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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:9.5]


第九章
一、选择题

9.5 第 5 课时

高考数学(理)黄金配套练习
x2 y2 3 1.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2,b=4,离心率为5.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为( A.10 B.12 C.16 D.20 答案 D )

r />解析

c 3 3 如图,由椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a,又 e=a=5,即 c=5a,

16 ∴a2-c2=25a2=b2=16,∴a=5,△ABF2 的周长为 20. 2. 椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上, 长轴长是短轴长的 2 倍, 则 m 的值是( 1 1 A.4 B.2 C.2 D.4 答案 A 2 2 解析 长轴长为 2a= ,短轴长为 2,∴ =4. m m 1 ∴m=4. x2 y2 3.已知方程 + =1 表示椭圆,则 k 的取值范围为( ) 3+k 2-k 1 1 A.k>-3 且 k≠-2 B.-3<k<2 且 k≠-2 C.k>2 D.k<-3 答案 B 解析 )

?3+k>0 只需满足:?2-k>0 ?3+k≠2-k

.

x2 y2 4.椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c. 若 d1,2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为( ) 1 2 A.2 B. 2 3 3 C. 2 D.4

A 由 d1+d2=2a=4c, c 1 ∴e=a=2. 5.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1,则椭圆长 轴的最小值为( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 2 答案 D 1 解析 三角形的面积 S=2· 2c· b=bc=1, ∴a2=b2+c2≥2bc=2.∴a≥ 2.∴2a≥2 2.选 D. x2 y2 1 6. 设 e 是椭圆 4 + k =1 的离心率, 且 e∈(2, 1), 则实数 k 的取值范围是( ) 16 A.(0,3) B.(3, 3 ) 16 C.(0,3)∪( 3 ,+∞) D.(0,2) 答案 C 1 k-4 16 解析 当 k>4 时,c= k-4,由条件知4< k <1,解得 k> 3 ; 当 0<k<4 时,c= 4-k, 1 4-k 由条件知4< 4 <1,解得 0<k<3,综上知选 C. 7.若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离 心率是( ) 4 3 A.5 B.5 2 1 C.5 D.5 答案 B 解析 由题意有 2a+2c=2(2b),即 a+c=2b,又 c2=a2-b2,消去 b 整理得 3 5c2=3a2-2ac,即 5e2+2e-3=0,∴e=5或 e=-1(舍去). x2 y2 8.已知椭圆 4 + 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,点 P 为该椭圆上一动点, →· → 的最小值时|PA → +PF → |取值为( 则当PF PA )
2 1 1 2

答案 解析

A.0 B.3 C.4 D.5 答案 B 解析 由已知得 a=2,b= 3,c=1,所以 F2(1,0),A1(-2,0),设 P(x,y), →· → =(1-x,-y)· 则PF PA (-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点 P(x,y)在椭圆上,
2 1

3 所以 y2=3-4x2,代入上式,

1 → → 1 2 得PF2· PA1=4x +x+1=4 (x+2)2, 又 x∈[-2,2], →· → 取得最小值. ∴x=-2 时,PF PA
2 1

→ +PA → |=3. 所以 P(-2,0),求得|PF 2 1 二、填空题 x2 9. 已知点 M( 3, 0), 椭圆 4 +y2=1 与直线 y=k(x+ 3)交于点 A、 B, 则△ABM 的周长为______________. 答案 8 x2 解析 直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M、N 恰为椭圆 4 +y2=1 的 两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的周长为 4a=4× 2=8. 10.已知中心在原点,长轴在 x 轴上,一焦点与短轴两端点连线互相垂直, 焦点与长轴上较近顶点的距离为 4( 2-1),则此椭圆方程是________. x2 y2 答案 + =1 32 16 解析

?a-c= 2- 由题意,得?b=c, ?a2=b2+c2,



?a=4 2, 解得? ?b=4,

x2 y2 所以椭圆方程为32+16=1. 11.

x2 y2 如图,F1 和 F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆 心,以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的 离心率为________. 答案 3-1 解析 依题意知∠F1AF2=90° ,∠AF2F1=30° , 1 ∴|AF1|=2|F1F2|=c,|AF2|= 3c. c 由椭圆的定义得|AF2|+|AF1|=2a,( 3+1)c=2a? e=a= 3-1. x2 y2 12.已知椭圆a2+b2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,且|F1F2|=2c,点 A 在椭 →· →· → =c2,则椭圆的离心率 e 等于________. 圆上,AF F→ F =0,AF AF
1 1 2 1 2

答案

5-1 2

b2? → ? b2? ? → → 不妨设 A 在 x 轴上方, 由AF1· F1F2=0 知: A?-c, a ?, AF1=?0,- a ?, ? ? ? ? 2 4 b b ? → =? → AF → =0+ =c2,∴b4=a2c2,(a2-c2)2=a2c2,∴c4-3a2c2 AF 2 ?2c,- a ?,∴AF1· 2 a2 ? ? 3- 5 3- 5 5-1 +a4=0,c2= 2 a2,∴e2= 2 ,∴e= 2 . →· → =0 的点 M 总在椭圆内部, 13.已知 F 、F 是椭圆的两个焦点,满足MF MF 解析
1 2 1 2

则椭圆离心率的取值范围是________. 2 答案 (0, 2 ) c 2 依题意得, c<b,即 c2<b2,c2<a2-c2,2c2<a2,故离心率 e=a< 2 ,又 c 2 0<e<1,∴0<a< 2 . 三、解答题 14. 解析

如图所示:已知圆 C:(x+1)2+y2=8,定点 A(1,0),M 为圆上一动点,点 P → =2AP → ,NP →· → =0,点 N 的轨迹为曲线 E, 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足AM AM 求曲线 E 的方程. → =2AP → ,NP →· → =0, 解析 ∵AM AM ∴NP 为 AM 的垂直平分线, ∴|NA|=|NM|,又|CN|+|NM|=2 2, ∴|CN|+|NA|=2 2>2. ∴动点 N 的轨迹为以点 C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,且 2a=2 2,2c=2, ∴a= 2,c=1. x2 2 ∴曲线 E 的方程为 2 +y =1. 15.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长与短轴长的 比是 2 3. (1)求椭圆 C 的方程; → |最小时, (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当|MP 点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围. x2 y2 解析 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0).

?a =b +c , 由题意,得?a:b=2: 3, ?c=2,

2

2

2

解得 a2=16,b2=12.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为16+12=1.

x2 y2 (2)设 P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为16+12=1,故-4≤x≤4. → =(x-m,y), 因为MP x2 1 1 → 2 2 2 2 所以 | MP | = (x - m) + y = (x - m) + 12· (1 - 16 ) = 4 x2 - 2mx + m2 + 12 = 4 (x - 4m)2+12-3m2. → |最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点, 因为当|MP → |2 取得最小值,而 x∈[-4,4], 即当 x=4 时,|MP 故有 4m≥4,解得 m≥1. 又点 M 在椭圆的长轴上,所以-4≤m≤4. 故实数 m 的取值范围是[1,4].

16.已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离 1 心率 e=2. (1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; x2 y2 解析 (1)设椭圆 E 的方程为a2+b2=1, 1 c 1 由 e=2,即a=2,得 a=2c,得 b2=a2-c2=3c2. x2 y2 ∴椭圆方程可化为4c2+3c2=1. 1 3 将 A(2,3)代入上式,得c2+c2=1,解得 c=2, x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为16+12=1. 3 (2)由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0),所以直线 AF1 的方程为:y=4(x+2),即 3x- 4y+6=0,直线 AF2 的方程为:x=2. 由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数. |3x-4y+6| 设 P(x,y)为 l 上任一点,则 =|x-2|. 5 若 3x-4y+6=5x-10,得 x+2y-8=0(因其斜率为负,舍去). 于是,由 3x-4y+6=-5x+10, 得 2x-y-1=0, 所以直线 l 的方程为:2x-y-1=0.

拓展练习·自助餐
1.椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是(0,2),那么 k 等于( ) A.-1 B.1 C. 5 D.- 5 答案 B y2 2 解析 化为标准方程:x + 5 =1.∵焦点为(0,2),∴焦点在 y 轴,且 c=-2, k 5 ∴ k=4+1,∴k=1. x2 y2 2.椭圆 + =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点.则|ON| 25 9 等于( ) A.2 B.4 3 C.8 D.2 答案 B 1 1 1 解析 |ON|=2|MF2|=2(2a-|MF1|)=2(10-2)=4,故选 B. 3.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 若 F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) 2-1 2 A. 2 B. 2 C.2- 2 D. 2-1 答案 D 解析 数形结合:令 F1F2=1,则|PF2|=1,|PF1|= 2. 2c |F1F2| 1 ∴e=2a= = = 2-1 |PF1|+|PF2| 2+1 x2 y2 4.(09· 江西)已知 F1、F2 为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点;M 为椭圆上一点, MF1 垂直于 x 轴,且∠F1MF2=60° ,则椭圆的离心率为( ) 1 2 A.2 B. 2 3 3 C. D. 3 2 答案 C 解析 解法一 ∵|F1F2|=2c,MF1⊥x 轴, 2 3 4 3 ∴|MF1|= 3 c,|MF2|= 3 c. 2c 3 ∴2a=|MF1|+|MF2|=2 3c.∴e=2a= 3 . x2 y2 解法二 由 F1(-c,0),将 x=-c 代入a2+b2=1,

b2 得 y= a , |F1F2| 2c ∵ |MF | = 3,∴ b2 = 3.
1

a 2ac 2e ∵b2=a2-c2,∴ 2 2= 3,即 = 3. a -c 1-e2 3 解得 e=- 3(舍),e= 3 . x2 2 5.若点 O 和点 F 分别为椭圆 2 +y =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任 意一点,则|OP|2+|PF|2 的最小值为________. 答案 2 解析 由题意可知, O(0,0), F(1,0), 设 P( 2cosα, sinα), 则|OP|2+|PF|2=2cos2α 2 +sin2α+ ( 2cosα-1)2+sin2α=2cos2α-2 2cosα+3=2(cosα- 2 )2+2,所以当 2 cosα= 2 时,|OP|2+|PF|2 取得最小值 2.

教师备选题
x2 y2 1.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆 a c 上存在点 P 使 = , 则该椭圆的离心率的取值范围为________. sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 答案 ( 2-1,1) |PF2| a |PF2| 解析 依题意及正弦定理得|PF |=c(注意到 P 不与 F1F2 共线),即 = 2a-|PF2| 1 a 2a c 2a c 2a 2 2 c,∴|PF2|-1=a,∴|PF2|=a+1>a+c,即 e+1>1+e,∴(e+1) >2.又 0<e<1,因 此 2-1<e<1. x2 y2 2.如下图,椭圆 4 + 3 =1 内有一点 P(1,-1),F 为椭圆的右焦点,在椭圆 上有一动点 M,求|MP|+|MF|的最值.

解析 设椭圆的另一个焦点为 F′,由椭圆定义及基本几何不等式得: |MP|+|MF|=|MP|+4-|MF′|=4+|MP|-|MF′|≤4+|PF′| =4+ (1+1)2+12=4+ 5 ∴当 M,P,F′共线且 F′在线段 MP 上时取等号. 即(|MP|+|MF|)max=4+ 5

又∵|MP|+|MF|=|MP|+4-|MF′| =4-(|MF′|-|MP|)≥4-|PF′|. ∴当 F′,P,M 三点且点 P 在线段 MF′上时取等号. 即(|MP|+|MF|)min=4- 5. x2 y2 3.设 F1、F2 为椭圆 9 + 4 =1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知 P、F1、 |PF1| F2 是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求|PF |的值. 2 解析 由已知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5. 根据直角的不同位置,分两种情况: 若∠PF2F1 为直角,则 |PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, 14 4 即|PF1|= 3 ,|PF2|=3. |PF1| 7 故|PF |=2. 2 若∠F1PF2 为直角,则 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, 即 20=|PF1|2+(6-|PF1|)2, |PF1| 得|PF1|=4,|PF2|=2.故|PF |=2. 2 |PF1| 7 综上,|PF |的值为2或 2. 2 4.

→· → =1. 如图所示,已知△OFQ 的面积为 S,且OF FQ 1 → 与FQ → 的夹角 θ 的正切值的取值范围. (1)若2<S<2,求向量OF → |=c(c≥2),S=3c,若以 O 为中心、F 为焦点的椭圆经过 Q,当|OQ →| (2)设|OF 4 取得最小值时,求此椭圆的方程. → → ?1 2|OF||FQ π-θ=S, 解析 (1)由已知,得? → ||FQ → |cosθ=1. ?|OF 1 ∴tanθ=2S.∵2<S<2,∴1<tanθ<4.

→ 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. (2)以 O 为原点,OF

x2 y2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),Q(x,y). 1 3 3 c · y = c ,∴ y = 2 4 2. →· → =c(x-c)=1,∴x=c+1. 又∵OF FQ c → |= x2+y2= (c+1)2+9(c≥2). 则|OQ c 4 1 可以证明:当 c≥2 时,函数 t=c+c 为增函数, → | = ( +1)2+9= 34, ∴当 c=2 时,|OQ min 2 4 2 5 3 此时 Q( , ).将 Q 的坐标代入椭圆方程, 2 2 25 9 ? 2 ? 2+ 2=1, ?a =10, 4 a 4 b 得? 解得? 2 ?b =6. 2 2 ? ?a -b =4. x2 y2 ∴椭圆方程为10+ 6 =1. x2 y2 5.设 F1,F2 分别为椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° ,F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → =2F → (2)如果AF B,求椭圆 C 的方程.
2 2

解析 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c=2 3, 故 c=2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0, 直线 l 的方程为 y= 3(x-2). ?y= 3x- ? 联立?x2 y2 2+ 2=1 ? ?a b ,得(3a2+b2)y2+4 3b2y-3b4=0.

- 3b2(2+2a) - 3b2(2-2a) 解得 y1= ,y2= . 3a2+b2 3a2+b2 → → 因为AF2=2F2B,所以-y1=2y2. 3b2(2+2a) - 3b2(2-2a) 即 = 2· . 3a2+b2 3a2+b2 得 a=3.而 a2-b2=4,所以 b= 5. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 9 + 5 =1.


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