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2012年3月一轮复习10-4随机事件互斥事件的概率


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2012年3月一轮复习 贺 江

考纲解读 ? 1.了解随机事件发生的不确定性和频率 的稳定性,了解概率的意义,了解频率与 概率的区别. ? 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. ? 考向预测 ? 1.互斥事件有一个发生的概率是高考重 点考查内容,求对立事件的概率是“正难 则反”思想的具体应用,在高考中时有考 查. ? 2.多以选

择题、填空题的形式考查,有 时也出现在解答题中,属容易题.
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知识梳理 ? 1.事件的分类 一定会发生 ? (1)一般地,我们把在条件S下, 的事件,叫做相对于条件S的必然事 件,简称 必然事件 . 一定不会发生 ? (2)一般地,我们把在条件S下, 的事件,叫做相对于条件S的不可能事件, 不可能事件 简称 . 必然事件与不可能事件 统称为相对于条 ? (3) 件S的确定事件,简称 确定事件 . ? (4)在条件S下 可能发生也可能不发生 的事件, 叫做相对于条件S的随机事件,简称 随机事件 .
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(5) 确定事件和随机事件 统称为事件,一般用 大写字母A,B,C?表示. ? 2.频数、频率、概率 ? (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察 n次试验中事件A出现的次数nA 某一事件A是否出现,称 为事件A出现的频数,称事件A 出现的比例 为事件A出现的频率. ? (2)在相同的条件下,大量重复进行同一 试验时,随机事件A发生的频率会在某个 常数 附近摆动,即随机事件A发生的频率 具有 稳定性 ,这个常数叫事件A的概
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3.互斥事件、对立事件 ? (1)在一个随机试验中,我们把一次试验 不能同时 发生的两个事件A与B称作互斥 下 事件. ? (2)给定事件A,B,规定A+B为一个事件, 事件A+B发生是指事件A和事件B 至少有一个发生 . ? (3)A+B为必然事件,事件A与事件B在任 何一次试验中有且仅有一个发生,则称事 件A与事件B为对立事件.
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4.概率的几个基本性质 ? (1)概率的取值范围: (1)0≤P(A)≤1 . 1 ? (2)必然事件的概率P(E)= . 0 ? (3)不可能事件的概率P(F)= . ? (4)概率的加法公式 ? 如果事件A与事件B互斥,则P(A+B)= P(A)+P(B). ? (5)对立事件的概率 ? 若事件A与事件B互为对立事件,则A+B 为必然事件,P(A+B)= 1 ,P(A)= 1-P(B) .
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基础自测 1.某商场举行抽奖活动,从装有编号 0,1,2,3 的四个 小球的抽奖箱中同时抽出两个小球, 两个小球号码之和等 于 5 时中一等奖, 等于 4 时中二等奖, 等于 3 时中三等奖, 则在一次抽奖中,中奖的概率为( 2 A.3 3 C.4
[答案] A

)

1 B.3 1 D.4

2.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙 馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意 舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 ( 8 A. 91 48 C. 91 25 B. 91 60 D. 91 )

[答案] C

3. (2008· 辽宁)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4, 从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之 和为奇数的概率为( 1 A. 3 2 C.3
[答案] C

)

1 B. 2 3 D.4

4.(理)(2009· 安徽)考察正方体 6 个面的中心, 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线, 乙也从这 6 个点中任意选 两个点连成直线, 则所得的两条直线相互平行但不重合的 概率等于( 1 A. 75 3 C. 75 ) 2 B. 75 4 D. 75

[答案] D

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5.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连 续的自然数k,k+1,其中k=0,1,2,?,19. 从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上 两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10 的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+ 1+0=10)不小于14”为A,则P(A)= ________.

题型一、概率的有关概念 ? [例1] 在10件产品中有8件正品、2件次 品,从中任取3件: ? (1)“三件都是次品”是什么事件? ? (2)“三件都是正品”是什么事件? ? (3)“至少有一件是正品”是什么事件? ? (4)“恰有1件次品”和“恰有2件次品” 是互斥事件吗? ? (5)“恰有2件次品”和“至多有1件次品” 是互斥事件吗?
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[点评] 频率是个不确定的数,在一定程 度上频率可以反映事件发生的可能性大小, 但无法从根本上刻画事件发生的可能性大 小.但从大量的重复试验中发现,随着试 验次数的增多,事件发生的频率就会稳定 于某一固定的值,该值就是概率.

[例2] 同时抛掷两枚骰子,求至少有一 个5点或6点的概率. ? [分析] 本题可视为等可能事件或互斥事 件或对立事件解决.
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[解析] 方法1:视其为等可能事件,进 而求概率. ? 同时投掷两枚骰子,可能结果如下表:
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1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

共有 36 个不同的结果, 其中至少有一个 5 点或 6 点的 20 结果有 20 个, 所以至少有一个 5 点或 6 点的概率为 P= 36 5 =9. 方法 2:利用对立事件求概率. 至少有一个 5 点或 6 点的对立事件是没有 5 点且没有 6 点. 如上表, 没有 5 点且没有 6 点的结果共有 16 个, 没有 16 4 5 点且没有 6 点的概率为 P=36=9. 4 5 ∴至少有一个 5 点或 6 点的概率为 1- = . 9 9

[点评] (1)在利用公式P(A+B)=P(A)+ P(B)求概率时,一是弄清哪两个事件是互 斥事件,同时还要明确是否还有其他互斥 事件,找出它们之间的关系,是不互斥、 互斥,还是更进一步的对立,以便选择方 法. ? (2)解题时,将所有基本事件全部列出是 避免重复和遗漏的有效方法;对于直接法 难于解决的问题,可求其对立事件的概率, 进而求得概率,以降低难度.
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在所有的两位数 10~99 中任取一个数,则这个数能 被 2 或 3 整除的概率是( 5 A. 6 2 C. 3
[答案] C

)

4 B. 5 1 D. 2

[解析]

设事件 A、B 分别为“取得能被 2 整除的

数”, 和“取得能被 3 整除的数”, 则“A∩B”表示“取 得能被 6 整除的数”,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)- 45 30 15 60 2 P(A∩B)= + - = = . 90 90 90 90 3

变式:某学校在2011年春季田径运动会 中,购进了50本教辅书作为奖品.其中 有45本是《成才之路》系列,有5本是其 它公司的,从中任取3本,其中至少有1 本是成才之路系列的概率是多少? ? [分析] “任取一本”可认为是等可能的, “至少”可认为是互斥的.
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[点评] 用等可能性事件概率公式求解,需要将事件 A 所包含的基本事件数分类进行计数;用互斥事件的概率 加法公式求解, 则要将事件 A 分解成几个较简单的互斥事 件的和的形式. 复杂的等可能性事件的概率常常化为彼此 互斥的简单事件的概率来求解, 但在分类时要注意不重复 (互斥)、不遗漏(完备).

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(理)从分别写有0,1,2,3,4,5的六张卡片中, 任取三张,并组成三位数,计算:这个三 位数是偶数的概率.

[解析]

分别记“个位是 0,2,4 的三位数”为事件 A1,

B1,C1,它们的概率: A52 1 C41C41 4 C41C41 P(A1)=C 1A 2=5, 1)=C 1A 2=25, 1)=C 1A 2 P(B P(C 5 5 5 5 5 5 4 =25. 因为事件 A1,B1,C1 彼此互斥,由互斥事件的概率 加法公式,三位数是偶数的概率是 P(A1+B1+C1)=P(A1) 1 4 4 13 +P(B1)+P(C1)= + + = . 5 25 25 25

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[例4] 在一次军事演习中,甲方有两台 重型设备需用两只船从海面送往前方,途 中要经过乙方的火力封锁,乙的火力恰好 能够击沉两只船,为了分散敌人的火力, 甲方再增派n只形状相同的船只一同前往, 这些船只被击沉的可能性是相同的.若n =4,求至少有一台设备能够送往前方的 概率.

[分析] (1)由每只船被击沉的可能性相同, 所以可用等可能性事件的概率计算公式P = 来求概率; ? (2)“至少”一台有两种情况“一台”或 “二台”,其对立事件为“没有一台”.
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[解析] 当 n=4 时,有 6 只船,用 2 只运设备,有 C62=15 种方法. 设“至少有一台设备能送往前方”为事件 A. 则 A 为“没有一台设备能送往前方”, 即“两台都被 击沉” 1 其方法只有 1 种,∴P( A )=15, 1 14 由对立事件可得 P(A)=1-P( A )=1-15=15.

[点评] 对于“至多”或“至少”的概率 问题可考虑应用对立事件的公式来减少运 算量; ? “至少n”其对事件为“至多n-1”.
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国家射击队的队员为在2012年奥运会中 取得优异成绩,正在加紧备战.经过近期 训练,某队员射击一次命中7~10环的概 率如下表所示:

命中环 10环 9环 8环 7环 数 0.32 0.28 0.18 0.12 概率 ? 求该射击队员射击一次: ? (1)射中9环或10环的概率; ? (2)至少命中8环的概率; ? (3)命中不足8环的概率.

[解析] 记事件“射击一次,命中k环” 为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互 斥. ? (1)记“射击一次,射中9环或10环”为事 件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A 发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A) =P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60. ? (2)设“射击一次,至少命中8环”的事件 为B,那么当A8,A9,A10之一发生时, 事件B发生.由互斥事件概率的加法公式 得 ? P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10) ? =0.18+0.28+0.32=0.78.
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(3)由于事件“射击一次,命中不足 8 环”是事件 B: “射击一次,至少命中 8 环”的对立事件:即 B 表示事件 “射击一次, 命中不足 8 环”, 根据对立事件的概率公式 得 P( B )=1-P(B)=1-0.78=0.22.

对立事件和互斥事件 ? (1)利用集合认识互斥事件、对立事件 ? ①如果A、B是两个互斥事件,反映在集 合上,是表示A、B两个事件所含结果组 成的集合的交集为空集,即A∩B=?.
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②从集合的角度看,由事件 A 所含的结果组成的集 合,是全集中由事件 A 所含结果组成的集合的补集.即: A∪ A =U,A∩ A =?.

注意:对立必互斥,互斥未必对立. (2)互斥事件和对立事件的概率求法 ①事件 A 与 B 互斥 P(A∪B)=P(A)+P(B). ②对立事件的概率 P(A)+P( A )=1,P(A)=1-P( A ).


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