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[辅助参考]第14届全国中学生物理竞赛复赛详解


复赛解答

14 届

许照锦

第 14 届复赛解答
一、 (20 分)如图所示,用两段直径均为 d=0.02m 且相 互平行的小圆棒 A 和 B 水平支起一根长为 L=0.64m、质 量均匀分布的木条。设木条与二圆棒之间的静摩擦系数

?0 ? 0.4 ,滑动摩擦系数 ? ? 0.2 。

现使 A 棒固定不动,并对 B 棒施以适当外力,使木棒 B
向左缓慢移动。试讨论分析木条的移动情况,并把它的运动情况表示出来。设木条与圆棒 B 之间最先开始滑动。 解:由对称性可知初始时刻 A、B 对杆的正压力相同,由于 B 杆先动,杆受到的 B 杆的滑动 摩擦力小于 A 对杆的最大静摩擦力,因此杆相对于 A 静止。随着 B 向 A 端靠近,B 对杆的 正压力上升而 A 对杆的正压力下降,显然当杆受到 B 的摩擦力大于 A 对杆的最大静摩擦力 时,杆开始相对 A 运动,即 ? N B ? ?0 N A 时。由力矩平衡可得

N A x A ? N B xB

① ②

?0 N A ? ? N B ? xB1 ? xA0 / 2 ? L / 4

式中 x A 、 x B 分别表示 A、B 与杆质心的距离。显然当杆相对 A 滑动时,A 对杆的滑动摩擦 力小于 B 对杆的最大静摩擦力,故 B 相对于杆静止;即此时 B 推动杆向左移动。同理,A 对 杆的滑动摩擦力大于 B 对杆的最大静摩擦力时,B 开始相对杆移动,而 A 相对杆静止,

? N A ? ?0 N B ? xA1 ? xB1 / 2 ? L / 8



然后由①②式可得,当 xB 2 ? xA1 / 2 ? L /16 时,A 再次相对杆滑动。以此类推可知,随着 B 向左缓慢移动时杆静止;当 B 与质心的距离为 A 与质心距离的 1/2 时,杆相对 B 静止与 B 一起向左缓慢移动;当 A 与质心的距离为 B 与质心距离的 1/2 时,杆再次相对 A 静止…… 最终 A 和 B 杆相接触,杆的质心位于两杆的对称中心上。即, (a)开始木条静止,B 向左移 动 L/4=0.16m(xB=L/4) ; (b)B 与木条一起向左移动 3L/8=0.24m(xA=xB/2=L/8) ; (c)木条 静止, B 向左移动 L/4-L/16=0.12m (xB=xA/2=L/16) (d) ; B 与木条一起向左移动 L/8-L/32= 0.06m (xA=xB/2=L/32) ; (e)木条静止,B 向左移动 0.02m 与 A 接触。

二、 (20 分) 正确使用高压锅 (见图复 14-2-1) 的办法是: 将已加上密封锅盖的高压锅加热, 当锅内水沸腾时,加上一定重量的高压阀,此时可以认为锅内空气已全部排除,只有水的饱 和蒸汽。继续加热,水温将继续升高,到高压阀被蒸汽顶起时,锅内温度即达到预期温度。 某一高压锅的预期温度为 120 oC,如果某人在使用此锅时,未按上述程序,而在水温被加热 至 90 oC 时就加上高压阀 (可以认为此时锅内水汽为饱和汽) , 问当继续加热到高压阀开始被
5 顶起而冒汽时,锅内温度为多少?已知:大气压强 P0 ? 1.013 ? 10 帕;90oC 时水的饱和汽

4 5 压P 120 oC 时水的饱和汽压 P 在 90oC 到 120oC w (90) ? 7.010 ?10 帕; w (120) ? 1.985 ?10 帕;

之间水的饱和汽压 Pw 和温度 t(oC)的函数关系 Pw (t ) 如图复 14-2-2 所示。

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14 届
PW /103 Pa

许照锦

出气孔 锅盖

200 170

高压阀

120

高压锅

70 50 90 100 110 120 t/℃

图复14 - 2 - 1

图复14 - 2 - 2

解:由题可知高压阀被顶起时锅内气压为 Pw (120) ,加上高压阀时锅内气压与外界大气压相 同,即在 90oC 时加上高压阀,锅内的空气压强和水汽压强之和为大气压强
3 Pw (90) ? PA (90) ? P 0 ?P A (90) ? P 0 ?P w (90) ? 31.2 ?10 帕

设锅内温度为 t oC 时,高压阀被顶起,则由物态方程(此时锅内体积不变)可得

P W (t ) ?

273 ? t 3 PA (90) ? Pw (120) ? P W (t ) ? ?175 ? 0.086t ? ? 10 帕 273 ? 90
3

上式的解即为曲线 P 因此在图中画出 ? 90,167.3? 和 W (t ) 和曲线 ?175 ? 0.086t ? ?10 的交点。

?120,164.7 ? 的连线,可得交点约在 114oC 至 115oC 之间。
个温度代入曲线 ?175 ? 0.086t ? ? 10 可得结果都约等于 165 ?10 ,故顶起高压阀时,锅内
3
3

3 P (115) ? 168 ?10 ,将这三 或,如图 Pw (114) ? 162 ?10 , P w (114.5) ? 165 ?10 , w
3 3

温度约为 114.5oC。

三、 (20 分)滑线变阻器常用来限流和分压,其原理电路分别如图复 14-3-1 和 14-3-2 所示。 已知电源两端电压为 U(内阻不计) ,负载电阻为 R0,滑线变阻器的全电阻为 R,总匝数为 N,A、C 两端的电阻为 RAC。 (1)在图复 14-3-1 中,当滑动端 C 移动时,电流 I 的最小该变
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14 届

许照锦

量 ?I 为多少(设变阻器每匝阻值<<R0)?(2)在图复 14-3-1 中,为使在整个调节范围内电 流 I 的最小该变量 ?I 不大于 I 的 0.1%,滑线变阻器的匝数 N 不得小于多少匝?(3)在图复 14-3-2 中,滑线变阻器的额定电流 Ie 不得小于多少?(4)在图复 14-3-2 中,设 R0>>R,证 明:负载端电压 U’与 RAC 有简单的正比关系。

A C

U I A R0 R0 U/ 图复14 - 3 - 1 I

U C B

B

图复14 - 3 - 2

解: (1)由欧姆定律可得

?I ?

U R0 ? RAC ? ?RAC

?

U ?RAC U ?? R0 ? RAC ? R0 ? RAC ? ?RAC ?? R0 ? RAC ?

上式中 ?RAC 的最小值为移动一匝,即 R / N ? ?? R0 ? ,故上式可写为

?I ? ?

UR N ? R0 ? RAC ?
2

显然,当 RAC 取极大值 R 时,电流的改变量最小,为

?I min ?

UR N ? R0 ? R ?
2

(2)由步骤 1 结论及题意可知

?I ?

UR N ? R0 ? RAC ?
2

? 0.001I ? 0.001

U 1000 R ?N? R0 ? RAC R0 ? RAC

显然,要使上式恒成立,要求 RAC 取极小值时 N 仍满足条件(N 的最小值的极大值) ,即

N?

1000 R R0

(3)由电路图可知,BC 段的电流要大于 AC 段的电流,故只需研究 BC 段的电流即可

I BC ?

U R0 RAC ? ? R ? RAC ? R0 ? RAC

?

U U U ? ? 2 RAC RAC R ? f ( RAC ) R? R? 1 ? R / R R0 ? RAC 0 AC

即 I BC 的极大值(小于额定电流 I e )对应于函数 f ( RAC ) 的极大值,由函数 f ( RAC ) 可知, 当 RAC 取极大值 R 时 f ( RAC ) 达到极大值,故

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14 届

许照锦

Ie ?

U R? R 1 ? R0 / R

? 1 1? ?U ? ? ? ? R0 R ?

(4)由步骤 3 可知

U ? ? I BC

R0 RAC UR0 RAC U ? ? RAC 2 R0 ? RAC RR0 ? RRAC ? RAC R

式中用到 R0 ?? R ? RAC (即分母的高阶小量可以忽略) ,即 U ? 与 RAC 成正比关系,比例系 数为常数 U / R 。

四、 (25 分)如图复 14-4,OABC 是一桌球台面。取 OA 为 x 轴,OC 为 y 轴,P 是红球,坐标为(x,y) ,Q 为 白球,坐标为(x’,y ’) (图中未画出 Q 球在台面上的 位置) 。已知 OA=BC=25 分米,AB=OC=12 分米。 (1)若 P 球的坐标为 x=10 分米,y=8 分米。问 Q 球的位置在 什么范围内时,可使击出的 Q 球顺次与 AB、BC、CO 和 OA 四壁碰撞反弹,最后击中 P 球?(2)P 球有没有

y

C P O 图复14 - 4

B

A

x

一些位置是 Q 球无论在什么地方,按上述次序从四壁反弹后都无法击中的?如没有,加以 证明;如有,找出这些位置的范围(白球 Q 同四壁的碰撞均为弹性碰撞,两球体积很小, 可看作质点) 。 解: (1)小球的弹性碰撞可等效于光的反射, 故可根据光的反射原理画出 P 点的虚像 P4, 如 图,可知 P4 的坐标为(60,32) ,O2 的坐标为 (50,24) ,则 P4 O2 的直线方程为

y ? 32 y ? 24 ? ? 5 y ? 4 x ? 80 ? 0 x ? 60 x ? 50
故与 AB、OA 的交点坐标分别为

4 ? 25 ? 80 ? ? ? 5 ? 0+80 ? , 0 ? ? ? 20, 0 ? ? 25, ? ? ? 25, 4 ? , ? 5 4 ? ? ? ?
由直线与 AB 交点的坐标可知,该直线必然经过 BC1。且直线 P4A 必然经过 O2A3、O2C1、BC1 (参考图中 AO2 红线) 。因此,当白球 Q 的位置在 A ? 25, 0 ? 、D ? 25, 4 ? 、E ? 20, 0 ? 三点构成 的三角形范围内(图中阴影部分,不含 AD、ED 边)时,可以顺次与 AB、BC、CO 和 OA 四 壁碰撞反弹并击中红球 P。 (2)如图红色线所示,O2A3B4C4 矩形内在 AO2H、BA3 两线所夹的部分为 P 球可被 Q 球击中 的区域,红色阴影部分为 Q 球无论如何不能够击中 P 球的区域。由 A、O2 坐标可得 AO2H 的
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14 届

许照锦

直线方程

y ? 0 y ? 24 ? ?? 25 y ? 24 x ? 600 ? 0 x ? 25 x ? 50
故与 C4B4 的交点坐标为

? 25 ? 36+600 ? , 36 ? ? ? 62.5, 36 ? ? 24 ? ?
由成像原理可知,三角形 O2C4H 区域对应于 OCH’区域,其中 H ? 的坐标为 ?12.5,12 ? 。即当 P 球位于 O ? 0,0 ? 、C ? 0,12 ? 、H’ ?12.5,12 ? 三点构成的三角形范围内(图中红色阴影部分, 含三角形的边) ,Q 球无论如何不能击中 P 球。

五、 (25 分)一光学系统的结构如图所示,薄透镜 L1 为会聚透镜,焦距为 f1,薄透镜 L2 为发散透镜, 焦距为 f2,成像面 P 处放有照相底片,L1 和 P 的位 置固定不动,现给定 f1=3.00cm,P 与 L1 之间距离 l=4.50cm。L1 和 L2 之间的距离 d 是可调的。要求通 过调节 d 使无穷远处的物或近处的物都能在底片上成实像,问: (1)如果 f2=-3.0cm,物体 从无穷远处移到距离 L1 为 100.0cm 处,L2 移动的距离应为多少?(2)是否只要 f2 和 d 取值 适当,不管物体在什么地方都能在 P 上成实像?如不能,则对物距有何限制?(3)如果要 求采用一个焦距确定的 L2,通过调节 d 的数值使物距满足上面第 2 问要求的物体都能在 P 上成实像,则 L2 的焦距 f2 应满足什么条件,相应的 d 的调节范围是多少? 解: (1)由凸透镜成像公式

1 1 1 1 ? ? ?v? u v f1 1/ f1 ? 1/ u



可得 v(u ? ?) ? f1 ? 3 cm, v(u ? 100) ? 300 / 97 ? 3.09 cm;要在凹透镜右边成实像,则 L1 形成的实像应在 L2 右侧,由凹透镜成像公式

1 1 1 l ?v ?l ?v? ? ? ?d ? ? ? ? ? lv ? f 2 (l ? v) d ? v l ? d f2 2 ? 2 ?
根据凹透镜成像规律(即 L1 所成的实像应在 L2 的右侧)可知

2



d ?v?
故②式应写为

2v l ? v ? 2 2
2

1 1 1 l ?v ?l ?v? ? ? ?d ? ? ? ? ? lv ? f 2 (l ? v) d ? v l ? d f2 2 ? 2 ?
代入数据可得
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14 届

许照锦

d (u ? ?) ? 1.5 cm, d (u ? 100) ? 1.62 cm
因此 L2 的移动距离为 d (u ? 100) ? d (u ? ?) ? 0.12 cm。 (2)根据凹透镜的成像规律可知,只要 L1 所成的像在 P 的左侧,L2 的右侧,通过调节 f2 和 d 就能在 P 上形成实像,即 0 ? v ? l ,由①式可得

u ? f1 且

uf1 lf 4.5 ? 3 ?l ?u ? 1 ? ? 9 cm u ? f1 l ? f1 4.5 ? 3



即,只有当物距大于 9cm 时,才可以通过调节 f2 和 d 使得物体在 P 上成实像。 (3)③式有正解(即 d>0)的条件为

?lv ? f 2 (l ? v) ? 0 ? ? f 2 ?

lv 1 ? l ? v 1/ v ? 1/ l

式中 f 2 ? 0 (凹透镜) ,故 f 2 ? ? f 2 的最大值对应于 v 的最小值,由①可知 vmin ? 3 cm,故

f2

max

?

1 ? 9 cm,即 ?9cm ? f 2 ? 0cm 1/ 3 ? 1/ 4.5

由上述分析可知,当 vmin ? 3 cm 时, d ? 0 ;当 u ? 9 cm 时 v ? l , d ? l 。故 d 的调节范围 为 0~4.5cm。

六、 (30 分)一宇宙人在太空(那里万有引力可 以忽略不计)玩垒球。辽阔的太空球场半侧为 均匀电场 E,另半侧为均匀磁场 B,电场和磁场 的分界面为平面,电场方向与界面垂直,磁场 方向垂直纸面向里。宇宙人位于电场一侧距离 界面为 h 的 P 点,O 点是 P 点至界面垂线的垂 足,D 点位于纸面上 O 点的右侧,OD 与磁场 B 的方向垂直,OD=d。如图复 14-6 所示,垒球的质量为 m,且带有电量-q(q>0) 。 (1)宇宙

? 0 及适当的初速度 v p 投出垒球, 人是否可能自 P 点以某个适当的投射角 (与界面所成的角)
使它经过 D 点,然后历经磁场一次自行回至 P 点?试讨论实现这一游戏,d 必须满足的条件 并求出相应的 ? 0 和 v p 。 (2)若宇宙人从 P 点以初速度 v0 平行界面投出垒球,要使垒球击中 界面上的某一 D 点,初速度 v0 的指向和大小应如何? 解: (1)垒球落至 D 点时的水平速度、竖直速度、时间分别为:

vDx ? v px
2 vDy ? v2 py ? 2



qE h m



t?

vDy ? v py qE / m

?

m d vDy ? v py ? ? ? qE v px



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复赛解答

14 届

许照锦

垒球在磁场中运动时的半径为

qvD B ? m

2 vD mv ?R? D R qB



由圆周运动、抛物运动的对称性可知(如右图) ,垒球要回到 p 点, 需满足

v mv d vDy d ? ? ? Dy ? d ? Dy mvD vD R vD qB qB




? m ? ? 2qEh 2 ? ? m ? ? 2qEh ? 2mEh d ?? ? v py ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? qB ? ? m ? qB ? qB ? ? m
2

2

2



此即 d 所需满足的条件。显然,当 d ? 得

,由②③式可 2mEh / qB 2 时, ? 0 ? 0 ( v py ? 0 )

v p ? v px ?
当d ?

2mEh / qB 2 m 2qEh / m / qE

?

E B

2mEh / qB 2 时,由②⑤式可得
2 v2 py ? vDy ? 2

qE qE ? qBd ? h?? h ? ?2 m m ? m ?
dqE qEd qBd ?

2



由③⑤⑦可得

v px ?

? ? qBd ?2 qE ? qBd ? m ? ? ? ? 2 h? ? m ? m ? ? ? ? ?

?

? qBd ?

2

? 2mqEh

因此

2 vp ? v2 px ? v py

? ? qBd ? 2qEh ? ? ? ? ? ? ? qBd ? m ? m ? ?
2
2

? qEd ? 2 ? qBd ? ? 2qEhm ? ?

2

tan ? 0 ?

? qBd ? 2qEh ? ? ? ? m ? m ? qEd qBd ?

??

Bd

? qBd ?

2

? 2qEhm ? ? qB 2 d 2 ? 2 Ehm ? mEd

? qBd ?

2

? 2qEhm

(2)由于垒球进入磁场后作顺时针圆周运动,故垒球要到达 D 点,必须向右(D 点方向) 抛出。 由抛物运动和圆周运动的对称性可知, 垒球从磁场中离开时的速度和入射时的速度相
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14 届

许照锦

对于中垂面对称。垒球第一次到达界面时水平移动的距离为

x1 ? v0

2h 2mh ? v0 qE / m qE

由(1)中的图形可知,垒球进入磁场后将在入射点左侧 ?x1 处射出,其中

2qEh / m ?x1 / 2 v y ?x / 2 2E ? ? 1 ? ? ?x1 ? R v mv / qB v B

2mh qE

从磁场离开后垒球做抛物线运动,落至离开点右侧 ?x2 处,其中

?x2 ? 2 x1 ? 2v0

2mh qE

因此垒球第 n 次从电场区域落至界面时的水平位移为

2 E ? 2mh ? xn ? x1 ? (n ? 1) ? ?x2 ? ?x1 ? ? ?v0 ? 2n ? 1? ? (n ? 1) B ? ? ? qE
若刚好到达 D 点,则有 xn ? d ,即

v0 ?

1 ? qE 2E ? ? (n ? 1) ?d ? 2n ? 1 ? 2mh B ?

同理可知,当垒球第 k 次从磁场区域到达界面时水平距离为

2 E ? 2mh ? xk ? x1 ? (k ? 1) ? ?x2 ? ?x1 ? ? ?x1 ? ?v0 ? 2k ? 1? ? k B ? ? ? qE
若刚好到达 D 点,则由 xk ? d ,即

v0 ?

1 ? qE 2E ? d ? k ? ? 2k ? 1 ? 2mh B ? ? ?

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