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2010年普通高中模拟试题布衣精英


2010 年普通高中模拟试题

理科数学(试题)
本试卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项:

命题泉州一中 邱形贵

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其他题为必考题,

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签)笔或碳素笔书写,字体工整、笔记清楚。 4. 做选考题时, 考生按照题目要求作答, 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 样本数据 x1 , x1 ,…xn ,的标准差 锥体体积公式 V ?

1 Sh 3

s?

? ? ? 1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? … ? ( xn ? x)2 ] n

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V ? Sh 其中 S 为底面面积, h 为高

?

4 S ? 4? R 2 , V ? ? R 3 3
其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题
符合题目要求的,把答案填涂在答题卡上。

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是

1.若集合 P ? y y ? 0 , P ? Q ? Q, 则集合 Q 不可能是( A. y y ? x

?

?

) D. ? ) D. ?2

?

2

?

B. y y ? 2

?

x

?

C. y y ? lg x

?

?

2.若复数 (1 ? ai)(2 ? i) ? 3 ? bi ( i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为( A. 1 B. ?1 C. ?2 )

3. x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( “ A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(原创)4.在对两个变量 x,y 进行线性回归分析时,有下列步骤: ①对所求出的回归直线方程作出解释; ②收集数据 ( xi , yi ),i ? 1,2,?, n; ③求线性回归方程; ④根据所搜集的数据绘制散点图. )

如果变量 x,y 具有线性相关时,则绘制流程图时正确的顺序是( A.①②④③ B.③②④① C.②③①④

D.②④③①555

(原创)5.等差数列 {a n ] 中, S n 是其前 n 项和, a1 ? ?2010 , A.2009 B.0 C.-2010 D.2010

S9 S 7 ? ? 4 ,则 S2010 的值为( 9 7
y



??? ??? ??? ? ? ? 6.函数 y ? tan( x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB =( 4 2
A.6 B.4 C. ?4 D. ?6

?

?


1
O

B A
x

7.若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则 此多面体的体积是( ) B.

1 3 cm 2 5 C. cm3 6
A.
0

2 3 cm 3 7 D. cm3 8
0

1 1 正视图 ) 1 1 侧视图

(原创)8.设 a ? cos 25 ? 3 sin 25 , b ? 3 ,则有( A. a ?

a2 ? b2 ?b 2

B. b ? a ? D. b ?

a2 ? b2 2
俯视图

C. a ? b ?

a2 ? b2 2

a2 ? b2 ?a 2

9.编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示五个盒子中。要求每个盒子 只能放一个小球,且 A 不能放 1,2 号,B 必须放在与 A 相邻的盒子中。 则不同的放法有( A.42 B.36 )种 C.32 D. 30 1 2 3 5 (改编) 10. 在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B(-a, -b)在函数 y ? f (x) 的图象上, 那么称 [A, B] 为 函 数 f (x) 的 一 组 关 于 原 点 的 中 心 对 称 点 ([A , B] 与 [B, A] 看 作 一 组 ). 函 数 4

? ? ? cos x , x ? 0 关于原点的中心对称点的组数为( g ( x) ? ? 2 ?log 4 ( x ? 1), x ? 0 ?
A. 1 B.2 C. 3



D. 4

第Ⅱ卷(非选择题
把答案填在答题卡相应位置。

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。
频率 组距

11.为了了解高三学生的身体状况.抽取了部分男生的体 重, 将所得的数据整理后, 画出了频率分布直方图(如 图), 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1︰2 ︰3, 第 2 小 组 的 频 数 为 12 。 则 抽 取 的 男 生 人 数 是 ;
0.0125 0.0375

50

55 60

65 70

75 体重

12.如右图,该程序运行后输出的结果为 13.如右下图两曲线方程分别为 y ? x2 与 y ? kx ? k ? 0? 所围成的阴影部分的面积为

9 ,则 k ? 2



开始

a= 1,b=1

a≤3?


输出 b


b=2
b

结束 a=a+1

14.对大 2 的自然 次幂进行 的 “ 分 仿 裂”中最 是 .

于或等于 数m 的n 如下方式 裂” , 此,53“分 大 的 数

(改编)15.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集 R 的映射过程:区间 (0,1) 中的实数 m 对应数轴上 的点 M,如图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A、B 恰好重合(从 A 到 B 是逆时针) ,如图 2; 再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为 (0,1) ,如图 3,图 3 中直线

AM 与 x 轴交于点 N (n,0) ,则 m 的象就是 n ,记作 f (m) = n .

y A

A(B) A 0 M m B 1 M N
图1 则下列说法中正确命题的序号是 图2

M

O
图3

x

① f (m) ? 0

则m ?

1 2

② f ( ) ? 1;

3 4

③ f ? x ? 是奇函数;

④ f ? x ? 在定义域上单调递增;

⑤ f ? x ? 的图象关于 y 轴对称.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 13 分)

?ABC 的三个内角分别为 A、B、C,当 ?A ? ? 时, 2sin
(1)求 ? 的值;

A ? cos( B ? C ) 取得最大值。 2

(2)如果 ? A 的对边等于 2,求 ?ABC 的面积的最大值并说明此时三角形形状。

(原创)17. (本题满分 13 分) 袋中有大小相同的 5 个球,其中黑球 3 个,白球 2 个,甲、乙两人分别从中各取一个,甲先取(取 后不放回) ,乙后取。 (1)分别求甲、乙取到黑球的概率; (2)若取到黑球得 2 分,白球不得分,求两人一共取得分数 ? 的数学期望。

18. (本题满分 13 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥ 底面 ABC. (1)求证:OD∥平面 PAB; (2)当 k=

1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦; 2

P

(3) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? D

A

O C

(改编)19.(本题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ln( x ? a) ? x , (1)试确定 f ? x ? 的单调性; (2)数列 ?an ? 满足 an?1an ? 2an?1 ? 1 ? 0 ,且 a1 ? ①证明数列 ?

B

1 , Sn 表示 ?an ? 的前 n 项之和 2

? 1 ? ? 为等差数列; ?1 ? an ?

②求证: Sn ? n ? 1 ? ln ? n ? 2? .

(改编)20. (本小题满分 14 分)

已知椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? c ? 0, a 2 ? b2 ? c 2 ) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 若以 F2 为圆心,b ? c 2 a b

为半径作圆 F2 ,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T ,且 | PT | 的最小值不小于 (1)求椭圆的离心率 e 的取值范围;

3 (a ? c) . 2

(2)设椭圆的短半轴长为 1 ,圆 F2 与 x 轴的右交点为 Q ,过点 Q 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与椭圆 相交于 A,B 两点,若 OA ? OB ,求直线 l 被圆 F2 截得的弦长 s 的最大值.
y P

O T

F2

x

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如果多做, 、 、 则按所做的前两题记分。 (1)(矩阵与变换) . 已知曲线 C : xy ? 1 将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 450 后,求得到的曲线 C ' 的方程; (2) (坐标系与参数方程)

? x ? 3 ? 2cos ? ? 已知圆 C 的参数方程为 ? ? y ? 2sin ? ?

( ? 为参数) ,若 P 是圆 C 与 y 轴正半轴的交点,以

原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点 P 的圆 C 的切线的极坐标方程。

(3) (不等式选讲) 已知函数 f ( x) = x - 1 + x - 2 . 若不等式 a + b + a - b ≥ a f ( x) 对 a ? 0, a、b ? R 恒成立, 求实数 x 的范围.

2010 年普通高中模拟试题

理科数学(参考答案)
一、选择题 1. P ? y y ? 0 , P ? Q ? Q, 故 Q ? P ,则选 C

命题泉州一中 邱形贵

?

?

2. (1 ? ai)(2 ? i) ? 3 ? bi 得 2 ? a ? (2a ? 1)i ? 3 ? bi ,得 a ? ?1 ,选 B 3.由 | x ? 1|? 2 得 ?1 ? x ? 3 ,又 x( x ? 3) ? 0 得 0 ? x ? 3 故选 B 4.选 D 5.

S9 S 7 2010 ? 2009 ? ? 4 得公差 d=2,由 S2010 ? 2010a1 ? d 得 S2010 ? ?2010 。选 C 9 7 2

??? ??? ??? ? ? ? 6.知 A(2,0) ,B(3,1)由 (OA ? OB) ? AB =(5,1) (1,1)=5+1=6 .故选 A
7.几何体为正方体切除左上前角的一个锥体后所得,故选 A 8. a ? cos 25 ? 3 sin 25 , 2 ? 2sin 45 ? a ? 2sin 55 ? 2sin 60 ? 3 ? b ,计算得选 C
0 0 0 0 0

3 9. A 排 3 号位时,B 可排 2、4、5 号,共 3A3 =18; 3 A 排 4 或 5 号位时,B 只能排 3 号位计 2A3 =12 合计 30 种故选 D

10. 设 x0 ? 0 , 有 对 称 关 系 , 则 log 4 ( x0 ? 1) ? ? cos(?

?
2

x0 ) , 分 别 做 y ? log4 ( x0 ? 1) 与

y ? ? cos
故选 B

?
2

x0 两图像看有几个交点即可。或令 f ( x0 ) ? log 4 ( x0 ? 1) y ? cos

?
2

x0

判断零点个数

二、填空题 11. 后两组频率为 0.05 ? 5=0.25,前三组频率和为 0.75,故第 2 组频率为 0.25,则 12 ? 0.25 ,则

n

n=48 12.循环 3 次,得 b=16

13. s ?

?

k

0

1 1 1 9 k (kx ? x 2 )dx ? ( kx 2 ? x 3 ) |0 ? k 3 ? 。解得 k=3 2 3 6 2
3

14.归纳推理知 5 ? 125 可分解为 5 个连续奇数和,则中间一个为 25,故最大为 29 15.由映射关系知 m ?

1 3 时,对应于 x 轴上的数 0,故①正确 , m ? 时,直线 AN 与点 O 构成等腰 2 4

直角三角形,故 N 点为 x 轴上的数 1,②正确,由映射过程知 f ? x ? 在定义域上为增函数故④正确。

三、解答题 16.解: (1)由 A ? B ? C ? ? 得 B ? C ? ? ? A ,所以有 cos( B ? C ) ? ? cos A ?? 所以 2sin 当 sin 2分

A A 2A A A 1 3 ? cos( B ? C ) ? cos A ? 2sin ? 1 ? 2sin ? 2sin ? ?2(sin ? ) 2 ? ?? 5 分 2 2 2 2 2 2 2

A 1 ? B?C 3 ? ? ,即 ?A ? 时, cos A ? 2 cos 取得最大值为 ,∴ ? ? ?? 6 分 2 2 3 2 2 3
2 2 2

(2)设内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,根据余弦定理 b ? c ? a ? 2bc cos A 由(1)知 A ?

?
3

,∴ b ? c ? 4 ? bc
2 2

??7 分

4 ? bc ? b2 ? c2 ? 2bc即bc ? 4
因此 S ?ABC ?

??10 分 ??11 分

1 bc sin A ? 3 , 2

当且仅当 b ? c ? a ? 2 时, ?ABC 的面积取得最大值 3. 此时为正三角形 ??13 分

17.解: (1)记“甲取到黑球”为事件 A, “乙取到黑球为事件 B” 则 P( A) ?
1 C3 3 ? C52 5

??3 分

1 C3 3 P( B) ? 2 ? C5 5

故甲、乙取到黑球的概率均为 ?? 7 分

3 ??6 分 5

(2) ? 的所有可能取值为 0,2,4 且 P(? ? 0) ?

2 C1C1 3 C2 3 C2 1 ? , P(? ? 2) ? 3 2 2 ? , P(? ? 4) ? 32 ? C52 10 C5 5 C5 10

?? 11 分

∴ ? 的分布列为

?

0

2

4

P

1 10 ? E? ? 0 ? 1 3 3 12 ? 2? ? 4? ? 10 5 10 5

3 5
??13 分

3 10

18 解:解法一 (1)∵O、D 分别为 AC、PC 的中点:∴OD∥PA,又 PA ? 平面 PAB, ∴OD∥平面 PAB. (2)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面 ABC,∴PA=PB=PC. 取 BC 中点 E,连结 PE,则 BC⊥平面 POE,作 OF⊥PE 于 F,连结 DF,则 OF⊥平面 PBC ∴∠ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角. 又 OD∥PA,∴PA 与平面 PBC 所成角的大小等于∠ODF. 在 Rt△ODF 中,sin∠ODF= ?? 3 分

OF 210 , ? OD 30

?? 7 分

(3)由(2)知,OF⊥平面 PBC,∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影. ∵D 是 PC 的中点,若 F 是△PBC 的重心,则 B、F、D 三点共线,直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直 线 BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即 k=1..反之,,当 k=1 时,三棱锥 O-PBC 为正三棱锥,∴O 在 平面 PBC 内的射影为△PBC 的重心. 解法二: ∵OP⊥平面 ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP. 以 O 为原点,射线 OP 为非负 x 轴,建立空间坐标系 O-xyz 如图),设 AB=a,则 A( ??13 分

2 a,0,0). 2

B(0,

2 2 a,0),C(a,0,0).设 OP=h,则 P(0,0,h). 2 2

(1)∵D 为 PC 的中点,∴ OD ? (?

????

??? ? ???? ? ? 2 1 ??? ???? ??? 2 1 a, 0, ?h), OD ? ? PA,? OD ∥ PA , a, 0, h), 又 PA ? ( 2 2 2 2

∴OD∥平面 PAB. (2) ∵ k=

1 , 则 PA=2a, ∴ h= 2

??? ? 7 2 7 a , ∴ PA ? ( a, 0, ? a), 可 求 得 平 面 PBC 的 法 向 量 2 2 2

? 1 n ? (1, ?1, ? ), 7

??? ? ? ??? ? ? PA ? n 210 ? ? ? ∴cos ( PA, n) ? ??? . 30 | PA | ? | n |
设 PA 与平面 PBC 所成角为θ ,刚 sinθ =|cos( PA, n )|= (3)△PBC 的重心 G( ?

??? ? ?

210 . 30

???? 2 2 1 2 2 1 a, a, h ),∴ OG =( ? a, a, h ). 6 6 3 6 6 3

∵OG⊥平面 PBC,∴ OC ? PB, 又 PB ? (0,

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? 1 ? 1 2 a, ?h), ∴ OC ? PB ? a 2 ? h 2 ? 0 , 6 3 2

∴h=

2 a ,∴PA= OA2 ? h2 ? a ,即 k=1,反之,当 k=1 时,三棱锥 O-PBC 为正三棱锥. 2

∴O 为平面 PBC 内的射影为△PBC 的重心. 19 解.(1)? f ? ? x ? ?

1 ?1 x?a

??1 分 ??3 分 ?? 4 分

?当 ? a ? x ? 1? a 时,f ? ? x ? ? 0,当 x ? 1? a 时,f ? ? x ? ? 0
故 f ? x ? 在 (?a, 1 ? a] 上是单调递增函数,在 [1 ? a, ??) 上是单调递减函数 (2)①? an an?1 ? 2an?1 ? 1 ? 0

? an?1 ?
?

1 ? an 1 1 , 1 ? an?1 ? 1 ? ? 2 ? an 2 ? an 2 ? an
??6 分

2 ? an 1 1 ? ? ? 1 (a1 ? 1) 1 ? an?1 1 ? an 1 ? an

? 1 ? 1 ?? ?2 ? 是公差为 1 的等差数列,且首项为 1 ? a1 ?1 ? an ?


1 ? n ? 1, 1 ? an
?? 7

1 ? an ?1 ? n ?1


②由(1)知,当 a ? 1 时, f ? x ? ? ln(1 ? x) ? x 在 [0, ??) 是单调递减函数,又 f ? 0? ? 0 ,

? x ? 0, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? x
? 对于k ? N ? , ak ? 1 ? 1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) . k ?1 k ?1

?? 9 分 ??10 分

1 ? 1 ? (ln(k ? 2) ? ln(k ? 1)) k ?1

??11 分

Sn ? a1 ? a2 ? ?? an ? 1 ? (ln 3 ? ln 2) ? 1 ? (ln 4 ? ln 3) ? ?? 1? (ln(n ? 2) ? ln(n ? 1))
? n ?l n 2 ? l n ( ? 2 ?n ? 1 nn (? n ) ? l
20 解: (1)依题意设切线长 | PT |? | PF2 | ?(b ? c)
2 2

2)

?? 13 分

∴当且仅当 | PF2 | 取得最小值时 | PT | 取得最小值,而 | PF2 |min ? a ? c ,

?? 2 分

? (a ? c)2 ? (b ? c) 2 ?
?0 ?

3 (a ? c) , 2

b?c 1 3 2 3 2 ? ,从而解得 ? e ? ,故离心率 e 的取值范围是 ? e ? ; ??6 分 a?c 2 5 2 5 2

? y ? k ( x ? 1) ? (2)依题意 Q 点的坐标为 (1, 0) ,则直线的方程为 y ? k ( x ? 1) , 联立方程组 ? x 2 2 ? 2 ? y ?1 ?a
得 (a2k 2 ? 1) x2 ? 2a2k 2 x ? a2k 2 ? a2 ? 0 , 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

2a 2 k 2 a2k 2 ? a2 , x1 x2 ? 2 2 , a2k 2 ? 1 a k ?1

??8 分

代入直线方程得 y1 y2 ? k 2 [ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ?

k 2 (1 ? a 2 ) , a2k 2 ? 1

x1 ? x2 ? y1 ? y2 ?

??? ??? ? ? k 2 ? a2 ,又 OA ?OB ,?OA ? OB ? 0,? x1x2 ? y1 y2 ? 0,?k 2 ? a2 , ??10 分 a2k 2 ? 1
| ac ? a | a2 ? 1
,由图象可知

? k ? a ,直线的方程为 ax ? y ? a ? 0 ,圆心 F2 (c , 0) 到直线 l 的距离 d ?

s?

2d 2 | c ? 1| c2 ? 2c ? 1 ,??11 分 ? ?2 a c2 ? 2 a2 ? 1
c 2 ? c ? 1 / 2(c ? 2)(c ? 1) , ,t ? c2 ? 2 (c 2 ? 2)2

令t ?

又?

3 2 3 , ? c ?1 ?e? 4 5 2 ,

3 ?t / ? 0 ,则 t 为 c 在 [ ,1) 上的减函数 4
故c ?

??13 分

3 4

smax ?

2 41 41

??14 分

21. 解:

?cos 45 (1)由题设条件, M ? ? 0 ? sin 45
? ? x ? ? x '? ? TM : ? ? ? ? ? ? ? ? y ? ? y '? ? ? ?

0

? ? sin 45 ? ? ??? cos 450 ? ? ? ?
0

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? , ??3 分 2 ? ? 2 ?
? ? y? ?x ' ? ? ,即有 ? ? ? ?y' ? y? ? ? ? 2 x? 2 2 x? 2 2 y 2 , 2 y 2

2 2 2 2

?

? 2? ? ?x? ? 2 ?? ? ??? 2 ? ? y? ? ? ? 2 ? ?

2 2 x? 2 2 2 2 x? 2 2

? ?x ? ? 解得 ? ?y ? ? ?

2 ( x '? y ') 2 ,代入曲线 C 的方程为 y '2 ? x '2 ? 2 。 2 ( y '? x ') 2
?? 7 分 ??3 分

所以将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 450 后,得到的曲线是 y 2 ? x 2 ? 2 。
? x ? 3 ? 2cos ? ? (2)圆 C 的参数方程为 ? ? y ? 2sin ? ?

( ? 为参数) ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4 , ??5 分 ??7 分

可得点 P(0,1) ,圆 C 在点 P(0,1) 的切线为 y ? 3x ? 1, 由?

? y ? ? sin ? 得所求的切线的极坐标方程: ? sin ? ? 3? cos? ? 1 ? x ? ? cos?
| a ?b| ?| a ?b| ≥f ( x) . |a|

(3) 由 a + b + a - b ≥ a f ( x) |且 a?0 得 又因为

| a ?b| ?| a ?b| | a ?b? a ?b| ≥ ? 2 ,则有 2 ≥f ( x) . ??3 分 |a| |a|
x ? 1 ? x ? 2≤ 2 得
1 ≤x≤ 5 . 2 2

解不等式

?? 7 分


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