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高中数学必修3知识点总结


高中数学必修 3 知识点
一:算法初步
1:算法的概念 (1)算法概念:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序 或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. (2)算法的特点: ①有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. ②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效

地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱 两可. ③顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后 继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误, 才能完成问题. ④不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、 事先设计好的步骤加以解决. 2: 程序框图 (1)程序框图基本概念: ①程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观 地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 ②构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 起止框 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何流程图 不可少的。 表示一个算法输入和输出的信息,可用在算 法中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、 处理框 公式等分别写在不同的用以处理数据的处理 框内。 判断框 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标 明 “是” 或 “Y” ; 不成立时标明 “否” 或 “N” 。
1

输入、输出框

3:算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 (1)顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进 行的, 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的, 它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 (2)条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的 算法结构。 (3)循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情 况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构 又称重复结构,循环结构可细分为两类: ①一类是当型循环结构
②另一类是直到型循环结构

A P
不成立 当型循环结构 4:输入、输出语句和赋值语句 (1)输入语句 ①输入语句的一般格式 INPUT“提示内容” ;变量
图形计算器 格式

A P
成 立 不成 立 直到型循环结构

成立

INPUT “提示内容” ,变量

②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;③“提示内容”提示用户输入什么样的信息,变量是指 程序在运行时其值是可以变化的量;④输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或 表达式;⑤提示内容与变量之间用分号“; ”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“, ”隔开。 (2)输出语句 ①输出语句的一般格式 PRINT“提示内容” ;表达式
图形计算器 格式

Disp “提示内容” ,变量

②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;③ “提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达式 是指程序要输出的数据;④输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 (3)赋值语句 ①赋值语句的一般格式 变量=表达式
图形计算器 格式

表达式 ?变量
2

②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;③赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等 号的意义是不同的。 赋值号的左右两边不能对换, 它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量; ④赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式;⑤对于一 个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号左右不能对换。 如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式 分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 5:条件语句 (1)条件语句的一般格式有两种:①IF—THEN—ELSE 语句;②IF—THEN 语句。 ①IF—THEN—ELSE 语句 IF THEN 语句 1 ELSE 图1 语句 2 条 件 否
满 足 条 件?是

语 句1 图2

语 句2

②IF—THEN 语句 END IF IF—THEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。 IF 条件 THEN 语句 END IF (图 3) (图 4) 是 满足条件? 否 语句

6:循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当 型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 (1)WHILE 语句 ①WHILE 语句的一般格式是 WHILE 循环体 WEND (2)UNTIL 语句 ①UNTIL 语句的一般格式是 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 满足条件? 是 对应的程序框图是 条件 满足条件? 否 对应的程序框图是 循 环 体 是

循环体 否
3

(1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环 体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行循环 7:辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: ①用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S0 和一个余数 R0 ; ②若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大 公约数;若 R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ;③若 R1 =0,则 R1 为 m,n 的最 大公约数;若 R1 ≠0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;??依次计算直至 Rn =0, 此时所得到的 Rn?1 即为所求的最大公约数。 (2)更相减损术 ①任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。②以较大的数 减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等 为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 (3)辗转相除法与更相减损术的区别: ①都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转 相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 ②从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差相 等而得到 8:秦九韶算法 (1)秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次 多项式的值,即 v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,......,vn=vn-1x+a0,这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个 一次多项式的值的问题。 9:进位制 (1)概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的 个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制。 一般地,若 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为:

an an?1...a1a0( k )

(0 ? an ? k ,0 ? an?1,..., a1, a0 ? k ) ,

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数

4

二:统计 1:简单随机抽样 (1)总体和样本 ①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体.②把每个研究对象叫做个体.③把总体中个体的总数叫做 总体容量. ④为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: 样本.其中个体的个数称为样本容量. (2)简单随机抽样特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单位完全独立。 (3)简单随机抽样常用的方法: ①抽签法②随机数表法 (4)抽签法步骤(自己补充) (5)随机数表法步骤(自己补充) 2:系统抽样 (1)系统抽样(等距抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本 采用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) , , , 研究,我们称它为

(2)系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。 3:分层抽样 (1)分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各 个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来 构成总体的样本。 (2) 分层的比例问题:抽样比=
类别 简单随机抽 样 系统抽样 共同点 抽样过程中每 个个体被抽取 的机会相等 将总体均匀分成几部分,按事先确定 的规则在各部分抽取 分成抽样 经总体分成几层,分层进行抽取 再起时部分抽样时采用简 单随机抽样 各层抽样时采用简单随机 抽样

样本容量 各层样本容量 ? 个体容量 各层个体容量
相互关系 适用范围 总体中的个体数 较少 总体中的个数较 多 总体由差异明显 的几部分组成

各自特点 从总体中逐个抽取

5

4:用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)样本均值: x ?
x1 ? x2 ? ? ? xn n

(2)样本标准差: s ? s 2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

(3)众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据(可以是多个) 。 (4)中位数:在样本数据中,累计频率为 1.5 时所对应的样本数据值(只有一个) 。 注意: ①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 ②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 5:用样本的频率分布估计总体分布 1:频率分布表与频率分布直方图 频率分布表盒频率分布直方图,是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度,来表示数据分 布规律,它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况。 具体步骤如下: 第一步:求极差,即计算最大值与最小值的差. 第二步:决定组距和组数:组距与组数的确定没有固定标准,需要尝试、选择,力求有合适的组数, 以能把数据的规律较清楚地呈现为准 . 太多或太少都不好,不利对数据规律的发现 .组数应 与样本的容量有关,样本容量越大组数越多 .一般来说,容量不超过 100 的组数在 5 至 12 之间 .组距应最好“取整” ,它与
极差 有关 . 组距

注意:组数的“取舍”不依据四舍五入,而是当

极差 极差 不是整数时,组数=[ ]+1. 组距 组距

②频率分布折线图 :连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点,就得到频率分布折线图。 ③总体密度曲线:总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分比,它能给我们提供更加精细的信 息。 2:茎叶图:茎是指中间的一列数,叶是指从茎旁边生长出来的数。 用茎叶图表示有两个突出的优点:其一,从统计图上没有信息的损失,所有的信息都可以从这个茎叶 图中得到;其二,茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示.但茎叶图只能表示两位的整数,虽然 可以表示两个人以上的比赛结果(或两个以上的记录) ,但没有两个记录表示得那么直观,清晰. 6:变量间的相关关系:自变量取值一定时因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系交相关 关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。 (1) 回归直线:根据变量的数据作出散点图,如果各点大致分布在一条直线的附近,就称这两个变量 之间具有线性相关的关系,这条直线叫做回归直线方程。如果这些点散布在从左下角到右上角的 区域,我们就成这两个变量呈正相关;若从左上角到右下角的区域,则称这两个变量呈负相关。 (2) 设已经得到具有线性相关关系的一组数据:

x

x1

。。。

xn

6

y

y1

。。。

yn

所要求的回归直线方程为: y ? b x ? a ,其中, (3) 回归直线过的样本中心点 ( x , y )

?

?

是待定的系数。

三:概 率 1:随机事件的概率及概率的意义 (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 f n ( A) ?
nA 为事件 A 出现的概率:对于 n

给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn ( A) 稳定在某个常数上,把这 个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。
nA (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n ,

它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来 越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。 频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 2:概率的基本性质 (1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1 (2)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (3)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B= ? ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (4)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (5)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B)
7

(6)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生, 其具体包括三种不同的情形:① 事件 A 发生且事件 B 不发生;②事件 A 不发生且事件 B 发生;③事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形;④

事件 A 发生 B 不发生;⑤事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3:基本事件 (1)基本事件:基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个,它是试验中不能再分的 最简单的随机事件。 (2)基本事件的特点:①任何两个基本事件是互斥的②任何事件(除不可能事件外)都可以表示成基 本事件的和。 4:古典概型: (1)古典概型的条件:古典概型是一种特殊的数学模型,这种模型满足两个条件: ①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 p( A) ? 5:几何概型 (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: p( A) ?
构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积) A所包含的基本事件的个数 总的基本事件个数

(3)几何概型的特点:①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;②每个基本事件出现 的可能性相等. 注意:几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在一 个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关,值域该区域 的大小有关。如果随即事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为 0,则它出 现的概率为 0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则 它出现的概率为 1,但他不是必然事件。 综上可得:必然事件的概率为 1;不可能事件的概率为 0。 概率为 1 的事件不一定为必然事件;概率为 0 的事件不一定为不可能事件。

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