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【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理):《函数的应用》


第9讲

函数的应用 【2014年高考会这样考】
1.考查二次函数模型的建立及最值问题. 2.考查分段函数模型的建立及最值问题. 3.考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问 题. 4.合理选择变量,构造函数模型,求两变量间的函数关系式,从而研 究其最值.

常见的几种函数模型

单击标题可完

成对应小部 分的学习,每小部分独立 成块,可全讲,也可选讲

抓住2个考点

三种函数模型图象与性
质比较

助学微博 考点自测

考向一 一次函数、二次函数【例1】 【训练1】

突破3个考向

模型 考向二 指数函数模型

【例2】 【训练2】 【例3】 【训练3】

考向三 函数y=x+a/x模型

揭秘3年高考

函数建模及函数应用问题
?1、 选择题 A级 ? 2 、 填空题 ? ?3、 解答题 ?

限时规范训练

B级

?1、 选择题 ? 填空题 ? 2、 ?3、 解答题 ?

考点梳理
1.常见的几种函数模型 (1)一次函数模型:y= ax+b (a≠0); (2)反比例函数模型:y= (k≠0); (3)二次函数模型:y= ax2+bx+c (a≠0); (4)指数函数模型:y=N(1+p)x(x>0,p≠0)(增长率问题); (5)对数函数模型:y=blogax(x>0,a>0且a≠1); (6)幂函数模型:y=xn ;
a (7)y=x+ 型(x≠0); x k x

(8)分段函数型.

考点梳理
2.三种函数模型图象与性质比较
性 质 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 越来越快 随 x 值增大图 图象的变化 象与 y轴 接 近平行 值的比较 函 数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)

单调 递增

.

单调 递增 越来越慢

.

单调递增 相对平稳 随 n 值变化 而各有不同

随 x 值增大图 象与 x轴 近平行 接

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax

助学微博
一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的 定义域. 四个步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量 关系,把握其中的数学本质,初步选择模型.

(2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实
际问题转化为数学问题. (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题.

(4)还原:回到实际问题,检验结果的实际意义,给出结论.

考点自测

单击题号显示结果 1 A 答案显示 单击图标显示详解

2

3

4

D

D

6 , 10 000

5 y=a(1+r)x

1.将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个 售出时,能卖出 400 个,已知这种商品每涨 价 1 元,其销售量就要减少 20 个,为了获 得最大利润,每个售价应定为( ). A.95 元 B.100 元 C.105 元 D.110 元 2.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 y =aent.假设 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相 等,若再过 m 分钟后甲桶中的水只有a,则
8

m 的值为( ). A.7 B.8 C.9 D.10 3.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以 一开始就跑步,等跑累了再慢慢走余下的路 程,图中纵坐标表示离学校的距离 s,横坐 标表示出发后的时间 t,则如图所示的四个 图形中较符合该学生走法的是( ).

4.(2011·湖北)里氏震级 M 的计算公式为: M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地 震曲线的最大振幅, 0 是相应的标准地震的 A 振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最 大振幅是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 ________倍. 5. (人教 A 版教材习题改编)某种储蓄按复利 计算利息,若本金为 a 元,每期利率为 r, 存期是 x, 本利和(本金加利息)为 y 元, 则本 利和 y 随存期 x 变化的函数关系式是______.

[审题视点] 一次函数、二次函数模型 正确理解s的意义及 【例 1】?据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘 函数v=f(t)的图象是 暴一直向正南方向移动, 其移动速度 v(km/h)与时间 t(h) 解答此题的关键,该 函数的定义域即风暴 的函数图象如图所示,过线段 发生的时间由函数v OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l, =f(t)的图象确定, 梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的 即0≤t≤35.

考向一

面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的 路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试 判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会, 在沙尘暴 发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会, 请说明理 由. 解 (1)由图象可知:当 t=4 时,v=3×4=12, 1 ∴s= ×4×12=24. 2

考向一

一次函数、二次函数模型

1 3 (2)当 0≤t≤10 时,s= ·3t= t2; t· 2 2 1 当 10<t≤20 时,s= ×10×30+30(t-10)=30t-150; 2 1 1 当 20<t≤35 时,s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- 2 2 ×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.

?3t2,t∈[0,10], ?2 综上可知,s=?30t-150,t∈?10,20], ? 2 ?-t +70t-550,t∈?20,35].
3 (3)∵t∈[0,10]时,smax= ×102=150<650, 2 t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650, ∴当 t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650. 解得 t1=30,t2=40.∵20<t≤35,∴t=30, ∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.

[方法锦囊] 1.在现实生活中,很 多问题的两变量之 间的关系是一次函 数模型,其增长特点 是直线上升(自变量 的系数大于0)或直 线下降(自变量的系 数小于0). 2.当两变量之间的 关系不能用同一个 关系式给出,而是由 几个不同的关系式 构成分段函数则可 以先将其作为几个 不同问题,将各段的 规律找出来,再将其 合在一起,要注意各 段变量的范围,特别 是端点.

考向一

一次函数、二次函数模型

【训练 1】 经市场调查,某种商品在过去 50 天的 销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数, 且销售量 近似地满足 f(t)=-2t+200(1≤t≤50,t∈N).前 1 30 天价格为 g(t)= t+30(1≤t≤30,t∈N),后 20 2 天价格为 g(t)=45(31≤t≤50,t∈N). (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关 系; (2)求日销售额 S 的最大值. 解 (1)根据题意,得 ?1 ? ? ??-2t+200?? t+30??,1≤t≤30,t∈N ?2 ? S=? ?45?-2t+200?,31≤t≤50,t∈N ?-t2+40t+6 000,1≤t≤30,t∈N, =? ?-90t+9 000,31≤t≤50,t∈N.

[方法锦囊] 1.在现实生活中,很 多问题的两变量之 间的关系是一次函 数模型,其增长特点 是直线上升(自变量 的系数大于0)或直 线下降(自变量的系 数小于0). 2.当两变量之间的 关系不能用同一个 关系式给出,而是由 几个不同的关系式 构成分段函数则可 以先将其作为几个 不同问题,将各段的 规律找出来,再将其 合在一起,要注意各 段变量的范围,特别 是端点.

考向一

一次函数、二次函数模型

(2)①当 1≤t≤30,t∈N 时, S=-(t-20)2+6 400, ∴当 t=20 时,S 的最大值为 6 400; ②当 31≤t≤50,t∈N 时, S=-90t+9 000 为减函数, ∴当 t=31 时,S 的最大值为 6 210. ∵6 210<6 400, ∴当 t=20 时,日销售额 S 有最大值 6 400.

[方法锦囊] 1.在现实生活中,很 多问题的两变量之 间的关系是一次函 数模型,其增长特点 是直线上升(自变量 的系数大于0)或直 线下降(自变量的系 数小于0). 2.当两变量之间的 关系不能用同一个 关系式给出,而是由 几个不同的关系式 构成分段函数则可 以先将其作为几个 不同问题,将各段的 规律找出来,再将其 合在一起,要注意各 段变量的范围,特别 是端点.

考向二 指数函数模型
【例 2】?有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为 V m3,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量,都为 r m3.现假设下雨和蒸发正好平衡,且污染物质与湖水 能很好地混合. g(t)表示某一时刻 t 每立方米湖水所 用 含污染物质的克数,我们称其为在时刻 t 时的湖水污 染质量分数.已知目前污染源以每天 p 克的污染物质 p 污染湖水,湖水污染质量分数满足关系式 g(t)= + r r ? p ? -V t ?g?0?- ?e (p≥0),其中 g(0)是湖水污染的初始质 r? ? 量分数. (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始 质量分数; p (2)求证: g(0)< 时, 当 湖泊的污染程度将越来越严重; r (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停 止,那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降 到开始时(即污染停时)污染水平的 5%?

[审题视点]

本题信息量大,解析 式较繁,需要考生有 较强的阅读理解能 力和计算能力,同时, 对题目的转化尤为 重要,(2)中即证明 g(t)递增;(3)中转 化为解方程即可.

考向二 指数函数模型
(1)解 设 0≤t1<t2,∴g(t)为常数, r ? ? p? ? - r t ? -V t2?=0. 1 ∴g(t1)=g(t2),即?g?0?- r ? ·?e V -e ? ? ? ? ? p ∴g(0)= r . 设 0<t1<t2,
r ? ? p? ? - r t ? -V t2? g(t1)-g(t2)=?g?0?- r ?· V 1-e ? ? ? ? ? ?e r Vt2

【方法锦囊】

(2)证明 则

? p? e =?g?0?- r ?· ? ?

-e

r Vt1

e

r V?t1+t2?

.

p ∵g(0)- r <0,t1<t2,∴g(t1)<g(t2). 故湖泊污染质量分数随时间变化而增加, 污染越来越严重.

1.指数函数模型,常 与增长率相结合进 行考查,在实际问题 中有人口增长、银 行利率、细胞分裂 等增长问题可以利 用指数函数模型来 表示; 2.应用指数函数模 型时,关键是对模型 的判断,先设定模型 将有关已知数据代 入验证,确定参数,从 而确定函数模型. 3.y=a(1+x)n通常 利用指数运算与对 数函数的性质求 解.

考向二 指数函数模型
(3)解 污染源停止,即 p=0,


【方法锦囊】

此时 g(t)=g(0)· e 染水平的 5%.

r t V .

设要经过 t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污
r t V .

即 g(t)=5%· g(0),即有 5%· g(0)=g(0)· e 由实际意义知 g(0)≠0,
r 1 - t ∴ =e V . 20



V V ∴t= r ln 20,即需要 r ln 20 天时间.

1.指数函数模型,常 与增长率相结合进 行考查,在实际问题 中有人口增长、银 行利率、细胞分裂 等增长问题可以利 用指数函数模型来 表示; 2.应用指数函数模 型时,关键是对模型 的判断,先设定模型 将有关已知数据代 入验证,确定参数,从 而确定函数模型. 3.y=a(1+x)n通常 利用指数运算与对 数函数的性质求 解.

考向二 指数函数模型
【训练 2】 某医药研究所开发的一种新药,如果成年 人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中 的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所 示的曲线. (1)写出第一次服药后 y 与 t 之间 的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定: 每毫升血液中 含药量不少于 0.25 微克时, 治疗 有效.求服药一次后治疗有效的时间是多长?

?kt,0≤t≤1, 解 (1)设 y=??1? t a ? ? ???2?? ,t>1.


当 t=1 时,由 y=4,得 k=4, 由
?1 ? 1- a ? ? ? ? ?2 ?

?4t,0≤t≤1, =4,得 a=3.则 y=??1? t 3 ? ? ???2?? ,t>1.


【方法锦囊】 1.指数函数模型,常 与增长率相结合进 行考查,在实际问题 中有人口增长、银 行利率、细胞分裂 等增长问题可以利 用指数函数模型来 表示; 2.应用指数函数模 型时,关键是对模型 的判断,先设定模型 将有关已知数据代 入验证,确定参数,从 而确定函数模型. 3.y=a(1+x)n通常 利用指数运算与对 数函数的性质求 解.

考向二 指数函数模型
?t>1, ?0≤t≤1, (2)由 y≥0.25 得? 或??1? t-3 ? ? ?4t≥0.25, ???2?? ≥0.25.
1 解得 ≤t≤5, 16 因此服药一次后治疗有效的时间是 1 79 5- = 小时. 16 16

【方法锦囊】 1.指数函数模型,常 与增长率相结合进 行考查,在实际问题 中有人口增长、银 行利率、细胞分裂 等增长问题可以利 用指数函数模型来 表示; 2.应用指数函数模 型时,关键是对模型 的判断,先设定模型 将有关已知数据代 入验证,确定参数,从 而确定函数模型. 3.y=a(1+x)n通常 利用指数运算与对 数函数的性质求 解.

考向三 函数y=x+a/x模型
其中 Q=x+b(a>5 000,b>5). (1)该玩具厂生产多少万套吉祥物时,使得每万套成本费用最低? (2)若产出的吉祥物能全部售出,产量多大时,厂家所获利润最大? 解
1 1 000+5x+ x2 P 10 1 000 x (1) = = x +10+5≥25(x=100 时,取等号), x x
a

[审题视点]

【例 3】 ?上海某玩具厂生产 x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为 用基本不等 1 P 元, P=1 000+5x+10x2, 且 x∈(0,200], 而每万套售出价格为 Q 元, 式求最值,

注意等号成 立的条件. 【方法锦囊】

对于y=x+ a/x (a>0)类 ∴生产 100 万套时,每万套成本费用最低. 型的函数 ?a ? 1 1 (2)由题设,利润 f(x)=?x+b?x-(1 000+5x+10x2)=-10x2+(b-5)x+ 最值问题, ? ? ? ? 特别要注 1 5 a-1 000=-10[x-5(b-5)]2+a-1 000+2(b-5)2,x∈(0,200]. 意定义域 问题,可 5 当 5(b-5)≤200,即 5<b≤45 时,[f(x)]max=f[5(b-5)]=2(b-5)2+a 考虑用均 值不等式 -1 000, ∴当产量为(5b-25)万套时, 利润最大. b>45 时, 当 函数 f(x)在(0,200] 求最值, 或利用函 上是增函数, 数的单调 ∴当产量为 200 万套时,[f(x)]max=200b+a-6 000. 性求最值.

考向三 函数y=x+a/x模型

[审题视点]

【训练 3】(2010· 湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 用基本不等 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层, 某幢建筑物要建造可使用 20 年 式求最值, 的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的 注意等号成 能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系: 立的条件. k C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万 3x+5 【方法锦囊】 元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. 对于y=x+ (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; a/x (a>0)类 (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 型的函数 解 (1)由已知条件 C(0)=8,则 k=40, 最值问题, 800 因此 f(x)=6x+20C(x)=6x+ (0≤x≤10). 特别要注 3x+5 意定义域 800 800 (2)f(x)=6x+10+ -10≥2 ?6x+10? -10=70(万元), 问题,可 3x+5 3x+5 考虑用均 800 当且仅当 6x+10= 即 x=5 时等号成立. 值不等式 3x+5 求最值, 所以当隔热层为 5 cm 时,总费用 f(x)达到最小值, 或利用函 最小值为 70 万元.

数的单调 性求最值.

揭秘3年高考
规范解答2 函数建模及函数应用问题

【命题研究】从近三年的高考试题来看,建立函数模 型解决实际问题是高考的热点,题型主要以解答题为 主,难度中等偏高,常与导数、最值交汇,主要考查 建模能力,同时考查分析问题、解决问题的能力.预 测2014年高考仍将以函数建模为主要考点,同时考查 利用导数求最值问题.

【真题探究】? (本小题满分 12 分) (2011· 江苏)请你设计一个包装 盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴 影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱 形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形 斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm).

(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大, 试问 x 应取何值?并求 出此时包装盒的高与底面边长的比值.

[教你审题] 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示 成 x 的函数,然后根据二次函数的最值求法和导数法求解. [规范解答] 设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm). 60-2x 由已知得 a= 2x,h= = 2(30-x)(0<x<30). (2 分) 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, (4 分) 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (6 分) (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2), (8 分) V′=6 2x(20-x). 由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20. (9 分) 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. (11 分) h 1 1 此时 = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . (12 分) a 2 2

[阅卷老师手记] (1)在求实际问题中的最大值或最小值时, 一般是先设自变量、 因变量, 建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,但 应注意结果与实际情况相符合. (2)用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有 一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点. 解函数应用题的一般程序是: 第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 第二步:建模——将文学语言转化成数学语言,用数学知识建立相应 的数学模型; 第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论; 第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数 学解对实际问题的合理性.

【试一试】 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营 状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元 无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保 证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后, 逐步偿还转让费 (不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件 14 元;② 该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需各种开 支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?

解 设该店月利润余额为 L, 则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,① ?-2P+50 ?14≤P≤20?, ? 由销量图易得 Q=? 3 ?-2P+40 ?20<P≤26?, ? 代入①式得

??-2P+50??P-14?×100-5 600 ?14≤P≤20?, ? L=?? 3 ? ?- P+40? ?P-14?×100-5 600?20<P≤26?, ?? 2 ? ?
(1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元; 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= 元,此时 P= 元. 3 3 故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元. (2)设可在 n 年内脱贫, 依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20. 即最早可望在 20 年后脱贫.

A级 基础演练
一、选择题

单击题号出题干 2 1

3

4

单击问号出详解

2. (2013· 青岛月考)某电信公司推出两种手机 4.(2013·成都调研)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年 太原模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运, 3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元) 1.(2013· 收费方式:A 种方式是月租 和 L =2x,其中 x 为销售量(单位: 据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x 平均比上一年增长 10.4%,专家预测经过 x 年可能增长到原来的 分别为 L1=5.06x-0.15x2 20 元,B 种方式 2 ∈N*)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运多少年时,其营运 是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时 y 倍,则函数 y=f(x)的图象大致为( D ). 辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得最大利润 的年平均利润最大( C ). s(元)的函数关系如 间 t(分钟)与打出电话费 为( B A.3 ). B.4 150 分钟时,这两种方式电 C.5 D.6 图,当打出电话 A.45.606 万元 B.45.6 万元 解析 由题图可得营运总利润 y=-(x-6)2+11, 话费相差( A ). C.45.56 万元 D.45.51 万元 y 25 则营运的年平均利润 =-x- +12, 40 x A.10 元 B.20 元 C.30 辆,则乙销售(15-x)辆, 解析 依题意可设甲销售 xx 元 D. 3 元 y 25 * S=L +L ,则总利润 S=5.06x-0.15x2+2(15-x) 总利润 ,∴种方式对应的函数解析式为 s=k1t+20,B 种方式对 1 2 ∵x∈N x· +12=2, 解析 设 A x≤-2 x 解析 由题意可得 y=(1+10.4%)x. 2 =-0.15x +3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+0.15×10.22+ 应的函数解析式为 s=k2t,当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2 答案 D x=25,即 x=5 时取“=”. 当且仅当 30(x≥0),∴当 x=10 时,Smax=45.6(万元). x 1 1 -k1= 时营运的年平均利润最大. 1-20=150× -20=10. ,t=150 时,150k2-150k ∴x=55 B 5 答案 答案 A 答案 C

A级 基础演练
二、填空题

5 单击题号出题干 6
单击问号出详解

6.如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要 5.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方 求书面上方空出 2 cm 的边,下、左、右方都 式其加密、解密原理如下: 发送 解密 空出 1加密 的边,为使中间文字部分的面积最 cm 明文――→密文――→密文――→明文 大,这页书的长、宽应分别为 30 cm、20 cm. 已知加密为 y=ax-2(x 为明文,y 为密文),如果明文“3”通 解析 设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600, 过加密后得到密文为“6”,再发送,接受方通过解密得到明 则中间文字部分的面积 文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是 4 . S=(a-2-1)(b-2)=606-(2a+3b) ≤606-2 6×600=486, 解析 依题意 y=ax-2 中,当 x=3 时,y=6,故 6=a3-2, 当且仅当 2a=3b,即 a=30,b=20 时, y=14 时,由 14 解得 a=2.所以加密为 y=2x-2,因此,当 Smax=486. =2x-2,解得 x=4. 答案 30 cm、20 cm 答案 4

A级 基础演练
三、解答题

单击题号出题干

7

8

单击问号出详解

解 (1)由题意得:10(1 000-x)(1+0.2x%)≥10×1 000, 7.(12 分)为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用 解 (1)由图象可设 y 把点 C(30,15) 8.(13 分)(2013· y1=k1x+29,2=k2x, 1 000 名,平均每人 济宁模拟)某单位有员工 B(30,35), 2 即 x -500x≤0,又 x>0,所以 不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市 每年创造利润 2 得万元. 2=1. 0<x≤500. 10 k1=1,k 为了增加企业竞争力, 决定优化产业 分别代入 y1,y 5 2 范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元)的关系分别如 即最多调整 500 名员工从事第三产业. 结构,调整出 x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平 1 1 图①、②所示. ? ?a- 3x ?x 万元, 3x ? ∴y1= x+29,y2= x. ? ? (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10 5 2 均每人每年创造利润为 10?a- 万元(a>0),剩下的员工平 ? 500? 500? ? ? 1 1 2 从事原来产业的员工的年总利润为 10(1 000-x)(1+0.2x%) 均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%. (2)令 y1=y2,即 x+29= x,则 x=96 . 5 2 3 3x ? (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员 2 万元,则 10?a-500 x≤10(1 000-x)(1+0.2x%), ? ? 当 x=96 时,y1=y2,两种卡收费一致; 工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产 3 3x2 业? ax- ≤1 000+2x-x- 1 x2, 所以 2 500 500 当 x<96 时,y1>y2,即使用“便民卡”便宜; (2)在(1)的条件下, ,y 与通话时间 x 之间的函数关系式; 若调整出的员工创造的年总利润始终不高 3 (1)分别求出通话费 y1 2 2x2 2x 1 000 于剩余员工创造的年总利润,则 a 的取值范围是多少? 所以 ax≤ +1 000+x,即 a≤ + +1 恒成立, 2 500 1<y2,即使用“如意卡”便宜. 500 x (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜? 当 x>96 时,y 3

B级 能力突破
一、选择题

1 单击题号出题干 2
单击问号出详解

1. (2013·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他 潍坊联考)一张正方形的纸片, 剪去两个一样的 2.(2011· 小矩形得到一个“E”形图案,如图所示,设小矩形的长、 元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素 宽分别为 x,y,剪去部分的面积为 20,若 2≤x≤10, 铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位:太贝克)与时间 t(单位:年)

满足函数关系:M(t)=M02 30,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量.已 知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年),则 M(60) =( D ). A.5 太贝克 B.75ln 2 太贝克 C.150ln 2 太贝克 D.150 太贝克 t? 1? - 30? 10 ? -1 解析 由题意得 2xy=20,即 y= , ln 2,M′(30)=M02 解析 由题意 M′(t)=M02 ?-30? ? x ? ? 1? 当?x=2 ?ln 2=-10ln x=10 时,y=1 时, 时,y=5,当 2,∴M =600,∴M(60)=600×2-2=150. ×?- ? 0 30? ? C,D,又 2≤x≤10,排除 B. 排除 答案 A 答案 D

t 记 y=f(x),则 y=f(x)的图象是(如下图所示)( A ). -

B级 能力突破
二、填空题

3 单击题号出题干 4
单击问号出详解

4.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 3.(2013· 阜阳检测)按如图所示放置的一 km(不超过 3 km 按起步价付费); 超过 边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动, 3 km 但不超过 8 km 时, 设顶点 P(x,y)的轨迹方程是 y=f(x),则 超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每 y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与 x 千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人 轴所围区域的面积为 22.6 . 乘坐一次出租车付费π+1 元,则此次出租车行驶了 9 km. ?8,0<x≤3, 将 P 点移到原点,开始运动,当 P 点第一次回到 x 轴时经 ? π 解析 由已知条件 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8, 过的曲线是三段首尾相接的圆弧,它与 x 轴围成的区域面积为 + ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8, 4 ? ?π ? π ? y=22.6 解得 由+1?+4 =π+1.x=9. ?2 ? 答案 π+1 答案 9
解析

B级 能力突破
三、解答题

单击题号出题干

5

6

单击问号出详解

解 (1)塑胶跑道面积 移动时单位时间内的淋雨量为 P(面积为 S)的 5.(12 0<c≤10时,y 是关于 v 的减函数, 湖南)如图,长方体物体 E 在雨中沿面 解 ①当 分)(2011· 徐州模拟)某学校要建造一个面积为 10 000 平 6. (1)由题意知,E 10 000-πr2 (13 分)(2013· 2 垂直方向做匀速度移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速 3 1 3 2]+8× ? 3 S=π[r -(r-8) y=100 |v-c|+ 1 ?= 5(3|v-c|+10). 和分别以 方米的运动场.如图,运动场是由一个矩形 ABCD |v-c|+ ,故 3c ×2 v 2r 20 2 度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P 或 P 故当 v=10 时,yminv ?20 =20- . 2 ? 2 AD、BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽 8 米的塑胶 80 000 (2)由(1)知, 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比, = +8πr-64π. r 10 跑道,运动场除跑道外,其他地方均铺 的减函数; 1 5?3c+10? 5 ②当 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 2 比例系数为时,y= 3 当 0<v≤c 10;②其他面的淋雨量之和,其 ∵πr <10 000, v(3c-3v+10)= 设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为 -15; v 在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数. 1 100. ∴0<r< y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当 150 元,草皮每平方米造价为 30 元. 值为 .记 π时,y=5 (3v-3c+10)=5?10-3c?+15. 50 当 c<v≤10 2 v=c 时,y OA=r(米),设建立塑 v v 故当 (1)设半圆的半径min= c . (2)设运动场的造价为 y 元,3 胶跑道面积000 r 的函数关系 S(r); 移动距离 d=100,面积 S= 时, 5?3c+10? 80 S 与-15,0<v≤c, ? 2 ? ?+30× 10 000-80 000 -8πr+64π) y=150× v +8πr-64π ? (2)由于条件限制 r∈[30,40],问当 r 取何值时,运动场造价最 r ? r ? (1)写出 y 的表达式; 故 y= 低?最低造价为多少?(精确到元) (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 ? 的不同取值范围,确定移动速度 v, 5?10-3c? 80 000+8πr c =300 000+120×? r ?+15,c<v≤10. 680π. ?-7 使总淋雨量 yv 最少.

? ? ? ? ?

1.解析 设定价为(90+x)元, 则每件商 品利润为 90+x-80=(10+x)(元),利 润 y=(10+x)(400-20x)=20(x+ 10)· (20-x)=-20(x-5)2+4 500, x 当 =5 时,利润最大,故售价定为 95 元. 答案 A 1 1 1 2.解析 令8a=aent, 8=ent, 即 因为2=

此次地震的震级为 6 级.因为标准地 震的振幅为 0.001,设 9 级地震最大振 幅为 A9,则 lg A9-lg 0.001=9 解得 A9=106,同理 5 级地震最大振幅 A5 =102,所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍. 答案 6 10 000 5.解析 已知本金为 a 元,利率为 r, 1 5n 15n e ,故8=e ,比较知 t=15,m=15 则 1 期后本利和为 y=a+ar=a(1+r), -5=10. 2 期后本利和为 y=a(1+r)+a(1+r)r 答案 D =a(1+r)2, 3.解析 纵轴表示离学校的距离, 排除 3 期后本利和为 y=a(1+r)3, A,C,开始跑步,后慢慢走,说明函 ? 数开始下降较快,后来下降较慢. x 期后本利和为 y=a(1+r)x,x∈N* 答案 D 答案 y=a(1+r)x,x∈N* 4.解析 由 lg 1 000-lg 0.001=6,得
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