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2015年二项式定理提高专练


一、二项式通项公式: 1.(a+b) 展开式中第 r 项为
n



10.设 (3

3

x?
n

1 x

)11 展开式中各项系数和 A,而它的二项式系数和为 B,若 A+B=272,那么展开式中 x2 项系数是
4

r />
二、二项式展开式具体项: 1.(x?2) 的展开式中,第 6 项的二项式系数是( A.4032 B.?4032 C.126
9

1 11、若 x+2x ) D. ?126

(

) 的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中 x 项的系数为(
n

)

2.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等,则 n 为( ) A.8 3.在 B.9
10

C.10
6

D.11 。

1 ? ? 12、使得 3 x ? ? ? ? n ? N ? ? 的展开式中含有常数项的最小的 n 为( x x? ?
四、二项式逆用
2 2 27 27 1、求 S=C 27 +2C1 27+2 C27+…+2 C27=

)

(x ? 3)

的展开式中,x 的系数是

0

4、二项式 (

x?

1 n ) 的展开式中第三项系数比第二项系数大 44,求第 4 项的系数. x4

2、C n +3C n + 9C n …+3 C n =
1 2 3 n Cn ? 3Cn ? 32 Cn ? ......? 3n?1 Cn ? 85,n=__________

0

1

2

n

n

三、用二项式通项公式求常数项: 1、

3、 )

(

1 x+ 2 x

)

8

的展开式中常数项为(

五、用二项式找余数 1、 8 被 9 除余______
9

2 2、若在 x-x

( )
?
a x2

6

的二项展开式中,常数项等于________.

3、若 ( x

1 x
6

)

9

2、S=C27+C27+…+C27被 9 除余_____ 的展开式中的常数项等于________ 六、求二项式展开式最大项.

1

2

27

4、若(x-

) 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为________. 1、 ((

1 5、在(2x2- )5 的二项展开式中,x 的系数为( x 1 6、 x +x
2

x?4

1 x

) 8 展开式中最大项。
)

)

2、在(1+x)n(n∈N*)的二项展开式中,若只有 x5 的系数最大,则 n=(

( ) 的展开式中 x 的系数为________
6 3

2 n 7、已知(1+ ) 展开式中含 x-2 的项的系数为 12,求 n. x
8、已知 (

3、已知 (1 ?

2 x) n 展开式中所有项的二项式系数之和为 1024 ,求该展开式中系数最大的项.

9 a x 9 ? ) 的展开式中 x3 的系数为 4 x 2
n

,常数 a 的值

4、 已知二项式 (

x?

1
3

x

(P ) n 展开式中的常数项等于抛物线 y ? x ? 2 x 在 P(m,24) 处的切线
2

点为切点)

1 8、 x+x

( )

1 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中x2的系数为________.

的斜率,则 (

x?3

1 x

)n

展开式中系数最大的项的项数是

.

A. 3 和 4

B. 3 C. 4 D.

4和5

9、已知二项式? 3 x+

?

1?n

x?

的展开式中各项的系数和为 256.求展开式中的常数项

5、已知.(x+1)10=a1+a2x+a3x2+...+a11x10 若数列 a1,a2,a3,...,ak 是一个单调递增数列(1≤k≤11,k∈Z),则 k 的最大值是( ) (可以求出展开后的各项)

六、二项式系数和项的系数 1、 (1 ?

x)

n

=

C ? C x ? C x ? C x ? ......? C x
0 n 1 n 2 n 2 3 n 3 n n
0 1 2 n , C n , C n ,…, C n Cn

① a0
n

? a1 ? a2 ? ......? a7 =__________________



2、展开式中二项式系数

a0 =_________
? a2 ? ......? a7 =__________________ ? a3 ? a5 ? a7 =_____________

3、展开式中每一项的系数: ① (1 ? 2 x) 展开式中每一项的系数:
4 4

③ a1 ④ a1 ⑤|

② (1 ? 2 x) 展开式中二项式系数 4、展开式中 ①
0 1 2 3 n =___________________ Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ......? Cn 0 1 2 3 n =___________________ Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ......? (?1) n Cn 0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ......? Cn ? Cn ? Cn ? ......?

a0 | ? | a1 | ? | a2 | ?...... ? | a7 | .



13、

?1 ? 2x?2014 = a

0

则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? ......? (a0 ? a2014 ) ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a2014 x 2014 ,



___________________ 14、

?2x ? 1?4 = a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,求 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 =______
1 ? ? ?1 ? x ? 3 ? ?
2015

5、设

(1 ? 2x 2 ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a2n x 2n ,则各项系数和 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a2n
,展开式奇数项系数和 a0
8

=

? a2 ? a4 ? a6 ? ... ? a2n =



15、

2 3 2015 2 3 2015 ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a2015 x ,则 3a1 ? 3 a2 ? 3 a3 ? 3 a2015

? 2 1 ? ? 6、求 ? 2 x ? ? ? 3 x? ?

展开式中第五项系数及二项式系数。 16、

(1 ? x) n 展开式中的 x 2 系数 an ,则 1 ? 1 ? ... ? 1 ? __________
a2 a3 an

8、(1?2x)15 的展开式中的各项系数和是___________ 17、 (1 ? 9、二项展开式(2x-1)10 中 x 的奇次幂项的系数之和为( ) 若 a0 )

x) ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) 3 ? ... ? (1 ? x) n = a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? an x n ,

? a1 ? a2 ? ......? an =126,求 n.

10、设(5x- x)n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,M-N=240,则展开式中 x3 项的系数为(

3 n 11、 ( x ? ) 展开式中,各项系数之和为 M,各项二项式系数之和为 N,且 M+N=72,则展开式中常数项= x
12、

18、

f ( x) ? x 5 可表示 f ( x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) 2 ? a3 (1 ? x) 3 ? ... ? a5 (1 ? x) 5 ,求 a3

?3x ? 1?7 = C70 (3x)7 ? Cn1 (3x)6 (?1) ? ......? C77 (?1)7 = a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a7 x 7 。

19、

(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) 3 ? ... ? (1 ? x)10 展开式中的 x 2 系数?

20、 (1+x) +(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系数为
5 4

2

3

10

4


4



4、 (2x ? 4) 2010

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a2010 x 2010 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ......? a2010 被 3 除余_____?

A、C 11

B、C 11

C、C 10

5

D、C 10 5、

21、

x 2 ? x10 ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) 2 ? a3 (1 ? x) 3 ? ... ? a10 (1 ? x)10 ,求 a =____.
9

(1 ? 2x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a7 x 7 那么 a2 ? a3 ? ......? a7 =? (2x ? 3) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a7 x 7 ,则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ......? 7a7

6、若 22、

(1 ? 2 x)100 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a100 x100 ,则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ......? 100a100

7、设(2x-1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________.

23、

(1 ? x)10 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a10 x10 ,则 a0 ?

a a1 a 2 a3 ? 2 ? 3 ? ... ? 10 ? 2 2 2 210

8、若 ( x

2

? 1)(x ? 2)9 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ......? a11 ( x ? 1)11 则 a1 ? a2 ? ......? a11 = _______ .

24、 ( x

? 1) 21 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a21 x 21 ,则 a0 ? a11 ?

9、若(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10 则 log2

a0 ? log2 a8 ? log2 45

25、已知等式 (1 ? x ? x 2 ) 3

? (1 ? 2x 2 ) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ...? a14 x14 成立,

10、设,若

( x ? a)8 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a8 x 8 ,若 a5 ? a8 ? ?6 则实数 a 的值为



则 a1

? a2 ? a3 ? …… ? a13 ? a14 ?
11、若.(2x-1)2013=a0+a1x+a2x2+...+a2013x2013,则

26、设(1-3x+2y)n 的展开式中含 y 的一次项为 (a0+a1x+a2x2+...+anxn) y 则 a0+a1+a2+...+an

a a2013 a 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ... ? 2013 2 2 a1 2 a1 2 a1

27、若(x+1)4(x+4)8=a0(x+3)12+a1(x+3)11+a2(x+3)10+…+a11(x+3)+a12,则 log2(a1+a3+a5+…+a11)=________.

13、已知 若 a1

(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ... ? (1 ? x) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? an x n ,


? a2 ? a3 ? ... ? an?1 ? 29 ? n ,则自然数 n 的值是

1、已知.(1-2x)5=a1+a2x+a3x2+...+a5x5,则 a0-a1+a2-a3+a4 的值是

2、若对于任意的实数,有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则 a2 的值为

14、设(2x﹣3)6=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+…+a6(x﹣1)6,则 a4= _________ .

3、对任意的实数 x,有

x 3 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) 2 ? a3 ( x ? 2) 3 ,则 a2 的值是
15.若 x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则 log2(a1+a3+…+a11)= _________ .

16、设(1﹣ )4=a0+a1( )+a2(

)2+a3(

)3+a4(

)4,则 a2+a4 的值是

_________ .

2 2 2 2 3 C2 ? C3 ? C4 ? ......? Cn ? Cn ?1 k k ?1 k ?1 Cn . ? Cn ? Cn ?1 k n?k Cn . ? Cn
0 1 ? C1 ? 2 ? 21 1 2 ? C2 ? C2 ? 4 ? 22

17、已知

(x﹣1)+

(x﹣1)2+…+

(x﹣1)2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014,则 a1+a2+…+a2013=



11 2 3 11 18.对任意实数 x, 都有 (x﹣1) =a0+a( +a( (x﹣3) , 则 1 x﹣3) 2 x﹣3)+a( 3 x﹣3)+…+a11

a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a11 a9



④ C1 七、二项式系数的特点及杨辉三角

⑤ C2

0



0 1 2 3 C3 ? C3 ? C3 ? C3 ? 8 ? 23
n 0 1 2 3 n =2 Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ......? Cn



2、如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第________行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2∶ 3.

.

3.观察下列等式:
1 5 C5 ? C5 ? 25 ? 2

1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 2 7 ? 23
1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25

1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27 ……

由以上等式推测到一个一般的结论: ①
1 5 9 13 4n?1 C4 n?1 ? C4n?1 ? C4n?1 ? C4n?1 ? ... ? C4n?1 ? ________.


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