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实用二面角求法实例(二)


实用二面角求法实例(二)
※本实例与《实用二面角求法(一) 》配合使用
方法 1:定义法
例1 如图四面体 ABCD 的所有棱长均为 2,求二面角 A-BD-C 的大小?

解答:解:取 BD 的中点 E,连接 AE,CE,则 AE⊥BD,CE⊥BD, ∴∠AEC 是二面角 A-BD-C 的平面角。

∵四面体

ABCD 所有棱长均为 2, ∴AE= 3 ,EC= 3 ,AC=2
1 AE 2 ? EC 2 ? AC 2 1 ∴ cos ?AEC ? = ,∠AEC= arccos 3 3 2 ? AE ? EC

方法 2:三垂线法
例2 如图, AB ? 平面 BCD ,若 AB=1,BC=BD=2CD=2,求二面角 A—CD--B

的大小? 解:过 B 作 BE⊥CD 交 CD 于 E ,连接 AE,∵ AB ? 平面 BCD , AB ? CD,CD⊥平 面 AEB,∴AE⊥CD, ∠AEB 是二面角 A-CD-B 的平面角。 (本人不会画图,请谅解) 在等腰△BCD 中,BE=
15 2

A

在 Rt△AEB 中,tan∠AEB= ∠AEB= arctan
2 15 15

AB 2 15 ? BE 15

B

C
E

D

1

方法 3:垂面法
例3 自二面角内的一点 P 到两个平面的距离 PA=PB 相等,两个垂足间的
1 2

距离 AB= PA ,求此二面角的度数。 解:如图,P 是二面角 ? ? L ? ? 内的一点,PA ? ? , PB ? ? ,A,B 分别为垂足, 过平面 PAB 与平面α 和β 的交线 AC、CB, 所以 ? ACB 是二面角的平面角, 在△PAB 中,
cos ?APB ?

P A C B?

?

PA 2 ? PB 2 ? AB 2 7 ? 2 ? PA ? PB 8
7 8

∠APB= arccos

在四边形 ACBP 中,PA ? AC,PB ? CB, ∠ACB=π - arccos

7 8

方法 4:射(投)影法
例 4. 如图 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥面 ABCD. SA=AB=BC=1
1 AD= 2

S B C D

求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小?

A

解:∵SA⊥平面 ABCD, SA⊥AD,又∵ AD⊥AB,∴AD⊥平面 SAB,同理,CB
5 , 2 2 5 在直角梯形 ABCD 中, CD = , 在 Rt△SAC, AC= 2 , SC= 3 ? SC 上的高为 , 2 2 1 2 6 1 S ?SCD ? ? 3 ? ? ,又 S ?SAB ? , 则 2 2 2 4 1 S ?SAB 2 6 2 6 cos ? ? ? 2 = .?? ? arccos ,即面 SCD 与面 SBA 所成的二面角 S ?SCD 6 6 6

⊥平面 SAB,则Δ SDC 在平面 SAB 的射影是Δ SAB,在 Rt△SAD 中 SD=

4 2 6 的大小为 arccos 。 6
2

方法 5:向量法
(1)棱上取两点向量法 例 5 如图,在二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角 的两个半平面内,且都垂直于 AB.已知 AB=2,AC=3,BD=4,CD= 17 求α - AB-β 二面角的大小?

? ?2 ? ?2 ? ? ? ? C D ? ( C A ? A B ? B D ) C D ? C A ? A B ? B D 解:由已知条件知 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? CD 2 ? CA 2 ? AB 2 ? BD 2 ? 2 (CA ? AB ? CA ? BD ? AB ? BD ) ? ? ? ? ? ? ? ? ∵ CA ? AB ,AB ? BD ∴ CA ? AB ? 0,AB ? BD ? 0 ?2 ?2 ?2 ?2 ? ? C D ? ( C A ? A B ? B D )=17-(9+4+16)=-12 2 C A ? B D ? 则

设α -AB-β 二面角为θ ,即向量 CA 和BD 的夹角。
cos ? ?

?

?

CA ? BD ? CA BD

?6 32 ? 42

? ?

1 2

,θ =1200

(2)平面法向量法 例6 将如图 1 的直角梯形 ABEF(图中数字表示对应线段的长度)沿直线

CD 折成直二面角,连结部分线段后围成一个空间几何体,如图 2 所示. (Ⅰ)求证:BE∥面 ADF; (Ⅱ)求证:AC⊥FB; (Ⅲ)求∠AEM 的大小 (Ⅳ)求二面角 D-BF-E 的大小.

3

对于(I) (Ⅱ)可用几何法证明,而(Ⅲ) (Ⅳ)用几何法不直观,用向量 法更方便,有时一次性建立空间直角坐标系,也可证明线与线及线与面的 关系。
解(I)由图形得知,CD⊥AD,FD⊥平面 ABCD,以 DA、DC、DF 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 D-xyz,如图所示.得到 A(1,0,0)、 B(1,1,0)、C(0,1,0)、E(0,1,1)、F(0,0,2)各点的坐标。
0 ? 0, 1 ? 0) ? (?1, 0, 1) 取 DF 的中点 M,连结 AM,M(0,0,1), AM ? (0 ? 1, ?

BE ? (0 ? 1, 1 ? 1, 1 ? 0) ? (?1, 0, 1), AM ? BE ,AM∥BE, BE ? 平面ADF ,

?

?

?

∴BE∥平面 ADF (
?

II







AC,
?

AC ? (0 ? 1, 1 ? 0, 0 ? 0) ? (?1, 1, 0)
?

?



FB ? (1 ? 0, 1 ? 0, 0 ? 2) ? (1, 1, ?2), AC ? FB ? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? (?2) ? 0 ,

∴AC⊥FB ( Ⅲ ) 连 接
?

AE , ∠ AEM

是 向 量 EA 和向量EM

?

?

的 夹 角 ,

EA ? (1 ? 0, 0 ? 1, 0 ? 1) ? (1, ?1, ?1)
EM ? (0 ? 0, 0 ? 1, 1 ? 1) ? (0, ?1, ?0), EA ? EM ? 1 ? 0 ? (?1) ? (?1) ? (?1) ? 0 ? 1
EA ? EM EA EM
? ? ?
3 ?AEM ? arccos 3 3 , ? 3 3? 1

?

?

?

cos ?AME ?

1

(Ⅳ)∵AC⊥FD,AC⊥FB,∴AC⊥平面 DEF, AC (-1,1,0)是平面 DEF
4

?

的法向量 设平面 BFE 的法向量 n=(x,y,z)
EF ? (0 ? 0, 0 ? 1, 2 ? 1) ? (0, ?1, 1), BE ? (0 ? 1, 1 ? 1, 1 ? 0) ? (?1, 0, 1)
n ? BE ? 0
n ? EF ? 0
? ?
? ? ? ?

?

?

-x+z=0 -y+z=0 令 z=1, n=(1,1,1)

则向量 n和AC 的夹角为平面 D-BF-E 的二面角θ ,
n ? AC ? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? ? n ? AC cos ? ? ? 0 n AC
? ?

θ =900,平面 DBF 与平面 EBF 互相垂直。 方法 6:无棱补棱法 例7 过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA⊥平面 ABCD,设 PA=1,AB= 3 ,求平

面 PAB 和平面 PCD 所成二面角的大小? 解:根据二面角的平面角的定义可知在平面 PAB 内 ,过点 P 作 PQ∥AB,则 PQ 为平面 PAB 和平面 PCD

所成二面角的棱。 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥PQ, 又∵AB⊥平面 PAD,∴AB⊥PD,PD⊥PQ, 则∠APD 为所求平面 PAB 和平面 PCD 所成的平面角。

5

在 Rt△APD 中,tan∠APD=

AD ? AP

3 ,∠APD=60

0

6


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