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金华十校2012-2013学年第二学期期末调研考数学试卷


金华十校 2012?2013 学年第二学期期末调研考试卷

高二数学(理科)
注意事项: 1.考试时间为 120 分钟,试卷总分为 150 分. 2.全卷分“试卷”和“答卷”各一张,本卷答案必须做在答题卷的指定位置上. 3.答题前请在“答卷”的密封线内填写学校、班级、学号、姓名.
参考公式: 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底

面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 V= Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 4 V= πR3 3 其中 R 表示球的半径 台体的体积公式 1 V= h(S1+ S1S2+S2) 3 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

一、选择题:本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 2 1. 复数 = 1? i A. 1?i B. 1+i C. ?i D. i 2. 空间中,设 m, n 表示直线,? , ? , ? 表示平面,则下列命题正确的是 A.若? ? ? , ? ? ? , 则? ∥ ? C.若 m ? ? , ? ? ? , 则 m ∥?
2

B. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥ ? D.若 n ? m, n ? ? , 则 m ∥?
2

3. “ a ? b ”是“直线 y ? x ? 2 与圆 ? x ? a ? ? ? x ? b ? ? 2 相切”的 A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是 A. (80+16 2 ) cm2 C. (96+16 2 ) cm2 B. 88cm2 D. 96cm2
第 4 题图

5. 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 1 个黑球, 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 2 个黄球. 现 从甲、乙两个盒内各任取 2 个球.求取出的 4 个球中三种颜色齐全的概率为 A.

1 3

B.

5 9

C.

4 9

D.

5 6

十校高二数学(理科)试卷第 1 页(共 4 页)

6. 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师各担任一个班的班主任,要求这 3 位班主任中男 女教师都有,则不同的选派方案共有 A.210 7. B.420 C.630 D.840

函数 f (x) ? 3x ?x 3 在区间 (a2 ?12, a 上有最小值,则实数 a 的范围是 ) A. (?1, 11) B. (?1,4) C. (?1,2) D. ? ?1,2 ?

8.

9.

x2 y 2 点 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 有相同的焦点 F , A 是两 a 2 b2 曲线在第一象限的交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线过第一象限的一条渐近线,则 l 的倾斜 角所在的区间是 ? ? ? ? ? ? ? A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , ) 6 6 4 4 3 3 2 ?? ? 定义在 ? 0 , ? 上的函数 f(x), f ? ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ( x) ? tan x ? f ?( x) ? 0 成立,则 ? 2? ? ? ? ? A. 2 f ( ) ? f ( ) B. 3 f ( ) ? 2 f ( ) 3 4 4 6 ? ? ? ? C. 3 f ( ) ? f ( ) D. 3 f ( ) ? f ( ) 3 6 3 6
已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 与双曲线 起每个数分别等于上一行左、右两数之和,最后一行只有一个数 M,则这个数 M 是 A. 2014 ? 22011 B. 2013 ? 22011 C. 2013 ? 22012 D. 2014 ? 22012
1 2 3 3 5 8 ? 2011 2012 2013 ? ? ? M 第10题图 4023 4025 8048

10.给出若干数字按如图所示排成倒三角形,其中第一行各数依次是 1,2,3,…,2013,从第二行

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点坐标为____▲______. 12. (2 ? x )8 的展开式中不含 x4 项的系数和为____▲______. .. 13. 若双曲线 x2+ky2=1 的一条渐近线方程是 y ?

1 x ,则实数 k 的值是____▲______. 2 F

E

14.点 P 是曲线 y=x2?lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x?2 的距离 的最小值为 ▲ .
A D

15. 如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A、D 为椭圆的两个焦点, 其余 4 个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率为 ▲ .
B 第15题图 C

十校高二数学(理科)试卷第 2 页(共 4 页)

16. 若 f(x)=(ax2+2x+2a?4)ex (a∈R)在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围是__▲_____. 17.如图,在三棱锥 A?BCD 中,AB,AC,AD 两两互相垂直, AB=AC=AD=4,点 P 在侧面 ABC 上运动,点 Q 棱 AD 上运动, PQ=2,M 为线段 PQ 中点,当 P,Q 运动时,点 M 的轨迹把 B 三棱锥 A?BCD 分成上、下两部分的体积之比等于____▲______.
C 第 17 题图 P A M Q D

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 如图,已知:AB 是圆 C:x2+y2+4x?12y+24=0 的弦,且过点 P(0,5). (Ⅰ)若 AB 的线段长为 4,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)求弦 AB 中点 D 的轨迹方程.
C P D A O x y

B

19.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是棱长为 2 的菱形,且∠BAD=120° ,侧棱 PA⊥底 面 ABCD,E,F 分别是侧棱 PB,PD 中点. (Ⅰ)证明:平面 PAC⊥平面 AEF; (Ⅱ)若平面 ABCD 与平面 AEF 所成的二面角为 60° ,求 PA 的长.

十校高二数学(理科)试卷第 3 页(共 4 页)

20. (本小题满分 14 分) 某项计算机考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试,已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目均合格方能获得证书,小明参加这项

3 2 考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率为 ,科目 B 每次考试合格的概率为 ,假设各次考试 4 3 合格与否均互不影响. (Ⅰ)求小明不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这次考试过程中,假设小明不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为?,求随机 变量? 的分布列和数学期望.

21. (本小题满分 15 分)
6 x2 y 2 ,长轴长为 4 3 ;点 M ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上顶点为 P,离心率 e ? 2 3 a b 为抛物线 y2=6x 上一动点,过 M 作抛物线的切线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.

如图,已知:椭圆

(Ⅰ)试求椭圆的方程; (Ⅱ)若 ?APB 为钝角,试求直线 AB 的斜率范围。

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f(x)=ex+x2?x. (e=2.71828…为自然对数的底数)
? (Ⅰ)求证:函数 f(x)在 (0, ?) 上单调递增;

(Ⅱ)若函数 y=| f(x)?t |?1 有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ)记 ? (n) ?

1 1 1 1 ? ? ??? 2 3 4 n 1 ? ?( n (n ≥ 2, n ∈ N*) . ) n

求证: e ? 3 e ? ? ? n e ? n ?

十校高二数学(理科)试卷第 4 页(共 4 页)

金华十校 2012—2013 学年第二学期期末调研考试卷

高二数学(理科)参考答案
一.选择题:每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 B 6 B 7 A 8 D 9 D 10 A

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.(?1,0) 15. 3 ? 1 三.解答题: 18. 解:(Ⅰ) |AB|=4,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB, ∴|AD|=2 ,|AC|=4. 在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2. 设直线 l 的方程为:y=kx-5, | ?2 k ? 6 ? 5| 3 即 kx-y+5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式: =2,得 k= , 2 4 k ?1 此时直线 l 的方程为 3x?4y+20=0. ………………………………………… 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x?4y+20=0. (Ⅱ) 设 D(x,y),则 CD⊥PD, ??? ??? ? ? ∴ CD ? PD =0, ∴(x+2,y-6)· (x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.(在圆内部分)……………… 19. 证明:(Ⅰ) E , F 分别是侧棱 PB ,PD 的中点,所以 EF / / BD , 因为 ABCD 是正方形, BD ? AC , 又因为 PA ? 底面 ABCD , PA ? BD , 所以 BD ? 平面 PAC ,又 EF / / BD 所以 EF ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 AEF …………………………7 分 (Ⅱ)以 A 为原点,AD 所在直线为 y 轴,过 A 垂直 AD 的直线
十校高二数学(理科)试卷第 5 页(共 4 页)

12.0 16. a ≥ 2 ? 5

13.?4

14. 2

17.

? 64 ? ?

5分 7分

………………………………

14 分

为 x 轴建立坐标系,设 P(0,0,m), 则(0,0,0), B( 3, ?1,0), C( 3,1,0), D (0, 2, 0), E ( 平面 ABCD 的法向量 n1=(0,0,1) 设平面 AEF 法向量 n2=(x,y,z),则可求得:n2= (?
3 m m, ? ,1) 2 2 3 1 m m , ? , ), F (0,1, ) 2 2 2 2

由 n1 ? n2 ?| n1 | ? | n2 | cos 60° 得: m ? 3 ,∴PA= 3 …………………………

14 分

20.解:设小明参加科目 A 考试合格和补考合格为事件 A1、A2,参加科目 B 考试合格和补考合格 为事件 B1、B2,事件 A1、A2、B1、B2 相互独立. (Ⅰ)设小明不需要补考就可获得证书为事件 C,则 C= A1 B1, 3 2 1 ………………………………… P(C) ? P( A1B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? ? ? . 4 3 2 (Ⅱ) ?的可能取值为 2,3,4. 则 3 2 1 1 27 9 P (? ? 2) ? ? ? ? ? ? ; 4 3 4 4 48 16 3 1 2 1 3 2 3 1 1 18 3 P (? ? 3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 4 3 3 4 4 3 4 3 3 48 8 1 3 1 2 1 3 1 1 3 1 P (? ? 4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ……………………… ? 4 4 3 3 4 4 3 3 48 16 所以,随机变量? 的分布列为 5分

12 分

?
P

2

3

4

27 18 3 48 48 48 27 18 3 5 所以 E? ? 2? ? 3? ? 4? ? . …………………………… 48 48 48 2 x2 y 2 21. 解:(Ⅰ) ? ……………………………………………… ?1 12 4 (Ⅱ)若直线斜率不存在,显然不合题意;若斜率存在则
可设直线 l: y ? kx ? t 代入

14 分 5分

x2 y 2 ? ? 1 化简得: (3 k 2 ?1) x2 ?6 ktx ?3t 2 ?12 ?0 12 4 6kt 3t 2 ? 12 , x1 x2 ? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ∴ x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1 3k ? 1
y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2

……………………………………… …(1)……………

8分 9分

? ? 36k 2t 2 ? 4(3k 2 ? 1)(3t 2 ? 12) ? 0得: k 2 ? t 2 ? 4 ? 0 12
y ? kx ? t 代入 y 2 ? 6 x 得: k 2x2 ? (2kt ? 6)x ?t 2 ? 0

十校高二数学(理科)试卷第 6 页(共 4 页)

? ? 4k 2t 2 ? 24kt ? 36 ? 4k 2t 2 ? 0得:t ?
??? ??? ? ? ?APB 为钝角则 PA ?PB ? 0

3 2k

…………(2)………………

10 分

∴( x1 , y1 ? 2) ? ( x2 , y2 ? 2) ? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? (kt ? 2k )( x1 ? x2 ) ? t 2 ? 4t ? 4 ? 0

化简得: t 2 ? t ? 2 ? 0 由(1)(2)得 k 2 ? 由(2)(3)得

解得: ?1 ? t ? 2 ………(3)
31 ? 2 或k ? 12 31 ? 2 12

………………

13 分

31 ? 2 ,∴ k ? ? 12

3 3 3 ( ?1 ? t ? 2 )得: k ? ? 或k ? 2t 2 4 3 3 ∴ k ? ? 或k ? …………………………………………………………… 2 4 k?
22.解:(Ⅰ) f ?( x) ? e x ? 2 x ? 1 ,∵x>0,∴ f ?( x) ? 0
? 所以 f ( x) 在 (0, ?) 上单调递增. ………………………………… (Ⅱ) y=| f(x)?t |?1 有三个零点,即| f(x)?t |=1, f ( x) ? t ? 1 有三个零点;

15 分

4分

由 f ?( x) ? ex ? 2x ? 1 ? 0得 : x ? 0
0) 当 x ? 0时,f ?( x) ? 0, 得:f(x)在 (??, 上单调递减;

? 当 x ? 0时, f ?( x) ? 0, 得:f(x)在 (0, ?) 上单调递增;

1 所以,只需[ f ( x)] min ?t ? ,即f (0) ? t ? 1 ,∴ t ? 2 .
? (Ⅲ)由(Ⅱ)知: f(x)在 (0, ?) 上单调递增;f(x)> f(0)
∴ e x ? x 2 ? x ? 1 ,∴ e x ? 1 ? x 2 ? x

……………………

10 分

当 n ≥ 2, n ∈ N* 时, e n ? 1 ?

1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ?1 ( ? ? )? 2 n n n ( ?1) n n n ?1 n n

叠加得: e ? 3 e ? ?? ? n e ? n ?
∴当n ≥ 2, n ∈ N*时,

1 ? ?( n ) n

e ? 3 e ? ?? ? n e ? n ?

1 ? ? (n) 成立. n

……………………………

15 分

十校高二数学(理科)试卷第 7 页(共 4 页)


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