tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年河南省普通高中高考数学适应性试卷(文科)(解析版)


2016 年河南省普通高中高考数学适应性试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的 元素共有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 2.若 z?(1+i)=2﹣i(i 为虚数

单位) ,则复数 z 的虚数部分为( ) A. B.﹣
2

C.

i D.﹣ i )

3.下列关于命题的说法错误的是(

A.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=2”的逆否命题为“若 x≠2,则 x2﹣3x+2≠0” B.“a=3”是“函数 f(x)=logax 在定义域上为增函数”的充分不必要条件 C.若命题 p:? n∈N,3n>100,则¬p:? n∈N,3n≤100 D.命题“? x∈(﹣∞,0) ,3x<5x”是真命题

4.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为(



A.﹣7 B.﹣4 C.1 D.2 5.执行如图所示的程序框图,则输出 z 的值为(



A.﹣1008×2015 B.1008×2015 6.函数 y= 的图象大致是(

C.﹣1008×2017 D.1008×2017 )

第 1 页(共 20 页)

A.

B.

C.

D.

7.已知 A.2
2

,则 B.﹣2 C.3
2

=( D.﹣3



2 2 8. 已知双曲线 x ﹣my =1 的离心率为 3, 则其渐近线与圆 (x﹣3) +y =7 的位置关系为 ( A.相交 B.相离 C.相切 D.无法判断



9.函数 f(x)=Asin(ωx+ ω 的最大值是( A. B.2 ) C. D.

) (A>0,ω>0)在区间[﹣

,﹣

]上单调递增,则

10.已知函数 f(x)=log2(x+a)+log2(x﹣a) (a∈R) .命题 p:函数 f(x)是偶函数;命 题 q:函数 f(x)在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是( ) A.¬q B.p∧q C. D.p∧(¬q) (¬p)∧q 11.如图为某四面体的三视图,其正视图、侧视图、俯视图均是边长为 4 的正方形,则该四 面体的内切球的半径为( )

A.2

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)= A. (﹣∞,1] B. (﹣∞, ]

,则不等式 f(f(x) )≤3 的解集为( C. (﹣∞, ] D. (﹣∞,2]



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知某商场新进 3000 袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从 中抽取 150 袋检查,若第一组抽出的号码是 11,则第六十一组抽出的号码为 . 14.已知| |=4,| |=2, , 的夹角为 120°,则|2 + |= . 15.已知 m,n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,给出下列命题:
第 2 页(共 20 页)

①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ②若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β; ③若 α 内不共线三点 A,B,C 到 β 的距离都相等,则 α∥β; ④若 n? α,m? α,且 m∥β,n∥β,则 α∥β; ⑤若 m,n 为异面直线,且 n? α,m? β,m∥α,n∥β,则 α∥β. 其中正确命题的序号是 16.已知椭圆 C: + . =1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B

BF, 两点, 连接 AF, 若|

|=8, |

cos∠ABF= , |=6, 则 C 的离心率的值是



三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为 60,且 a1=5. (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; (2)若数列 的前 n 项和 Tn.

18.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,现从这两个 学校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎 叶图如图:

(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计 甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格) ; (Ⅱ)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 、 ,估计 ﹣ 的

值. 19.如图,边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 上的点,将△AED, △DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A′. (1)求证:A′D⊥EF; (2)当 BE=BF= BC 时,求三棱锥 A′﹣EFD 的体积.

第 3 页(共 20 页)

20.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1: (x+3)2+(y﹣1)2=4 和圆 C2: (x﹣4)2+(y ﹣5)2=4 (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程 (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所 有满足条件的点 P 的坐标. 21.已知函数 f(x)=ex. (1)当 x>0 时,设 g(x)=f(x)﹣(2a﹣1)x(a∈R) ,试讨论函数 g(x)的单调性; (2)证明当 x∈[ ,1]时,f(x)<x2+x+1.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按 所做的第一个题目计分。 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已知 AC=AB.求证: (1)AD?AE=AC2; (2)若 FG⊥EC,则 ﹣ = .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 , (θ 为参数) ,在极坐

标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,直线 l 的方程为 ρsin(θ+φ)=0, (其中 sinφ= ,cosφ= (1)求曲线 C 在极坐标系中的方程; (2)求曲线 C 上到直线 l 距离最大的点的坐标.
第 4 页(共 20 页)

) .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|(a∈R) ,且不等式 f(x)≤2 的解集为{x|0≤x≤4}. (1)求实数 a 的值; (2)若存在﹣2≤x≤4,使 f(x﹣1)﹣f(x+1)≤m 成立,求实数 m 的取值范围.

第 5 页(共 20 页)

2016 年河南省普通高中高考数学适应性试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的 元素共有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据交集含义取 A、B 的公共元素写出 A∩B,再根据补集的含义求解. 【解答】解:A∪B={3,4,5,7,8,9}, A∩B={4,7,9}∴?U(A∩B)={3,5,8}故选 A. 也可用摩根律:?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB) 故选 A 2.若 z?(1+i)=2﹣i(i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚数部分为( A. B.﹣ C. i D.﹣ i )

【考点】复数相等的充要条件. 【分析】利用复数的除法运算法则化简求解即可. 【解答】解:z?(1+i)=2﹣i(i 为虚数单位) , 可得 z= = = .

复数的虚部为:﹣ . 故选:B. 3.下列关于命题的说法错误的是( ) A.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=2”的逆否命题为“若 x≠2,则 x2﹣3x+2≠0” B.“a=3”是“函数 f(x)=logax 在定义域上为增函数”的充分不必要条件 C.若命题 p:? n∈N,3n>100,则¬p:? n∈N,3n≤100 D.命题“? x∈(﹣∞,0) ,3x<5x”是真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A 根据逆否命题的概念判断即可; B 根据充分必要条件的概念判断; C 对存在命题的否定应把存在改为任意,再否定结论; D 转化为指数函数,得出结论. 【解答】解:A 逆否命题是把命题的条件和结论都否定,再互换,故命题“若 x2﹣3x+2=0, 则 x=2”的逆否命题为“若 x≠2,则 x2﹣3x+2≠0”,故正确; B“a=3”能推出“函数 f(x)=logax 在定义域上为增函数”,但函数 f(x)=logax 在定义域上为 增函数”,只能得出 a>1,故是充分不必要条件,故正确;

第 6 页(共 20 页)

C 存在命题的否定应把存在改为任意,再否定结论,命题 p:? n∈N,3n>100,则¬p: ? n∈N,3n≤100,故正确; D 命题 x∈(﹣∞,0) , 故选:D. >1,则 3x>5x 是假命题.

4.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为(



A.﹣7 B.﹣4 C.1

D.2

【考点】简单线性规划. 【分析】先根据条件画出可行域,设 z=y﹣2x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴上的截距最小,只需求出直线 z=y﹣2x,过可行域内的点 B(5,3)时的最小值,从而得 到 z 最小值即可.

【解答】解:设变量 x、y 满足约束条件



在坐标系中画出可行域三角形, 平移直线 y﹣2x=0 经过点 A(5,3)时,y﹣2x 最小,最小值为:﹣7, 则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为﹣7. 故选 A.

5.执行如图所示的程序框图,则输出 z 的值为(



第 7 页(共 20 页)

A.﹣1008×2015 B.1008×2015

C.﹣1008×2017 D.1008×2017

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,a 的值,当 a=2016 时,刚好满足 条件 a>2015,则由等差数列的求和公式及对数运算即可求得 z 的值. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 第 1 次运行,S= 第 2 次运行,S= 第 3 次运行,S= … 依此类推,第 2015 次运行,S= z=log2 故选:A. =﹣( ,a=2016,刚好满足条件 a>2015,则 )×2015=﹣1008×2015. ,a=2 ,a=3 ,a=4

6.函数 y=

的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

第 8 页(共 20 页)

【考点】函数的图象. 【分析】根据函数值的变化趋势即可判断. 【解答】解:∵3x﹣1≠0,∴x≠0; 故排除 A; 当 x<0 时,x5<0,3x﹣1<0; 故 y>0; 故排除 B; 再由当 x→+∞时, 故排除 D; 故选:C. →0;

7.已知 A.2

,则 B.﹣2 C.3 D.﹣3

=(



【考点】同角三角函数间的基本关系. 【分析】先由 cos2α=cos2α﹣sin2α 对 即可得答案. 【解答】解:∵ , 进行化简,再分子分母同时除以 cosα,

=



故选 C.
2 2 8. 已知双曲线 x2﹣my2=1 的离心率为 3, 则其渐近线与圆 (x﹣3) +y =7 的位置关系为 ( A.相交 B.相离 C.相切 D.无法判断



【考点】双曲线的简单性质. b, c 的关系可得 b 与 a 的关系, 【分析】 由离心率公式和 a, 可得渐近线方程, 由圆心 D (3, 0)到渐近线的距离,即可得到渐近线与圆的位置关系. 【解答】解:由 e=3,即 c2=9a2,即 a2+b2=9a2,即有 b=2 x, 则双曲线的渐近线方程为 y= 圆心 D(3,0)到渐近线的距离为 d= 则有渐近线与圆 D 相离. 故选:B. =2 a,



第 9 页(共 20 页)

9.函数 f(x)=Asin(ωx+ ω 的最大值是( A. B.2 ) C. D.

) (A>0,ω>0)在区间[﹣

,﹣

]上单调递增,则

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】求出 f(x)的单调增区间,根据集合关系列出不等式解出 ω. 【解答】解:令﹣ ∵f(x)在区间[﹣ ∴﹣ ﹣ + ﹣ + + ωx+ ,﹣ ≤﹣ ≥﹣ ≤ ,解得﹣ ﹣ + ≤x≤﹣ + + .

]上单调递增, ,①

,②

∴解得:



∴当 2﹣8k≤ 即 k≥

时,ω≤2﹣8k,

∴当 k=1 时,ω 取得最大值﹣6. 当 2﹣8k> +6k,即 k< 时,ω≤ +6k,

∴当 k=0 时,ω 取得最大值 . 综上,ω 的最大值为 . 故选:A. 10.已知函数 f(x)=log2(x+a)+log2(x﹣a) (a∈R) .命题 p:函数 f(x)是偶函数;命 题 q:函数 f(x)在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是( ) A.¬q B.p∧q C. D.p∧(¬q) (¬p)∧q 【考点】复合命题的真假. 【分析】先求 f(x)的定义域(|a|,+∞) ,根据偶函数的定义域特点及对数函数的单调性 知命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,所以便可判断(¬p)∧q 是真命题. 【解答】解:函数 f(x)的定义域为(|a|,+∞) ; 定义域不关于原点对称; ∴f(x)是非奇非偶函数; ∴命题 p 是假命题; 根据对数函数的单调性知 f(x)在定义域内是增函数; ∴命题 q 是真命题; ∴¬p 是真命题, (¬p)∧q 为真命题. 故选 C.

第 10 页(共 20 页)

11.如图为某四面体的三视图,其正视图、侧视图、俯视图均是边长为 4 的正方形,则该四 面体的内切球的半径为( )

A.2

B.

C.

D.

【考点】球内接多面体;简单空间图形的三视图. 【分析】由三视图可知:该四面体是正方体的一个内接正四面体.棱长为 4 ,利用等体 积即可得出该四面体的内切球的半径. 【解答】解:由三视图可知:该四面体是正方体的一个内接正四面体,棱长为 4 ,正四 面体的高为 = ,体积为 ×r= × . ×

设该四面体的内切球的半径为 r,则 4× ∴r= .

故选:D.

12.已知函数 f(x)= A. (﹣∞,1] B. (﹣∞, ]

,则不等式 f(f(x) )≤3 的解集为( C. (﹣∞, ] D. (﹣∞,2]



【考点】其他不等式的解法. 【分析】由复合函数和分段函数分类讨论可化不等式为几个不等式组,解不等式组可得. 【解答】解:∵f(x)= ,

当 x>0 时,f(x)=﹣x2<0,∴f(f(x) )=(﹣x2)2+2(﹣x2)=x4﹣2x2, 不等式 f(f(x) )≤3 可化为 ,解得 0<x≤ ;

当 x=0 时,f(x)=0,∴f(f(x) )=0,不等式 f(f(x) )≤3 可化为 0≤3,可得 x=0; 2 2 当﹣2<x<0 时,f(x)=x +2x<0,∴f(f(x) )=(x +2x)2+2(x2+2x) ,
第 11 页(共 20 页)

不等式 f(f(x) )≤3 可化为(x2+2x)2+2(x2+2x)≤3,结合﹣2<x<0 可得﹣2<x<0; 当 x≤﹣2 时,f(x)=x2+2x≥0,∴f(f(x) )=﹣(x2+2x)2, 不等式 f(f(x) )≤3 可化为﹣(x2+2x)2≤3,结合 x≤﹣2 可得 x≤﹣2; 综上可得不等式 f(f(x) )≤3 解集为: (﹣∞, ] 故选:C. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知某商场新进 3000 袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从 中抽取 150 袋检查,若第一组抽出的号码是 11,则第六十一组抽出的号码为 1211 . 【考点】数列的应用;系统抽样方法. 【分析】系统抽样中各组抽出的数据间隔相同,为等差数列,可用数列知识求解 【解答】解:3000 袋奶粉,用系统抽样的方法从抽取 150 袋,每组中有 20 袋, 第一组抽出的号码是 11,则第六十一组抽出的号码为 11+60×20=1211 故答案为:1211. 14.已知| |=4,| |=2, , 的夹角为 120°,则|2 + |= 2 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】求出 ,计算(2 )2,再开方即可. 【解答】解: ∴(2 )2=4
2



= +4 + =52.

=4×

=﹣4.

∴|2 |=2 故答案为 2

. .

15.已知 m,n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ②若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β; ③若 α 内不共线三点 A,B,C 到 β 的距离都相等,则 α∥β; ④若 n? α,m? α,且 m∥β,n∥β,则 α∥β; ⑤若 m,n 为异面直线,且 n? α,m? β,m∥α,n∥β,则 α∥β. 其中正确命题的序号是 ②⑤ . 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①③可通过举反例的方法判断; ②④根据判定定理可判断; ⑤构造直线 e,利用判定定理证明即可. 【解答】解:①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β,或相交,故错误; ②根据面面平行的判定可得,若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β,故正确; ③若 α 内不共线三点 A,B,C 到 β 的距离都相等,则 α∥β 或相交,故错误; ④若 n? α,m? α,且 m∥β,n∥β,且 m,n 为相交直线,则 α∥β,故错误; ⑤若 m,n 为异面直线,则 m,n 不平行,且 n? α,m? β,m∥α,n∥β, 则一定存在一条直线 e? α,且 e∥m,且 n,e 相交, ∴α∥β,故正确. 故答案为②⑤.
第 12 页(共 20 页)

16.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B

BF, 两点, 连接 AF, 若|

|=8, |

cos∠ABF= , |=6, 则 C 的离心率的值是 6﹣2



【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由已知条件,利用余弦定理求出|AF|,由椭圆的定义和椭圆的对称性质能求出椭 圆的离心率. 【解答】解:如图所示, 在△AFB 中,由余弦定理可得: |AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF, ∵|AB|=8,|BF|=6,cos∠ABF= , ∴|AF|2=82+62﹣2×8×6× =28, 解得|AF|=2 . 设 F′为椭圆的右焦点,连接 BF′,AF′. 根据对称性和勾股定理的逆定理可得四边形 AFBF′是矩形. ∴|BF′|=|AF|=2 ,|FF′|=8. ∴2a=6+2 ,2c=8,解得 a=3+ ,c=4. ∴e= = =6﹣2 . .

故答案为:6﹣2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为 60,且 a1=5. (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; (2)若数列 的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 【分析】 (1)直接利用数列求和公式,求出公差,然后求出通项公式,与前 n 项和 Sn. (2)利用裂项法直接求解 【解答】解: (1)各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为 60,且 a1=5.
第 13 页(共 20 页)

所以 60=6×5+

,所以 d=2,

所以 an=2n+3,Sn=n(n+4) (2)因为 所以 Tn= = 所以 = , ,所以

18.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,现从这两个 学校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎 叶图如图:

(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计 甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格) ; (Ⅱ)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 、 ,估计 ﹣ 的

值. 【考点】茎叶图;众数、中位数、平均数. 【分析】 (I) 先设甲校高三年级总人数为 n, 利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05 得 =0.05 求出 n,又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为 5,利用对立

事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率; (II)设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 a1,a2,利用茎叶图 = 中同一行的数据之差可得 30 (a1﹣a2 ) (7﹣5) +55+ (2﹣8) + (5﹣0) + (5﹣6) +…+92=15, 从而求出 a1﹣a2 的值,最后利用样本估计总体的思想得出结论即可. 【解答】解: (I)设甲校高三年级总人数为 n,则 =0.05,∴n=600,

又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为 5, ∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率 1﹣ = ;

(II)设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 a1,a2,
第 14 页(共 20 页)

由茎叶图可知, 30(a1﹣a2 )=(7﹣5)+55+(2﹣8)+(5﹣0)+(5﹣6)+…+92=15, ∴a1﹣a2= =0.5.

∴利用样本估计总体,故估计 x1﹣x2 的值为 0.5.

19.如图,边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 上的点,将△AED, △DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A′. (1)求证:A′D⊥EF; (2)当 BE=BF= BC 时,求三棱锥 A′﹣EFD 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)根据线面垂直的性质定理即可证明 A′D⊥EF; (2)根据三棱锥的条件公式,利用转化思想进行求解即可. 【解答】 (1)证明:∵A′D⊥A′E,A′D⊥A′F,A′E∩A′F=A′, ∴A′D⊥平面 A′EF, ∵EF? 平面 A′EF, ∴A′D⊥EF; (2)由(1)知,A′D⊥平面 A′EF, ∴A′D 的长即为三棱锥 D﹣A′EF 的高, 则 A′E=A′F= BC=2 作 A′O⊥EF 于 O, ∴A′O= = ,
第 15 页(共 20 页)

,EF=

=



则 VA′﹣EFD=VD﹣A'EF= = =

= .

20.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1: (x+3)2+(y﹣1)2=4 和圆 C2: (x﹣4)2+(y ﹣5)2=4 (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程 (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所 有满足条件的点 P 的坐标. 【考点】直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程. 【分析】 (1)因为直线 l 过点 A(4,0) ,故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被圆 C1 截得的弦长为 2 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距, 即圆心到直线的距离,得到一个关于直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l 的方程. (2)与 (1)相同, 我们可以设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程, 由于两直线斜率为 1, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,故我们可以得到一个关于 直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l1 与 l2 的方程. 【解答】解: (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交; ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=k(x﹣4) 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,∵l 被⊙C1 截得的弦长为 2 ∴d= =1

d=

从而 k(24k+7)=0 即 k=0 或 k=﹣

∴直线 l 的方程为:y=0 或 7x+24y﹣28=0 (2)设点 P(a,b)满足条件, 由题意分析可得直线 l1、l2 的斜率均存在且不为 0, 不妨设直线 l1 的方程为 y﹣b=k(x﹣a) ,k≠0 则直线 l2 方程为:y﹣b=﹣ (x﹣a) ∵⊙C1 和⊙C2 的半径相等, 及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, ∴⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等 即 =

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk| ∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3 或(a﹣b+8)k=a+b﹣5 因 k 的取值有无穷多个,所以 或

第 16 页(共 20 页)

解得



这样的点只可能是点 P1( ,﹣ )或点 P2(﹣ ,



21.已知函数 f(x)=ex. (1)当 x>0 时,设 g(x)=f(x)﹣(2a﹣1)x(a∈R) ,试讨论函数 g(x)的单调性; (2)证明当 x∈[ ,1]时,f(x)<x2+x+1. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)利用导数研究函数 g(x)的单调性和对 a 分类讨论即可得出; (2)设 h(x)=f(x)﹣(x2+x+1) ,利用导数研究其单调性,只有证明 h(x)max<0 即可. x 【解答】解: (1)g(x)=e ﹣(2a﹣1)x,g′(x)=ex﹣(2a﹣1) , x 当 x>0 时,e >1, ∴当 2a﹣1≤1,即 a≤1 时,g′(x)>0, 当 2a﹣1>1,即 a>1 时, 令 g′(x)>0,得 x>ln(2a﹣1) ; g x 0 0 x ln 2a ′ 令 ( )> ,得 < < ( ﹣1) . 综上可知:当 a≤1 时,g(x)在(0,+∞)上是增函数, 当 a>1 时,g(x)在(0,ln(2a﹣1) )上是减函数,在(ln(2a﹣1) ,+∞)上是增函数; 2 x 2 (2)证明:设 h(x)=f(x)﹣(x +x+1)=e ﹣x ﹣x﹣1,h′(x)=ex﹣2x﹣1, 令 m(x)=h′(x)=ex﹣2x﹣1,m′(x)=ex﹣2, ∵x∈[ ,1]时, ∴当 x∈[ ,ln2)时,m′(x)<0,m(x)在[ ,ln2)上是减函数, 当 x∈(ln2,1]时,m′(x)>0,m(x)在(ln2,1]上是增函数, 又 m( )= ﹣ <0,m(1)=e﹣3<0,

∴当 x∈[ ,1]时,恒有 m(x)<0,即 h′(x)<0, ∴h(x)在[ ,1]上为减函数, ∴h(x)≤h( )= ﹣ <0,

即 x∈[ ,1]时,f(x)<x2+x+1.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按 所做的第一个题目计分。 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修 4-1: 几何证明选讲]

第 17 页(共 20 页)

22.如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已知 AC=AB.求证: (1)AD?AE=AC2; (2)若 FG⊥EC,则 ﹣ = .

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)利用切线长与割线长的关系及 AB=AC 进行证明. (2)证明△CAE∽△DAC∽△GCF,得比例式,即可证明结论. 【解答】证明: (1)∵AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割 线, ∴AB2=AD?AE, ∵AB=AC,∴AD?AE=AC2. (2)由(1)有 ,

∵∠EAC=∠DAC, ∴△ADC∽△ACE, ∵FG⊥EC,D,E,G,F 四点共圆 ∴∠ECA=∠CDA=∠CGF=90°, ∵∠CFG=∠CEA ∴△CAE∽△DAC∽△GCF, ∴ ∴ ﹣ , = = ﹣ = .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 , (θ 为参数) ,在极坐

标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,直线 l 的方程为 ρsin(θ+φ)=0, (其中 sinφ= ,cosφ= (1)求曲线 C 在极坐标系中的方程; (2)求曲线 C 上到直线 l 距离最大的点的坐标. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)曲线 C 的参数方程为 , (θ 为参数) ,利用 cos2θ+sin2θ=1 可得直 ) .

角坐标方程,把 ρ2=x2+y2,y=ρsinθ 代入可得极坐标方程.
第 18 页(共 20 页)

=0, cosφ= (2) 直线 l 的方程为 ρsin (θ+φ) (其中 sinφ= ,

) , 可得直角坐标方程:

=0,设曲线 C 上的任意一点 P(2cosθ,2+2sinθ) ,利用点到直线的距离公式可得:点 P 到 直 l 的距离 d= ,即可得出. , (θ 为参数) ,

【解答】解: (1)曲线 C 的参数方程为

2 x2+ =4. ρ2﹣4ρsinθ=0, 利用 cos2θ+sin2θ=1 可得: (y﹣2) 即 x2+y2﹣4y=0, 可得极坐标方程: 即 ρ=4sinθ.

=0, cosφ= (2) 直线 l 的方程为 ρsin (θ+φ) (其中 sinφ= ,

) , 可得直角坐标方程:

=0, 设曲线 C 上的任意一点 P(2cosθ,2+2sinθ) ,则点 P 到直 l 的距离 d= = ≤2+ .

当且仅当

,即 P

时,d 取得最大值 2+



∴P

为所求.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|(a∈R) ,且不等式 f(x)≤2 的解集为{x|0≤x≤4}. (1)求实数 a 的值; (2)若存在﹣2≤x≤4,使 f(x﹣1)﹣f(x+1)≤m 成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)依题意,|x﹣a|≤2 的解集为{x|0≤x≤4},可解得 a; (2)设 g(x)=f(x﹣1)﹣f(x+1) ,可求得 g(x)的表达式,求得 g(x)的取值范围即 可. 【解答】解: (1)由题意得 f(x)≤2?a﹣2≤x≤a+2, ∴ ,解得:a=2;

(2)令 g(x)=f(x﹣1)﹣f(x+1) ,﹣2≤x≤4, 则 g(x)=|x﹣3|﹣|x﹣1|≥﹣|(x﹣3)﹣(x﹣1)|=﹣2, ∴g(x)min=﹣2,而 g(4)=﹣2, ∴m≥﹣2 时,存在﹣2≤x≤4 符合题意.

第 19 页(共 20 页)

2016 年 8 月 23 日

第 20 页(共 20 页)


推荐相关:

2016河南省普通高中毕业班高考适应性测试解析版

2016河南省普通高中毕业班高考适应性测试解析版_高三数学_数学_高中教育_教育专区...2016 河南省普通高中毕业班高考适应性测试 数学(理)试题一、选择题 1. 已知...


河南省2016年高考文科数学试题文档版(含答案)

河南省2016年高考文科数学试题文档版(含答案)_高考_高中教育_教育专区。绝密★...(I)若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式; (II)若要求学科&网“需更换的...


2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科)(解析版)

2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2017 年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题...


河南省高考适应性测试 ——文科数学试卷解析版_图文

河南省高考适应性测试 ——文科数学试卷解析版_数学...年河南省普通高中毕业班高考适应性测试文科数学试题...河南省百校联盟2016届高... 10页 1下载券 2015...


2016届河南省顶级名校高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016届河南省顶级名校高考数学二模试卷(文科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年河南省顶级名校高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每...


2016年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷(解析版)

2016年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷(解析版)_中考_初中教育_教育专区。2016 年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1...


2016年四川省高考数学适应性试卷(文科)(解析版)

2016年四川省高考数学适应性试卷(文科)(解析版)_高考_高中教育_教育专区。2016 年四川省高考数学适应性试卷(文科)一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 ...


河南省普通高中2017届高三数学适应性试卷(理科) Word版...

(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca﹣3abc. 2017 年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题...


2016年河南省高考数学冲刺试卷(理科)(1)(解析版)

2016年河南省高考数学冲刺试卷(理科)(1)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。...(x+1)ex,利用导数研究出函数的单调性,即可得出 x=﹣1 为 f(x)的极小值...


2016年河南省六市联考高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年河南省六市联考高考数学二模试卷(文科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区...自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com