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2008年民大附中自主招生数学


2008 年统一招生考试
数 学 试 题
题 号 分 数 一 二 三 21 总 分

17

18

19

20

22

23

24

25

一、选择题:(本题共 36 分, 每小题 3 分) 1 1. 的算术平方根是( ) 4 1 1 1 A. ? B. C. ? 2 2 2

D.

1 16

?2 x ? 1, 2. 不等式组 ? 的解集是( ?x ? 3 ? 0
A. x ?
1 2

) C. x ? 3 D.
1 ? x?3 2

B. x ?

1 2

3. 如图所示的立体图形是由若干个小正方体组 成,则这个立体图形中有小正方体( )个 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

立体图形

小正方体

4. 如图,在△ABC 中,?ACB=90°,CD⊥AB 于 D,若 AC=2 3 , AB=4,则 ?BCD 的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 5. 若一次函数 y=kx+b 的图象经过第一象限,且 与 y 轴负半轴相交,则( ) A.k<0,b>0 B.k<0,b<0 C.k>0,b>0 D.k>0,b<0 6. 二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 1与 x 轴的交点个数是( A.0 B.1 ) B. 5 cm D. 10 cm
O
C

B

D

A

) D.3
A C B

C.2

7. 如图,AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB 于 C,若 AB=8cm, OC=3cm,则⊙O 的半径长为( A. 4 cm C. 8 cm

1

8. 如图,已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于 平面直角坐标系的原点O,点D的坐标为(3,2),则点B 的坐标为( ) A. (-3,2) B. (-2,-3) C. (-2,3) D. (-3,-2) 9. 如图,这是某花农 2006 年和 2007 年种植百合、 康乃馨、郁金香的产量条形统计图,请你根据此图 判断下列说法合理的是( ) A. 2007 年三种花的产量比 2006 年都有增加 B. 2007 年郁金香与康乃馨的产量之和为 70 万支 C. 2006 年郁金香产量大约是百合产量的九分之一 10 0 D. 2006 年和 2007 年的百合产量基本持平 00 10. 如图,在△ABC 中,AB=AC,CD 平分∠ ACB 交 AB 于 D 点,AE∥ 交 BC 的延长线于点 E,已 DC 知∠ E=36°,则∠ 的度数为( B ) A. 36° B. 45° C. 72° D. 75° 11. 下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表:
分数 人数 70 1 80 3 90 x
D B
70 60 0 50 0 40 0 30 0 20 0 百合

y A O B C
2006 2007

D x

产量 (万支)

康乃馨

郁金香

品种

A

C

E

100 1

已知该小组本次数学测验的平均分是 85 分,则测验成绩的众数是( A. 80 B. 85 C. 90 D. 80,90



12.某社区从 2008 年 1 月份开始,每月举行一次“迎奥运健身走”活动,1 月份有 200 人参加了健身走活动,平均步行距离为 2km,在大家的带动下有更多的居 民参加了这项活动, 已知参加健身走的人数增长率是其平均步行距离的增长率 的 2 倍,2 月份总步行距离为 1 200km,则平均步行距离的增长率是( ) A. 20% B.30% C. 50% D. 60%
二、填空题:(本题共 16 分, 每小题 4 分 )

13. 如图所示摆放一副三角板,则图中∠1=

度.

1

14. 已知点 P(x, y)位于第二象限,并且 y≤x+4,x, y 为整数,写出一个符合 .. 上述条件的点 P 的坐标: .
A F C E D

15. 如图,E 为平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点, 连结 AE,交 CD 于 F. 在不添加辅助线的情况下,请 写出图中一对相似三角形: . B

2

16.如图, 平行四边形 ABCD 中 BC 边及此边长上的高 均为 a, 平行四边形 GCEF 中 CE 边及此边长上的 高均为 b, 点 B、C、E 在一条直线上,D 是 CG 上一点,则图中阴影部分的面积为 .

G A B D C

F

E

三、解答题:(本题共 68 分;第 17 题 10 分,第 18 题 8 分, 第 19 题 4 分,第 20 题 5 分, 第 21 题 7 分,第 22 题、第 23 题各 8 分, 第 24 题、第 25 题各 9 分) 解答题应写 出必要的解题步骤.

17. 计算: (1)计算: 22+(4-7)÷2 + 12 ? sin 60? ; 解:
3

(2)先化简, 再求值: 解:

1 a a2 ? a 1 ? 2 ? , 其中 a = . 2 a ?1 a ?1 a ?1

18. 解下列方程或方程组: (1) 解:
x 4 ?1? ; x?2 x?2

? x ? y ? 5, (2) ? ?2 x ? y ? 4.
解:

① ②

3

19. 如图是 4 ? 4 正方形网格,请你用两种不同的方法,在其中选取两个白色 的正方形并涂黑,使图中黑色部分是一个中心对称图形. 解:

20. 如图, 已知 BE⊥AD 于 E, CF⊥AD 于 F, BE=CF. 且 请你判断 AD 是△ABC 的中线还是角平分线?请对你的判断加以证明. A 解:
F B E D C

21. 如图表示登山爱好者甲与游客乙沿相同的路线同时从山脚下出发到达山顶 的过程中,两人各自行进的路程随时间变化的图象.请你根据图象提供的信 息解答下列问题: (1)试写出在登山过程中,甲行进的路程 S1(km)与时间 t(h)之间的函 数关系式为 ;乙行进的路程 S2(km)与时间 t(h)之间 的函数关系式为 ; (不需写出自变量 t 的取值范围) (2)当甲到达山顶时,乙行进到山路上某点 A 处,求点 A 距山顶的距离; (3)在(2)条件下, 设乙从 A 处继续登山, 甲到达山顶后休息 1h,沿原路 下山, 在点 B 处与乙相遇, 此时点 B 与山顶的距离为 1km, 相遇后他们 各自按原来的路线下山或上山,求乙到达山顶时,甲离出发地点多少 km? 解:
s/km
12 8 甲 4 乙

C

D E B

O

1

2

3

F t/h

4

22. 如图,点 A、B、C、D 是直径为 AB 的⊙O 上四个点,C 是劣弧 BD 的中点, AC 交 BD 于点 E,AE=2,EC=1. (1)求证: △DEC ∽△ ADC ;
E D C

(2)求⊙O 的直径; (3)AB 的延长线与⊙O 的切线 CF 交于点 F, 求∠F 的度数. 解:
A O B F

5

23. 设 m 是不小于 ? 1 的实数,关于 x 的方程 x 2 ? 2(m ? 2) x ? m 2 ? 3m ? 3 ? 0 有两 个不相等的实数根 x1 、 x2 . (1)若 x1 ? x2 ? 6 ,求 m 值;
2 2

mx m x2 (2)求代数式 1 ? 的最大值. 1 ? x1 1 ? x2 解:

2

2

6

24.如图 1,已知 AB=CB, ∠ABC=90?, 点 D 在 AC 上,ED⊥AC 于 D,交 AB 于 E,点 M 为 EC 的中点. (1)猜想线段 BM 与 DM 之间有什么关系? 写出你的猜想,并加以证明. B 解:
E M A D C

图1

(2)如图 2,将△ADE 绕点 A 逆时针旋转 180?,第(1)问中的结论是否仍 然成立?请说明理由. B 解:
A M E

D

C

图2

(3)按如下要求操作:将△ADE 绕点 A 逆时针旋转 ? ? (图 3 所示) ,请在 图 4 画出相应图形,并直接写出线段 BM 与 DM 之间的关系. B 解:

?? 图3

A

图4

C

7

25.如图,已知抛物线的顶点为 A( 3, ? 1) ,且经过原点 O,与 x 轴的另一个交 点为 B . (1)求抛物线的解析式; (2) 若点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点 为顶点的四边形为菱形,求 D 点的坐标; (3) x 轴上方的抛物线上是否存在点 P, 使得△OPB 是底角为 30°的等腰 在 三角形, 若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由. 解:
y

O

A

B

x

y

O

A

B

x

备用图

8



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