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2013届高三数学(文)周考


2013 届高三数学(文)周考
一、选择题 1. sin ( ? 1 9 2 0 ) 的值为(
1 2
?


1 2

A.

B. ?
?
2

C.

3 2

D. ?

3 2

2. 函数 f ( x) ? 2 sin( x ? A.奇函数

) 在其定义域上是(

) D. 减函数

B. 偶函数 )

C. 增函数

3. " x ? 1" 是 " | x |? 1" 的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
?0( x ? 0) ? 4. 已知函数 f ( x ) ? ? ? ( x ? 0 ) ,则 f ( f ( f ( ? 1))) 的值等于( ? 2 ? ? ? 1( x ? 0 )



A. ?

2

?1

B. ?

2

?1

C. ?

D.0 )

5.已知幂函数 f ( x ) ? x A.8
?

2?m

是定义在区间 [ ? 1, m ] 上的奇函数,则 f ( m ? 1) ? ( C.2
?

B.4

D.1
? ?

6.已知平面向量 a ? (1, m ), b ? ( ? 1, 2 ) ,且 a // b ,则 2 a ? 3 b =( A. (5, 2 )
2

) D. ( ? 1, ? 1 0 )

B. ( ? 1, 2 )

C. (5, ? 1 0 )

7.设函数 f ? ? x ? ? x ? 3 x ? 4 ,则 y ? f ? x ? 1 ? 的单调递减区间为 A. ? ? 4 ,1 ? B. ? ? 5, 0 ?
x?2

C. ? ?
?

?

? , ?? ? 2 ? 3

D. ? ?
?

?

5

? , ?? ? 2 ?

8.设函数 y ? x 3 与 y ? ? A. ? 0 ,1 ?
x

?1? ? ?2?

的图像的交点为 ? x 0 , y 0 ? ,则 x0 所在的区间是 C. ? 2, 3 ? D. ? 3, 4 ?

B. ? 1, 2 ?

9.曲线 y ? e ? x 在点(0,1)处的切线方程为 A. y ? x ? 1 B. y ? ? x ? 1
2 2

C. y ? 2 x ? 1
y x?4

D. y ? 2 x ? 1

10. 若 x , y 满足表达式 ( x ? 2 ) ? y ? 1 ,则

的取值范围是(



-1-

A. [ ?

3,

3]

B.

(? 3 ,

3)

C.

[?

3 3

,

3 3

]

D.

(?

3 3

,

3 3

)

11. 已知函数 f ( x ) ? 2 sin(? x ? ? ), x ? R , 其中 ? ? 0, ? ? ? ? ? ? . 若 f ( x ) 的最小正周期为 6 ? , 且当 x ?
?
2

时, f ( x ) 取得最大值,则(

) B. f ( x ) 在区间 [ 4 ? , 6 ? ] 上是减函数 D. f ( x ) 在区间 [ ? 3? , ? ? ] 上是增函数

A. f ( x ) 在区间 [ ? 2 ? , 0 ] 上是增函数 C. f ( x ) 在区间 [3? , 5? ] 上是减函数

12. 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x ? R , f / ( x ) ? 2 ,则 f ( x ) ? 2 x ? 4 的解集为 A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-l) D.(-∞,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 4 分;共 16 分,将答案填在题中横线上. 13.函数 f ( x ) ?
1 2x ?1

的定义域是

14. 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得的弦 长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 .
2 2 正视图 2 2 侧视图

15. 某四棱柱的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱柱的体 积为
2 2

cm .
俯视图 (第 15 题图)

3

16.若圆 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 14 ? 0 关于直线 l : ax ? 4 y ? 6 ? 0 对称,则直线的斜率是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)设函数 f ( x ) ? m sin x ? cos x ( x ? R ) 的图象经过点 ? (1)求 f ( x ) 的解析式,并求函数的最小正周期.
?
4 3 2 5 ?? ? ,1 ? . ? 2 ?

(2)若 f (? ?

)?

且 ? ? (0 ,

?
2

) ,求 f ( 2 ? ?

?
4

) 的值。

-2-

18. (本小题满分 12 分) 如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1)求实数 b 的值; (2) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

19. 某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环 境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC=10,AC=16, ∠C=∠D. (I)求 AB 的长度; (Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建 造费用最低,请说明理由.

-3-

20. (12 分)已知如图:平行四边形 ABCD 中, BC ? 6 ,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD ? 2, DB ? 4 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积.
E F

H

G

D C B

A

21. (本小题满分 12 分)在数列 ?a n ? 中,已知 a 1 ?

1 a n ?1 1 , ? , b n ? 2 ? 3 log 4 an 4

1 4

an (n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?b n ? 是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?c n ? 满足 c n ? a n ? b n ,求 ?c n ? 的前 n 项和 S n .

-4-

一、1.D 二、13、 (

华安一中 2013 届高三数学(文)周考 6 答案 2.B 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.C 10.C 11.D 12.B
1 2 , ?? )

14、

15、12

16、

?

3 2
?π ? , 1? ?2 ?

三、17、解: (1)? 函数 f ( x ) ? m sin x ? cos x ( x ? R ) 的图象经过点 ?
? m sin

?
2

? co s

?
2

?1

,? m ? 1
2 sin ( x ?

…………………….2 分
?
4 ) ….3 分

? f ( x ) ? sin x ? co s x ?

? 函数的最小正周期 T ? 2 ?

………4 分

18、解(I)由 ?

?y ? x?b ?x ? 4y
2

得 x 2 ? 4 x ? 4b ? 0

(? )

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? ( ? 4 ) ? 4 ? ( ? 4 b ) ? 0 ,解得 b ? ? 1 …………5 分
2

(II)由(I)可知 b ? ? 1 ,故方程( ? )即为 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x ? 4 y ,
2

得 y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的 距离等于圆 A 的半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 4 …….12 分
2 2

19、解: (Ⅰ)在 ? A B C 中,由余弦定理得
A B ? A C ? B C ? 2 A C ? B C cos C ? 16 ? 10 ? 2 ? 16 ? 10 cos C
2 2 2 2 2



在 ? A B D 中,由余弦定理及 ? C ? ? D 整理得
A B ? A D ? B D ? 2 A D ? B D cos D ? 14 ? 14 ? 2 ? 14 cos C
2 2 2 2 2 2

②………4 分

由①②得: 14 ? 14 ? 2 ? 14 cos C ? 16 ? 10 ? 2 ? 16 ? 10 cos C
2 2 2 2 2

整理可得

co s C ?

1 2



6 分

又 ? C 为 三 角 形 的 内 角 , 所 以 C ? 60 , 又

?

? C ? ? D , A D ? B D ,所以 ? A B D 是等边三角形,故 A B ? 1 4 ,即 A、B 两点的距离为
-5-

14.……………8 分 (Ⅱ)小李的设计符合要求.理由如下: S ? A B D ? 因为 A D ? B D ? A C ? B C …………12 分 20
1 2 A D ? B D sin D

S ?ABC ?

1 2

A C ? B C sin C

所以 S ? A B D ? S ? A B C

20

21、解: (Ⅰ)∵

a n ?1 an

?

1 4

∴数列{ a n }是首项为 (Ⅱ)∵ b n ∴ b1
? 3 log

1 4

,公比为

1 4

的等比数列,∴ a n
? 3 log

1 n * ? ( ) (n ? N ) 4

.……3 分

1 4

an ? 2

……… 4 分∴ b n

1 2

1 n ( ) ? 2 ? 3n ? 2 4

.………… 5 分

? 1 ,公差

d=3 ∴数列 {b n } 是首项 b1
1 n ? ( ) 4

? 1 ,公差 d ? 3

的等差数列.…………7 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知, a n ∴ cn ∴ Sn 于是

, bn

? 3n ? 2

(n ?

N

*



1 n * ? (3 n ? 2 ) ? ( ) , ( n ? N ) 4 ? 1? 1 1

.………8 分 , ① ②………9 分

1 2 1 3 1 n ?1 1 n ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3 n ? 5) ? ( ) ? (3 n ? 2 ) ? ( ) 4 4 4 4 4

1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3 n ? 5 ) ? ( ) ? (3 n ? 2 ) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 3 4 Sn ? 1 4 ? 3[( 1 4 1 3 1 n 1 n ?1 2 ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3 n ? 2 ) ? ( ) 4 4 4

两式①-②相减得 =
1 2

1 n ?1 ? (3 n ? 2 ) ? ( ) .………………………………………11 4
Sn ? 2 3 ? 12 n ? 8 3

分 分.



1 n ?1 * ?( ) ( n ? N ) .……………………………………12 4

-6-


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