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山东省临沂市郯城一中2014届高三12月月考 数学(理)试题 Word版含答案


时间:120 分钟

满分:150 分

2013 /12

一.选择题:
1 已知条件 p : x ? 1 ,条件 q : A.充分不必要条件 C.充要条件
1 ? 1 ,则 p 是 ?q 成立的 ( x B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

)

2.已知 f ( x) 的定义域为 (?1, 0) ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 ( A. (?1,1)
1 B. ( ?1, ? ) 2

)

C. (?1, 0)

3.将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 图象对应的解析式为 ( ? A. y ? sin( 2 x ? ) ? 1 4 C. y ? 2 sin 2 x )

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数 4

1 D. ( ,1) 2

B. y ? 2 cos2 x D. y ? ? cos 2 x )

4.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0时f ( x) ? 2 x2 ? x ,则 f (1) = ( A.—3 B.—1 C.1 D.3

5.已知命题 p1:函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 上为增函数,p2:函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 上为 减函数,则在命题 q1: p1 ? p2 , q2: p1 ? p2 , q3: (? p1 ) ? p2 和 q4: p1 ? (? p2 ) 中,真命题是 ( A. q1 , q3 ) B. q2 , q3 C. q1 , q4 D. q2 , q4

1 6.已知 an ? ( ) n ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状, 3

10 ) 记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( ,12 = (
1 ( 93 A. ) 3
t 0

)
1 ( 112 D. ) 3

1 ( 92 B. ) 3

1 94 C. ( ) 3

7. 已知 t ? 0 ,若 ? (2 x ? 2)dx ? 8 ,则 t = ( A.1 B.-2 C.-2 或 4

) D.4

8. ?ABC 中, A, C 所对边分别为 a,b,c, c ? 4 2,B ? 45? , 在 角 B, 且 面积 S ? 2 , 则 b 等于 ( A.
113 2

) B.5 C. 41 D.25 )

1 1 9、已知 x0 是 f ( x ) ? ( ) x ? 的一个零点, x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,则 ( 2 x

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

?log2 x, x ? 0 ? 10 、 若 函 数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 , 若 af (?a) ? 0 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 1 ? 2 ?

(

)
( ? ) A. ? 1,0)(0,1 ( ?1? C. ? 1,0)( , ?)
( ? )( ? B. ? ?, 1 ? 1, ?)

( ? )( ) D. ? ?, 1 ? 0,1

11.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, 下列结论中① ?x0 ? R,f ( x0 ) ? 0 ②函数
f ( x) 的图象是中心对称图形 ③若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间

(?? , x0 ) 单调递减 ④若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 . 正确的个数有
( A.1 ) B.2 C.3 D.4

12. 对 任 意 实 数 a,b 定 义 运 算 "?" 如 下 a ? b ?

?

a b

( a ?b ) ( a ?b )

,则函数

f ( x) ? log1 (3x ? 2) ? log2 x 的值域为 (
2

)
2 ? ? C. ? log 2 ,0? 3 ? ? 2 ? ? D. ? log2 ,? ? ? 3 ? ?

A. ?0,? ??

B. ?? ?, o?

二、填空题:
13.不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3 的解集是 .

? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, ,则 z ? 3x ? 2 y 的值域是 ? x ? 0, ?

.

15 . 已知 奇 函数 f (x) 满 足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 且 当
7 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值为 2

16.已知函数 f (x) 的定义域[-1,5] ,部分对应值如 表, f (x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象如图所示, 下列关于函数 f (x) 的命题; ①函数 f (x) 的值域为[1,2] ; ②函数 f (x) 在[0,2]上是减函数; ③如果当 x ?[?1, t ] 时, f (x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的序号是 .

x F(x)

-1 1

0 2

2 4 1.5 2

5 1

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程 (
或演算步骤。 ) 17.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期及解析式;

?
2

) 的部分图象如图所示。

? (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos2 x ,求函数 g (x) 在区间 [ 0, ] 上的最小值。 2

18 、 已 知 a , b , c 分 别 为 △ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 , 向 量 ?? ? ?? ? m ? ? 3 , s i nA n ?? c o A ? , 1 , s ,且向量 m ? n . (1)求角 A 的大小;

?

?

(II)若 a ? 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b,c.
1 19、已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且 , an , S n 等差数 2 列。

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
1 b 2 (Ⅱ)若 an ? ( ) bn ,设 cn ? n ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn . 2 an

20、某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与
a ? 10( x ? 6) 2 , 其中 3 ? x ? 6, a 为 x?3 常数。己知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该 商品所获得的利润最大。

销售价格 x(单位: 元/千克) 满足关系式 y ?

21. 设 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? ax2 . (1)当 x ? 1时,f ( x) 取到极值,求 a 的值;
1 1 (2)当 a 满足什么条件时, f ( x) 在区间 [? , ? ] 上有单调递增的区间. 2 3

22. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x.
( (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程;
(Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x1, x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取 值

高三理科数学月考检测试题答案
时间:120 分钟 满分:150 分 2013.12.

三、解答题:
T 2? ? ? ? ? ,所以 T ? ? .? ? 2 . ………………3 17. (Ⅰ) 解: 由图可得 A ? 1, ? 2 3 6 2 分 ? ? 当 x ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin( 2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? ? ?| ? |? ,?? ? .? f ( x) ? sin( 2 x ? ) .………………6 分 2 6 6 ? ? ? g (Ⅱ) ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) ? cos 2 x ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x 6 6 6

?
?0 ? x ?

3 1 ? s i n x ? c o 2 x ? s i n2( ? ) . ……………………9 分 2 s x 2 2 6

?
2

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

当 2x ? 18.略

?
6

??

?

5? . 6

1 ,即 x ? 0 时, g (x) 有最小值为 ? . ……………………12 分 2 6

19、 (本小题满分 12 分)
1 解(1)由题意知 2an ? S n ? , an ? 0 ………………1 分 2 1 1 ? a1 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 2

两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ………………3 分 整理得:
an ?2 an?1

……………………4 分

∴数列 ?an ? 是以

1 为首项,2 为公比的等比数列。 2

1 an ? a1 ? 2 n ?1 ? ? 2 n?1 ? 2 n ?2 ……………………5 分 2
2 (2) an ? 2?bn ? 22n?4

∴ bn ? 4 ? 2n ,……………………6 分
Cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? ① 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n?1 ………………9 分 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 4 2 2 4n ? n .………………………………………………………11 分 2 8n ? Tn ? n . …………………………………………………………………12 分 2
a 20、解: (1)因为 x ? 5 时, y ? 11 。所以 ? 10 ? 11, a ? 2. ............3 分 2

(2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y ?

2 ? 10( x ? 6) 2 , x?3

所以商场每日销售该商品所获得利润 2 f ( x) ? ( x ? 3)[ ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3) ( x ? 6)2 (3 ? x ? 6), ............7 分 x?3 从 而 f ' ( x) ? 10[( x ? 6)2 ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) ...................9 分 于是,当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x) 的变化情况如下表

x
f ' ( x)
f ( x)

(3,4) + 单调递增

4 0 极大值 42

(4,6) — 单调递减

由表知, x ? 4 是函数 f ( x) 在区间 (3, 6) 内的极大值点,也是最大值点。 所以当 x ? 4 时,函教 f ( x) 取得最大值,且最大值为 42..............12 分 21.解: (1)由题意知 f ( x)的定义域为(?1, ??) 且 f ?( x) ?
?2ax 2 ? (2a ? 1) x ,由 f ?(1) ? 0 1? x

....................1 分
得:a ? ? 1 4

1 当a ? ? 时 4

f ( x)在(0,1)单调递减,在(1,+?)单调递增 ?a ? ? 1 ....................5 分 4

? f (1)是函数的极小值

1 1 (2)要使 f ( x)在区间[? , ? ]上有单调递增区间 2 3 1 1 即 f ?( x) ? 0在[? , ? ]上有解 ? 2ax ? (2a ? 1) ? 0 .................7 分 2 3

(i)当 a ? 0是,不等式恒成立
2a ? 1 2a ? 1 1 3 此时只要 ? ? ? ,解得: a ? ? 2a 2a 3 4 2a ? 1 1 2a ? 1 ?? ,解得: ( iii ) 当 a ? 0时得:x ? ? 此时只要 ? 2a 2 2a a ? ?1 .......10 分

(ii)当 a ? 0时,x ? ?

综上得: a ? (?1, ??) .............................12 分

(Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax2 ? ax ? ln x ,
( ? 只要 g (x) 在 0, ?) 上单调递增即可。…………………………10 分

而 g ' ( x) ? 2ax ? a ? 当 a ? 0 时,g ' ( x) ? 分

1 2ax2 ? ax ? 1 ? x x
1 ( ? ?0, 此时 g (x) 在 0, ?) 上单调递增; ……………………11 x

? 当 a ? 0 时 , 只 需 g ' ( x) ? 0 在(0, ?)上 恒 成 立 , 因 为 x ? (0,??) , 只 要

2ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,

则需要 a ? 0 ,………………………………12 分 对于函数 y ? 2ax2 ? ax ? 1 , 过定点 (0, , 1) 对称轴 x ? 即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 .
1 ?0, 只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 , 4 ………………………………………………14 分


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