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4. 2013年全国高中数学联赛辽宁预赛


预赛试题集锦(2014)
2013 年全国高中数学联赛辽宁省预赛
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.

高中竞赛

已知集合 A ? a x2 ? 3x ? 10 ≤ 0 ,B ? x m ? 1≤ x ≤ 2m ? 1 .当 A ? B ? ? 时,实数 m 的取值范 围是() . (A) 2 <

m < 4 (B) m < 2 或 m > 4 (D) m < ?

?

?

?

?

1 (C) ? < m < 4 2
2.

1 或 m>4 2

过原点的直线 l 交双曲线 xy ? ?2 2 于 P、Q 两点,其中点 P 在第二象限,将下半平面沿 x 轴折起 使之与上半平面成直二面角,线段 PQ 的最短长度是() . (A) 2 2 (B) 3 2 (C) 4 2 (D) 4

3.

1 3 a b c a?b?c i ,若 ? ? ,则 b, c 均为非零复数,令 ? ? ? ? 设 a, 的值为() . 2 2 b c a a ?b?c

(A) 1 4.

(B) ??

(C) 1, ?, ?2

(D) 1,? ? , ?2

设 f ( x) 是 (0 ,? ?) 上的单调函数,且对任意 x ? (0 ,? ?) ,都有 f [ f ( x) ? log2 x ] ? 6 .若 x0 是方程
f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,且 x0 ? (a ? 1, . a) (a ? N* ) ,则 a 的值为()

(A) 1 5. 内直径为 (A) 30 6.

(B) 2

(C) 3

(D) 4

4 3 ? 2 ,高为 20 的圆柱形容器中最多可以放入直径为 2 的小球的个数是() . 3

(B) 33

(C) 36

(D) 39

已知实数 x , . y 满足 17( x2 ? y 2 ) ? 30xy ? 16 ? 0 .则 16x2 ? 4 y2 ? 16xy ? 12x ? 6 y ? 9 的最大值是() (A) 7 (B) 29 (C) 19 (D) 3

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 8. 9. 若 2a ? 2b ? 2a ?b , 2a ? 2b ? 2c ? 2a ?b? c ,则 2 c 的最大值是_______. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AA1 ? 4, AD ? 3 ,则异面直线 A1 D 与 B1 D1 的距离为_______.
3 x2 y 2 , 斜率为 1 且过点 M (b ,0) 的直线与椭圆交于 A 、B 两 ? 2 ? 1 (a >b >0) 的离心率为 2 2 a b ??? ? ??? ? 32 点.设 O 为坐标原点,若 OA ? OB ? cot ?AOB ,则该椭圆的方程是_______. 5

椭圆

10. 将 11 个完全一样的小球放入 6 个不相同的盒子中,使得至多有 3 个空盒子的放法有_______种.

思维的发掘

能力的飞跃

1

高中竞赛

预赛试题集锦(2014)

?2x ? 1,x ≤ 0 , ? 11. 已知函数 f ( x) ? ? 设方程 f ( x) ? x 在区间 (0 ,n] 内所有实根的和为 Sn ,则数列 ? ? f ( x ? 1) ? 1,x > 0 ,
?1? ? ? 的前 n 项和=_______. ? Sn ?

2an?1 ? n ? 1 (n ≥ 2) ,则此数列的通项公式 an = _______. n 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分)
12. 数列 ?an ? 中, an ? 2an?1 ? 13. 设关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个实根 ? 、? (? < ? ) ,函数 f ( x) ? (1)求 ? f (? ) ? ? f ( ? ) 的值; (2)判断 f ( x) 在区间 (? ,? ) 的单调性,并加以证明;
? ?? ? ?? ? (3)若 ? ,? 均为正实数,证明: f ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? f? ? < ? ?? . ? ??? ?

2x ? m . x2 ? 1

2 14. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? an ? nan ? ? (n ? N ? , ?为实数) .

(1)若 an ≥ 2n 恒成立,求 ? 的取值范围; (2)若 ? ? ?2 ,求证:
1 1 1 ? ??? <2 . a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2

15. 如图, 锐角 △ ABC 中,AB < AC , 且点 D 和 E 在边 BC 上, 满足 BD ? CE .若在 △ ABC 内存在点 P 满足 PD∥ AE 且 ?PAB ? ?EAC ,证明: ?PBA ? ?PCA 。 A

P B C

D

E

2

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能力的飞跃

预赛试题集锦(2014)

高中竞赛

???? ? ??? ? 16. 设点 P 为圆 C1:x2 ? y 2 ? 2 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q 点满足 2 ? MQ ? PQ .
(1)求点 M 的轨迹的方程; (2)过直线 x ? 2 上的点 T 作圆 C2 的两条切线,设切点分别为 A 、B ,若直线 AB 与(1)中的曲 线 C2 交于两点 C 、D ,求
| CD | 的取值范围. | AB |

y

P
M

A
C
O

T
x

Q

D

B

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能力的飞跃

3

高中竞赛
参考答案: 1. (B).

预赛试题集锦(2014)
6. (A) .

2. (D).3. (C).4. (B).5. (C)

6 34 x2 y 2 4 .8. .9. ? ? 1 . 10. 4212 . 17 3 16 4 2n 11. . 12. an ? (n ? 1)(2n?1 ? 1) . n ?1

7.

13.解: (Ⅰ)∵ ? , ? 是方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 的两个根,∴ ? ? ? ? m, ?? ? ?1 , ∴ f (? ) ?
2? ? m 2? ? (? ? ? ) ? ?? 1 ? ? ? , 2 2 ? ?1 ? ? ?? ? (? ? ? ) ?

∴ ? f (? ) ? 1,同理可得 ? f (? ) ? 1 ∴ ? f (? ) ? ? f ( ? ) ? 2 ,………………(5 分) (Ⅱ)∵ f ?( x) ? ?
2( x 2 ? mx ? 1) 2( x ? ? )( x ? ? ) ?? , 2 2 ( x ? 1) ( x 2 ? 1)2

当 x ? (? , ? ) 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (? , ? ) 上单调递增.………………………(10 分) (Ⅲ)∵ ∴? ?

?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?0, ?? ? ?0, ??? ??? ??? ???

?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ∴由(Ⅱ)可知, f (? ) ? f ( ) ? f (? ) , ??? ???

同理 f (? ) ? f ( ∴| f (

?? ? ?? ) ? f (? ) , ???

?? ? ?? ?? ? ?? )? f( ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | ,……………………………(15 分) ??? ???
1

由(Ⅰ)可知, f (? ) ? ∴ | f (? ) ? f ( ? ) |?| ∴| f (
1 ?

?

, f (? ) ?

1

?

, ?? ? ?1 ,

1

?

?

|?|

? ?? |?| ? ? ? | , ??

?? ? ?? ?? ? ?? )? f( ) |?| ? ? ? | .……………………(20 分) ??? ???

14.解:(Ⅰ)当 n ? 2 时,由 a2 ? 6 ? ? ? 2 ? 2 得 ? ? ?2 , 即 an ? 2n 时, ? ? ?2 .…………………………(5 分) 下面证明当 ? ? ?2 时, an ? 2n . 当 n ? 2 时, a2 ? 2 ? 2 成立;设当 n ? k (k ? 2) 时, ak ? 2k 成立;则当 n ? k ? 1 时,
2 ak ?1 ? ak ? kak ? ? ? ak (ak ? k ) ? ? ? 2k 2 ? 2 ? 2 ? k ? 1? (k ? 1) ? 2 ? k ? 1? ,

故对所有 n ? 2 , an ? 2n 成立.

4

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能力的飞跃

预赛试题集锦(2014)
当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 2 ?1 成立,故对所有 n ? N* , an ? 2n 成立. 综上, ? 的取值范围是 ? ? ?2 .
2 n

高中竞赛

……………………………(10 分)

(Ⅱ)当 ? ? ?2 时, an?1 ? 2 ? a ? nan ? 4 ? nan ? 4 ? 2 ? an ? 2? ? 0 ( n ? 2 ) ,
? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n ?1 ? ? n ?1 ( n ? 3 ) ,…………………(15 分) an ? 2 2 an ?1 ? 2 2 a1 ? 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n?1 ? 2 ? n?1 ? 2 .……………(20 分) a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2 2 2 2 2

A
15.证明:如图,作平行四边形 ABFC 和平行四边形 ABGP , 则 AC ? FB , ?ACE ? ?FBD ,又 BD ? CE , 故 ?AEC ? ?FDB ,………………………(5 分)
?BDF ? ?AEC ,所以 FD / / AE ,

P

又 PD / / AE ,则 P 、 D 、 F 三点共线. 故 B 、 G 、 F 、 P 四点共圆,

……(10 分)

因此, ?BFP ? ?BFD ? ?EAC ? ?BAP ? ?BGP ,
?FBG ? ?FPG ? ?BAP ? ?EAP ? ?CAP 又由于

G

B

D

E

AP ? BG, AC ? BF ,故 ?APC ? ?BGF ,……(20 分)

F

C

故 ?ABP ? ?BPG ? ?BFG ? ?ACP .

……(25 分)

???? ? ??? ? 16.解:(Ⅰ)设点 M ( x,y ) ,由 2 ? MQ ? PQ ,得 P( x, 2 y) ,
由于点 P 在 C1:x2 ? y 2 ? 2 上, 所以 x2 ? 2 y 2 ? 2 ,即 M 的轨迹方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

………………(5 分)

(Ⅱ)设点 T (2,t ) , A( x1? , y1? ),B( x2? ,y2? ) ,则 AT , BT 的方程为

x1? x ? y1? y ? 2 , x2? x ? y2? y ? 2 ,
又点 T (2, t ) 在 AT 、 BT 上,则有:

2x1? ? ty1? ? 2 ①, 2x2? ? ty2? ? 2 ②,……………………(10 分)
由①、②知 AB 的方程为: 2 x ? ty ? 2 , 设点 C ( x1 ,y1 ),D( x2 ,y2 ) ,则圆心 O 到 AB 的距离 d ?
| AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2
2 4 ? t2

,则

2t 2 ? 4 ;……………………(15 分) t2 ? 4

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预赛试题集锦(2014)

? 2 x ? ty ? 2 ? 又由 ? x 2 ,得 (t 2 ? 8) y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ?2





y1 ? y2 ?

4t t ?8
2



y1 y2 ?

?4 t ?8
2





| CD |? 1 ?

t2 2 t ?24 ? 2t ? 8 2 | y1 ? y2 |? , 4 t2 ? 8

于是

| AB | (t 2 ? 8) t 2 ? 2 , ? | CD | (t 2 ? 4) t 2 ? 4
| AB | s3 ? 6s 2 ? 32 6 32 ? ? 1? ? 3 , 3 | CD | s s s

设 t 2 ? 4 ? s ,则 s ? 4 ,于是

| AB | 1 1 ? 1 ? 6m ? 32m3 ,……………………(20 分) 设 ? m,m ? (0, ] ,于是 | CD | s 4

设 f (m) ? 1 ? 6m ? 32m3 , f ?(m) ? 6 ? 96m2 ,令 f ?(m) ? 0 ,得 m ?

1 ., 4

? 2 ? | CD | 1 得 f (m) 在 (0, ] 上单调递增,故 f (m) ? (1, 2] .,即 的范围为 ? ,1? ?. | AB | 4 ? 2 ?
…………………………………………(25 分)

6

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