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2015年北京朝阳区高三期末试卷数学(理科)原始试卷【经过严格校对排版】




2015年北京市朝阳区高三年级第一学期期末练习数学(理科)
一、 选择题
儱儮 设 兩 为虚数单位,则复数 z 儽 允儮 第一象限 元儮 第三象限 儱儫兩 在复平面内对应的点所在的象限是( 兩 兂儮 第二象限 兄儮 第四象限 )

儲儮 过抛物线 y 2 儽 儴x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A , B

两点,若 AB 中点 M 到抛物线准线的距 离为 儶 ,则线段 AB 的长为( 允儮 儶 兂儮 儹 ) 元儮 儱儲 兄儮 无法确定

儳儮 设函数 f 儨x儩 儽 关兩兮 儲x ?

π 的图象为 C ,下面结论中正确的是( 儳 允儮 函数 f 儨x儩 的最小正周期是 儲π π 兂儮 图象 C 关于点 , 儰 对称 儶 π 元儮 图象 C 可由函数 g 儨x儩 儽 关兩兮 儲x 的图象向右平移 个单位得到 儳 π π 上是增函数 兄儮 函数 f 儨x儩 在区间 ? , 儱儲 儲



儴儮 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的全面积是(



√ 允儮 儴 儫 儲 儶

兂儮 儸

√ 元儮 儴 儫 儲 儳

√ 兄儮 儴 儳

儵儮 α , β 表示不重合的两个平面, m , l 表示不重合的两条直线. 若 α ∩ β 儽 m , l ? α , l ? β , 则“ l m ”是“ l α 且l β ”的( )

儲 允儮 充分且不必要条件 元儮 充要条件 兂儮 必要且不充分条件 兄儮 既不充分也不必要条件

儶儮 在

π ABC 中, B 儽 ,则 关兩兮 A · 关兩兮 C 的最大值是( ) 儴 √ √ 儳 儲 儱儫 儲 兂儮 元儮 允儮 儴 儴 儲 ? → ? ? → ? ? → → ? ABC 的内部,且满足 OA 儫 儲OB 儫 儴OC 儽 儰 ,则 ) 兂儮 儳 元儮 儵 儲

√ 儲儫 儲 兄儮 儴

儷儮 点 O 在 比是( 允儮 儷 儲

ABC 的面积与

AOC 的面积之

兄儮 儲

儸儮 设连续正整数的集合 I 儽 {儱, 儲, 儳, · · · , 儲儳儸} ,若 T 是 I 的子集且满足条件:当 x ∈ T 时, 儷x ∈ T ,则集合 T 中元素的个数最多是( 允儮 儲儰儴 兂儮 儲儰儷 ) 元儮 儲儰儸 兄儮 儲儰儹

二、 填空题
儹儮 角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P 儨儱, 儲儩 ,则 关兩兮 儨π ? α儩 的值 是 . ;渐近线方程是 儮

儱儰儮 双曲线 C : x2 ? y 2 儽 λ ( λ > 儰 )的离心率是
? ? ? x 儫 儲y ? 儴 ? ? ? ?

儰, 表示的平面区域为 D , 在区域 D 内随机取一点 P , 则点 P 落在

儱儱儮 设不等式组

x ? ? ? ? ? ? y

儰, 儰

圆 x 儫 y 儽 儱 内的概率为
2 2



儱儲儮 有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时, 儱 点响 儱 声, 儲 点响 儲 声, 儳 点响 儳 声, · · · , 儱儲 点响 儱儲 声( 儱儲 时制) ,且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为 儱 秒,在一次大钟报时时, 某人从第一声响铃开始计时,如果此次是 儱儲 点的报时,则此人至少需等待 间;如果此次是 儱儱 点的报时,则此人至少需等待 秒才能确定时间. 秒才能确定时

儱儳儮 在锐角 AOB 的边 OA 上有异于顶点 O 的 儶 个点,边 OB 上有异于顶点 O 的 儴 个点,加上点 O ,以这 儱儱 个点为顶点共可以组成 儱儴儮 已知函数 f 儨x儩 儽 πx 个三角形(用数字作答) .

关兩兮 πx 儨x ∈ R儩 . 下列命题: 儫 π 1?x ①函数 f 儨x儩 既有最大值又有最小值; ②函数 f 儨x儩 的图象是轴对称图形;

儳 ③函数 f 儨x儩 在区间 兛?π, π 兝 上共有 儷 个零点; ④函数 f 儨x儩 在区间 儨儰, 儱儩 上单调递增. 其中真命题是 . (填写出所有真命题的序号)

三、 解答题
儱儵儮 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势. 某机构为了了解某城市市民的 年龄构成.从该城市市民中随机抽取年龄段在 儲儰 ? 儸儰 岁(含 儲儰 岁和 儸儰 岁)之间的 儶儰儰 人进行调 查,并按年龄层次 兛儲儰, 儳儰儩 , 兛儳儰, 儴儰儩 , 兛儴儰, 儵儰儩 , 兛儵儰, 儶儰儩 , 兛儶儰, 儷儰儩 , 兛儷儰, 儸儰兝 绘制频率分布直方 图,如图所示. 规定年龄在 兛儲儰, 儴儰儩 的人为“青年人” , 兛儴儰, 儶儰儩 的人为“中年人” , 兛儶儰, 儸儰兝 的人为 “老年人” .

(儱)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 儶儰儰 人的平均年龄; (儲)将上述人口分布的频率视为该城市在 儲儰 ? 儸儰 年龄段人口分布的概率. 从该城市 儲儰 ? 儸儰 年龄 段市民中随机抽取 儳 人,记抽到“老年人”的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 儱儶儮 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧面P AB ⊥ 底面ABCD , P A 儽 P B , 点 E 是 P B 的中点,点 F 在边 BC 上移动儮

(儱)若 F 为 BC 的中点,求证: EF (儲)求证: AE ⊥ P F ;

平面P AC ;

儴 √ (儳)若 P B 儽 儲AB , 二 面 角 E ? AF ? B 的 余 弦 值 等 于 并说明理由儮 儱儷儮 若有穷数列 a1 , a2 , a3 , · · · , am ( m 为正整数)满足条件: ai 儽 am?i+1 儨i 儽 儱, 儲, 儳, · · · , m儩 . 则称其为“对称数列” . 例如, 儱 , 儲 , 儳 , 儲 , 儱 和 儱 , 儲 , 儳 , 儳 , 儲 , 儱 都是“对称数 列” . (儱)若 {bn } 是 儲儵 项的“对称数列” ,且 b13 , b14 , b15 , · · · , b25 是首项为 儱 ,公比为 儲 的 等比数列. 求 {bn } 的所有项和 S ; (儲)若 {cn } 是 儵儰 项的“对称数列” ,且 c26 , c27 , c28 , · · · , c50 是首项为 儱 ,公差为 儲 的 等差数列. 求 {cn } 的前 n 项和 Sn ( 儱 儱儸儮 设函数 f 儨x儩 儽 (儱)当 a 儽 x2 入ax ,a ∈ R儮 儫儱 n 儵儰 , n ∈ N? ) . √ 儱儱 , 试 判 断 点 F 在 边 BC 上 的 位 置, 儱儱

儳 时,求函数 f 儨x儩 的单调区间; 儵 ? ò 儱 (儲)设 g 儨x儩 为 f 儨x儩 的导函数,当 x ∈ , 儲入 时,函数 f 儨x儩 的图象总在 g 儨x儩 的图象的上方,求 a 的 入 取值范围儮 √ ? √ ? 儳 儳 x2 y2 , 离心率为 儱儹儮 已知椭圆 C 儺 2 儫 2 儽 儱 儨a > b > 儰儩 过点 儱, . 过椭圆右顶点 A 的两条斜 a b 儲 儲 儱 率乘积为 ? 的直线分别交椭圆 C 于 M , N 两点. 儴 (儱)求椭圆 C 的标准方程; (儲)直线 M N 是否过定点 D ?若过定点 D ,求出点 D 的坐标,若不过点 D ,请说明理由. 儲儰儮 已知函数 f 儨x儩 儽 儨x ? x1 儩儨x ? x2 儩儨x ? x3 儩 , x1 , x2 , x3 ∈ R ,且 x1 < x2 < x3 儮 (儱)当 x1 儽 儰 , x2 儽 儱 , x3 儽 儲 时, 若 方 程 f 儨x儩 儽 mx 恰 存 在 两个 相 等 的 实 数 根, 求 实 数 m 的 值; (儲)求证:方程 f 儨x儩 儽 儰 有两个不相等的实数根; (儳)若方程 f 儨x儩 儽 儰 的两个实数根是 α , β ( α < β ) , 试比较 由儮 x1 儫 x2 与 α , β 的大小并说明理 儲


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