 4 4

(D) [0,

?
4

]?[

3? ,? ) 4

7.方程 kx ? y ? 3 ? 0 所确定的直线必经过的定点坐标是



8.一直线过点 A(-3,4) ,且在两轴上的截距之和为 12,则此直线方程是

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何 4
9.直线 2x-y-4=0 绕它与 x 轴的交点逆时针旋转 45 ,所得的直线方程是_______
0

10.已知两点 A(3,0),B(0,4),动点 P(x,y)在线段 AB 上运动,则 xy 的最大值是_______ 11.过点 A(1,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为___________________

12.(05 广东卷)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边 分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图5所示) .将矩形折叠,使A点 落在线段DC上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值. Y C D

X O (A) B

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何 5
使用时间: 2015 年 9 月 15 日 学生姓名: 班级:

课 题
考纲 要求

5.2

两条直线的位置关系

① 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. ② 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ③ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

【知识梳理】
1.两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
2.距离问题 1、平面内两点 A?x1 , y1 ? ,B ?x2 , y 2 ? 间的距离 AB ? ;

2、点 P ?x0 , y0 ? 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d =



3、空间内两点 A?x1 , y1 , z1 ? ,B ?x2 , y 2 , z 2 ?间的距离 AB ?



4、两平行直线间的距离=



【典型例题】
考点 1 两条直线的位置关系 例 1:直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 , (1)若 l1 ∥ l 2 ,求 a; (2)若 l1 ? l 2 ,求 a;(3) 若 l1 与 l 2 相交, 求 a;(4) 若 l1 与 l 2 重合, 求 a;

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何 6
变式:已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l 2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试确定 m, n 的值,使 (1) l1 与 l 2 相交于点 P(m,?1) ; (2) l1 ∥ l 2 ; (3) l1 ⊥ l 2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为 ?1.

考点 2 两条直线的交点问题 例 2:求过两直线 x-2y+4=0 与 x+y-2=0 的交点,且与直线 3x-4y+5 垂直的直线方程

考点 3 对称问题 例 3:求点 P(3,5)关于直线 l:x-3y+2=0 对称的点的坐标

变式:点 A(2,?3) 关于点 M (4,1) 的对称点是__________, A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点 是__________.

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何 7
考点 4 距离公式的应用 例 4:已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,求直线 l 的方程

变式:已知直线 l:(a-1)x+y+a+1=0 及定点 A(3,4),问 a 为何值时: (1)直线 l 过点 A(3,4)?

【当堂检测】
1.如果直线 l1: 2 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 l 2: 4 x ? 6 y ? 7 ? 0 平行,则 a 的值为( A. 3 B.-3 C.5 D .0 )

2.若直线 ax ?(1 ? a) y ? 3 与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 5 互相垂直,则 a ? ( A. ?3 B.1 C. ?2 D. ?3 或 1



3. “m=

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的( ) 2
(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件

4.经过两直线 11x+3y-7=0 和 12x+y-19=0 的交点,且与 A(3,-2) ,B(-1,6)等距 离的直线的方程是 。

5.已知 A(1,4)、B(3,-2),则线段 AB 的垂直平分线方程是

.

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何 8
6.已知点(a,2) (a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于

7.直线 5x+12y+3=0 与直线 10x+24y+5=0 的距离是

.

8.一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反射,求反射光线所在的直线方程

9.过坐标原点且与点 ( 3,1) 的距离都等于 1 的两条直线的夹角为 _________

10.若直线 l1 : y ? kx ? k ? 2 与 l 2 : y ? ?2 x ? 4 的交点在第一象限, k 取值范围______

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何 9
使用时间: 2015 年 9 月 16 日 学生姓名: 班级:

课 题
考纲 要求

5.3 圆的方程, 圆与圆的位置关系
① 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. ② 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. ③ 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 圆的标准方程 用代数方法处理几何问题的思想.

重点 难点
知识回顾

1. 圆的标准方程: 圆心为 C (a,b) ,半径为 r 的圆的标准方程是__________________________.

2. 圆的一般方程:___________________________________,其圆心坐标为_________, 半径为______________. 3.圆与圆的位置关系:设圆 C1: (x ? x1 ) 2 ? ( y ? y1 ) 2 ? r1 和圆 C2:
2 (x ? x 2 ) 2 ? (y ? y 2 ) 2 ? r2 的圆心距为 d=|C1C2|.则当_______________ 时,两圆相离;
2

当________________时,两圆外切;当________________时,两圆相交; 当________________时,两圆内切;当________________时,两圆内含。

合作探究案
例1 (1)圆心为 (3,4) ,且过点 (3,?1) 的圆的方程是____________________. (2) ?ABC的三顶点是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

(3)自点 A(?1,4) 作圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线,则切线长为______________.

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何10
(4)圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离等于 1 的点的个数为_______.

(5)方程 x ? 1 ? 1 ? y 2 表示的曲线是________________

_____________.

(6)若方程 a 2 x 2 ? (a ? 2) y 2 ? 2ax ? a ? 0 表示圆,则 a 的值为_____________.

例 2(1)求与 x 轴相切,圆心在直线 3x ? y ? 0 上,且被直线 x ? y ? 0 截下的弦长为 2 7 的 圆的方程.

(2)求圆心在直线 y ? ?4 x 上,并且与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 相切于点 P(3,?2) 的圆方程.

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何11
例 3 已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 8 ? k ? 0 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的圆是⊙ C ,且⊙ C 与 直线 3x ? 4 y ? 40 ? 0 相切,求实数 k 的值.

例 4.(1) )圆 C1 : x2+y 2 ? 1 和圆 C2 : x2+y 2 ? 6x ? 8 y ? 9 ? 0 的公切线有且仅有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条



(2)已知两圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ?1 ? 0与x2 ? y 2 ?10x ?12 y ? 45 ? 0 ,它们公共弦所在
的直线方程是

【当堂检测】 1.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为(
A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0 B. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0



2.以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( (A) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

)

(B) ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2

(C) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

(D) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9

3.从原点向圆 x2+y2-12y+27=0 作两条切线, 则这两条切线的夹角的大小为(

)

? (A) 6

? (B) 3

? (C) 2

2? (D) 3

4.若圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为
2 2

2 ,则 a 的值为( 2

)

(A)-2 或 2

(B)

1 3 或 2 2

(C)2 或 0

(D)-2 或 0

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何12
5.圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是( A.36 B.18 C. 6 2 D. 5 2 )

6.圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 关于原点 (0,0) 对称的圆的方程为 __________ ______

7.圆 x 2 ? y 2 ? k 2 x ? y ? k ? 0 关于直线 y ? x 对称的充要条件是___________________.

8、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上, 求圆心为C的圆的标准方程.

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何13
使用时间: 2015 年 9 月 18 日 学生姓名: 班级:

课 题
考纲 要求

5.4 直线与圆的位置关系(2 课时)
①能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系; ②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ③初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 直线和圆的位置关系 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题

重点 难点
知识回顾

1.利用弦心距判定直线与圆的位置关系:设圆 C: (x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的圆心 C(a,b)到 直线l:Ax+By+C=0 的距离为 d. 则当__________时,直线与圆相离; 当____ _____时,直线与圆相切;当___________时,直线与圆相交。 2.若圆 C 的半径为 R,AB 是长度为 L 的弦,弦心距为 d,则________________________.

【典型例题】
例 1(1)过点 (4, 4) 引圆 ( x - 1) + ( y - 3) = 4 的切线,则切线长是( A. 2 B. 10 C.
2 2



6

D.

14

(2)若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为 (A) -1 或 3
2 2

(B) 1 或 3

(C) -2 或 6

(D) 0 或 4 .

(3)圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的动点 Q 到直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 距离的最小值为

(4)设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为
2 2

2 3 ,则 a ? _____ _____.
(5)设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平 分线方程是 . 例 2 已知点 M ? 3,1? ,直线 ax ? y ? 4 ? 0 及圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 4
2 2

(1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与圆相切,求 a 的值。

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何14
例 3 已知直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 C : ( x ? 7) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 36 . (1)判断直线 l 圆的位置关系; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.

例 4 已知直线 x+2y-3=0 与圆 x 2 ? y 2 +x-2cy+c=0 的两个交点为 A、B,O 为坐标原点,且 OA ? OB,求实数 c 的值。

例 5 如果实数满足 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 ,求: (1) y ? x 的最小值和最大值;
2 2

(2) ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? 的取值范围;
2 2

(3)

y 的最大值与最小值。 x

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何15
【当堂检测】 1.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标准
方程是( )
2 2

7? ? A. ( x ? 3) ? ? y ? ? ? 1 3? ?
C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

B. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

3? ? D. ? x ? ? ? ( y ? 1)2 ? 1 2? ?

2

2.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,点 P(3,1) 为弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( ) A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 4 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

3.从原点向圆 x +y -12y+27=0 作两条切线, 则这两条切线的夹角的大小为(

2

2

)

? (A) 6

? (B) 3

? (C) 2

2? (D) 3

4.过点 P(2,3)作圆: x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的切线,则切线方程为:

5.过点 P(4,8)作圆: x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 20 ? 0 的割线,所得弦长为 8,则此割线所在 的方程为:

6.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2x ? ay ? 3 ? 0 ( a 为实数)上任意一点关于直线 l:x-y+2=0 的 对称点都在圆 C 上,则 a = .

7.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分线 方程是 .
2 2

8.圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的动点 Q 到直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 距离的最小值为
2 2

.

9.一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,在 y ? x 上截得的弦长为 2 7 ,求此圆的 方程.

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何16
10.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 . (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程.

11.已知圆 C 经过坐标原点,且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切,切点为 A? 2, 4? . (1)求圆 C 的方程; (2)若斜率为 ? 1 的直线 l 与圆 C 相交于不同的两点 M、N ,求 AM ? AN 的取值范围.

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何17
使用时间: 2015 年 9 月 24 日 学生姓名: 班级:

课 题
考纲 要求

5.5





1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.能用坐标法解决一些与椭圆有关的简单几何问题和实际问题,进一步体会数 形结合思想 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

重点 难点
知识回顾
定义 标准方程

x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b 2

x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a 2

图形

a, b, c 的关系
顶点 对称性 焦点、焦距 离心率

【典型例题】
例 1:1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 , AB 是椭圆过焦点 F1 的弦,则△ ABF2 的周长 9 25

是( )A.20 B.12 C.10 D.6 2.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆 的方程是( )

x2 y 2 ? ?1 A. 81 72

x2 y 2 ? ?1 B. 81 9

x2 y 2 ? ?1 C. 81 45


x2 y 2 ? ?1 D. 81 36

3.焦点在 y 轴上,且 a ? 5, e ?

3 的椭圆标准方程为( 5
C.

A.

x2 y 2 ? ?1 25 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 25

x2 y 2 ? ?1 25 9

D.

x2 y 2 ? ?1 9 25

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何18
4.“ k ? 2 ”是方程“

x2 y2 ? ? 1 ””表示的曲线是椭圆的( k ?2 5?k



A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 例 2.根据下列条件分别求椭圆的方程:

D.既不充分也不必要条件

(1)中心在原点,对称轴为坐标轴,长轴长为 8,离心率为

1 ; 2

(2)和椭圆 9x2 ? 4 y 2 ? 36 有相同的焦点,且经过 Q(2, ?3) .

点评: :求椭圆的标准方程,一定要注意焦点的位置.先根据焦点的位置确定方程的 形式,再根据 a 2 ? b2 ? c2 及已知条件确定 a 2 , b2 的值,写出标准方程.即:定位定量。
例 3. (1)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的中心与一个焦点 F 及短轴的一个端点 M 组成 a 2 b2


等腰直角三角形 FMO ,则它的离心率是 (2)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰 a 2 b2


好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率是 ,那么实数 k 的值为 (3) 如果椭圆 2 k ?8 9
点评:求椭圆的离心率,关键是要寻求到 a, b, c 任意两个量的关系。



南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何19
【当堂检测】
1.若方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 a 的取值范围是( a2 a
B. ?1 ? a ? 0 C. a ? 1 D.无法确定



A. a ? 0

2.与椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 有公共的焦点,且经过点 A(2,1) 的椭圆的方程为



3 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 ?ABC 顶 点 A(? 3, 0)和 C (3,0) , 顶 点 B 在 椭 圆

x2 y 2 sin A ? sin C ? ? ? 1 上,则 sin B 25 16



4.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有点 P ,它使 ?F1PF2 为直角三角形( F1 、F2 为椭圆的两个焦点) , 45 20
个.

这样的点有

5.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.



1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2

6.设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)
7. 椭圆

1 2

(B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2。若 a 2 b2


AF1 , F 1F 2 , BF 1 成等比数列,则此椭圆的离心率为(
A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5-2

M 总在椭圆内部,则椭圆离心 8.已知 F 1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
率的取值范围是( )A. (0,1) B. (0, ]

???? ? ???? ?
1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何20
x2 y 2 3 9.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到菱形的面 a b 2
积为 4,求椭圆的方程。

10.已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点, P ? x, y ? 为椭圆上一点. 9 4

(1)求 PF (2)求 2 x ? 3 y 的最大值和最小值. 1 ? PF 2 的最大值.

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何21
使用时间: 2015 年 9 月 25 日 学生姓名: 班级:

课 题
考纲 要求

5.6 双 曲 线
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.数形 结合的思想. 2.能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单几何问题和实际问题,进一步体会 数形结合的思想.

重点 难点
知识回顾
定义 标准方程

能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单几何问题和实际问题,进一步体会数形 结合的思想. 能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单几何问题和实际问题,进一步体会数形 结合的思想.

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b 2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b 2

图形

顶点 焦点、焦距 离心率 渐近线 a ,b,c 的关系

【典型例题】
例 1. (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,且它的另一个焦点还在直线 3x ? 2 y ? 20 ? 0 上,

c 5 ? ,则此双曲线的标准方程是( ) a 3 x2 y 2 x2 y 2 y 2 x2 y 2 x2 ? 1 C. ? ?1 ? ? 1 B. ? ? ?1 A. D. 64 36 36 64 36 64 64 36 x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为( (2) .双曲线 ) 16 9 A. (? 7, B. (0, C. (?5, D. (0, 0) ? 5) 0) ? 7)
有离心率 e ?
2 (3) .设 P 为双曲线 x ?

y2 ? 1 上 的 一 点 , F1,F2 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , 若 12 ) | PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,则 △PF1F2 的面积为(
A. 6 3 B. 12 C. 12 3 D. 24

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何22
2 2 (4)双曲线 x - my = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于(



A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

x2 y2 (5)若方程 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 1? k 1? k



A. ?1 ? k ? 1 B. k ? 0 C. k ? 0 D. k ? 1 或 k ? ?1 例1 、已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求以下双曲线的标准方程: (1)一个焦点为 (?4,0) ,一条渐近线为 3x ? 2 y ? 0; (2)一个焦点为 (5,0), 且过点 P(8,3 3) (3)双曲线的渐近线方程为 y ? ?

2 9 x ,且过点 ( , ?1) ; 3 2

(4)与双曲线

x2 ? y 2 ? 1共渐近线,且过点 (2, ?2) . 2

点评: :求双曲线的标准方程,一定要注意焦点的位置.先根据焦点的位置确定方程 的形式,再根据 c2 ? b2 ? a 2 及已知条件确定 a 2 , b2 的值,进而写出标准方程. 即:定位、定量。

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何23
例 2. (1)双曲线 P 到 x 轴的距离为

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1,F2 点 P 在双曲线上,若 PF1 ? PF2 ,则点 , 9 16


x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上存在一点 P a 2 b2 3 ab ,则该双曲线的离心率为( 使得 | PF ) 1 | ? | PF2 |? 1 | ? | PF 2 |? b , | PF 4
(2)设 F1,F2 分别为双曲线 A. 2 B. 15 C.4 D. 17

(3)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为( )

A. 2

B. 3

3 ?1 C. 2

5 ?1 D. 2

规律方法:
2 2 2 1. 注重双曲线的定义及标准方程, 明确性质 c ? a ? b , 抓住离心率 e ?

c 、 渐进线方程. 结 a

合几何图形中的几何性质,轻松地完成数形结合. 2.双曲线相关问题,如中点弦、弦长、与直线的位置关系等,牢牢抓住方程组思想、消元 法、根与系数关系弦长公式等捷径. 3.特殊双曲线 (1)等轴双曲线: 双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 .

(2)共渐近线的双曲线系方程:

x2 y2 x2 y2 ? ? 0 ? ? ? ? ? 0 ; 如果 ( ) 的渐近线方程为 a2 b2 a2 b2

双曲线的渐近线为

x2 y2 x2 y2 ? ? 0 ? ? ? ( ? ? 0 ). 时,它的双曲线方程可设为 a2 b2 a2 b2

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何24
【当堂检测】 1.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 ? 0,3? ,那么 k 的值为(
A.1 B. ?1 C. ) D. ?

65 3

65 3


2.动圆与两圆 x 2 ? y 2 ? 1和 x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的轨迹是( A. .圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支 3.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 左焦点 F1 的直线交曲线的左支于 M ,N 两点, F2 为其右焦点,则 4 3 MF2 ? NF2 ? MN 的值为______.
) C. y ? ?

4.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是( 4 9 2 4 A. y ? ? x B. y ? ? x 3 9

3 x. 2

D. y ? ?

9 x 4

5.设 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1 、 F2 分 a2 9 别是双曲线的左、右焦点.若 PF 。 1 ? 3 , PF2 =

6.已知双曲线的焦点在 x 轴,其上一点 A(3, 5) 到 F1 , F2 两点的距离之差等于 4,则其双曲 线的方程为 。

7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y ? 2 x ? 10 ,双曲线 a 2 b2
) D.

的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 5 20
2

B.

x2 y 2 3x 2 3 y 2 ? ? 1 C. ? ?1 20 5 25 100

3x 2 3 y 2 ? ?1 100 25
2 2

8. 求过原点并且与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相切的两直线为渐近线, 且过椭圆 4 x ? y ? 4 两 焦点的双曲线方程。
2

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何25
使用时间: 2015 年 9 月 26 日 学生姓名: 班级:

课 题
考纲 要求 知识回顾

5.7 抛物线
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质. 2.能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题和实际问题,进一步体会 数形结合思想. 3.了解圆锥曲线的简单应用.

抛物线的定义: 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过定点 F ) 迹是抛物线.定点 F 叫做抛物线的 图形 、定直线 l 叫做抛物线的

的点的轨

标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? ?2 py( p ? 0)

焦点坐标 准线方程

【典型例题】 考点一
例1

抛物线的定义
(1)点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点, 则点 P 到点 A(0, -1)的距离与到直线 x ? ?1
2

的距离和的最小值是( A. 5 B.

)

3

C.2

D.

2

2 (2)已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,A,B 是抛物线上的两点, | AF | ? | BF |? 3 ,则线

段 AB 的中点到 y 轴的距离为( A. 3 4 B.1

) 5 C. 4 7 D. 4

变式练习 (1)点 A,B 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上任意两点,若 AB 过焦点 F,则以 AB 为直径的
2

圆与抛物线的准线的位置关系是( A.相交 B.相离 C.相切

) D.不确定

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何26
(2) 已知点 A(2, 3), F 是 抛物 线 x2 ? 2 y 的 焦点 , P 是 抛物 线上的 任意 一点, 则

| PA | ? | PF | 的最小值是

,此时点 P 的坐标是



考点二

抛物线的标准方程

例 2 (1)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A, 若△ OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则该抛物线的方程为( A. y 2 ? ?4x B. y 2 ? ?8x C. y 2 ? 4 x )

D. y 2 ? 8x

(2)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y ? x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P (2, 2) 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________.

变式练习 (1)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A, B 两点, 若线段 AB 的长为 8,则 p =________.

(2)一动圆 M 和直线 L : x ? ?4 相切,并且经过点 F (4, 0) ,则圆心 M 的轨迹方程是 ________.

考点三

抛物线的几何性质
2

例 3(1)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A , B 两点, O 为坐标原点.若

| AF |? 3 ,则△ AOB 的面积为(
A.

) C.

2 2
2

B. 2

3 2 2

D. 2 2

(2)抛物线 x ? (2a ? 1) y 的准线方程是 y ? 1 ,则实数 a =( A.

)

5 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何27
变式练习

O 为坐标原点, (1)过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点作直线交抛物线于 A ,B 两点, 则△ AOB 为
( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.不确定 D.钝角三角形

(2)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与该抛物线相交于 A , B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°,则△ AOF 的面积为________.

考点四

直线与抛物线的位置关系

例 4 设抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点. (1)若 ?BFD ? 90? ,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A , B , F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值.

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何28
【当堂检测】
1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是( A. y 2 ? ?8 x B. y 2 ? 8x ) C. 2 x ? 1 ? 0 D. 2 y ? 1 ? 0 ) C. y 2 ? ?4x ) D. y 2 ? 4 x

2. 抛物线 x 2 ? y 的准线方程是( A. 4 x ? 1 ? 0 B. 4 y ? 1 ? 0

3.设抛物线 y ? 4 x2 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D. 0 )

4.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 相切,则 p 的值为( A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

5.已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A, B 两点, 则 cos ?AFB =( ) A.

4 5

B.

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

6.已知点 F 为抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点, O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 在 抛物线上,且 | AF |? 4 ,则 | PA | ? | PO | 的最小值为( A.6 B. 2 ? 4 2 C. 2 13 )

D. 4 ? 2 5

7.已知 P 为抛物线 y ? 4 x 上一个动点,Q 为圆 x ? ( y ? 4) ? 1上一个动点, 那么点 P 到
2 2 2

点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和最小值是( A.5 B.8 C. 17 ?1 D. 5 ? 2

)

A,B 是 C 上的两个点, 2) , 8. 已知 F 是抛物线 C:y 2 ? 4 x 的焦点, 线段 AB 的中点为 M (2, 则 △ ABF 的面积等于 .
9.抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
2



10.有一座抛物线形拱桥,当水面离拱顶 2 m 时,水面宽 4 m ,则水面上升 1m 后,水面宽 为 m 。

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何29
使用时间: 2013 年 12 月 13 日 学生姓名: 班级:

5.8
例 1.过椭圆

直线与圆锥曲线的位置关系

??? ? ??? ? x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 的直线交椭圆于 A、B 两点,使得 OA ? OB 。 6 2

变式 1. 过双曲线

x2 y2 16 3 ? ? 1 的右焦点 F2 的直线交双曲线于 A、 B 两点, 弦长 AB ? , 3 6 5

求此直线的倾斜角。

变式 2.已知直线 L : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x 2 ? y 2 =4。 ⑴若直线 L 与双曲线 C 无公共点,求 k 的范围; ⑵若直线 L 与双曲线 C 有两个公共点,求 k 的范围; ⑶若直线 L 与双曲线 C 有一个公共点,求 k 的范围;

变式 3.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 16 4
B. 11 C. 2 2 D. 10



A.3

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何30
例 2.已知双曲线方程 2 x 2 ? y 2 =2。⑴求以 A ?2,1? 为中点的双曲线的弦所在的直线方程; ⑵过点 ?1,1? 能否作直线 L, 使 L 与双曲线交于 Q1 ,Q2 两点, 且 Q1 ,Q2 两点的中点为 ?1,1? ? 如果存在,求出直线 L 的方程;如果不存在,说明理由。

变式 1.如果椭圆 A. x ? 2 y ? 0

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 (4,2) 平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9
B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0



D. x ? 2 y ? 8 ? 0

变式 2.已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的又焦点 F ?3,0? ,过点 F 的直线交 E 于 A,B a 2 b2 两点,若 AB 的中点坐标为 ?1, ?1? ,则 E 的方程为( )
A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

变式 3.已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y ? x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P (2, 2) 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为

【当堂检测】
1. 过 点 A(1,0) 作 倾 斜 角 为

? 2 的 直 线 , 与 抛 物 线 y ? 2 x 交 于 M 、N 两 点 , 则 4

MN =
2.过椭圆



x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标 5 4

原点,则△OAB 的面积为 3.已知直线 L 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,L 与 C 交于 A,B 两点,| AB |? 12 , P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为( A.18 B.24 ) C. 36 D. 48

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何31
4. 【2011 全国】 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交与 A, B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值。

2 2 5.【2013 全国】已知圆 M : ? x ? 1? ? y ? 1 ,圆 N : ? x ? 1? ? y ? 9 ,动圆 P 与圆 M 2 2

外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (1)求 C 的方程;

l 与曲线 C 交于 A, B 两点, (2) l 是与圆 P , 圆 M 都相切的一条直线, 当圆 P 的半径最长时,
求 | AB | .

南武中学 2016 届高三第一轮复习文科数学导学案(五)解析几何32
6.【2012 全国】设抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点; (1)若 ?BFD ? 90? , ?ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐 标原点到 m , n 距离的比值.

7. 【2014 全国】 已知点 P(2,2) , 圆 C : x ? y ? 8y ? 0 , 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B
2 2

两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积

8. 【2015 全国】 已知过点 A ? 0,1? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,
2 2

N 两点.(I)求 k 的取值范围;(II)若 OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN .

???? ? ????


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