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高中物理竞赛辅导参考资料之23量子力学初步


量子力学初步

本章内容
波函数及其统计解释

Contents

chapter 23

wave function and its statistical explanation 薛定谔方程 Schrodinger equation 隧道效应 tunnel effect 不确定关系 u

ncertainty relation

第一节
23-1
wave function and its statistical explanation

引言
量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一,被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。
本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理,并通过几个具体事例的讨论来说 明量子力学处理问题的一般方法。

波函数
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数,知道 了某微观客体的波函数后,原则上可得到该微观客体的全部知识。

下面从量子力学的基本观点出发,建立自由粒子的波函数。 回顾:德布罗意关于物质的波粒二象性假设 质量为 速度为 的自由粒子

一方面可用 能量
另一方面可用 频率

和 动量
和 波长

来描述它的粒子性
来描述它的波动性

在波动学中,描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程

自由粒子波函数

在量子力学中用复数表达式:

应用欧拉公式

沿 X方向匀 的自由粒子的波函数为 速直线运动

取实部 应用德布罗意公式 即


沿 方向匀 的自由粒子的波函数为 速直线运动



在波动学中,描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数 自由粒子的
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程

续上

波函数

在量子力学中用复数表达式:

应用欧拉公式 自由粒子的能量和动量为常量,其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。

取实部 沿 对于处在外场作用下运动的非自由粒子,其能量和动量 X方向匀 的自由粒子的波函数为 应用德布罗意公式 速直线运动 即

不是常量,其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同,粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。


沿 方向匀 的自由粒子的波函数为 微观客体的运动状态可用波函数来描述,这是 速直线运动 即

量子力学的一个基本假设。

概率密度
设描述粒子运动状态的波函数 为 ,则 空间某处波的强度与在该处 发现粒子的概率成正比; 在该处单位体积内发现粒子 的概率(概率密度) 与 的模的平方成正比。
取比例系数为1,即



的共轭复数 1926 年提出了对 波函数的统计解释

德布罗意波又称 概率波
波函数又称 概率幅

因概率密度 故在 矢端的体积元

波函数归一化


发现粒子的概率为

在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子,即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。

此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数

波函数具有统计意义,其函数性质应具备三个标准条件:

概率波与经典波 德布罗意波(概率波)不同于 经典波(如机械波、电磁波)
经 典 波

德布罗意波
不代表任何物理量的传播 波强(振幅的平方)代表粒 子在某处出现的概率密度 概率密度分布取决于空间 各点波强的比例,并非取 决于波强的绝对值。
因此,将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍,不影响粒子 的概率密度分布,即 和C 所 描述德布罗意波的状态相同。

是振动状态的传播
波强(振幅的平方)代表 通过某点的能流密度 能流密度分布取决于空 间各点的波强的绝对值。
因此,将波函数在空间 各点的振幅同时增大 C倍, 则个处的能流密度增大 C 倍,变为另一种能流密度 分布状态。

波动方程无归一化问题。

波函数存在归一化问题。

波函数标准条件 波函数的三个标准条件:
连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变,故波函数必 须处处连续; 因任一体积元内出现的概率只有一种,故 波函数一定是单值的;

因概率不可能为无限大,故波函数必须是 有限的;

以一维波函数为例,在下述四种函数曲线中,只有一种符合标准条件

符合

不符合

不符合

不符合

某粒子的 波函数为
归一化波函数 令

算例
概率密度 求


概率密度最大的位置


积分得:

求极大值的 x 坐标

解得


处题设

最大

另外两个解
得到归一化波函数:

概率密度

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下列波函数中合理的是
(1) (2 ) (3 ) (4 )
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第二节
23-2
Schrodinger equation

薛定谔方程引言
经典力学 量子力学

不考虑物质的波粒二象性 经典质点有运动轨道概念

针对物质的波粒二象性 微观粒子无运动轨道概念

是否存在一个

牛顿力学方程
根据初始条件可求出经典质点的

量子力学方程
根据某种条件可求出微观粒子的

运动状态

运动状态

波函数

量子力学中的

算符
数学运 算符号

算符是表示对某一函数进行某种数学运算的 符号。在量子力学中,一切力学量都可用算符 来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。

基本算符

劈形算符 拉普拉 斯算符
举例 若 和 即 则 作用在某函数 上的效果 与某一常量 的乘积相当,

力 学 量 算 符 统称 位矢算符 动量算符 动能算符

哈密顿算符
含动、势能

称为 的 本征值 称为 的 本征函数 所描述的状态称为 本征态 力学量的可能值是它的本征值 力学量的平均值由下述积分求出

薛定谔方程
1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程 质量为 的粒子 在势能函数为 的势场中运动 当其运动速度远小于光速时 它的波函数 所满足的方程为

它反映微观粒子运动状态随时间变化 的力学规律,又称含时薛定谔方程。

式中,

为哈密顿算符,

获1933年诺贝尔物理学奖

定态薛定谔方程
含时薛定谔方程 定态薛定谔方程
若粒子所在的 势场只是空间函数 ,则 即 对应于一个可能态 有一个能量定值

定态 波函数

解释: 若 故



可分离变量,写成 得 定态薛定谔方程 此外,对 常量 解得

积分

时间的函数

空间的函数

对应一个可能 态有一常量

将常量

归入

中,得



定态 波函数

所谓“定态”,就是波函数具有 式 所描述的状态。它的重要特点是: 其概率密度 与时间无关 定态波函数
(有时直称 为波函数)。

续上



中的

称为 振幅函数

的函数形式也应满足统计的条件 归一化条件;

连续、单值、有限的标准条件;

对坐标的一阶导数存在且连续(使定态薛定谔方程成立)。

若已知势能函数
可求解出

,应用定态薛定谔方程

,并得到定态波函数

定态问题是量子力学最基本的问题,我们仅讨论若干典型的定态问题。

态跌加原理


将上式两边对时间 求偏导数并乘以 因

为薛定谔方程的两个解,分别代表体系的两个可能状态。 为它们的线性叠加
为复常数 都满足薛定谔方程



这表明:

体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。
称为

态叠加原理

一维无限深势阱

粒子在某力场中运动,若力场的势函数 U 具有下述形式

该势能函数称作一维无限深势阱。 这是一个理想化的物理模型,

应用定态薛定谔方程可求出运动粒
子的波函数,有助于进一步理解在

微观系统中,有关概率密度、能量
量子化等概念。

设质量为

的微观粒子, 处在一维无限深势阱中,
阱外

续上求解

该势阱的势能函数为

阱内

建立定态薛定谔方程
一维问题

阱内

阱外
要连续、有限, 及 因 薛定谔方程才成立, 在阱外 只有 故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。

求定态薛定谔方程的通解
阱内

续上求解 根据标准条件确定常数
和 并求能量 的可能取值
在边界 的取值应与阱外 故 得 及 又因 得 以及 时阱内 不合理 舍去 同一 的负值和正值概率密度相同。 取 得 边界处的 和 连续, 处

即 令 得
此微分方程的通解为

其三角函数表达形式为

式中



为待定常数

求归一化定态波函数
由上述结果 阱外 阱内 及 得

积分

续求解


归一化定态波函数

应满足归一化条件

概率密度

一维无限深势阱中的微观粒子 (小结) 能量 量子化 波函数

势阱问题小结
概率密度
看,

能量量子化是微观世界的固有现象
从能级绝对间隔
称 基态能 或 零点能 相邻能级的能量间隔

如,电子 处在宽度

置间隔变小。 很大,概率 能量量子化明显 算得 × 37.7 eV 好比驻波 密度趋近经典均匀分布。 – 2 处在宽度 10 m ( 宏观尺度)的势阱中

9.1×10 10 - 10 m ( 原子线度 )的势阱中 增大,节点数增多 ,最概然位

– 31

的 称节点位置 kg 极大的 称最概然位置

算得

× 37.7 ×10 -15 eV 间距太小 能量量子化极不明显,可视为经典连续。 看, 在微观粒子可能取

从能级相对间隔



的各种能态中,随着 值增大,逐渐向经典过渡。

23-3

势垒

粒子在某力场中运动,若力场的势函数 U 具有下述形式

该势能函数称作一维矩形势垒。 按经典力学观点, 能量 的粒子不可能穿越势垒。 在量子力学中,

应求解定态薛定谔方程 后才能下结论。

隧道效应
设:一矩形势垒的 势能函数 一质量为 、能量为 的粒子 由 区向势垒运动
在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程



上述微分方程的解为 区 区

式中



入射波



反射波


区 区 区

续上
入射波 反射波 透射波

透射波
根据边界条件



区无反射,
和 处
和 必须连续,可求方程中各系数的关系。

为描述粒子透 引入 透射系数 过势垒的概率 估算表明

透射粒子数
入射粒子数

透 入

为势垒宽度

为原设

可见,粒子能穿过比其能量更高的势垒, 这种现象称为 势垒贯穿 亦称 隧道效应。这是微观粒子波动性的表现。
隧道效应已被许多实验所证实,并在半导体器件、超导器件、物质表 面探测等现代科技领域中有着重要的应用。

扫描隧道显微镜
金属中的电子由于隧道效应有可能 穿越比其能量更高的表面势垒(逸出电 势垒)而逸出金属表面,在金属外表面 附近形成电子云,电子云的分布形式与 金属晶体的结构和表面性质有关。 若两块金属表面相距 很近,至使表 面的电子云发生相互重叠,此时若在两 金属间加一微弱电压 (操作电压), 则会有微弱的电流 (隧道电流) 从 一金属流向另一金属,并可表示为
金属1 金属2

逸 出 电 势 垒 高 金属1

逸 出 电 势 垒 高 金属2

两金属的平均逸出电势垒高度

若势垒宽度

和势垒平均高度

分别以 n m 和 eV 为单位时, 约为1。

实验表明, 只要改变 0.1 n m(原子直径线度), 就会引起 变化一千 倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性,将一金属做成 极细的探针(针尖细到一个原子大小),在另一金属样品表面附近扫描, 它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构。

真 空 或 介 质

电子云

电 子 测 控 及 数 据 处 理 系 统

续上
沿XY逐行扫描的同时,自控系统根据反馈 信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离, 使 保持不变。针尖的空间坐标的变化 反映了样品表面原子阵列的几何结构及起 伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。

计 算 机 显 示 系 统
Atomic Resolution STM on Si (111)

纵向 分辨率 达 0.005 n m

Si (111)表面 7×7 元胞的STM图像 亮点表示突起,暗部表示下凹 STM可用于金属、半导体、绝缘体和有 机物表面的研究。是材料科学、生命科 学和纳米科学与技术的有力武器。

横向

分辨率达 0.1 n m

23-4

不确定关系
1927年,德国物理学家海森伯提出 微观粒子不能同时具有确定的位置和动量, 同一时刻

位 置 的 不 确 定 量 该方向动量的不确定量

的关系

称为海森伯位置和动量的不确定关系,它说明, 同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。 (注:不确定关系又称测不准关系,在上述
表达式中的 和 都具有统计含义, 分别代表有关位置和动量的方均根偏差。) 海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学,获1932年诺贝尔物理奖

从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系
电子束
缝 宽
电子通过单缝时发生衍射, 单缝衍射一级暗纹条件 概略地用一级衍射角所对 应的动量变化分量 粗 估其动量的不确定程度

续上

德布罗 意波长

缝宽 可用来粗 估电子通过单缝时其 位置 x 的不确定程度。 为了减小位置测量 衍 的不确定程度,可以 射 减小缝宽 ,但与 图 此同时,被测电子的 样 动量的不确定量 却变大了。 根据右图可粗估 与 的关系。





考虑到高于一级 仍会有电子出现



不可能

通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式,它表明

同时为零,即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定,这是微观粒子具有波粒二象性的一种 客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限,如果在某一具体问题中,普朗克 常数可以看成是一个小到被忽略的量,则不必考虑客体的波粒二象性,可用经典力学处理。

试应用不确定关系分别估算下述电子和子弹的位置不确定量 质量 某原子中的电子 m e = 9.1×10 – 31 kg 某飞行中的子弹 m = 0.01 kg 速度

例题一
v = 500 m / s


速度不确定量

v e = 2×10 6 m / s △v e = 0.1 v e
△v = 0.1 v

根据位置和动量不确定关系




0.1 0.4

弹 0.1 0.4

2.9×10 – 10 (m)
电子的位置不确定量大到与原子 的线度数量级(10 – 10 m )相同, 因此,不可能精确测定电子处在 原子中的位置。

1.1×10 – 34 (m)
子弹的位置不确定量比原子的线 度还要小许多个数量级,小到任何精 密仪器都无法观测。因此,对宏观物 体运动的描述,不受位置和动量的不 确定关系的限制。

例题二
电子的质量 me为

9.11×10 -31 kg
一氢原子中的电子 速度 的数量级为

由不确定关系

因该电子速度远小于光速,可不考虑
相对论效应,用 得 代入

10

6m

· s

-1

若以氢原子的线度 10 –10 m 作为电子 的坐标不确定量

5.79×10 5 m · s –1
已大到与 的大小相当。

电子速度的
不确定量

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不确定关系说明 (1)粒子的坐标是不能 精确确定的; ( 2 )粒子的动量是不能 精确测定的;

( 3 )粒子的坐标和动量都 是不能精确确定的; (4)以上结论都不对。
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( 3 )粒子的坐标和动量都 是不能精确确定的; (4)以上结论都不对。
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作业
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23 - 1 4


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