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数学必修五-综合练习一


数学必修五-综合练习一
A 组题(共 100 分)
一.选择题:本大题共 5 题,每小题 7 分,共 35 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知△ ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于( ) A.30° C.60° B.30°或 150° D.60°或 120°

2.在△ABC 中,已

知 b=4 3 ,c=2 3 ,∠A=120°,则 a 等于( ) A.2 21 C.2 21 或 6 B.6 D.2 15 ? 6 3

3.已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC 的面积为( ) A.9 B.18 C.9 3 D.18 3 )

4.在△ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于( A.1 B. ? 1 C. 2 3 D. ? 2 3

5.在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。 6.在△ ABC 中,若∠ B=30° ,AB=2 3 ,AC=2,则△ ABC 的面积是________. 7.在△ABC 中,若 b=2csinB,则∠C=________. 8.设△ABC 的外接圆半径为 R,且已知 AB=4,∠C=45°,则 R=________. 9.在△ABC 中,∠ B=45° ,∠ C=60° ,a=2( 3 +1),那么△ABC 的面积为________. 三.解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10.在△ABC 中,已知 b ? 2 ,c=1, B ? 45? ,求 a,A,C. (12 分)

11.在△ABC 中,求证:

a b cos B cos A ? ? c( ? ) (13 分) b a b a

12.△ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,求 AC 的长及△ABC 的面积. (16 分)

B 组题(共 100 分)
四.选择题:本大题共 5 题,每小题 7 分,共 35 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 13.有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长( ) A. 1 公里 B. sin10° 公里 C. cos10° 公里 D. cos20°公里 14.已知在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是( ) A.135° B.90° C.120° D.150° 15.在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则∠C 等于( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 16.已知△ABC 中,a∶b∶c=1∶ 3 ∶2,则 A∶B∶C 等于( ) A.1∶2∶3 B.2∶3∶1 C.1∶3∶2 D.3∶1∶2 17.已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k(k≠0),则 k 的取值范围为( ) A.(2,+∞) B.(-∞,0) C.(-

1 ,0) 2

D.(

1 ,+∞) 2

五.填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。 18.已知△ABC 中,A=60°,最大边和最小边是方程 x2-9x+8=0 的两个正实数根,那么 BC 边长是________. 19.在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC= 20.已知△ABC 的面积为

13 ,则最大角的余弦值是________. 14

3 ,且 b=2,c= 3 ,则∠A=________. 2 9 21.在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC= ,则 BC=________. 10
六.解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22.化简

1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4?

23.在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2 cos? A ? B ? ? 1。求:(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。

24.在奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成 15°方向把球击出, 根据经验,通常情况下,球速为游击手最大跑速的 4 倍,问按这样布置,游 击手能否接着球?

C 组题(共 50 分)
七.选择或填空题:本大题共 2 题。 25.若三角形中有一个角为 60°,夹这个角的两边的边长分别是 8 和 5,则它的内切圆半径等于________,外接圆 半径等于________. 26. 在△ABC 中, | AB |=3, | AC |=2, 则| AB - AC |=________; | AB + AC |=________. AB 与 AC 的夹角为 60°, 八.解答题:本大题共 2 小题,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 27.在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? . (1)判断△ABC 的形状; (2)在上述△ABC 中,若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围。

28.一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃 窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东 45 ? ? 的方向去追,.求追及
?

?

?

所需的时间和 ? 角的正弦值. 北 C 东 B A

参考答案

A 组题
一.选择题: 1.D 分析:由正弦定理得,

a b ? , sin A sin B

∴ ∴

sinB=

b sin A 3 , ? a 2
1 )=84,∴ a=2 21 . 2

∠B=60°或∠B=120°.

2.A 分析:由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=48+12-2×4 3 ×2 3 ×(3.C 分析:∵ ∠A=30°,∠B=120°, ∴ ∠C=30°,∴ BA=BC=6, ∴ S△ABC=

1 1 3 ×BA×BC×sinB= ×6×6× =9 3 . 2 2 2

4.C 5.C 分析:A>B ?a>b ?2RsinA>2RsinB ?sinA>sinB. 二.填空题: 6.2 3 或 3 分析:sinC=

1 2 3 sin 30? 3 ,于是,∠C=60°或 120°,故∠A=90°或 30°,由 S△ABC= ? 2 2 2

×AB×AC×sinA,可得 S△ABC=2 3 或 S△ABC= 3 . 7.30°或 150°分析:由 b=2csinB 及正弦定理 ∴ sinC=

b c 2c sin B c ? 得 ? , sin B sin C sin B sin C

1 ,∴ ∠C=30°或 150°. 2 c ?2 2. 8.2 2 分析:∵ c=2RsinC,∴ R= 2 sin C a b ? 9.6+2 3 分析:∵ , sin A sin B


2( 3 ? 1) b , ? sin(180? ? 45? ? 60?) sin 45?
1 absinC=6+2 3 . 2

∴ b=4. ∴ S△ABC= 三.解答题: 10.a=
6? 2 ,A=105° ,C=30° 2

11.将 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 , cos A ? 代入右边即可。 2ac 2bc
o o o o

12.1.在△ABC 中,∠BAD=150 -60 =90 ,∴AD=2sin60 = 3 . 在△ACD 中,AD2=( 3 )2+12-2× 3 × 1× cos150o=7,∴AC= 7 . B

A

2

D 1 C

∴AB=2cos60o=1.S△ABC=

1 3 × 1× 3× sin60o= 3. 2 4

B 组题
13.A 14.C 分析:由 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7 知三角形的三边之比为 a∶b∶c=3∶5∶7,最大的边为 c,∴ 的角为∠C.由余弦定理得 cosC= 最大

(3k ) 2 ? (5k ) 2 ? (7k ) 2 1 ?? , 2 ? 3k ? 5k 2

15.D 分析:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得 a2+2ab+b2-c2=3ab ∴

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ,∴ cosC=60° 2ab 2
a b c ? ? , sin A sin B sin C
1 3 ∶ ∶1, 2 2

16.A 分析:由正弦定理得,

∴ sinA∶sinB∶sinC=1∶ 3 ∶2=

∴ A∶B∶C=30°∶60°∶90°=1∶2∶3. 17.D 分析:利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边. 18. 57 分析:∵ A=60°,∴ 最大边和最小边所夹的角为 A,AB、AC 为 x2-9x+8=0 的两个正实数根,

则 AB+AC=9,AB×AC=8 ∴ BC2=AB2+AC2-2×AC×AB×cosA =(AB+AC)2-2×AC×AB×(1+cosA) =92-2×8× 19.-

3 =57 2
最大边为 b,最大角为 B,

1 7

分析:先由 c2=a2+b2-2abcosC 求出 c=3,∴

a 2 ? c 2 ? b2 1 ?? . ∴ cosB= 2ac 7
20.60°或 120° 分析:∵ S△ABC=

1 bcsinA,∴ 2

3 1 3 = ×2× 3 sinA,∴ sinA= 。 2 2 2

21.4 或 5 分析:设 BC=x,则 5=x2+25-2·5·x·

9 ,即 x2-9x+20=0,解得 x=4 或 x=5 10

22.原式=

1 ? 2 sin 2? cos2? ? 2 cos2 2? ? 1 sin 2? cos2? ? cos2 2? ? ? cot 2? 1 ? 2 sin 2? cos2? ? (1 ? 2 sin 2 2? ) sin 2? cos2? ? sin 2 2?
1 2

23.解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?

? C=120°

(2)由题设:

?a ?b?2 3 ? ? ab ?2

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?

? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10
24.不能

C 组题
25. 3

7 3 3

分析:设 60°的角的对边长为 x,外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,则 x2=82+52-2×8×5×

cos60°=49,∴ x=7 ∵ 7=2Rsin60°,∴ R= ∵ S△ABC= 26. 7

7 3 3

1 1 ×8×5×sin60°= ×r×(8+5+7),∴ r= 3 2 2
分析:由三角形法则知

19

| AB - AC |2=| BC |2 =| AB |2+| AC |2-2| AB |·| AC |·cosA =32+22-2×3×2×cos60°=7 ∴ | AB - AC |= 7 类似地由平行四边形及余弦定理可知 | AB + AC |2=32+22-2×3×2×cos120°=19 ∴ | AB + AC |= 19 27. 解: (1)由 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? 可得 2 sin
2

? △ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形 1 (2)内切圆半径 r ? ?a ? b ? c ? 2 1 ? ?sin A ? sin B ? 1? 2
? 2 ? ?? 1 2 ?1 sin? A ? ? ? ? 2 4? 2 2 ?

C C?0 ? 1 ?c o s 2

即 C=90°

? 2 ?1? ? ? 内切圆半径的取值范围是 ? ? 0, 2 ? ? ?
28.解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在 B 处追上, 则有

AB ? 14x, BC ? 10x, ?ACB ? 120?.? (14x) 2 ? 122 ? (10x) 2 ? 240x cos120? ,

20sin 120? 5 3 ? x ? 2, AB ? 28, BC ? 20, sin ? ? ? . 28 14
所以所需时间 2 小时, sin ? ?

5 3 . 14


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