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金太阳二轮第10专题理


热点重点难点专题透析· 数学(理科)-QQHE

专题10

【高考考情解读】 高考数学学科考试大纲明确指出: 数学学科的考试, 按照 “考 查基础知识的同时,注重考查能力” . “以能力立意命题” , 这是近几年来高考数学题遵循的原则与命题指导思想, 将知 识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养和考生 进入高等学校继续学习的潜能,

考查考生对数学基本能力的 应用意识和创新意识, 考查考生对数学本质的理解, 体现 《课 程标准》中对知识与技能、过程与方法、情感态度与

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专题10

价值观等目标的要求.能力主要指空间想象能力、抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以 及应用意识和创新意识. 【高考中的空间想象能力】 空间想象能力指:能根据条件作出正确的图形,根据图 形想象出直观形象; 能正确地分析出图形中基本元素及其相 互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手 段形象地揭示问题的本质. 近几年来,立体几何高考命题形式比较稳定,一般有“1 大 2 小” ,题目难易适中,解答题常常立足柱体、锥体、台体 等几何体中位置关系的证明和夹角、距离的求解,而选择

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专题10

题、 填空题又经常研究空间几何体的几何特征和几何体 体积、表面积的求解. 高考中的空间想象能力考查的主要题型有: (1)以空间几何体为载体设置有关线线、线面、面面关 系的证明题,有关空间角或空间距离的计算题.此类问题需 要有较强的逻辑推理能力与运算能力,在高考中为必考题, 且属于中档难度题. (2)以空间几何体为载体设置有关轨迹、排列组合、函 数图象等与代数方面综合的试题,此类试题属于创新题,一 般以选择题或填空题为主. 解答此类题主要依靠空间想象能 力及知识迁移能力和逻辑推理能力,是一种“多想少写”的 试题,应该在平时加强这方面的训练.

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专题10

热点一:概念与推理的结合 立体几何就是通过概念、公理、定理等来演绎的,对概 念的理解是解决立体几何的基础.因此,理解概念的本质, 能够根据概念,画出图形,通过图形直观来思考,分解出解 题的元素,从而进行推理与运算,提高空间想象能力. 已知两条直线 a、b 与两个平面α、β,b⊥α, 则下列命题中正确的是( ). ①若 a∥α,则 a⊥b;②若 a⊥b,则 a∥α; ③若 b⊥β,则α∥β;④若α⊥β,则 b∥β. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 【解析】由 b⊥α且 a∥α,可得 a⊥b,①正确;又由 b⊥ α且 a⊥b,得 a∥α或 a?α,故②不正确;由 b⊥α且

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专题10

b⊥β,可得α∥β,③正确;由 b⊥α且α⊥β,得 b ∥β或 b?β,故④不正确.
【答案】A 【点评】线面平行、垂直问题是高考备考的重点.从解 决“平行与垂直”的有关基本问题着手,熟悉公理、定理的 内容和功能,掌握解决问题的规律——充分利用线线平行 (垂直)、 线面平行(垂直)、 面面平行(垂直)相互转化的思想, 以提高推理论证、空间想象能力. 热点二:图形处理 立体几何是研究空间图形中的点、线、面之间的位置关系与 数量关系的学科,因此解答立体几何问题时,正确理解空间 图形中点、线、面的位置关系和数量关系,充分借助图

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专题10

形的直观性所提供的信息, 常常有助于探寻问题的求解 思路,优化问题的解答过程.对空间图形的处理能力是空间 想象能力深化的标志, 是高考从深层次上考查空间想象能力 的主要方面. (2011 江西卷)将长方体截去一个四棱锥, 得到的 几何体如图所示,则该几何体的左视图为( ).

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【解析】 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长 方体的面对角线, 它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形) 的两条边重合,另一条为体对角线,它在右侧面上的投影与 右侧面的对角线重合,对照各图,只有选项 D 符合.故选 D. 【答案】D 【点评】三视图是考查常见组合体的体积、表面积和空 间想象能力的绝佳载体, 解决此类问题的关键是抓住三视图 之间的关系, 平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什 么几何体构成的,以及它们的三视图的画法.

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专题10

等边三角形的边长为 3,点 D、E 分别是边 AB、AC AD CE 1 上的点,且满足 = = (如图 1).将△ADE 沿 DE 折起到 DB EA 2 △A1DE 的位置, 使二面角 A1-DE-B 成直二面角, 连接 A1B, A1C (如图 2). (1)求证:A1D⊥平面 BCED. (2)在线段 BC 上是否存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°?若存在,求出 PB 的长;若不存在,请说 明理由.

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AD CE 1 【解析】 (1)因为等边△ABC 的边长为 3, 且 = = , DB EA 2 所以 AD=1,AE=2. 在△ADE 中,∠DAE=60°,
由余弦定理得 DE= 1 +2 -2?1?2?cos 60°= 3. 因为 AD +DE =AE , 所以 AD⊥DE. 折叠后有 A1D⊥DE. 因为二面角 A1-DE-B 是直二面角,所以平面 A1DE⊥平 面 BCED. 又平面 A1DE∩平面 BCED=DE, A1D?平面 A1DE, A1D⊥DE, 所以 A1D⊥平面 BCED.
2 2 2 2 2

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专题10

(2)假设在线段 BC 上存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°. 如图,作 PH⊥BD 于点 H,连接 A1H、A1P. (法一)由(1)有 A1D⊥平面 BCED,而 PH?平面 BCED, 所以 A1D⊥PH.

又 A1D∩BD=D, 所以 PH⊥平面 A1BD. 所以∠PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角.

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专题10

3 设 PB=x(0≤x≤3),则 BH= ,PH= x. 2 2 1 在 Rt△PA1H 中,∠PA1H=60°,所以 A1H= x. 2 1 在 Rt△A1DH 中,A1D=1,DH=2- x. 2 2 2 2 由 A1D +DH =A1H , 1 2 1 2 2 得 1 +(2- x) =( x) . 2 2 5 解得 x= ,满足 0≤x≤3,符合题意. 2 所以在线段 BC 上存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成

x

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专题10

5 的角为 60°,此时 PB= . 2 (法二)由(1)的证明,可知 ED⊥DB,A1D⊥平面 BCED.以 D 为坐标原点,以射线 DB、DE、DA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴 的正半轴,建立空间直角坐标系 D-xyz 如图.

设 PB=2a(0≤2a≤3), 则 BH=a,PH= 3a,DH=2-a.

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专题10

所以 A1(0,0,1),P(2-a, 3a,0),E(0, 3,0). →1=(a-2,- 3a,1). 所以PA 因为 ED⊥平面 A1BD, 所以平面 A1BD 的一个法向量为→ DE=(0, 3,0). 因为直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°, →1?→ |PA DE| 3a 3 所以 sin 60°= = = , 2 → → 4a -4a+5? 3 2 |PA1||DE| 5 解得 a= . 4

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5 即 PB=2a= ,满足 0≤2a≤3,符合题意. 2 所以在线段 BC 上存在点 P, 使直线 PA1 与平面 A1BD 所成 5 的角为 60°,此时 PB= . 2 【点评】本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与 平面所成角等基础知识, 考查空间想象能力和运算求解能力 等,对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志,是 高考从深层次上考查空间想象能力的主要方面. 热点三:折展问题 对于空间想象力的考查虽然已从几何思想方法向代数计算 方法转化,但不可否认立体几何对于空间想象能力的训

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专题10

练是向量这一工具所无法取代的.因此,折展与剪拼题 就承担起了这一重要使命,它能很好地考查空间想象能力、 动手操作能力、 探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题 的能力. 如图 1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中,E,F,P 分别为 AB,AC,BC 上的点, 且满足 AE=FC=CP=1.将△AEF 沿 EF 折起到△A1EF 的位置,使平面 A1EF⊥平面 EFB,连接 A1B,A1P(如图 2). (1)若 Q 为 A1B 中点,求证:PQ∥平面 A1EF; (2)求证:A1E⊥EP.

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【解析】(1)取 A1E 的中点 M,连接 QM,MF. 在△A1BE 中,Q,M 分别为 A1B,A1E 的中点, 1 所以 QM∥BE,且 QM= BE. 2 CF CP 1 因为 = = , FA PB 2

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1 所以 PF∥BE,且 PF= BE, 2 所以 QM∥PF,且 QM=PF. 所以四边形 PQMF 为平行四边形. 所以 PQ∥FM. 又因为 FM?平面 A1EF,且 PQ?平面 A1EF, 所以 PQ∥平面 A1EF. (2)取 BE 中点 D,连接 DF. 因为 AE=CF=1,DE=1,

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所以 AF=AD=2,而∠A=60°,即△ADF 是正三角形. 又因为 AE=ED=1, 所以 EF⊥AD. 所以在图 2 中有 A1E⊥EF. 因为平面 A1EF⊥平面 EFB,平面 A1EF∩平面 EFB=EF, 所以 A1E⊥平面 BEF,又 EP?平面 BEF, 所以 A1E⊥EP. 【点评】把一个平面图形折叠成一个几何体,再研究其 性质,是考查空间想象能力的常用方法,所以几何体的展开 与折叠是高考的一个热点.此类问题,通过动手操作,把几 何体折叠或展开,由平面问题向立体问题转化,通过折叠前 后的边角的“不变”与“变” ,判断所给问题的答案.

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如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1, AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点.

(1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC. 【解析】(1)由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知, AD⊥平面 CDD1C1, ∴点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1,

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1 1 又 S△MCC1= CC1?CD= ?2?1=1, 2 2 1 1 ∴VA-MCC1= AD?S△MCC1= . 3 3 (2)将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90°展开,与侧面 ADD1A1 共面,如图,

当 A1,M,C′共线时,A1M+MC 取得最小值. 由 AD=CD=1,AA1=2,得 M 为 DD1 中点.

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连接 C1M,在△C1MC 中,MC1= 2,MC= 2,CC1=2,
2 2 ∴CC2 1=MC1+MC ,得∠CMC1=90°,即 CM⊥MC1, 又由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知, B1C1⊥平面 CDD1C1, ∴B1C1 ⊥CM. 又 B1C1∩C1M=C1,∴CM⊥平面 B1C1M,得 CM⊥B1M; 同理可证:B1M⊥AM, 又 AM∩MC=M,∴B1M⊥平面 MAC. 【点评】沿着几何体表面形成的折线的最短问题,一般 考虑几何体的平面展开图. 热点四:探究性问题 由于立体几何中的探究性问题, 描述的是动态的过程,结 果具有隐藏性或不唯一性,需要尝试及等价转化,能够很

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专题10

好地考查学生的空间想象能力、 探究能力, 因此它是命 题的热点. 解决在立体几何中的探究性问题主要有探究条件 型、探求结论型、探究存在型,解决此类问题的关键是合理 利用空间概念进行适当转化. 已知在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 且 AD=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD,E,F 分别是线段 AB,BC 的 中点. (1)证明:PF⊥FD; (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G, 使得 EG∥平面 PFD. 【解析】(1)(法一)设 PA=x,连接 AF, 因为 PA⊥平面 ABCD,且 AD,AF?平面 ABCD,所以 PA ⊥AD,PA⊥AF.

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2 2 2 2

专题10

所以 PD =AD +PA =4+x , FD2=CF2+CD2=12+12=2, PF2=PA2+AF2=x2+AB2+BF2=x2+12+12=x2+2, 2 2 2 2 2 所以 FD +PF =2+2+x =4+x =PD ,所以 PF⊥FD. (法二)连接 AF,则 AF= 2,DF= 2, 又 AD=2,∴ DF2+AF2=AD2,∴DF⊥AF, 又 PA⊥平面 ABCD,∴ DF⊥PA,又 PA∩AF=A, ∴

DF⊥平面PAF? ? ??PF⊥FD. PF?平面PAF? ?

1 (2)线段 PA 上存在点 G, 且 AG= AP, 使得 EG∥平面 PFD. 4

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专题10

(法一)如图,取 AD 的中点 Q,连接 BQ,则可证得 BQ∥ FD, 再取 AQ 的中点 H, 则因为 E 是 AB 的中点, 所以 EH∥BQ, 1 所以 EH∥FD,且有 AH= AD, 4

再过点 H 作 HG∥DP 交 PA 于点 G, 则 1 HG∥PD,且 AG= AP, 4 ∴平面 EHG∥平面 PFD,∴EG∥平面 PFD.从而满足 AG

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专题10

1 = AP 的点 G 即为所求. 4 (法二)如图,延长 AB、DF 交于点 H,连接 PH;再过 E 在平面 APB 中作 EG∥PH 交 PA 于点 G,则 EG∥平面 PFD.

1 因为 F 是 BC 的中点,所以 BF= AD. 2 又因为 BF∥AD,所以 HB=BA,而 E 是 AB 的中点,所以

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专题10

1 1 AE= AH,所以 AG= AP. 4 4 【点评】立体几何中的存在性问题,常常是先假设“存 在” ,若经推理无矛盾,则假设成立;若推出矛盾,则结论 为 “不存在” . 其中分析法或反证法是解这类题常用的方法. 【高考中的抽象概括能力】 抽象概括能力离不开思维,是一种数学思维能力,是人脑和 数学思维对象、空间形式、数量关系等相互作用并按一般思 维规律认识数学内容的内在理性活动的能力, 是高层次的数 学思维能力.抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其

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本质属性; 概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性 区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象 就不可能有概括, 而概括必须在抽象的基础上得出某种观点 或某个结论. 高考中对抽象概括能力的考查要求是:对具体的、生动 的实例,在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给 定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能应用于解决问 题或作出新的判断.高考主要从数学语言、数学模式与数学 模型等方面对抽象概括能力进行考查, 可以涉及高考中的每 个试题. 对数学语言、数学模式、数学模型的抽象概括是形成概念的 思维过程和科学方法,只有经过抽象与概括才能使人们

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专题10

对事物的认识由感性转化为理性. 热点一:从数学语言方面对抽象概括能力的考查 数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言,在高考 中主要集中用文字语言和符号语言,并辅以图形语言,呈现 试题内容,其考查的重点是文字语言,并要求考生能够根据 实际情况进行三种形式语言的理解与转换. 设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1) f(x)-f(-x) =0,则不等式 <0 的解集为( ).

x

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

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D.(-1,0)∪(0,1) 【解析】∵f(x)为奇函数,∴f(x)-f(-x)=2f(x), f(x)-f(-x) f(x) ∴ <0 等价于 <0.又 f(x)在(0, +∞)

x

x

上为增函数,且过点(1,0),画出 f(x)在(0,+∞)的大致 图象;再由奇函数关于原点对称,画出 y=f(x)在(-∞, 0)的图象,如图所示. 由图可知 f(x)与 x 异号的区间如图阴影所示,∴所求 解集为(-1,0)∪(0,1),故选 D.

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【答案】D 【点评】本题将抽象函数转化为图形语言,直观,容易 获得结果. 已知集合 A={a1, a2, ?, a20}, 其中 ak>0 (k=1, 2,?,20),集合 B={(a,b)|a∈A,b∈A,且 a>b},则 集合 B 中的元素至多有( ). A.210 个 B.200 个 C.190 个 D.180 个 【解析】不妨设 a1>a2>?>a20,则 当 a=a1 时,b=a2,a3,?,a20,有 19 个; 当 a=a2 时,b=a3,a4,?,a20,有 18 个; 依次类推, 当 a=a19 时,b=a20,有 1 个.

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故 集 合 B 中 的 元 素 至 多 有 19 + 18 + ? + 1 = 19?(19+1) =190. 2 【答案】C 【点评】内容的高度抽象是数学的主要特征之一,本题 的解决就是在正确理解抽象的集合语言和符号语言的前提 下,将问题具体化、熟悉化. 热点二:从数学模式、数学模型、数学方法方面对抽象 概括能力进行考查 不论是把实际问题转化为数学问题,还是单纯解数学题,都 离不开把问题和解决问题的方法进行比较分类, 抽象概括出 一种数学结构形式,然后利用这种结构形式来熟练地

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解决同类型的实际问题与数学问题. 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BC= 2,

BB1=2,∠ABC=90°,E、F 分别为 AA1、C1B1 的中点,沿棱 柱的表面从 E 到 F 的最短路径的长度为________.

【解析】 把平面 A1ABB1 与平面 B1BCC1 展开到同一平面内, 如图:

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1 3 2 A1E = AA1 = 1 , A1F = A1B1 + B1F = , 所 以 EF = 2 2

A1E +A1F =

2

2

9 22 +1= ; 2 2

把△A1B1C1 与侧面 A1B1BA 展开如图所示: 连接 EF,过 E 作 EM⊥BB1 于 M,则 EM=AB= 2,FM=1

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2 + ,所以 EF= 2

7 + 2; 2

若把△A1B1C1 与侧面 A1ACC1 展开如图: 连接 EF,过 E 作 EM⊥CC1 于 M,作 FD⊥EM 于 D 点,则 3 3 ED= ,FD= ,所以 EF= 2 2 3 2 3 2 3 2 ( ) +( ) = . 2 2 2

3 比较可得,最小值为 2. 2 3 【答案】 2 2

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【点评】沿着几何体表面形成的折线的最短问题,解决 此类问题的数学模式与方法往往是将几何体展开成平面图, 利用平面内两点间的线段最短.

a 已知函数 f(x)=ln x- ,g(x)=f(x)+ax-6ln x x,其中 a∈R. (1)当 a=1 时,判断 f(x)的单调性; (2)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值
范围; (3)设函数 h(x)=x2-mx+4,当 a=2 时,若存在 x1∈(0, 1),对任意的 x2∈[1,2],总有 g(x1)≥h(x2)成立,求

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实数 m 的取值范围.

x+1 【解析】 (1)f(x)的定义域为(0, +∞), 且 f′(x)= 2 , x f(x)在(0,+∞)上单调递增. a (2)g(x)=ax- -5ln x,g(x)的定义域为(0,+∞), x a 5 ax2-5x+a g′(x)=a+ 2- = ,因为 g(x)在其定义域 2 x x x 内为增函数,所以任意的 x∈(0,+∞), 5x 2 2 g′(x)≥0?ax -5x+a≥0?a(x +1)≥5x?a≥ 2 x +1

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5x ?a≥[ 2 ]max, x +1 5x 5 5 而 2 = ≤ ,当且仅当 x=1 时取等号,所以 a x +1 1 2 x+

x

5 ≥ . 2 (3) 当 a = 2 时 , g(x) = 2x - - 5ln x , g ′ (x) = 2

x

2x2-5x+2 , 2

x

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1 1 由 g′(x)=0 得 x= 或 x=2,当 x∈(0, )时,g′(x) 2 2 ≥0; 1 当 x∈( ,1)时,g′(x)<0. 2 1 所以在(0,1)上,g(x)max=g( )=-3+5ln 2,而“存在 x1 2 ∈(0,1),对任意的 x2∈[1,2],总有 g(x1)≥h(x2)成立” 等价于“g(x)在(0,1)上的最大值不小于 h(x)在[1,2]上 的最大值” ,而 h(x)在[1,2]上的最大值为 max{h(1),

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h(2)}









? ?g(1)≥h(1), ? 2 ? ?g(1)≥h(2) ? ? 2

?

? ?-3+5ln ? ? ?-3+5ln

2≥5-m, 2≥8-2m

?m≥8-5ln 2, ? ?? 1 ?m≥8-5ln 2. m≥ (11-5ln 2) ? ? 2
所以实数 m 的取值范围是[8-5ln 2,+∞). 【点评】 本题深入考查对函数单调性和导数关系的理解,

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【高考中的推理论证能力】 推理是思维的基本形式之一, 也是学习和生活中经常使用的 思维方式,它由前提和结论两部分组成.论证是由已有的正 确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程. 推理既 包括演绎推理,也包括合情推理.论证方法既包括按形式划 分的演绎法和归纳法, 也包括按思考方法划分的直接证法和 间接证法.一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进 行证明.高考对推理能力的考查历来以演绎推理为重点,新 课标下的高考,更关注以归纳和类比推理为主的合情推理, 考查观察、比较、分析、综合、抽象和概括能力;注

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意数学语言、普通语言的理解和运用;注意思维品质的 考查. 高考中思维能力型问题的常见考查类型有: (1)运用演绎推理求解型. 演绎推理是从一般规律出发, 运用逻辑证明或数学运算,得出特殊事实应遵循的规律,即 从一般到特殊. 它是由普遍性的前提推出特殊性结论的一种 推理. (2)运用归纳推理求解型.根据一类事实对象具有的性 质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质,它是从特殊 到一般的过程,属于合情推理的一种. (3)运用联想类比求解型.根据两类不同事物之间具有 的某些类似(或一致)性, 推测其中一类事物具有与另一类事

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(4)运用直觉思维求解型.直觉思维就是具有意识的人 脑由于思维的高度活动,对于数学对象、结构及规律的直接 领悟和整体把握. 若数列{bn}, 对于 n∈N*, 都有 bn+2-bn=d(常数), 则 称 数 列 {bn} 是 公 差 为 d 的 准 等 差 数 列 . 如 若 cn =
? ?4n-1(n为奇数), ? 则{cn}是公差为 ? ?4n+9(n为偶数),

8 的准等差数列.
*

(1)设数列{an}满足:a1=a,对于 n∈N ,都有 an+an+1 =2n.求证:{an}为准等差数列,并求其通项公式. (2)设(1)中的数列{an}的前 n 项和为 Sn,试研究:是否 存在实数 a,使得数列 Sn 有连续的两项都等于 50.若存在, 请求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

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【解析】(1) ∵an+an+1=2n(n∈N ),① an+1+an+2=2(n+1),② ②-①得 an+2-an=2(n∈N*). ∴{an}为公差为 2 的准等差数列. 当 n 为偶数时,an=2-a+( -1)?2=n-a; 2 n+1 当 n 为奇数时,an=a+( -1)?2=n+a-1, 2
? ?n+a-1(n为奇数), ∴an=? ? ?n-a(n为偶数).

*

n

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( -1) n 2 2 n (2)当 n 为偶数时, Sn=a? + ?2+(2-a)? 2 2 2 ( -1) 2 2 1 2 + ?2= n ; 2 2

n n

n n

n+1 n+1
当 n 为奇数时,Sn=a?

n+1
2



2



-1) 2 ?2+ 2

n-1 n-1
(2-a)?

n-1
2



2



-1) 2 1 2 1 ?2= n +a- . 2 2 2

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专题10

1 2 当 k 为偶数时,Sk= k =50,得 k=10. 2 1 2 1 由题意,有 S9= ?9 +a- =50?a=10; 2 2 1 1 2 或 S11= ?11 +a- =50?a=-10. 2 2 当 a=10 时,S9,S10 两项等于 50;当 a=-10 时,S10, S11 两项等于 50;∴a=±10. 【点评】演绎论证是解题中最常用的形式,它的严谨展 现着逻辑之美,而特殊与一般、分类讨论、归纳猜想与证明 等数学思想则是其灵魂.

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2

专题10

已知抛物线 C 的方程为 x =2py(p>0), O 为坐标 原点,F 为抛物线焦点,直线 y=x 截抛物线 C 所得的弦长 |ON|=4 2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 l 过点 F 且交抛物线于 A,B 两点,交 x 轴于 →,MB →=bBF →,对任意的直线 l,a+b 是否为 点 M,且→ MA=aAF 定值?若是,求出 a+b 的值;否则,说明理由.
? ?y=x, 【解析】(1)由? 2 解得 ? ?x =2py,

O(0,0),N(2p,2p),

所以|ON|= 4p2+4p2=2 2p,由 2 2p=4 2,解得 p

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2

专题10

=2,即抛物线 C 的方程为 x =4y. (2)显然直线 l 的斜率一定存在, 设其方程为 y=kx+1, 1 l 与 x 轴交于 M(- ,0),

k

设直线 l 交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2),
? ?y=kx+1, 由? 2 得 ? ?x =4y

x2-4kx-4=0,

∴Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0, ∴x1+x2=4k,x1?x2=-4. 1 → → 又由MA=aAF,得(x1+ ,y1)=a(-x1,1-y1),

k

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专题10

kx1+1 kx2+1 即 a= =- ,同理有 b=- , 1-y1 kx1 kx2 kx1+1 kx2+1 x2+x1 ∴a+b=-( + )=-(2+ )=-1, kx1 kx2 kx1x2 ∴对任意的直线 l,a+b 为定值-1.
【点评】本题主要考查直线与抛物线等基础知识,考查 运算求解能力、推理论证能力及探究能力,考查函数与方程 思想、化归与转化思想. 【高考中的运算求解能力】 数学中的运算能力, 是指根据运算定义及其性质从已知数据 及算法式推导出结果的一种综合能力.运算能力具体表

y1

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专题10

现在三个方面:会根据概念、公式和法则对数、式和方 程进行正确的运算和变形;能分析条件,寻求与设计合理、 简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计,并能进行近 似计算. 中学数学的运算包括数的计算,式的恒等变形,方程和 不等式同解变形,初等函数的运算和求值,各种几何量的测 量与计算,求数列和函数、积分、概率、统计的初步计算 等. 《高中数学课程标准》对高中阶段运算求解能力作了明 确要求, 而高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、 推理及以代数运算的. 无论是选择题、填空题,还是解答题,均要考查运算求解能 力的准确性、敏捷性、灵活性和合理性.当然,高考试

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专题10

题大多考查的是运算的通性、通法,且控制在一定的运 算难度范围之内. 针对高考的“运算能力”考查,我们必须有意识地进行 运算能力训练,以提高自身的运算能力.一般地,在二轮复 习时应注意: (1)加强双基练习,提高运算的准确性.基础知识是运 算的依据,对运算具有指导意义,基础知识混淆、模糊,往 往引起运算错误, 所以加强和落实双基教学是提高运算能力 的首要问题.具体地说,就是要熟记公式和法则,正确的记 忆公式和法则是运算准确的前提.正确理解概念,并能掌握 公式的推导,只有理解某些概念与公式的推导,才能做到公 式的正用、反用和活用,从而提高运算能力.

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专题10

(2)优化解题途径,提高运算速度.运算速度是运算能 力的重要标志,在运算准确的前提下,首先加强通性、通法 的训练,优化解题途径,努力做到准确合理、快速.合理利 用概念、性质、法则、原理去简化运算,以提高速度.除公 式、法则外,善于记住一些常用的结论,便可大大提高运算 速度. 如常用的勾股数、 奇函数 y=f(x)在 x=0 时有定义, 则 f(0)=0 等. (3)注意培养自己的运算灵活性.抓好心理和思维灵活 性训练可以促进运算的灵活性. 心理和思维灵活性训练的核 心是识别文字语言、图形语言、符号语言等各种表达形式的 本质,迅速抓住运算的实质,以迅速联想、形成策略、提高 自己的洞察能力.

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专题10

(4)善于分析题目条件,寻求合理简捷的算法.要做一 个运算问题,首先要善于分析题目条件,做到审视性读题、 多角度观察、综合性思考,以确定运算方向及方法. (5)有意识地进行比较复杂的运算.每年高考都说要控 制运算量,但结果是每年都控制不了.理由很简单:有数学 就有运算. 不厌其烦的运算(或加大运算量, 或一题多设问, 或参数要多次讨论等),可以培养我们的耐性和坚韧不拔的 性格.当然,在进行这方面的训练时,要根据自身的实际情 况而精心设计,切不可盲目加大难度.

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专题10

如图, 在矩形 ABCD 中, AB= → 的中点, 点 F 在 CD 上, 若→ AB? AF=

3, BC=4, 点 E 为 BC ).

→ 3, 则→ AE? BF的值是(

A.-5- C.4+ 3

3

B.5+ D.5- 3

3

? ? ? ? ?→ ? →? 【解析】令→ DF=λ→ DC=λ→ AB,则→ AB?→ AF=? ?AB ???AF ??cos

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?2 ∠BAF=λ → λ= AB? ? =3λ= 3, ? ? ?

专题10

3 → , 令→ AB=a, AD=b, 3

1 3 → → AE?BF=(a+ b)?(b-a+ a)=5+ 3,故选 B. 2 3 【答案】B 【点评】运算求解能力是思维能力和运算技能的结合,包括 数的计算,式的恒等变形,方程和不等式同解变形,初等函 数的运算和求值, 各种几何量的测量与计算, 求数列和函数、 积分、概率、统计的初步计算等.无论是选择题、填空题, 还是解答题,均要考查运算求解能力的准确性、敏捷性、灵 活性和合理性,将运算形式进行归类分析也是重要一

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专题10

环. 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)求 sin B+sin C 的最大值. 【解析】(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b +(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=- ,A=120°. 2 3 (2)由(1)得:sin B+sin C=sin B+sin(60°-B)= 2

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专题10

1 cos B+ sin B=sin(60°+B), 2 故当 B=30°时,sin B+sin C 取得最大值 1. 【点评】本题需要把正弦定理、余弦定理、特殊角的三 角函数值及两角和与差的正弦等知识点结合起来进行运算. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, 且 S1, 2S2,3S3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an+n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q, (法一)若 q=1,则 S1=a1=1,2S2=4a1=4,3S3=9a1 =9,

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专题10

故 S1+3S3=10≠2?2S2,与已知矛盾,故 q≠1, a1(1-qn) 1-qn 从而得 Sn= = , 1-q 1-q 由 S1,2S2,3S3 成等差数列,得 S1+3S3=2?2S2, 1-q3 1-q2 1 即 1+3? =4? ,解得 q= . 1-q 1-q 3 1 n-1 n-1 所以 an=a1?q =( ) . 3 (法二)由 S1,2S2,3S3 成等差数列,得 S1+3S3=2?2S2,则

a3 a1+3(a1+a2+a3)=4(a1+a2),整理得 3a3=a2,所以 = a2

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专题10

1 1 1 n-1 n-1 ,即 q= .所以 an=a1?q =( ) . 3 3 3 1 n-1 (2)由(1)得,bn=an+n=( ) +n, 3 所以 Tn=(a1+1)+(a2+2)+?+(an+n) a1(1-qn) (1+n)n =Sn+(1+2+?+n)= + 1-q 2 1 n 1-( ) 3 (1+n)n 3+n+n2-31-n = + = . 1 2 2 1- 3

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专题10

【点评】本小题主要考查等差、等比数列的通项、求和 等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能 力、运算求解能力.在求公比时,法二避免了运用等比数列 前 n 项和公式的分类讨论,计算过程简捷. 【高考中的数据处理能力】 高考中的数据处理能力,是指会收集、整理、分析数据,能 从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断.数 据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行 整理、分析,并解决给定的实际问题.统计是研究如何

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专题10

合理收集、整理、分析数据的科学,它可以为人们制定 决策提供依据,它逐渐成为未来公民的一个必备常识,统计 的教学具有重要的地位, 新课标高考题对统计的知识的考查 力度得到加强. 高考中的数据处理能力在高考考查中主要表 现在: (1)在概率统计中命制试题,它是把有关数据处理与概 率统计题综合在一起,试题侧重点在于概率统计的有关知 识.具体表现在抽样方法、统计图表、用样本估计总体等. (2)在线性回归分析中命制试题,具体表现在求回归方 程并由此解决其他有关问题,其侧重点在于最小二乘估计, 此类试题有较复杂的运算过程,同时考查运算能力.

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专题10

(3)在独立性检验方面命制试题, 具体体现在 2?2 列联 表(关联表)与相关系数的理解与应用. 高考中考查数据处理能力主要表现在以下几个方面: (1)在概率统计中命制试题,它是把有关数据处理与概 率统计题综合在一起, 试题侧重点在于概率统计的有关知识, 具体表现为概率分布列、频率分布直方图、正态分布曲线等 方面的试题. (2)在线性回归分析中命制试题,具体表现为求回归方 程并由此解决其他有关问题,其重点在于最小二乘法,此类 试题有较复杂的运算过程,因此也考查了运算能力. (3)在独立性检验方面命制试题,具体表现为 2?2 列联

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专题10

表与相关系数的理解与应用. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新 品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数,得到如下资料: 12 月 1 12 月 2 12 月 3 12 月 4 12 月 5 日期 日 日 日 日 日 温差(℃) 10 11 13 12 8 发芽数 23 25 30 26 16 (颗) 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组, 用剩下的 3 组数据求线性回归方程,再对被选取的 2 组

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专题10

数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请 根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据, 求出 y 关于 x 的线性回 归方程 y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验 数据的误差均不超过 2 颗, 则认为得到的线性回归方程是可 靠的,试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠? 【解析】(1)设抽到不相邻两组数据为事件 A,因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况,每种情况都是等可 能出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种,

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专题10

4 3 所以 P(A)=1- = . 10 5 5 - - (2)由数据,求得 x =12, y =27.由公式,求得 b= , 2

a=- y -b- x =-3.
5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y= x-3. 2 5 (3)当 x=10 时,y= ?10-3=22,|22-23|<2; 2 5 同样,当 x=8 时,y= ?8-3=17,|17-16|<2. 2 所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的.

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专题10

【点评】 本题主要考查线性回归分析和独立性检验的统 计分析方法,考查数据处理能力、分析解决问题的能力以及 实践能力.进行线性回归分析时,要先画出散点图确定两变 量具有线性相关关系,然后利用公式求回归系数 a,b,得 到回归直线方程,最后再进行有关的线性分析. 2012 年 2 月份,从银行房贷部门得到好消息,首 套住房贷款利率将回归基准利率 . 某大型银行在一个星期 内发放贷款的情况统计如图所示: (1)求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差; (2)求在本周内一位购房者贷款年限不超过 20 年的概 率; (3)求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取

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专题10

过剩近似整数值).

【解析】(1)贷款年限依次为 10,15,20,25,30,其 平均值- x =20.

s2=
=50,

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专题10

所以标准差 s=5 2 . 10 10 25 9 (2)所求概率 P=P1+P2+P3= + + = . 80 80 80 16 (3)平均年限 n= 10?10+10?15+20?25+25?20+15?30 80 ≈22(年). 【点评】本题考查统计图的简单应用,考查平均数、方 差、概率等知识,考查数据的分析、处理能力和运算能力. 为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的 面积,选 200 只家兔做试验,将这 200 只家兔随机地分成两 组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.

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专题10

下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果. (疱 疹面积单位: mm2) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 频数 30 40 20 10 表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 积 频数 10 25 20 30 15 (1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药 物后疱疹面积的中位数大小;

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专题10

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专题10

(2)完成下面 2?2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握 认为 “注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积 有差异” . 表 3: 疱疹面积小于 70 疱疹面积不小于 70 合 2 2 mm mm 计 注射药物 a= b=

A B

注射药物 合计

c=

d= n=

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专题10

2 n ( ad - bc ) 附:K2 或χ2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】(1)

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专题10

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间, 而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数在 70 至 75 之间, 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹 面积的中位数. (2)表 3:

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专题10

疱疹面积小于 70 mm2 注射药物

疱疹面积不小于 70 mm2

合计 100 100

A
注射药物

a=70 c=35
105

b=30 d=65
95
2

B
合计

n=
200

200?(70?65-35?30) 2 K= ≈24.56. 100?100?105?95

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2

专题10

由于 K >10.828,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 【点评】本题综合考查频数分布表、频率分布直方图、 列联表的简单应用以及古典概型的计算, 考查统计活动中的 数据处理能力,分析问题、解决问题的能力. 【高考中的应用意识】 应用意识就是指能综合应用所学数学知识、 思想和方法解决 问题, 包括解决在相关学科、 生产、 生活中简单的数学问题, 能理解对问题陈述的材料, 并对所提供的信息资料进行归纳、 整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型, 应用相关的数学知识和方法解决问题并加以验证,

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专题10

并用数学语言正确地表述和说明. 应用的主要过程是依 据现实生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为 数学问题,构造数学模型,并加以解决. 纵观近几年高考试题,高考命题在“用”中必考,问题 的设计多与函数、方程、数列、不等式、三角函数、解析几 何、立体几何等高中数学知识联系,考查贴近生活、有社会 意义和时代意义的应用题,立意考查“大众”数学应用题是 高考命题的一个趋势,也是高考的一个热点问题.在应用题 中主要考查阅读能力、应用能力和探究能力,关注当前国内 外的政治、经济、文化,紧扣时代的主旋律,凸现了学科综 合的特色,是历年高考命题的一道亮丽风景线,其解题的关 键在于构建适当的数学模型.

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专题10

经市场调查,某商品在过去 100 天内的日销售量 和价格均为时间 t(天)的函数, 且日销售量近似地满足 g(t) 1 112 1 =- t+ (1≤t≤100,t∈N).前 40 天价格为 f(t)= t 3 3 4 1 +22(1≤t≤40, t∈N), 后 60 天价格为 f(t)=- t+52(41 2 ≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额 S(t)的最大值和 最小值. 【解析】当 1≤t≤40,t∈N 时,S(t)=g(t)f(t)=(- 1 112 1 1 2 112?22 t+ )( t+22)=- t +2t+ 3 3 4 12 3

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专题10

1 2500 2 =- (t-12) + , 所以 768=S(40)≤S(t)≤S(12) 12 3 2500 = . 3 当 41≤t≤100,t∈N 时, 1 112 1 1 2 S(t)=g(t)f(t)=(- t+ )(- t+52)= t -36t 3 3 2 6 112?52 1 8 2 + = (t-108) - , 3 6 3 1491 所以 8=S(100)≤S(t)≤S(41)= . 2

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专题10

2500 所以 S(t)的最大值为 ,最小值为 8. 3 【点评】本题是一道函数应用题,在解题思维中蕴含着 分类讨论思想,主要考查运用函数知识分析问题、解决实际 问题的能力. 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商 场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付 38 元;第 二种,第一天付 4 元,第二天付 8 元,第三天付 12 元,依 此类推;第三种,第一天付 0.4 元,以后每天支付的薪酬是 前一天薪酬的 2 倍,工作时间为 n 天. (1)工作 n 天,记三种付费方式薪酬总金额依次为 An, Bn,Cn,写出 An,Bn,Cn 关于 n 的表达式;

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专题10

(2)如果 n=10,你会选择哪种方式领取报酬? 【解析】(1)三种付酬方式每天金额依次为数列 {an}, {bn},{cn},它们的前 n 项和依次为 An,Bn,Cn.依题意, 第一种付酬方式每天金额组成数列{an}为常数数列,An =38n. 第二种付酬方式每天金额组成数列{bn}为首项为 4,公 差为 4 的等差数列, n(n-1) 2 则 Bn=4n+ ?4=2n +2n. 2 第三种付酬方式每天金额组成数列{cn}为首项是 0.4, 公比为 2 的等比数列,

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n

专题10

0.4(1-2 ) 则 Cn= =0.4(2n-1). 1-2 2 (2)由(1)得,当 n=10 时, An=38n=380, Bn=2n + 2n=220, Cn=0.4(210-1)=409.2. 所以 B10<A10<C10. 所以应该选择第三种付酬方案. 【点评】本题主要考查了应用问题、等差数列、等比数 列的概念以及它们的前 n 项和, 考查了基础知识、 基本运算、 基本变换能力. 如图所示,某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路 OC;另一侧修建一条观光大道,它的前一段 OD 是以 O

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专题10

为顶点,x 轴为对称轴,开口向右的抛物线的一部分, π 后一段 DBC 是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|< ), 2 8 x∈[4,8]时的图象, 图象的最高点为 B(5, 3), DF⊥OC, 3 垂足为 F.

(1)求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园 PMFE,问 点 P 落在曲线 OD 上何处时,水上乐园的面积最大?

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专题10

【解析】(1)对于函数 y=Asin(ωx+φ),由图象知, 8 3 2π 2π π A= ,ω= = = , 3 T 4(8-5) 6 8 3 8 3 π 将 B(5, )代入到 y= sin( x+φ)中,得 3 3 6 5π π π +φ=2kπ+ (k∈Z),∴φ=2kπ- . 6 2 3 π π 又|φ|< ,所以φ=- , 2 3 8 3 π π 故 y= sin( x- ). 3 6 3

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专题10

8 3 π π (2)在 y= sin( x- )中,令 x=4,得 D(4,4), 3 6 3 从而得曲线 OD 的方程为 y2=4x(0≤x≤4), 设点 P( ,t)(0≤t≤4),则矩形 PMFE 的面积为 S=(4 4 - )t(0≤t≤4), 4 3t2 4 3 4 3 因为 S′=4- , 由 S′=0, 得 t= , 且当 t∈(0, ) 4 3 3 4 3 时,S′>0,S 递增;当 t∈( ,4)时,S′<0,S 3

t2

t2

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专题10

4 3 递减,所以当 t= 时,S 最大,此时点 P 的坐标为 3 4 4 3 ( , ). 3 3 【点评】 本题是一道三角函数与抛物线综合的应用问题, 考查学生提炼相关的数量关系, 将现实问题转化为数学问题, 构造数学模型,并加以解决的能力. 【高考中的创新意识】 对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查, 主要要 求考生不仅能理解一些概念、定义,掌握一些定理、公式,

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专题10

意识,考查数学理性思维,已成为高考命题的一种趋 势.在高考试题中常常通过创设一些比较新颖的问题情境, 构造一些具有一定深度和广度、能体现数学素养的问题,着 重考查数学主体内容. 高考中有关创新型的题型主要有: (1)条件探究型: 这类题目的特点是给出了题目的结论, 但没有给出满足结论的条件, 并且这类条件常常是不唯一的, 需要解题者从结论出发, 通过逆向思维去判断能够追溯出产 生结论的条件,并通过推理予以确认.这种条件探究性问题 实质上是寻找使命题为真的充分条件和充要条件. (2)结论开放型:这类题目的特点是给出一定的条件,要求 从条件出发去探索结论,而结论往往是不唯一的,甚至

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专题10

是不确定的,需要解答者从已知条件出发,运用所学过 的知识进行推理、探究或实验得出结论. (3)条件和结论都发散型:有些题目的条件和结论都是 不确定的,但是给出了一定量的信息和情景,要求解题者在 题目给出的情景中,自行设定条件,自己寻找结论,自己构 建命题并进行演绎推理. (4)信息迁移型:这类题目的特点是命题者通过文字或图表 等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识, 这些新知识 可以是新概念、新定义、新定理和新规则、新情境,并且这 些解题的信息有可能不是直接给出的, 要求解题者通过观察、 阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境, 获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步

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专题10

演算和推理,从而考查在新的信息、新的情境下,独立 获取和运用新信息的能力, 综合运用数学知识解决问题的能 力和探索能力.信息迁移题,由于信息呈现的方式不同,又 可分为定义信息型、图表信息型、图象图形信息型等. (5)存在型:这种题型是题目给出一定的条件,让解题 者去证明在给定条件下, 一些给定的结论一定存在或一定不 存在, 或者要求解题者去判断在给定的条件下的结论是否存 在. (6)解题策略开放型:一般的题目,题型与方法相对是固定 的,所以解题者可以根据题目的条件和结论,根据固有的解 题模式确定解题策略,但有些题目,并不是按照“题型加方 法”的思维定势编拟的,题目的背景比较新颖,解题的

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专题10

要求比较开放,有时需要实际操作和巧妙设计,这就要 求解题者具有灵活的思维和应变能力, 能根据题目的条件和 结论进行观察、分析、探索、决策,这是一种解题策略开放 与发散的题型.

(1) 一 同 学 为 研 究 函 数 f(x) =

1+x +

2

1+(1-x)2(0≤x≤1)的性质, 构造了如图所示的两个边 长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC,点 P 是边 BC 上的一动点, 设 CP=x,则 AP+PF=f(x).请你参考这些信息,推知函数

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专题10

g(x)=3f(x)-7 的零点的个数是________.

(2)设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足: (1)T={f(x)|x∈S}; (2)对任意 x1, x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2),那么称这两个集合 “保序同构” .以下集合对不是“保序同构”的是( ). A.A=N*,B=N B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8 或 0<x≤10} C.A={x|0<x<1},B=R D.A=Z,B=Q

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专题10

【解析】(1)当 P 为中点时,A,P,F 三点共线,此时 线段 AF 最短,函数 f(x)取得最小值 5;由导数可知,f(x) 1 1 在(0, )上递减,在( ,1)上递增,当 P 点处于线段 BC 两 2 2 端时,f(x)取得最大值 2+1,函数在相应区间上是先减后 增,由方程 3f(x)=7 结合图象可知其有 2 根,故有 2 个零 点. (2)由 f(x)=x-1(x∈N*)知 A 正确;

?-8(x=-1), ? 由 f(x)=?5 知 B 正确; (x+1)(-1<x≤3) ? 2 ?

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专题10

π 由 f(x)=tan(πx- )(0<x<1)知 C 正确. 2 【答案】(1)2 (2)D 【点评】 综合与灵活地应用所学的数学知识、 思想方法, 选择有效的方法分析信息,进行独立的思考、探索和研究, 提出解决问题的思路,创造性地解决问题就是创新能力,本 例将函数方程与不等式结合起来, 同时将图形语言与符号语 言紧密结合,对能力要求较高. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 + =1 的中心, 焦 4 3 点与该椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线 D 的方程;

x2 y2

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专题10

(2)已知动直线 l 过点 P(4,0),交抛物线 D 于 A、B 两 点. ①若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长; ②是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不 存在,说明理由. 【解析】 (1)由题意,可设抛物线方程为 y2=2px(p> 0). 由 a2-b2=4-3=1, 得 c=1.∴抛物线的焦点为(1, 0), ∴p=2,∴抛物线 D 的方程为 y2=4x. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). ①直线 l 的方程为 y=x-4,

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专题10

? ?y=x-4, 联立? 2 整理得 ? ?y =4x,

x2-12x+16=0,

∴AB= (1+1)2[(x1+x2)2-4x1x2]=4 10. ②设存在直线 m: x=a 满足题意, 则圆心 M(

x1+4 y1

, ), 2 2

过 M 作直线 x=a 的垂线,垂足为 E, 设直线 m 与圆 M 的一个交点为 G,可得: |EG|2=|MG|2-|ME|2, 2 2 ( x - 4 ) + y x1+4 1 1 2 2 2 2 即|EG| =|MA| -|ME| = -( -a) 4 2

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2 2

专题10

1 2 (x1-4) -(x1+4) = y1+ + a(x1 + 4) - a2 = x1 - 4 4 2 2 4x1+a(x1+4)-a =(a-3)x1+4a-a , 当 a=3 时,|EG|2=3,此时直线 m 被以 AP 为直径的圆

M 所截得的弦长恒为定值 2 3.
因此存在直线 m:x=3 满足题意. 【点评】本题主要考查直线、圆、椭圆、抛物线等基础 知识,考查运算求解能力、推理论证、探究创新能力与创新 意识. 已知函数 f(x)=ln x+ax+1,a∈R. (1)求 f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)若不等式 f(x)≤0 恒成立,求 a 的取值范围;

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专题10

(3)数列{an}中,a1=2,2an+1=an+1,数列{bn}满足 bn n+2 =nln an,记{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<4- n-1 . 2 1 【解析】 (1)∵x>0, f′(x)= +a, ∴f′(1)=a+1,

x 切点是(1,a+1),∴切线方程为 y-(a+1)=(a+1)(x- 1),即 y=(a+1)x. (2)∵x>0,∴不等式 f(x)≤0 恒成立,等价于 ax≤- -ln x-1 ln x-1,即 a≤ , x -ln x-1 1-ln x 1 令 h(x)= ,则 h′(x)=- + 2= 2 x x x

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专题10

ln x 2 ,

x

当 x∈(0, 1)时, h′(x)<0, h(x)单调递减, 当 x∈(1, +∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增. ∴h(x)min=h(x)极小值=h(1)=-1,∴a≤-1. ∴不等式 f(x)≤0 恒成立时,a 的取值范围是(-∞, -1]. 1 (3)∵2an+1=an+1,∴an+1-1= (an-1), 2 1 n-1 1 n-1 ∵a1=2,∴an-1=( ) ,∴an=( ) +1, 2 2

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专题10

1 n-1 ∴bn=n?ln[( ) +1], 2 由(2)知,当 a=-1 时,ln x-x+1≤0 恒成立, 即 ln x≤x-1,当且仅当 x=1 时取等号. 1 1-1 1 1-1 ∴b1=1?ln[( ) +1]<1?[( ) +1-1], 2 2 1 2-1 1 2-1 b2=2?ln[( ) +1]<2?[( ) +1-1], 2 2 ?? 1 n-1 1 n-1 bn=n?ln[( ) +1]<n?[( ) +1-1], 2 2

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1 1-1 1 2-1 ∴Tn<1?[( ) +1-1]+2?[( ) +1-1]+?+n 2 2 1 n-1 ?[( ) +1-1] 2 1 1-1 1 2-1 1 n-1 =1?( ) +2?( ) +?+n?( ) , 2 2 2 1 0 1 1 1 n-1 令 Sn=1?( ) +2?( ) +?+n?( ) , 2 2 2 1 1 1 1 2 1 n-1 则 Sn=1?( ) +2?( ) +?+(n-1)?( ) +n? 2 2 2 2

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专题10

1 n 1 1 0 1 1 1 n-1 1 n ( ) ,∴ Sn = ( ) + ( ) +?+ ( ) - n ? ( ) = 2 2 2 2 2 2 1 n 1-( ) 2 1 n 1 n -n?( ) =2-(n+2)?( ) , 1 2 2 1- 2 1 n-1 n+2 ∴Sn=4-(n+2)?( ) ,∴Tn<4- n-1 . 2 2 【点评】本题是一道函数、导数、数列、不等式的综合 试题,主要考查函数与导数、函数图象与性质、数列等基础 知识,考查学生抽象概括能力、推理论证能力、创新能力, 考查函数与方程思想,有限与无限思想,分类与整合思想.

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专题10

一、选择题 1.已知集合 A={x|log2x<1},B={x|0<x<c,其中 c>0}.若 A∪B=B,则 c 的取值范围是( ). A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,2] D.[2,+∞) 【解析】因为 A={x|log2x<1}={x|0<x<2}, A∪B=B 得 A?B, 又 B={x|0<x<c,其中 c>0},得 c≥2,故选 D. 【答案】D

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专题10

? 1 ?log2x , x>0, 2. 已知函数 f(x)=? -x 则 f[f(1)]+f(log3 ) ? 2 ?3 +1 , x≤0,

的值是(

).

7 A.5 B.3 C.-1 D. 2 【解析】 f(1)=log21=0, f(0)=30+1=2, 所以 f[f(1)] =2. 1 1 又 f(log3 )=3-log3 +1=3log32+1=2+1=3, 2 2 1 所以 f[f(1)]+f(log3 )=2+3=5. 2 【答案】A

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专题10

3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ). A.2π+2 3 B.4π+2 3 2 3 C.2π+ 3 2 3 D.4π+ 3 【解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成,圆柱的底 面半径为 1,高为 2,体积为 2π,四棱锥的底面边长

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专题10



2,高为

1 3,所以体积为 ?( 3 3 3 .

2)2?

3=

2 3

3

.

2 所以该几何体的体积为 2π+

【答案】C 4 .函数 f(x) = |x - 2| - ln x 在定义域内零点的个数是 ( ). A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】由题意知,所求零点的个数即函数 y=|x-2| 的图象与函数 y=ln x 的图象交点的个数,如图所示: 由图中可以看出有两个交点,故答案选 C.

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专题10

【答案】C 5.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随 机统计了某 4 天 的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 18 13 10 -1 用电量(度) 25 34 39 62 由表中数据得线性回归方程 y=-2x+a,预测当气温 为-4℃时,用电量的度数约为( ). A.63 B.64 C.66 D.68 【解析】- x =10,- y =40,回归直线过(- x ,- y ),故 a =60.于是当 x=-4 时,y=-2?(-4)+60=68.

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专题10

【答案】D 6.△ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 1, 若→ AB+→ AC=2→ AO, 且|→ OA|=|→ AC|,则向量→ BA在向 →方向上的射影为( 量BC ).

3 3 3 A. B. C.3 D.- 2 2 2 →=0, 【解析】 ∵→ AB+→ AC=2→ AO, ∴→ OB+OC ∴O 是 BC 的中点. 又

O 是△ABC 的外心,故△ABC 是直角三角形,且 A=90°,又
|→ OA|=|→ AC|,△OAC 是正三角形,C=60°,B=

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专题10

30°,又可求得 AB= 3,∴→ BA在向量→ BC方向上的射影 3 → 为|BA|cos B= . 2 【答案】A 7.函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数, 该函数的部分图象如图所示,点 A,B 分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距 离为 4 2, 则函数 f(x)的图象的一条对称轴方程为( ).

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专题10

π π A.x= B.x= C.x=4 D.x=2 4 2 【解析】由 A、B 两点间的距离为 4 2可得 =4,得 T 2 2π π =8,ω= = ,因为 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0< T 4 π φ<π)是奇函数,图象过原点,所以φ= ,因此 f(x)= 2 π -2sin x,函数 f(x)图象的一条对称轴的方程为 x=2. 4 【答案】D

T

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x
2

专题10

8.在 y=2 ,y=log2x,y=x ,y=cos 2x 这四个函数 x1+x2 f(x1)+f(x2) 中,当 0<x1<x2<1 时,使 f( )> 恒 2 2 成立的函数的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 x1+x2 f(x1)+f(x2) 【解析】要使 f( )> 恒成立,即 2 2 x 2 需要函数在 0<x<1 内为凸函数.而 y=2 ,y=x 在 0<x <1 内为凹函数,y=cos 2x 在 0<x<1 内为先凸后凹函 数.只有 y=log2x 在 0<x<1 内为凸函数.所以答案为 B. 【答案】B

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专题10

9.点 P 在直线 l:y=x-1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y=x2 于 A,B 两点,且|PA|=|AB|, 则称点 P 为“A 点” ,那么下列结论中正确的是 ( ). A.直线 l 上的所有点都是“A 点” B.直线 l 上仅有有限个点是“A 点” C.直线 l 上的所有点都不是“A 点” D.直线 l 上有无穷多个点是“A 点”

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专题10

【解析】如图,设 A(m,n),P(x,x-1), 则 B(2m-x,2n-x+1), ∵A,B 在 y=x2 上,
2 ? n = m , ? ∴? 2 ? ?2n-x+1=(2m-x) ,

消去 n, 整理得关于 x 的方程 x -(4m-1)x+2m -1=0, ① ∵Δ=(4m-1) -4(2m -1)=8m -8m+5>0 恒成立, ∴ 方程①恒有实数解,∴应选 A. 【答案】A
2 2 2

2

2

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专题10

二、填空题 10.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于 ________.

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专题10

1 1 1 【解析】对于 k≤4 时有 S=1+ + + + 1?2 2?3 3?4 1 1 ,当 k=5 时,退出循环.因此运算可得 S=1+1- = 4?5 5 9 . 5 9 【答案】 5 11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,3]上 是增函数,在[3,+∞)上是减函数. 若函数 g(x)=f(ax)在[-6,6]上是增函数,则实数 a 的取值范围是________.

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专题10

【解析】由题设知,f(x)在[-3,3]是增函数,在(- ∞, -3], [3, +∞)上是减函数, 若函数 g(x)=f(ax)在[- 6,6]上是增函数,则 a>0 且对任意 x∈[-6,6],-3≤ 1 ax≤3 恒成立,由此得 0<a≤ . 2 1 【答案】(0, ] 2 12.某资料室在计算机使用中,如下表所示,编码以一定规 则排列,且从左至右以及从上到 下都是无限的. 此表中, 主对角线上数列 1, 2, 5, 10, 17,?的通项公式为________.

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专题10

1 1 1 1 1 1 ? 1 2 3 4 5 6 ? 1 3 5 7 9 11 ? 1 4 7 10 13 16 ? 1 5 9 13 17 21 ? 1 6 11 16 21 26 ? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】a1=1,a2=2,a3=5,a4=10,a5=17,?.a2-a1, a3-a2, a4-a3, a5-a4, ?构成一个等差数列: 1, 3, 5, 7, ?, 而 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a3-a2)+

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专题10

2n-3+1 (a2-a1)+a1= ?(n-1)+1=(n-1)2+1=n2 2 -2n+2(n∈N*). 【答案】an=n2-2n+2(n∈N*) 三、解答题 1 2 13.已知函数 f(x)=ln x- ax -bx(a≠0). 2 (1)若 b=2,且 y=f(x)存在单调递减区间,求 a 的取 值范围; (2)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明:f′(x0)<0.

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专题10

1 2 【解析】(1)当 b=2 时,f(x)=ln x- ax -2x, 2 1 ax2+2x-1 则 f′(x)= -ax-2=- .

x x 因为函数 f(x)存在单调递减区间, 所以 f′(x)<0 有解. 2 又因为 x>0,则 ax +2x-1>0 有大于 0 的解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2
+2x-1>0 总有大于 0 的解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,若 ax2+2x-1>0 总有大于 0 的解, 则需Δ=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正 根.此时,-1<a<0.

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专题10

综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). (2)设点 A,B 的坐标分别是(x1,0),(x2,0),0<x1<x2, x1+x2 则 AB 的中点横坐标为 x0= . 2 1 2 2 令 f(x2)-f(x1)=ln x2-ln x1- a(x2-x1)-b(x2-x1) 2 1 =ln x2-ln x1-[ a(x2+x1)+b](x2-x1)=0, 2 1 则 ln x2-ln x1=[ a(x2+x1)+b](x2-x1). 2 1 2 a f′(x0)= -ax0-b= - (x2+x1)-b x0 x1+x2 2

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专题10

2 ln x2-ln x1 = - x1+x2 x2-x1 1 2(x2-x1) = [ -(ln x2-ln x1)] x2-x1 x1+x2

x2 2( -1) x1 1 x2 = [ -ln ]. x2-x1 x2 x1 1+ x1 x2 2( -1) x1 x2 x2 2(t-1) 设 t= ,则 y= -ln = -ln t, x1 x2 x1 1+t 1+ x1

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专题10

t>1.
2(t-1) 4 令 r(t)= -ln t, t>1, 则 r′(t)= 1+t (t+1)2 2 1 (t-1) - =- 2. t t(t+1) 因为 t>1,r′(t)<0,所以 r(t)在[1,+∞)上单调递 减.故 r(t)<r(1)=0. 1 而 >0,故 f′(x0)<0. x2-x1


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