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2016年高三二轮复习 三角函数图象


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环球雅思学科教师辅导教案
教学校长/学科组长签字:________
学员编号:PYST 学员姓名:于丽钧 授课类型 星 级 T -- 知识梳理 ★★★ 1、会画三角函数图象 2、理解函数单调性、周期性 授课日期及时段 2015 年 12 月 31 日周四 18:00- 20 :00 教学内容 年 级:高三 辅导科目:

数学 C--专题演练 ★★★★

签字日期:______
课 时 数: 3 学科教师:刘雅宁 T—巩固提升 ★★★★

教学重难点

T——(知识梳理)
1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象. 2.了解三角函数的周期性. 3.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与 x 轴的交点等). π π - , ?内的单调性. 4.理解正切函数在区间? ? 2 2? 近几年高考加强了对三角函数的图象与性质的考查.因为三角函数的性质是研究三角函数的主体,是学习高等数学和 应用技术学科的基础,又是解决实际问题的工具.至于图象,则是运用数形结合方法的基础,是性质的形的表现,利 用三角函数的图象的直观性可以得出三角函数的性质,利用三角函数的性质可以描绘三角函数的图象,以形助数,以 数辅形.

1.“五点法”作图 (1)在确定正弦函数 y=sinx 在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是 , .
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中国教育培训领军品牌 (2)在确定余弦函数 y=cosx 在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是 , . 2.周期函数:对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有________________, 那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正 数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的________________. 3.三角函数的图象和性质 函数 y=sinx 性质 定义域 ① ② ③ y=cosx y=tanx , , ,

图象

值域

④ 对称轴: ⑥ 对称中心: ⑦

⑤ 对称轴: ⑧ 对称中心: ⑨
12 ○

R 无对称轴; 对称中心; ⑩
13 ○

对称性

最小正 周期

11 ○

单调增区间 单调性
14 ○

单调增区间
16 ○

单调增区间
18 ○

单调减区间
15 ○ 19 ○

单调减区间
17 ○ 20 ○

奇偶性

21 ○

函数 f(x)=sin2x 是(

)

A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 π x- ?的一个单调增区间为( 函数 y=sin? ? 4?

)

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中国教育培训领军品牌 3π 7π? A.? ?4,4? π π? C.? ?-2,2? π 3π? B.? ?-4, 4 ? 3π π? D.? ?- 4 ,4? )

π π 函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是( 2 2 π A.2,- 3 π B.2,- 6 π C.4,- 6 π D.4, 3

x 函数 f(x)=2sin 对于任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为________. 4 x+φ 函数 f(x)=sin (φ∈[0,2π])是偶函数,则 φ=___________. 3

C——(专题演练)

类型一

三角函数的定义域
求 y=lg(sinx-cosx)的定义域.

求下列函数的定义域: (1)y= sin(cosx); lgsinx (2)y= . 2sinx- 3
3

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类型二

三角函数的周期性
求下列函数的最小正周期.

(1)y=(asinx+cosx)2(a∈R); π? 2 (2)y=2cosxsin? ?x+3?- 3sin x+sinxcosx; π?? ? (3)y=2? ?sin?4x-3??.

π? 已知函数 f(x)=tan? ?2x+4?. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π α 0, ?,若 f? ?=2cos2α,求 α 的大小. (2)设 α∈? ? 4? ?2?

类型三

三角函数的奇偶性
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中国教育培训领军品牌 判断下列函数的奇偶性. π ? (1)f(x)=cos? ?2+2x?cos(π+x); (2)f(x)= 1+sinx-cosx . 1+sinx+cosx

判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 2sinx-1; (2)f(x)=lg(sinx+ 1+sin2x).

类型四

三角函数图象的对称性
π π x+ ?(x∈ R),函数 y=f(x+φ)?|φ|≤ ?的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. (1)已知 f(x )= 2sin? ? 3? ? 2?

π? (2)函数 y= 2sin? ?2x+4?+1 的图象的一个对称中心的坐标是( 3π ? A.? ? 8 ,0? π ? C.? ?8,1? 3π ? B.? ? 8 ,1? π ? D.? ?-8,-1?

)

π ? 已知函数 g(x)= 2cos? ?2x+4+2m?+2 的图象关于点(0,2)对称,求 m 的最小正值.

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类型五

三角函数的单调性
π ? (1) 求函数 y = sin ? ?3 - 2 x?的单调递减区间;

π x? (2)求 y=3tan? ?6-4?的最小正周期及单调区间.

?π?? ?π? 已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数.若 f(x)≤? ?f?6??对 x∈R 恒成立,且 f?2?>f(π),则 f(x)的单调递增
区间是( ) π π? A.? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z)
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中国教育培训领军品牌 π? B.? ?kπ,kπ+2?(k∈Z) π 2π? C.? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) π ? D.? ?kπ-2,kπ?(k∈Z)

类型六

三角函数的最值
π? ? π ? (1)已知函数 f(x)= 2cos? ?2x+4?.求函数 f(x)在区间?-2,0?上的最大值和最小值.

cosx-2 (2)求 y= 的最小值; cosx-1

π 2π? (3)求 y=-3sin2x-4cosx+4,x∈? ?3, 3 ?的最值.

π? 已知函数 f(x)=sin? ?2x-6?,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π? (2)求 f(x)在? ?0,2?上的最大值和最小值.

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1.三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组).一般可用 三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解.列三角不等式时,要考虑全面,避免遗漏,既要考虑分式的分 母不能为零;偶次方根的被开方数不小于零;对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1,又要考虑三角函数本身的定 义域(如正切函数等). (2)三角函数值域的求法 三角函数的值域问题,大多是含有三角函数的复合函数值域问题,常用的方法为:化为代数函数的值域,也可以通过 三角恒等变形化为求 y=Asin(ωx+φ)+B 的值域;或化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转 化为二次函数在限定区间上的值域. 2.三角函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数;复合函数在复合过程 中,对每个函数而言,“同奇才奇、一偶则偶”.一般情况下,需先对函数式进行化简,再判断其奇偶性. 3.三角函数的周期性 (1)求三角函数的周期,通常应将函数式化为只有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式,然后借助于常见 三角函数的周期来求解. (2)三角函数的最小正周期的求法有:①由定义出发去探求;②公式法:化成 y=Asin(ωx+φ),或 y=Atan(ωx+φ)等类 2π π 型后,用基本结论 T= 或 T= 来确定;③根据图象来判断. |ω| |ω| 4.三角函数的单调性 (1)三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合方法求 解.关于复合函数的单调性见“2.2 函数的单调性与最大(小)值”. (2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内,不 属于的,可先化至同一单调区间内.若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与 0 比较,与 1 比较等)求解.

T——(巩固提升)
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1-cos4x 1.函数 f(x)= 是( 4 π A.周期为 的非奇非偶函数 2 B.周期为 π 的奇函数 π C.周期为 的奇函数 2 π D.周期为 的偶函数 2

)

4π ? 2.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? ? 3 ,0?成中心对称,那么|φ|的最小值为( π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2

)

π 5π 全国)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则 φ=( 3.(2012· 4 4 π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4 )

)

π? ? ? π π?? 4.已知函数 f(x)=2sin? ?x+θ+3? ?θ∈?-2,2??是偶函数,则 θ 的值为( A.0 π B. 6 π C. 4 π D. 3

π 5.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( 2 π? A.f(x)在? ?0,2?上单调递减 π 3π? B.f(x)在? ?4, 4 ?上单调递减 π? C.f(x)在? ?0,2?上单调递增 π 3π? D.f(x)在? ?4, 4 ?上单调递增

)

π π 全国)已知 ω>0,函数 f(x)=sin?ωx+ ?在? ,π?上单调递减,则 ω 的取值范围是( 6.(2012· 4? ?2 ? ? 1 5? A.? ?2,4? 1? C.? ?0,2? 1 3? B.? ?2,4? D.(0,2] 环球雅思 www.ielts.com.cn

)

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中国教育培训领军品牌 π? 2 7.函数 f(x)=sin? ?2x-4?-2 2sin x 的最小正周期是________. 8.函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则 tanθ=________. π? 9.已知 f(x)=2sin? ?2x-3?. (1)求函数 y=f(x)的单调递减区间; π? (2)若函数 y=f(x+θ)? ?0<θ<2?为偶函数,求 θ 的值.

10.已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx. π? (1)求 f? ?3?的值; (2)求 f(x)的最大值和最小值.

π 重庆)设 f(x)=4cos?ωx- ?sinωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0. 11.(2012· 6? ? (1)求函数 y=f(x)的值域; 3π π? (2)若 f(x)在区间? ?- 2 ,2?上为增函数,求 ω 的最大值.

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安徽模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),且在[-3,-2]上是减函数,α,β 是钝角三角形 (2013· 的两个锐角,则下列结论正确是( A.f(sinα)>f(cosβ) C.f(cosα)<f(cosβ) ) B.f(sinα)<f(cosβ) D.f(cosα)>f(cosβ)

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