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江苏省泰州市2015届高三数学一模试卷(解析版)


2015 年江苏省泰州市高考数学一模试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.) 1.已知 A={1,3,4},B={3,4,5},则 A∩B= .

2.函数 f(x)=2sin(3x+

)的最小正周期 T=



>3.复数 z 满足 iz=3+4i(i 是虚数单位),则 z=



4.函数 y=

的定义域为



5.执行如图所示的流程图,则输出的 n 为



6.若数据 2,x,2,2 的方差为 0,则 x



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7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率 为 .

8.等比数列 an 中,a1+32a6=0,a3a4a5=1,则数列前 6 项和为



9.已知函数 f(x)=

是奇函数,则 sinα=



10.双曲线 e=

﹣ .

=1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率

11.若 α、β 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 号) ①若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m?α,则在平面 β 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.

.(写出所有真命题的序

12.已知实数 a,b,c 满足 a2+b2=c2,c≠0,则

的取值范围为



13.在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若∠B=∠C 且 7a2+b2+c2=4 的面积的最大值为 .

,则△ ABC

14.在梯形 ABCD 中,

=2



=6,P 为梯形 ABCD 所在平面上一点,且满足

+

+4

= ,

?

=

?

,Q 为边 AD 上的一个动点,则

的最小值为



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二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边经过点 P(3,4). (1)求 sin(α+ )的值; ? 的值.

(2)若 P 关于 x 轴的对称点为 Q,求

16.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,AC,BD 相交于点 O,EF∥AB,AB=2EF,平 面 BCF⊥平面 ABCD,BF=CF,点 G 为 BC 的中点. (1)求证:直线 OG∥平面 EFCD; (2)求证:直线 AC⊥平面 ODE.

17.如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角三角形△ PRQ 构成, 其中 O 为 PQ 的中点. 现准备在公园里建设一条四边形健康跑道 ABCD, 按实际需要, 四边形 ABCD 的两个顶点 C、D 分别在线段 QR、PR 上,另外两个顶点 A、B 在半圆上,AB∥CD∥PQ,且 AB、CD 间 的距离为 1km.设四边形 ABCD 的周长为 ckm. (1)若 C、D 分别为 QR、PR 的中点,求 AB 长; (2)求周长 c 的最大值.

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18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为

的椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左顶点为 A,过

Q 两点, QA 分别与 y 轴交于 M, N 两点. 原点 O 的直线 (与坐标轴不重合) 与椭圆 C 交于 P, 直线 PA, 若 直线 PQ 斜率为 时,PQ=2 .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.

19.数列{an},{bn},{cn}满足:bn=an﹣2an+1,cn=an+1+2an+2﹣2,n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列,求证:数列{bn}是等差数列; (2)若数列{bn},{cn}都是等差数列,求证:数列{an}从第二项起为等差数列; (3)若数列{bn}是等差数列,试判断当 b1+a3=0 时,数列{an}是否成等差数列?证明你的结论.

20.已知函数 f(x)=lnx﹣ ,g(x)=ax+b. (1)若函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若直线 g(x)=ax+b 是函数 f(x)=lnx﹣ 图象的切线,求 a+b 的最小值; (3)当 b=0 时,若 f(x)与 g(x)的图象有两个交点 A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1x2>2e2. (取 e 为 2.8,取 ln2 为 0.7,取 为 1.4)

三、选做题共 4 小题,满分 20 分

【几何证明选讲】

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21.如图,EA 与圆 O 相切于点 A,D 是 EA 的中点,过点 D 引圆 O 的割线,与圆 O 相交于点 B,C,连 结 EC. 求证:∠DEB=∠DCE.

【矩阵与变换】 22.已知矩阵 A= 的方程. ,B= ,若矩阵 AB﹣1 对应的变换把直线 l 变为直线 l′:x+y﹣2=0,求直线 l

【坐标系与参数方程选讲】 23.己知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O 的参数方程为 (α 为参数).以原点 O 为极点,以

x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρ(sinθ﹣cosθ)=1,直线 l 与圆 M 相交于 A, B 两点,求弦 AB 的长.

【不等式选讲】 24.已知正实数 a,b,c 满足 a+b+c=3,求证: + + ≥3.

四、解答题(共 2 小题,满分 20 分) 25.如图,在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,DA=DC=2,DD′=1,A′C′与 B′D′相交于点 O′,点 P 在线段 BD 上(点 P 与点 B 不重合).
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(1)若异面直线 O′P 与 BC′所成角的余弦值为 (2)若 DP=

,求 DP 的长度;

,求平面 PA′C′与平面 DC′B 所成角的正弦值.

26.记 Cir 为从 i 个不同的元素中取出 r 个元素的所有组合的个数.随机变量 ξ 表示满足 Cir≤ i2 的二元数 组(r,i)中的 r,其中 i∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10},每一个 Cir(r=0,1,2,…,i)都等可能出现.求 Eξ.

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2015 年江苏省泰州市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.) 1.已知 A={1,3,4},B={3,4,5},则 A∩B= {3,4} . 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={1,3,4},B={3,4,5}, ∴A∩B={3,4}. 故答案为:{3,4} 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.函数 f(x)=2sin(3x+

)的最小正周期 T=



【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】计算题. 【分析】由函数解析式找出 ω 的值,代入周期公式 T= 【解答】解:函数 f(x)=2sin(3x+ ∵ω=3,∴T= 故答案为: 【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键. . ), ,即可求出函数的最小正周期.

3.复数 z 满足 iz=3+4i(i 是虚数单位),则 z= 4﹣3i . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:∵iz=3+4i,
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∴﹣i?iz=﹣i(3+4i), ∴z=4﹣3i, 故答案为:4﹣3i. 【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

4.函数 y=

的定义域为 [2,+∞) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0,然后求解指数不等式. 【解答】解:由 2x﹣4≥0,得 2x≥4,则 x≥2. ∴函数 y= 的定义域为[2,+∞).

故答案为:[2,+∞). 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题.

5.执行如图所示的流程图,则输出的 n 为 4 .

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图.

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【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 S=63 时,不满足条件 S>63,退出 循环,输出 n 的值为 4. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=511,n=1 满足条件 S>63,S=255,n=2 满足条件 S>63,S=127,n=3 满足条件 S>63,S=63,n=4 不满足条件 S>63,退出循环,输出 n 的值为 4. 故答案为:4. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环的 S,n 的值是解题的关键,属于基础题.

6.若数据 2,x,2,2 的方差为 0,则 x =2 . 【考点】极差、方差与标准差. 【专题】概率与统计. 【分析】由已知利用方差公式得到关于 x 的方程解之. x, 2, 2 的方差为 0, 【解答】 解: 因为数据 2, 由其平均数为 =0,解得 x=2; 故答案为:2. 【点评】本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用,熟记公式是关键,属于基础题 , 得到

7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】排列组合.



【分析】从中任取两个球共有红 1 红 2,红 1 白 1,红 1 白 2,红 2 白 1,红 2 白 2,白 1 白 2,共 6 种取 法,其中颜色相同只有 2 种,根据概率公式计算即可 【解答】解:从中任取两个球共有红 1 红 2,红 1 白 1,红 1 白 2,红 2 白 1,红 2 白 2,白 1 白 2,共 6 种取法,其中颜色相同只有 2 种, 故从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率 P= = ; 故答案为: .
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【点评】本题考查了古典概型概率的问题,属于基础题

8.等比数列 an 中,a1+32a6=0,a3a4a5=1,则数列前 6 项和为 ﹣ 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列.



【分析】根据 a1+32a6=0,求出公比 q 的值,再根据 a3a4a5=1,求出 a4 与 a1,即可计算数列的前 6 项和 S6. 【解答】解:∵等比数列{an}中,a1+32a6=0, ∴q5= =﹣ ,

即公比 q=﹣ ; 又∵a3a4a5=1, ∴a4=1, ∴a1= = =﹣8;

∴该数列的前 6 项和为

S6=

=

=﹣



故答案为:﹣



【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和的计算问题,是基础题目.

9.已知函数 f(x)= 【考点】函数奇偶性的性质.

是奇函数,则 sinα= ﹣1 .

【专题】函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 【分析】由已知中函数 f(x)= 是奇函数,可得 cos(x+α)=sinx 恒成立,

进而 α=﹣

+2kπ,k∈Z,进而可得 sinα 的值.

【解答】解:当 x<0 时,﹣x>0,
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则 f(x)=﹣x2+cos(x+α),f(﹣x)=(﹣x)2+sin(﹣x)=x2﹣sinx, ∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x), ∴cos(x+α)=sinx 恒成立, ∴α=﹣ +2kπ,k∈Z,

∴sinα=﹣1, 故答案为:﹣1 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,诱导公式,特殊角的三角函数值,是三角函数与函数图 象和性质的综合应用,难度中档.

10.双曲线



=1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率 e=



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 求出双曲线的左顶点以及右焦点, 以及渐近线方程, 运用两点的距离公式和点到直线的距离公式, 列出 a、b、c 关系式,然后由离心率公式即可计算得到. 【解答】解:双曲线 ﹣ =1 的右焦点为(c,0),左顶点为(﹣a,0),

右焦点到双曲线渐近线 bx﹣ay=0 的距离为:

=

=b,

右焦点(c,0)到左顶点为(﹣a,0)的距离为:a+c, 由题意可得,b= (a+c), 即有 4b2=a2+c2+2ac,即 4(c2﹣a2)=a2+c2+2ac, 即 3c2﹣5a2﹣2ac=0, 由 e= ,则有 3e2﹣2e﹣5=0, 解得,e= . 故答案为: . 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,点到直线的距离公式的应用,属于中档题.

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11.若 α、β 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 ②④ .(写出所有真命题的序号) ①若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m?α,则在平面 β 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答. 【解答】解:对于①,若直线 m⊥α,如果 α,β 互相垂直,则在平面 β 内,存在与直线 m 平行的直线.故 ①错误; 对于②,若直线 m⊥α,则直线 m 垂直于平面 α 内的所有直线,则在平面 β 内,一定存在无数条直线与直 线 m 垂直.故②正确; 对于③,若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.故③错误; 对于④,若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.故④正确; 故答案为:②④. 【点评】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系;关键是熟练运用定理,全面考虑.

12.已知实数 a,b,c 满足 a2+b2=c2,c≠0,则 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. b, c 满足 a2+b2=c2, c≠0, 【分析】 实数 a, 化为

的取值范围为



=1, 2π) θ∈[0, 令 =cosθ, =sinθ, . 可

得 k=

=

=

,表示点 P(2,0)与圆 x2+y2=1 上的点连线的在的斜率.利用直线与圆

的位置关系即可得出. 【解答】解:∵实数 a,b,c 满足 a2+b2=c2,c≠0, ∴ 令 =cosθ, =1, =sinθ,θ∈[0,2π).

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∴k=

=

=

,表示点 P(2,0)与圆 x2+y2=1 上的点连线的直线的斜率.

设直线 l:y=k(x﹣2), 则 ,

化为 解得 ∴

, . 的取值范围为 . .

故答案为:

【点评】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式, 考查了转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

13.在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若∠B=∠C 且 7a2+b2+c2=4 的面积的最大值为 .

,则△ ABC

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】由∠B=∠C 得 b=c,代入 7a2+b2+c2=4 化简,根据余弦定理求出 cosC,由平方关系求出 sinC,

代入三角形面积公式求出表达式,由基本不等式即可求出三角形 ABC 面积的最大值. 【解答】解:由∠B=∠C 得 b=c,代入 7a2+b2+c2=4 7a2+2b2=4 ,即 2b2=4 ﹣7a2, = , 得,

由余弦定理得,cosC=

所以 sinC=

=

=



则△ ABC 的面积 S=

=

= a

=

= ×
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≤ ×

×

= 当且仅当 15a2=8

=

, ﹣15a2 取等号,此时 a2= , ,

所以△ ABC 的面积的最大值为 故答案为: .

【点评】本题考查余弦定理,平方关系,基本不等式的应用,以及三角形的面积公式,考查变形、化简能 力.

14.在梯形 ABCD 中,

=2



=6,P 为梯形 ABCD 所在平面上一点,且满足

+

+4

= ,

?

=

?

,Q 为边 AD 上的一个动点,则

的最小值为



【考点】向量的加法及其几何意义. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 画图, 根据向量的几何意义和 = ? + +4 = , 可求出 =2, | 的最小值 |=4, 设∠ADP=θ, 根据 ?

,求出 cosθ,继而求出 sinθ,再根据射影定理得到

【解答】解:取 AB 的中点,连接 PE, ∵ ∴ ∴ =2 =2 = , , ,

∴四边形 DEBC 为平行四边形, ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ = + =2 , =﹣2 , , + +4 = ,

=6, =2,| |=4,

设∠ADP=θ,

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?

=

?





?

=|

||

|cosθ=

?



∴cosθ= , ∴sinθ= ,

当 PQ⊥AD 时,

最小,



=|DP|sinθ|=2×

=

故答案为:

【点评】本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式,以及射影定理,属于中档题

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边经过点 P(3,4). (1)求 sin(α+ )的值; ? 的值.

(2)若 P 关于 x 轴的对称点为 Q,求

【考点】平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 【专题】平面向量及应用. 【分析】(1)由已知的 α 的三角函数值,然后利用两角和的正弦公式求值; (2)由已知求出 Q 的坐标,明确 , 的坐标,利用数量积公式解答. ,… .…

【解答】解:(1)∵角 α 的终边经过点 P(3,4),∴ ∴ (2)∵P(3,4)关于 x 轴的对称点为 Q, ∴Q(3,﹣4).…
第 15 页(共 31 页)

∴ ∴

, . …

【点评】本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算.属于基础题.

16.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,AC,BD 相交于点 O,EF∥AB,AB=2EF,平 面 BCF⊥平面 ABCD,BF=CF,点 G 为 BC 的中点. (1)求证:直线 OG∥平面 EFCD; (2)求证:直线 AC⊥平面 ODE.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(1)根据线线平行推出线面平行;(2)根据线面垂直的判定定理进行证明即可. 【解答】证明(1)∵四边形 ABCD 是菱形,AC∩BD=O,∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 为 BC 的中点∴OG∥CD,… 又∵OG?平面 EFCD,CD?平面 EFCD,∴直线 OG∥平面 EFCD.… (2)∵BF=CF,点 G 为 BC 的中点,∴FG⊥BC, ∵平面 BCF⊥平面 ABCD,平面 BCF∩平面 ABCD=BC,FG?平面 BCF,FG⊥BC∴FG⊥平面 ABCD,… ∵AC?平面 ABCD∴FG⊥AC, ∵ , ,∴OG∥EF,OG=EF,

∴四边形 EFGO 为平行四边形,∴FG∥EO,… ∵FG⊥AC,FG∥EO,∴AC⊥EO,∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥DO, ∵AC⊥EO,AC⊥DO,EO∩DO=O,EO、DO 在平面 ODE 内, ∴AC⊥平面 ODE.…

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【点评】本题考查了线面平行,线面垂直的判定定理,本题属于中档题.

17.如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角三角形△ PRQ 构成, 其中 O 为 PQ 的中点. 现准备在公园里建设一条四边形健康跑道 ABCD, 按实际需要, 四边形 ABCD 的两个顶点 C、D 分别在线段 QR、PR 上,另外两个顶点 A、B 在半圆上,AB∥CD∥PQ,且 AB、CD 间 的距离为 1km.设四边形 ABCD 的周长为 ckm. (1)若 C、D 分别为 QR、PR 的中点,求 AB 长; (2)求周长 c 的最大值.

【考点】三角函数的最值;在实际问题中建立三角函数模型. 【专题】计算题;应用题;函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】(1)连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M、N,连结 OB,运用等腰直角三角形的性质, 结合勾股定理计算即可得到 AB 的长; (2)设∠BOM=θ,由解直角三角形可得 BM,OM,即可得到 c=AB+CD+BC+AD=2 (sinθ+cosθ+ ),

再由



(当且仅当 a=b 取得等号),计算即可得到最大值.

【解答】(1)解:连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M、N,连结 OB, ∵C、D 分别为 QR、PR 的中点,PQ=2,∴ ∵△PRQ 为等腰直角三角形,PQ 为斜边,∴ , , .

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∵MN=1,∴

. ,

在 Rt△ BMO 中,BO=1,∴ ∴ . ,

(2)设∠BOM=θ,

在 Rt△ BMO 中,BO=1,∴BM=sinθ,OM=cosθ. ∵MN=1,∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ, ∴ ∴ , , , 当 sinθ+cosθ= 即 ∴当 或 或 时取等号. 时,周长 c 的最大值为 km. ,即有 sin2θ= ,

【点评】本题考查三角函数的最值,考查重要不等式的运用,考查同角的平方关系,考查运算能力,属于 中档题.

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为

的椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左顶点为 A,过

Q 两点, QA 分别与 y 轴交于 M, N 两点. 原点 O 的直线 (与坐标轴不重合) 与椭圆 C 交于 P, 直线 PA, 若 直线 PQ 斜率为 时,PQ=2 .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.

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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 , (1)设 , 由于直线 PQ 斜率为 时, ,可得 ,

解得

,代入椭圆方程可得:

,又

,联立解得即可.

y0) (2) 设P (x0, , 则Q (﹣x0, ﹣y0) , 代入椭圆方程可得

. 由直线 PA 方程为:



可得

,同理由直线 QA 方程可得

,可得以 MN 为直径的圆为

,由于

,代入整理即可得出.

【解答】解:(1)设 ∵直线 PQ 斜率为 ∴ ∴ ∴ , , ,化为 a2=2b2. 时, , =1, ,





联立



∴a2=4,b2=2.
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∴椭圆 C 的标准方程为 (2)以 MN 为直径的圆过定点

. .下面给出证明: ,即 ,

设 P(x0,y0),则 Q(﹣x0,﹣y0),且

∵A(﹣2,0),∴直线 PA 方程为:







直线 QA 方程为:







以 MN 为直径的圆为













, , .

令 y=0,x2+y2﹣2=0,解得 ∴以 MN 为直径的圆过定点

【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式, 考查了推理能力与计算能力,属于难题.

19.数列{an},{bn},{cn}满足:bn=an﹣2an+1,cn=an+1+2an+2﹣2,n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列,求证:数列{bn}是等差数列; (2)若数列{bn},{cn}都是等差数列,求证:数列{an}从第二项起为等差数列; (3)若数列{bn}是等差数列,试判断当 b1+a3=0 时,数列{an}是否成等差数列?证明你的结论.
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【考点】数列递推式;等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(1)利用等差数列的定义只要证明 bn+1﹣bn=一个常数即可; (2)当 n≥2 时,cn﹣1=an+2an+1﹣2,bn=an﹣2an+1,可得 明 an+1﹣an 等于一个常数即可; (3)解:数列{an}成等差数列. 解法 1 设数列{bn}的公差为 d',由 bn=an﹣2an+1,利用“错位相减”可得 ,设 ,可得 , ,只要证

,进而得到

,令

n=2,得 an+1=﹣(bn+1﹣d')+(bn﹣d')=﹣d',即可证明.

,利用 b1+a3=0,可得 an+2﹣

b1+a3=0, a1﹣2a2=﹣a3, bn+2=an+2 解法 2 由 bn=an﹣2an+1, 令 n=1, 即 a1﹣2a2+a3=0, 可得 bn+1=an+1﹣2an+2, ﹣2an+3,2bn+1﹣bn﹣bn+2=(2an+1﹣an﹣an+2)﹣2(2an+2﹣an+1﹣an+3),由于数列{bn}是等差数列,可得 2bn+1﹣bn﹣bn+2=0,可得 2an+1﹣an﹣an+2=2(2an+2﹣an+1﹣an+3),即可证明. 【解答】证明:(1)设数列{an}的公差为 d, ∵bn=an﹣2an+1, ∴bn+1﹣bn=(an+1﹣2an+2)﹣(an﹣2an+1)=(an+1﹣an)﹣2(an+2﹣an+1)=d﹣2d=﹣d, ∴数列{bn}是公差为﹣d 的等差数列. (2)当 n≥2 时,cn﹣1=an+2an+1﹣2, ∵bn=an﹣2an+1, ∴ ,∴ ,

∴ ∵数列{bn},{cn}都是等差数列, ∴ 为常数,



∴数列{an}从第二项起为等差数列.
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(3)解:数列{an}成等差数列. 解法 1 设数列{bn}的公差为 d', ∵bn=an﹣2an+1, ∴ ∴ ∴ 设 ∴ 两式相减得: 即 ∴ ∴ , , , , , , , ,…, , ,





令 n=2,得 ∵b1+a3=0, ∴ ∴2a1+2b1﹣4d′=0, ∴an+1=﹣(bn﹣d′), ∴an+2﹣an+1=﹣(bn+1﹣d′)+(bn﹣d′)=﹣d′, ∴数列{an}(n≥2)是公差为﹣d'的等差数列, ∵bn=an﹣2an+1,令 n=1,a1﹣2a2=﹣a3,即 a1﹣2a2+a3=0, ∴数列{an}是公差为﹣d'的等差数列. 解法 2∵bn=an﹣2an+1,b1+a3=0, 令 n=1,a1﹣2a2=﹣a3,即 a1﹣2a2+a3=0,
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∴bn+1=an+1﹣2an+2,bn+2=an+2﹣2an+3, ∴2bn+1﹣bn﹣bn+2=(2an+1﹣an﹣an+2)﹣2(2an+2﹣an+1﹣an+3), ∵数列{bn}是等差数列, ∴2bn+1﹣bn﹣bn+2=0, ∴2an+1﹣an﹣an+2=2(2an+2﹣an+1﹣an+3), ∵a1﹣2a2+a3=0, ∴2an+1﹣an﹣an+2=0, ∴数列{an}是等差数列. 【点评】本题考查了等差数列的定义及其通项公式,考查了分析问题与解决问题的能力,考查了推理能力 与计算能力,属于难题.

20.已知函数 f(x)=lnx﹣ ,g(x)=ax+b. (1)若函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若直线 g(x)=ax+b 是函数 f(x)=lnx﹣ 图象的切线,求 a+b 的最小值; (3)当 b=0 时,若 f(x)与 g(x)的图象有两个交点 A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1x2>2e2. (取 e 为 2.8,取 ln2 为 0.7,取 为 1.4)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(1)把 f(x)和 g(x)代入 h(x)=f(x)﹣g(x),求其导函数,结合 h(x)在(0,+∞) 上单调递增,可得对?x>0,都有 h′(x)≥0,得到 ,由 得到 a 的取值范围;

(2)设切点

,写出切线方程,整理得到





换元,可得 a+b=φ(t)=﹣lnt+t2﹣t﹣1,利用导数求其最小值; , ,把 a 用含有 x1,x2 的代数式表示,得到 ,不妨令 0<x1<x2,记 ,构造函数

(3)由题意知

,由导数确定其单调性,从而得到

,即

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,然后利用基本不等式放缩得到

,令

,再由导数确定 G(x)在(0,+∞)上单调递增,然后结

合又 【解答】(1)解:h(x)=f(x)﹣g(x)=

得到 ,则

,即

. , ,

∵h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴对?x>0,都有 即对?x>0,都有 ∵ ,∴a≤0, ,

故实数 a 的取值范围是(﹣∞,0]; (2)解:设切点 ,则切线方程为 ,



,亦即





,由题意得



令 a+b=φ(t)=﹣lnt+t2﹣t﹣1,则 当 t∈(0,1)时,φ'(t)<0,φ(t)在(0,1)上单调递减; 当 t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0,φ(t)在(1,+∞)上单调递增, ∴a+b=φ(t)≥φ(1)=﹣1,故 a+b 的最小值为﹣1; (3)证明:由题意知 , ,



两式相加得



两式相减得







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不妨令 0<x1<x2,记





,则





在(1,+∞)上单调递增,则





,则













,即





,则 x>0 时,



∴G(x)在(0,+∞)上单调递增, 又 ,







,即



【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最值,体现了数 学转化思想方法和函数构造法,本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力,难度较大.

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三、选做题(共 4 小题,满分 20 分 ont-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'"><STRONG>四小题中任选两题作答 </STRONG></SPAN>) 【几何证明选讲】 21.如图,EA 与圆 O 相切于点 A,D 是 EA 的中点,过点 D 引圆 O 的割线,与圆 O 相交于点 B,C,连 结 EC. 求证:∠DEB=∠DCE.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】立体几何. 【分析】由切割线定理:DA2=DB?DC,从则 DE2=DB?DC,进而△ EDB~△ CDE,由此能证明 ∠DEB=∠DCE. 【解答】证明:∵EA 与⊙O 相切于点 A. ∴由切割线定理:DA2=DB?DC. ∵D 是 EA 的中点, ∴DA=DE.∴DE2=DB?DC.… ∴ .∵∠EDB=∠CDE,

∴△EDB~△ CDE,∴∠DEB=∠DCE… 【点评】本题考查两角相等的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用.

【矩阵与变换】 22.已知矩阵 A= 的方程. 【考点】几种特殊的矩阵变换. 【专题】矩阵和变换.
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,B=

,若矩阵 AB﹣1 对应的变换把直线 l 变为直线 l′:x+y﹣2=0,求直线 l

【分析】计算出 AB﹣1 的值,设出变换,计算即可. 【解答】解:∵ ∴ ,∴ , , ,

设直线 l 上任意一点(x,y)在矩阵 AB﹣1 对应的变换下为点(x',y')

∴ 代入 l',



l':(x﹣2y)+(2y)﹣2=0,化简后得:l:x=2. 【点评】本题考查了矩阵的变换,属基础题.

【坐标系与参数方程选讲】 23.己知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O 的参数方程为 (α 为参数).以原点 O 为极点,以

x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρ(sinθ﹣cosθ)=1,直线 l 与圆 M 相交于 A, B 两点,求弦 AB 的长. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】利用 sin2α+cos2α=1 可得圆 O 的普通方程,把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程,再利用点 到直线的距离公式可得圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d,再利用弦长公式可得|AB|= 【解答】解:由圆 O 的参数方程 .

(α 为参数),利用 sin2α+cos2α=1 可得圆 O:x2+y2=4,

又直线 l 的极坐标方程为 ρ(sinθ﹣cosθ)=1 可得直线 l:x﹣y+1=0, 圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 ,

弦长



【点评】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、 弦长公式,考查了计算能力,属于基础题.

【不等式选讲】

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24.已知正实数 a,b,c 满足 a+b+c=3,求证: 【考点】不等式的基本性质. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】证明:∵正实数 a,b,c 满足 a+b+c=3, ∴ ∴abc≤1, ∴ . ,

+

+

≥3.

【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

四、解答题(共 2 小题,满分 20 分) 25.如图,在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,DA=DC=2,DD′=1,A′C′与 B′D′相交于点 O′,点 P 在线段 BD 上(点 P 与点 B 不重合). (1)若异面直线 O′P 与 BC′所成角的余弦值为 (2)若 DP= ,求 DP 的长度;

,求平面 PA′C′与平面 DC′B 所成角的正弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)以 为一组正交基底,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,由此利用向量法能求

出 DP 的长度.(2)求出平面 DC'B 的法向量和平面 PA'C'的法向量,利用向量法求出设平面 PA'C'与平面 DC'B 所成角的余弦值,由此能求出平面 PA′C′与平面 DC′B 所成角的正弦值. 【解答】解:(1)以 为一组正交基底,

建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz,
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由题意,知 D(0,0,0),A'(2,0,1),B(2,2,0),C'(0,2,1),O'(1,1,1).设 P(t,t, 0), ∴ , .

设异面直线 O'P 与 BC'所成角为 θ, 则 化简得:21t2﹣20t+4=0, 解得: (2)∵ 或 , ,∴ , 设平面 DC'B 的一个法向量为 或 .… , , , , , ,



,∴





,取 y1=﹣1,



设平面 PA'C'的一个法向量为





,∴





,取 y2=1,



设平面 PA'C'与平面 DC'B 所成角为 φ, ∴ ,



.…

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【点评】本题考查线段长的求法,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量 法的合理运用.

26.记 Cir 为从 i 个不同的元素中取出 r 个元素的所有组合的个数.随机变量 ξ 表示满足 Cir≤ i2 的二元数 组(r,i)中的 r,其中 i∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10},每一个 Cir(r=0,1,2,…,i)都等可能出现.求 Eξ. 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】由已知得当 r=0,1,2,i﹣2,i﹣1,i 时, 此能求出 Eξ. 【解答】解:∵ 当 i≥2 时, , ∴当 2≤i≤5,i∈N*时, 当 6≤i≤10,i∈N*, 由 当 r=0,1,2,i﹣2,i﹣1,i 时, 当 r=3,…,i﹣3 时, ∴ξ 的分布列为: ξ P(ξ) …
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成立,当 r=3,…,i﹣3 时,

,由

, , , 的解为 r=0,1,…,i.… , ?i=3,4,5 可知: 成立, (等号不同时成立),即 .… ,

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



.…

【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历年高考中都是 必考题型之一.

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