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专题五 二次函数


中小学个性化辅导专家

巨人教育辅导讲义
学员编号(卡号) : 学员姓名: 课 题 年 级: 辅导科目: 第 次课 教师:

专题五
教学内容

二次函数

【要点回顾】 1. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 问题[1] 函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在

怎样的关系?

问题[2]

函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图象之间存在怎样的关系?

由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法: 2 b2 b2 b2 b ? 4 a c b b ? ax (? ) ? 由于 y=ax2+bx+c=a(x2+ x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- , 所以,y 4a 4a 2 a 4 a a a =ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的, 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: [1]当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴 为直线 而 ;当 ;当 时,y 随着 x 的增大而 . ;顶点坐标为 ;当 ,对称轴为 ; ;当 时,y 随着 x 的增大

时,函数取最小值

[2]当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口方向 直线 当 ;当 时,函数取最大值 时,y 随着 x 的增大而 .

时,y 随着 x 的增大而

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y

b x=- 2a

y

A (?

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

O A (?

x

O x=-

x

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-4 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可 图 2.2-3 以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 2.二次函数的三种表示方式 [1]二次函数的三种表示方式:

(1) .一般式: (2) .顶点式: (3) .交点式:

; ; .

说明:确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么 形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式: ①给出三点坐标可利用一般式来求; ②给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶点式来求. ③给出三点,其中两点为与 x 轴的两个交点 ( x1 ,0) . ( x2 ,0) 时可利用交点式来求. 3.分段函数 一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函 数. 【例题选讲】 例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值) ,并 指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.

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例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之 间关系如下表所示: x /元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应 定为多少元?此时每天的销售利润是多少?

2 例 3 已知函数 y ,其中 a ??2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值 ? x , ??? 2x a 和最小值时所对应的自变量 x 的值.

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例 4 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ; (2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2; (3)已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8).

例 5 在国内投递外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分, 超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分, 依此类推, 每封 xg(0<x≤100)的信应付多少邮资 (单位: 分) ? 写出函数表达式,作出函数图象. 分析:由于当自变量 x 在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段 函数给出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当 x 在各个小范围内(如 20<x≤40)变 化时,它所对应的函数值(邮资)并不变化(都是 160 分) . ?8 0, x ? (0, 2 0 ] ?1 6 0 x ? ( 2 0 , 4 0 ] ? ? 解: 设每封信的邮资为 ( y 单位: 分) , 则 y 是 x 的函数. 这个函数的解析式为 y ? ? 2 4 0 , x ? ( 4 0 , 6 0 ] ?3 2 0 x ? (6 0, 8 0 ] ? ? ? 4 0 0 , x ? (8 0 ,1 0 0 ]
y(分) 400 320 240 160 80 O
20 40 60 80 100

x(克)

图 2.2-9

由上述的函数解析式,可以得到其图象如图所示.
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【巩固练习】 1.选择题: (1)把函数 y=-(x-1)2+4 的图象的顶点坐标是 ( ) (A) (-1,4) (B) (-1,-4) (C) (1,-4) (D) (1,4) 2 (2)函数 y=-x +4x+6 的最值情况是 ( ) (A)有最大值 6 (B)有最小值 6 (C)有最大值 10 (D)有最大值 2 2 (3)函数 y=2x +4x-5 中,当-3≤x<2 时,则 y 值的取值范围是 ( ) (A)-3≤y≤1 (B)-7≤y≤1 (C)-7≤y≤11 (D)-7≤y<11 2.填空: (1)已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(1,0),且过点 C(2,4) ,则该二次函数的 表达式为 . (2) 已知某二次函数的图象过点 (-1, 0) , (0, 3) , (1, 4) , 则该函数的表达式为 . 3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知二次函数的图象经过点 A(0, ? 1 ) ,B(1,0) ,C( ? 1 ,2) ; (2)已知抛物线的顶点为(1, ? 3 ) ,且与 y 轴交于点(0,1) ; (3)已知抛物线与 x 轴交于点 M( ? 3 ,0) , (5,0) ,且与 y 轴交于点(0, ? 3 ) ; (4)已知抛物线的顶点为(3, ? 2 ) ,且与 x 轴两交点间的距离为 4.

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4. 如图, 某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、 另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡. 已 知墙的长度为 6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大?

第2题

5.如图所示,在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P,从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后, 回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,Δ PAC 的面积为 y. (1)求函数 y 的解析式; D C (2)画出函数 y 的图像; (3)求函数 y 的取值范围.
P

A 图 2.2-10

B

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