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高二理科数学上学期期末复习


高二理科数学上学期期末复习
一.选择题: 1.已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y

0 1

1 3

2 5

3 7
) D. (1.5, 4 )

则 y 与 x 的线性回归方程为 ? = a + bx 必过点( y A. ( 2, 2 ) B. (1.5, 0 ) C. (1, 2 )

2. “ m = 1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m-2)y-3=0 相互垂直”的( 2
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要



3.某校要从高一、高二、高三共 2010 名学生中选取 50 名组成访问团,若采用下面的方法 选取: 先用分层抽样的方法从 2010 人中剔除 10 人, 剩下的 2000 人再按简单随机抽样的 方法进行,则每人入选的概率( A.不全相等 B.均不相等 ) C.都相等且为

5 201

D.都相等且为 )

1 40

4.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA = a, CB = b, CC1 = C , 则 A1 B = ( A. a + b ? c C. ? a + b + c B. a ? b + c D. ? a + b ? c

5.在一个边长为 2 的正方形中随机撒入 200 粒豆子,恰有 120 粒落在阴影区域内,则该阴 影部分的面积约为( )

A.

3 5 6 5

B.

12 5 18 5


C.

D.

6.执行右边的程序框图,若 P=12, 则输出的 n=( A.2 C.4 B.3 D.5

7.若抛物线 y = 2 px( p > 0) 上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6,则该 点的横坐标可以为( ) A.10 B.9 C.8 D.7
2

8.直线 y=kx+1 与椭圆 A. (0,1) C.[1,+ ∞)

x2 y2 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m
B. (0,5) D.[1,5 ) ∪ (5,+∞)



9.若中心在原点,焦点在坐标上的椭圆短轴端点是双曲线 y2-x2=1 的顶点,且该椭圆的离 心率与此双曲线的离心率的乘积为 1,则该椭圆的方程为( ) A.

x2 2 +y =1 2

B.

y2 2 +x =1 2

C.

x2 2 +y =1 4

D.

y2 2 +x =1 4

10. 已知点 M 在平面 ABC 内, 并且对空间任一点 O ,OM 的值为( A. ) B.

1 1 = xOA + OB + OC 则 x 2 3

1 6

1 3

C.

1 2

D. 0

11

x2 .设 F1、F2 为双曲线 -y2=1 的两焦点, 点 P 在双曲线上, 当△F1PF2 面积为 1 时, 4 PF1 ? PF2 的值为
( ) C.2 D. B.1

A.0

1 2


12.设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y = ±

1 x ,则该双曲线的离心率 e=( 2

A.5

B. 5

C.

5 2

D.

5 4

13.在正方体 AC1 中, M 为棱 DD1 的中点, O 为底面 ABCD 的中心, P 为棱 A1B1 上任意一点, 则直线 OP 与 AM 所成的角为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 14.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能( )

15.设曲线 y = A.2 二.填空题:

x +1 在点 (3, 处的切线与直线 ax + y + 1 = 0 垂直,则 a = ( 2) x ?1 1 1 C. ? D. ?2 B. 2 2



16.一组数据 x1 + 1, x 2 + 1, ? , x n + 1 的平均数和方差分别是 6、4,则

3 x1 + 2,3 x 2 + 2, ? ,3 x n + 2 的平均数和标准差分别是
17.直线 y =

. .

1 x + b 是曲线 y = ln x ( x > 0 ) 的一条切线,则实数 b= 2

18.命题“ ?x ∈ R, x 2 + 1 < 0 ”的否定__________(要求用数学符号表示) .

19.对于曲线 C∶

x2 y2 + =1,给出下面四个命题: 4 ? k k ?1

①由线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; ③若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< 其中所有正确命题的序号为_______ ______.

5 2

20.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为平行四边形, BD⊥AD, BD=2
1 1 1 1 1 1 1

3 , 又 PD⊥底面 ABCD,


二面角 P-BC-A 为 60°, 则直线 AD 到平面 PBC 的距离为

21.直三棱柱 ABC-A B C 中, ∠A B C =90°, 且 AB=BC=BB , E, F 分别是 AB, CC 的中
1

点, 那么 A1C 与 EF 所成的角的余弦值为 . 三.解答题: 22.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随即抽取 8 次,记录如下: 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (I)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加 合适?请说明理由.

23.设甲、乙两射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为 0.9、0.8, 求:(1)目标恰好被甲击中的概率;(2)目标被击中的概率.

24.给定两个命题,

P :对任意实数 x 都有 ax 2 + ax + 1 > 0 恒成立; Q :关于 x 的方程 x 2 ? x + a = 0
实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. .

25.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,E 为 AB 的中点.
1 (Ⅰ) 求证: AC ⊥ 平面BDD .

D1 A1
B1

C1

(Ⅱ) 求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 B 到平面 A1 EC 的距离.

D A E B

C

26.已知 x = 3 是函数 f ( x ) = a ln (1 + x ) + x ? 10 x 的一个极值点.
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y = b 与函数 y = f ( x ) 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围.

27.已知椭圆 C:

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (1, ) ,且长轴长等于 4. 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) F1 , F2 是椭圆 C 的两个焦点,⊙O 是以 F1F2 为直径的圆,直线 l: y=kx+m 与 ⊙O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,若 OA ? OB = ?

3 ,求 k 的值. 2

28.如图,正方形 OBCD 所在平面与等腰直角三角形 AOD 所在平面互相垂直, OA = OD = 4 ,点 E、F 分别为 CD、OA 的中点. (Ⅰ)求证: DF ∥平面 AEB ; (Ⅱ)线段 AD 上是否存在一点 M ,使 BM 与平面 AEB 所成角的正弦值为 若存在,请求出

6 ? 18

DM 的值;若不存在,请说明理由. MA

B C

E O D M F A

29.已知 a ∈ R,函数 f ( x ) = ?

1 3 1 2 x + ax + 2ax (x∈R) . 3 2

(Ⅰ)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)函数 f ( x ) 是否在 R 上单调递减,若是,求出 a 的取值范围;若不是,请说明理由; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上单调递增,求 a 的取值范围.

高二理科数学上学期期末复习 参考答案
一.DACDB CBDAA ACCDD
2 二.16. 17,6 ;17.ln2-1; 18. ?x ∈ R, x + 1 ≥ 0 ;19.③③; 20.3;21.

2 2 . 3

三.22.解: (I)作出茎叶图如下:

(Ⅱ)派甲参赛比较合适,理由如下:
? 1 x甲 = (70 × 2 + 80 × 4 + 90 × 2 + 8 + 9 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 5) 85 , = 8 ? 1 x乙 = (70 × 1 + 80 × 4 + 90 × 3 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 5) = 85 8 1 2 S甲 = [(78 ? 85) 2 (79 ? 85) 2 + (82 ? 85) 2 (84 ? 85) 2 + 8 (88 ? 85)2 + (93 ? 85) 2 + (95 ? 85) 2 ] = 35.5 , 1 2 S乙 = [(75 ? 85)2 + (80 ? 85) 2 + (80 ? 85) 2 + (83 ? 85)2 + (85 ? 85) 2 + 8 (90 ? 85)2 + (92 ? 85) 2 + (95 ? 85) 2 ] = 41

2 2 ∵ x甲 = x乙 , s甲 < s乙 ,

?

?

∴ 甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。
注:本小题的结论及理由均不唯一,如能从统计学的角度分析,给出其他合理回 答也可,如: 派乙参赛比较合适,理由如下: 从统计的角度看,甲获得 85 以上(含 85 分)的概率 P = 1 乙获得 85 分以上(含 85 分)的概率 P2 =

3 , 8

∵ P2 > P ,∴ 派乙参赛比较合适. 1

4 1 = 8 2

23.解:设事件 A 为“甲击中目标”,事件 B 为“乙击中目标” . 由于甲、乙两射手独立射击,事件 A 与 B 是相互独立的. 故 A 与 B 、 A 与 B 也是相互独立的. (1)目标恰好被甲击中,即事件 A B 发生. P(A· B )=P(A)×P( B )=0.9×(1-0.8)=0.18. ∴目标恰好被甲击中的概率为 0.18.

(2)目标被击中即甲、乙两人中至少有 1 人击中目标,即事件 A· B 、 A ·B、A·B 发生. 由于事件 A· B 、 A ·B、A·B 彼此互斥,所以目标被击中的概率为 P(A· B + A ·B+A·B)=P(A· B )+P( A ·B)+P(A·B) =P(A)·P( B )+P( A )·P(B)+P(A·B) =0.9×0.2+0.1×0.8+0.9×0.8=0.98. 24.解:对任意实数 x 都有 ax + ax + 1 > 0 恒成立 ? a = 0或?
2 2

?a > 0 ? 0 ≤ a < 4; ?? < 0

关于 x 的方程 x ? x + a = 0 有实数根 ? 1 ? 4a ≥ 0 ? a ≤ 且 Q 不正确,有 0 ≤ a < 4, 且a > 有 a < 0或 a ≥ 4, 且 a ≤

1 ;如果 P 正确, 4

1 1 ∴ < a < 4 ;如果 Q 正确,且 P 不正确, 4 4

1 1 ∴ a < 0 .所以实数 a 的取值范围为 (? ∞ , 0 ) ∪ ? , 4 ? . ? ? 4 ?4 ?

25.解: (1)连接 BD,由已知有 D1 D ⊥ 平面ABCD 得 AC ⊥ D1 D 又由 ABCD 是正方形,得: AC ⊥ BD ∵ D1 D 与 BD 相交,∴ AC ⊥ 平面BDD1 . (2)延长 DC 至 G,使 CG=EB,,连结 BG.D1G, ∵ CG//EB ,∴四边形 EBGC 是平行四边形. ∴BG∥EC.∴ ∠D1 BG 就是异面直线 BD1 与 CE 所成角. 在 ?D1 BG 中, D1 B = 2 3 , BG =

5,D1G = 2 2 + 3 2 = 13 .

∴ cos ∠D1 BG =

D1 B 2 + BG 2 ? D1G 2 12 + 5 ? 13 15 = = 2 D1 B ? BG 15 . 2× 2 3 × 5

15 ∴异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值是 15 .
(3)∵ ?A1 AE ? ?CBE 又 ∵ A1C = 2 3 ∴ A1 E = CE =

5

∴ 点 E 到 A1C 的 距 离 d =

5 ? 3 = 2 , 有:

S A1EC =
又由

1 A1C ? d = 6 2

S A1EB =

1 EB ? A1 A = 1 2

V B ? A1EC = VC ? A1EB

, 设点 B 到平面 A1 EC 的距离为 h ,

1 1 6 h= S A1EC ? h = S A1EB ? CB 3 3 , 则3 , 有 6 ?h = 2,

6 所以点 B 到平面 A1 EC 的距离为 3 .
26.解: (Ⅰ)因为 f ' ( x ) =

a a + 2 x ? 10 所以 f ' ( 3) = + 6 ? 10 = 0 因此 a = 16 1+ x 4
2
'

(Ⅱ) (Ⅰ) 由 知, f ( x ) = 16 ln (1 + x ) + x ? 10 x, x ∈ ( ?1, +∞ ) . f 当 x ∈ ( ?1,1) ∪ ( 3, +∞ ) 时, f
'

( x) =

2 ( x 2 ? 4 x + 3) 1+ x

( x ) > 0 .当 x ∈ (1,3) 时, f ' ( x ) < 0 .

所以 f ( x ) 的单调增区间是 ( ?1,1) , ( 3, +∞ ) . f ( x ) 的单调减区间是 (1,3) . (Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 ( ?1,1) 内单调增加,在 (1,3) 内单调减少,在 ( 3, +∞ ) 上单调 增加,且当 x = 1 或 x = 3 时, f 极小值为 f ( 3) = 32 ln 2 ? 21 . 因此 f (16 ) = 16 ? 10 ×16 > 16 ln 2 ? 9 = f (1) ;
2 '

( x ) = 0 .所以 f ( x ) 的极大值为 f (1) = 16 ln 2 ? 9 ,

f ( e ?2 ? 1) < ?32 + 11 = ?21 < f ( 3)
所以在 f ( x ) 的三个单调区间 ( ?1,1) , (1,3) , ( 3, +∞ ) 直线 y = b 有 y = f ( x ) 的图象 各有一个交点, 当且仅当 f ( 3) < b < f (1) .因此, 的取值范围为 ( 32 ln 2 ? 21,16 ln 2 ? 9 ) . b 27.解: (Ⅰ)由题意椭圆的长轴 2=4,得 a=2, 点 (1, ) 在椭圆上,∴

3 2

1 9 + 2 = 1,b 2 = 3 . 4 4b

∴椭圆的方程为

x2 y2 + = 1. 4 3 m
1+ k
2

(Ⅱ)由直线 l 与圆 O 相切得

= 1,∴ m 2 = 1 + k 2 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? x2 y 2 =1 ? + 由? 4 消去,整理得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 8kmx + 4m 2 ? 12 = 0 . 3 ? y = kx + m ?
由题可知圆 O 在椭圆内,所以直线必与椭圆相交. ∴? > 0 .

x1 + x2 = ?

8km 3 + 4k 2 ,

x1 x2 =
2

4m 2 ? 12 . 3 + 4k 2

y1 y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m 2
=k
2

4m2 ? 12 8km 3m 2 ? 12k 2 ) + m2 = + km(? . 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2

4m 2 ? 12 3m2 ? 12k 2 7 m2 ? 12k 2 ? 12 ∴ x1 x2 + y1 y2 = + = . 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2
∵ m2 = 1 + k 2 ∴ x1 x2 + y1 y2 = ? 5 ? 5k 2 . 3 + 4k 2

3 ? 5 ? 5k 2 3 1 2 ∵ OA ? OB = ? ,∴ = ? , ∴ k 2 = ,∴ k的值为 ± 2 2 3 + 4k 2 2 2 .
28.解: (Ⅰ)证明:如图,取 AB 中点 G ,连结 FG , EG ;

∵ FG ∥ OB ,∴ FG ∥ DE ,

z B

1 1 又 FG = OB , DE = OB , 2 2
∴ FG = DE ,…………(3分)
四边形 EDFG 为平行四边形,

∴ DF ∥ EG ,
又 EG ? 平面 AEB , DF ? 平面 AEB ,

A

∴ DF ∥平面 AEB .
(Ⅱ)依题意知平面 OBCD ⊥ 平面 AOD , OB ⊥ OD ,

∴ OB ⊥ 平面 AOD ,得 OB ⊥ OA,
又 AO ⊥ OD , OB ⊥ OD . 如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O -xyz,

∵ AO = OD = 4 ,可得 A(0, 4, 0) 、 E (4, 0, 2) 、 B (0, 0, 4) ,

∴ AE = (4, ?4, 2), AB = (0, ?4, 4) .
设平面 AEB 的一个法向量为 n = (1, b, c ) , 由?

?n ? AE = 0 ? ?n ? AB = 0 ?

得?

?2 ? 2b + c = 0 ? ?b + c = 0

解得 b = 2, c = 2 ,∴ n = (1, 2, 2) . 设线段 AD 上存在一点 M (t , 4 ? t , 0) ,其中 0 ≤ t ≤ 4 , 则 BM = (t , 4 ? t , ?4) ,

cos n, BM =

n ? BM ?t ?t , = = n ? | BM | 3 × t 2 + (4 ? t ) 2 + 16 3 × 2t 2 ? 8t + 32
= 6 6 t ,即 , = 18 3 × 2t 2 ? 8t + 32 18

依题意: cos n, BM

可得 t + 2t ? 8 = 0 ,解得 t = 2, 或t = ?4 (舍去) .
2

所以 AD 上存在一点 M (2, 2, 0), 是AD的中点, 29.解:(Ⅰ)当 a = 1 时, f ( x ) = ?

DM = 1. MA

1 3 1 2 x + x + 2x , ∴ f ′( x) = ? x 2 + x + 2 . 3 2 2 2 令 f ′( x) > 0 ,即 ? x + x + 2 > 0 ,即 x ? x ? 2 < 0 ,解得 ?1 < x < 2 .
∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?1, 2 ) .

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 R 上单调递减,则 f ′( x) ≤ 0 对 x ∈ R 都成立, 即 ? x + ax + 2a ≤ 0 对 x ∈ R 都成立,即 x ? ax ? 2a ≥ 0 对 x ∈ R 都成立.
2 2

∴? = a 2 + 8a ≤ 0 , 解得 ?8 ≤ a ≤ 0 . ∴ 当 ?8 ≤ a ≤ 0 时, 函数 f ( x ) 在 R 上单调递减.
(Ⅲ)解法一:∵ 函数 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上单调递增,∴ f ′( x) ≥ 0 对 x ∈ [ ?1,1] 都成立,

∴ ? x 2 + ax + 2a ≥ 0 对 x ∈ [ ?1,1] 都成立.

x2 ∴ a ( x + 2 ) ≥ x 对 x ∈ [ ?1,1] 都成立,即 a ≥ 对 x ∈ [ ?1,1] 都成立. x+2
2

2 x ( x + 2) ? x2 x ( x + 4) x2 ′( x) = 令 g ( x) = , 则g = . 2 2 x+2 ( x + 2) ( x + 2)
当 ?1≤ x < 0 时, g ′( x) < 0 ;当 0 < x ≤1 时, g ′( x) > 0 .

1 ∴ g ( x ) 在 [ ?1, 0] 上单调递减,在 [ 0,1] 上单调递增.∵ g ( ?1) = 1, g (1) = , 3

∴ g ( x ) 在 [ ?1,1] 上的最大值是 g ( ?1) = 1 .
解法二:∵ 函数 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上单调递增,

∴ a ≥1 .

∴ f ′( x) ≥ 0 对 x ∈ [ ?1,1] 都成立,

∴ ? x 2 + ax + 2a ≥ 0 对 x ∈ [ ?1,1] 都成立.
即 x ? ax ? 2a ≤ 0 对 x ∈ [ ?1,1] 都成立.
2

1 ? ? g (1) = 1 ? a ? 2a ≤ 0, ? ?a ≥ , 令 g ( x ) = x ? ax ? 2a ,则 ? 解得 ? 3 ? g ( ?1) = 1 + a ? 2a ≤ 0. ? ?a ≥ 1. ?
2

∴a ≥ 1 .



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