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江苏省泰州市泰兴市2015届高三上学期期中考试数学试卷


2014-2015 学年江苏省泰州市泰兴市高三(上)期中数学试卷
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A={x|y=lg(2x﹣x )},B={y|y=2 ,x>0},则 A∩B= 2.已知 ,则 = .
2 x



3.命题 P: “若 ,则 a、b、c 成等比数列” ,则命题 P 的否命题是

“真”或“假”之一)命题. 4.如果 x﹣1+yi,与 i﹣3x 是共轭复数(x、y 是实数) ,则 x+y= 5.在等差数列{an}中,a7=m,a14=n,则 a28= . .

(填

6. 已知 O、 A、 B 三点的坐标分别为 O (0, 0) , A (3, 0) , B (0, 3) , 且 P 在线段 AB 上, (0≤t≤1)则 ? 的最大值为 .

=t

7.已知 an=

(n∈N ) ,设 am 为数列{an}的最大项,则 m=

*



8.已知实数 a≠0,函数 为 9.函数 于 .

,若 f(1﹣a)=f(1+a) ,则 a 的值

的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等 .

10. 已知 AD 是△ABC 的中线, 若∠A=120°,

, 则

的最小值是



11.如图,l1,l2,l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l3 与 l2 间的距 离是 2,正△ABC 的三顶点分别在 l1,l2,l3 上,则△ABC 的边长是 .

12.将函数 f(x)=2sin(ωx﹣ (x)的图象,若 y=g(x)在[0,

) (ω>0)的图象向左平移

个单位,得到函数 y=g .

]上为增函数,则ω的最大值为

13.定义 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x .若对任意的 x∈[a,a+2]均有 f(x+a)≥2f(x) ,则实数 a 的取值范围为 . 14.对任意的 x>0,总有 f(x)=a﹣x﹣|lgx|≤0,则 a 的取值范围是 .

2

二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分) 15.设集合 A={x|x ﹣(a+4)x+4a=0,a∈R},B={x|x ﹣5x+4=0}.求 (Ⅰ)若 A∩B=A,求实数 a 的值; (Ⅱ)求 A∪B,A∩B.
2 2 2

16.已知函数 f(x)=sin cos +

cos

(1)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)+b 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2)如果△ABC 的三边 a,b,c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函 数 f(x)的值域.
2

17.已知扇形 AOB 的半径等于 1,∠AOB=120°,P 是圆弧 (1)若∠AOP=30°,求 (2)若 的值.

上的一点.

,①求λ,μ满足的条件;②求λ +μ 的取值范围.

2

2

18.为合理用电缓解电力紧张,某市将试行“峰谷电价”计费方法,在高峰用电时段,即居 民户每日 8 时至 22 时,电价每千瓦时为 0.56 元,其余时段电价每千瓦时为 0.28 元.而目 前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时 0.53 元.若总用电量为 S 千瓦时,设高 峰时段用电量为 x 千瓦时. (1)写出实行峰谷电价的电费 y1=g1(x)及现行电价的电费 y2=g2(S)的函数解析式及电 费总差额 f(x)=y2﹣y1 的解析式;

(2)对于用电量按时均等的电器(在全天任何相同长的时间内,用电量相同) ,采用峰谷电 价的计费方法后是否能省钱?说明你的理由.
2 *

19.已知数列{an}、{bn},其中,a1= ,数列{an}的前 n 项和 Sn=n an(n∈N ) ,数列{bn}满足 b1=2,bn+1=2bn. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2) 是否存在自然数 m, 使得对于任意 n∈N , n≥2, 有 1+ 若存在,求出 m 的最小值;
*

恒成立?

(3)若数列{cn}满足 cn=

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

20.已知函数 f(x)=ax +bx +(b﹣a)x(a,b 不同时为零的常数) ,导函数为 f′(x) . (1)当 时,若存在 x∈[﹣3,﹣1]使得 f′(x)>0 成立,求 b 的取值范围;

3

2

(2)求证:函数 y=f′(x)在(﹣1,0)内至少有一个零点; (3)若函数 f(x)为奇函数,且在 x=1 处的切线垂直于直线 x+2y﹣3=0,关于 x 的方程 在[﹣1,t](t>﹣1)上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围.

2014-2015 学年江苏省泰州市泰兴市高三 (上) 期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A={x|y=lg(2x﹣x )},B={y|y=2 ,x>0},则 A∩B= (1,2)
2 x



考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出 A 中函数的定义域确定出 A,求出 B 中函数的值域确定出 B,找出 A 与 B 的交集 即可. 解答: 解:由 A 中的函数 y=lg(2x﹣x ) ,得到 2x﹣x >0,即 x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 A=(0,2) , 由 B 中的函数 y=2 ,x>0,得到 y>1,即 B=(1,+∞) , 则 A∩B=(1,2) . 故答案为: (1,2) 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
x 2 2

2.已知

,则

=



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据诱导公式可知 + )的值代入即可求得答案. =sin( ﹣α﹣ )=﹣sin(α+ )=﹣ =sin ( ﹣α﹣ ) , 进而整理后, 把 sin (α

解答: 解: 故答案为:﹣

点评: 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题.属基础题. 3.命题 P: “若 ,则 a、b、c 成等比数列” ,则命题 P 的否命题是 假 (填“真” 或“假”之一)命题. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 写出命题的否命题,然后判断否命题的真假即可. 解答: 解:命题 P: “若 ,则 a、b、c 成等比数列” , 命题 P 的否命题是: “若 ,则 a、b、c 不成等比数列” .

否命题中, ,可以有 ac=b ,a、b、c 成等比数列,所以否命题不正确. 故答案为:假. 点评: 本题考查命题的真假的判断,四种命题的关系,考查基本知识的应用.

2

4.如果 x﹣1+yi,与 i﹣3x 是共轭复数(x、y 是实数) ,则 x+y=



考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:∵x﹣1+yi,与 i﹣3x 是共轭复数, ∴﹣3x=x﹣1,﹣y=1, 解得 x= ,y=﹣1. ∴x+y= .

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了共轭复数的定义,属于基础题. 5.在等差数列{an}中,a7=m,a14=n,则 a28= 3n﹣2m . 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得 a28=3a14﹣2a7,代入已知的值可求. 解答: 解:等差数列{an}中,由性质可得:a28=a1+27d, 3a14﹣2a7=3(a1+13d)﹣2(a1+6d)=a1+27d, ∴a28=3a14﹣2a7, ∵a7=m,a14=n, ∴a28=3n﹣2m. 故答案为:3n﹣2m. 点评: 本题为等差数列性质的应用,熟练利用性质是解决问题的关键,属基础题.

6. 已知 O、 A、 B 三点的坐标分别为 O (0, 0) , A (3, 0) , B (0, 3) , 且 P 在线段 AB 上, (0≤t≤1)则 ? 的最大值为 9 .

=t

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 计算题. 分析: 先利用响亮的三角形法则将 的式子求最值即可. 用 表达,再由数量积的坐标运算得到关于 t

解答: 解: =

? = = =(1﹣t)9 =

因为 0≤t≤1,所以(1﹣t)9≤9,最大值为 9,所以

?

的最大值为 9

故答案为:9 点评: 本题考查向量的表示、数量积运算等知识,属基本运算运算的考查. 7.已知 an= (n∈N ) ,设 am 为数列{an}的最大项,则 m=
*

8 .

考点: 数列的函数特性. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 把数列 an= =1+
*

,根据单调性,项的符号判断最大项.

解答: 解:∵an=

(n∈N ) ,

∴an=

=1+

根据函数的单调性可判断: 数列{an}在[1,7],[8,+∞)单调递减, ∵在[1,7]上 an<1,在[8,+∞)上 an>1, ∴a8 为最大项, 故答案为:8 点评: 本题考查了数列与函数的结合,根据单调性求解,属于中档题.

8.已知实数 a≠0,函数

,若 f(1﹣a)=f(1+a) ,则 a 的值为



考点: 专题: 分析: 出 a. 解答:

函数的值;分段函数的应用. 函数的性质及应用. 对 a 分类讨论判断出 1﹣a,1+a 在分段函数的哪一段,代入求出函数值;解方程求 解:当 a>0 时,1﹣a<1,1+a>1 舍去

∴2(1﹣a)+a=﹣1﹣a﹣2a 解得 a=

当 a<0 时,1﹣a>1,1+a<1 ∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a 解得 a= 故答案为 点评: 本题考查分段函数的函数值的求法:关键是判断出自变量所在的范围. 9.函数 4 . 考点: 正弦函数的图象;函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题. 分析: 的图象由奇函数 的图象向右平移 1 个单位而得,所以它的图象关于 的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于

点(1,0)中心对称,再由正弦函数的对称中心公式,可得函数 y2=2sinπx 的图象的一个 对称中心也是点(1,0) ,故交点个数为偶数,且对称点的横坐标之和为 2 解答: 解:函数 y1= 的图象, 当 1<x≤4 时,y1≥ , 而函数 y2 在(1,4)上出现 1.5 个周期的图象,在 y2 在(1,4)上出现 1.5 个周期的图象,在 ∴函数 y2 在 x= 处取最大值为 2≥ , 而函数 y2 在(1,2) 、 (3,4)上为负数与 y1 的图象没有交点, 所以两个函数图象在(1,4)上有两个交点(图中 C、D) , 根据它们有公共的对称中心(1,0) ,可得在区间(﹣2,1)上也有两个交点(图中 A、B) , 并且:xA+xD=xB+xC=2,故所求的横坐标之和为 4, 故答案为:4. 上是单调增且为正数函数, 上是单调减且为正数, =2sinπx 的图象有公共的对称中心(1,0) ,作出两个函数

点评: 本题考查函数的零点与方程的根的关系,考查数形结合思想,发现两个图象公共的 对称中心是解决本题的入口,讨论函数 y2=2sinπx 的单调性找出区间(1,4)上的交点个 数是本题的难点所在.

10.已知 AD 是△ABC 的中线,若∠A=120°,

,则

的最小值是 1 .

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积公式,及三角形中线向量的表示,利用基本不等式,即可求 的最小值. 解答: 解:∵ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) ∴| || |=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =| || |cosA,∠A=120°,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣(8 分) ∵ ∴|
2

= ( | = (| ||

+ | +|
2

) , | +2
2

?

)= (|

| +|

2

| ﹣4)

2

≥ (2| ∴

|﹣4)=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣(12 分) 故答案为:1. 点评: 本题考查向量的数量积,基本不等式,考查学生的计算能力,属于中档题. 11.如图,l1,l2,l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l3 与 l2 间的距 离是 2,正△ABC 的三顶点分别在 l1,l2,l3 上,则△ABC 的边长是 .

考点: 两点间的距离公式. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 过 A,C 作 AE,CF 垂直于 L2,点 E,F 是垂足,将 Rt△BCF 绕点 B 逆时针旋转 60° 至 Rt△BAD 处,延长 DA 交 L2 于点 G,由此可得结论. 解答: 解:如图,过 A,C 作 AE,CF 垂直于 L2,点 E,F 是垂足, 将 Rt△BCF 绕点 B 逆时针旋转 60°至 Rt△BAD 处,延长 DA 交 L2 于点 G. 由作图可知:∠DBG=60°,AD=CF=2. 在 Rt△BDG 中,∠BGD=30°.在 Rt△AEG 中,∠EAG=60°,AE=1,AG=2,DG=4. ∴BD= 在 Rt△ABD 中,AB= 故答案为: =

点评: 本题考查平行线的性质,等腰三角形,直角三角形的性质,考查学生的计算能力, 属于基础题.

12. (5 分) (2015? 德州一模)将函数 f(x)=2sin(ωx﹣ 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)在[0, 2 . 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 函数 数 y=g(x)的表达式,然后利用在 出ω的不等式,得到ω的最大值. 解答: 解:函数 得到函数 y=g(x)=2sinωx,y=g(x)在 所以 ,即:ω≤2,所以ω的最大值为:2.

) (ω>0)的图象向左平移 ]上为增函数,则ω的最大值为

的图象向左平移 上为增函数,说明

个单位,得到函 ,利用周期公式,求

的图象向左平移 上为增函数,

个单位,

故答案为:2.

点评: 本题是基础题,考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,注意函数的周 期与单调增区间的关系,考查计算能力,常考题型,题目新颖. 13.定义 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x .若对任意的 x∈[a,a+2]均有 f(x+a)≥2f(x) ,则实数 a 的取值范围为 .
2

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数奇偶性和单调性之间的关系,解不等式即可. 解答: 解:∵当 x≥0 时,f(x)=x , ∴此时函数 f(x)单调递增, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴函数 f(x)在 R 上单调递增, 若对任意 x∈[a,a+2],不等式 f(x+a)≥2f(x)恒成立, ∵2f(x)=2x =( x) =f( x) , ∴f(x+a)≥f( x)恒成立, 则 x+a≥ 恒成立, 即 a≥﹣x+ = ∵x∈[a,a+2], ∴( 即 a≥ 解得 a )max= (a+2) , , 恒成立,
2 2 2

(a+2) ,

即实数 a 的取值范围是故答案为 . 故答案为: . 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,以及不等式恒成立问题,综合考查函数 的性质,是中档题. 14. 对任意的 x>0, 总有 ( f x) =a﹣x﹣|lgx|≤0, 则 a 的取值范围是 (﹣∞, lge﹣lglge] . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把不等式变形,然后分 x≥1 和 0<x<1 两种情况讨论,对于 0<x<1 时,借助于导 数求函数的最小值得答案. 解答: 解:由 f(x)=a﹣x﹣|lgx|≤0,得 a≤x+|lgx|. 当 x≥1 时,化为 a≤x+lgx,知 a≤1; 当 0<x<1 时,化为 a≤x﹣lgx, 令 g(x)=x﹣lgx,则 由 ,得 x=lge. ,

当 x∈(0,lge)时,g′(x)<0, 当 x∈(lge,1)时,g′(x)>0,

∴当 x=lge 时,g(x)有最小值为 lge﹣lglge. 综上,a 的取值范围是(﹣∞,lge﹣lglge]. 故答案为: (﹣∞,lge﹣lglge]. 点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了数学转化思想方法,训练了利用导数求函数的 最值,是中档题. 二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分) 15.设集合 A={x|x ﹣(a+4)x+4a=0,a∈R},B={x|x ﹣5x+4=0}.求 (Ⅰ)若 A∩B=A,求实数 a 的值; (Ⅱ)求 A∪B,A∩B. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 本题考察集合的运算中的交集和并集,先对集合 A,B 进行化简,然后按运算法则运 算即可. 解答: 解:A={x|x=4,或 x=a},B={x|x=1,或 x=4}. (Ⅰ)∵A∩B=A, ∴A? B,由此得,a=1 或 a=4 (Ⅱ)若 a=1,则 A=B={1,4}, ∴A∪B={1,4},A∩B={1,4}; 若 a=4,则 A={4}, ∴A∪B={1,4},A∩B={4}; 若 a≠1、4,则 A={4,a}, ∴A∪B={1,4,a},A∩B={4}. 点评: 本题考查集合运算,属于基础题.注意元素的互异性和确定性.
2 2 2

16.已知函数 f(x)=sin cos +

cos

(1)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)+b 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2)如果△ABC 的三边 a,b,c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函 数 f(x)的值域. 考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (1)f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与 差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数, 令正弦函数为 0 求出 x 的值, 即为其图象对称中 心的横坐标; (2)利用余弦定理表示出 cosx,把 b =ac 代入并利用基本不等式变形,求出 cosx 的范围, 确定出 x 的范围,求出这个角的范围,利用正弦函数的值域确定出 f(x)的值域即可. 解答: 解: (1)f(x)= sin + , + (1+cos )= sin + cos + =sin( + )
2 2

由 sin( 解得:x=

+

)=0,得 ,k∈Z,

+

=kπ(k∈Z) ,

则对称中心的横坐标为

(k∈Z) ;

(2)由已知 b =ac 及余弦定理,得:cosx= ∴ ≤cosx<1,即 0<x≤ ∴ ∴ < + ≤ + , )+ ≤1+ ,

2

=



= ,

<sin(

,即 f(x)的值域为( ,1+ ].

,1+

],

综上所述,x∈(0,

],f(x)值域为(

点评: 此题考查了余弦定理,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值 域,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

17.已知扇形 AOB 的半径等于 1,∠AOB=120°,P 是圆弧 (1)若∠AOP=30°,求 (2)若 的值.

上的一点.

,①求λ,μ满足的条件;②求λ +μ 的取值范围.

2

2

考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形. 分析: (1)由题意确定出∠BOP 为直角,即 OP 与 OB 垂直,得到数量积为 0,原式变形后, 利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果; (2)①利用余弦定理列出关系式,利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值 化简,整理即可得到λ,μ满足的条件;②利用基本不等式求出λ +μ 的取值范围即可. 解答: 解: (1)∵∠AOP=30°,∠AOB=120°, ∴∠BOP=∠AOB﹣∠AOP=120°﹣30°=90°, ∴ 则 ? ? =0, = ?( ﹣ )= ? ﹣ ? =﹣cos30°=﹣ ;
2 2

(2)①由余弦定理,知

=cos60°= ,

整理得:

= ,即λ +μ =1+λμ,

2

2

则λ,μ满足的条件为
2 2



②由λ≥0,μ≥0,知λ +μ =1+λμ≥1(当且仅当λ=0 或μ=0 时取“=” ) , 由λ +μ =1+λμ≤1+
2 2 2 2

,得到λ +μ ≤2(当且仅当λ=μ时取“=” ) ,

2

2

则λ +μ 的取值范围为[1,2]. 点评: 此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,以及基本不等式的运用,熟练掌握 余弦定理是解本题的关键. 18.为合理用电缓解电力紧张,某市将试行“峰谷电价”计费方法,在高峰用电时段,即居 民户每日 8 时至 22 时,电价每千瓦时为 0.56 元,其余时段电价每千瓦时为 0.28 元.而目 前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时 0.53 元.若总用电量为 S 千瓦时,设高 峰时段用电量为 x 千瓦时. (1)写出实行峰谷电价的电费 y1=g1(x)及现行电价的电费 y2=g2(S)的函数解析式及电 费总差额 f(x)=y2﹣y1 的解析式; (2)对于用电量按时均等的电器(在全天任何相同长的时间内,用电量相同) ,采用峰谷电 价的计费方法后是否能省钱?说明你的理由. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)总用电量为 S 千瓦时,高锋时段用电量为 x 千瓦时,则低谷时段用电量为(S ﹣x)千瓦时;实行峰谷电价的电费 y1=0.56x+(S﹣x)×0.28;现行电价的电费 y2=0.53S; 作差比较 y2﹣y1 即可. (2)省钱时 y2﹣y1>0,可得 < 总时间的比为 ;对于用电量按时均等的电器,高峰用电时段的时间与 .所以能省钱.

解答: 解: (1)若总用电量为 S 千瓦时,设高锋时段用电量为 x 千瓦时,则低谷时段用电 量为(S﹣x)千瓦时; 实行峰谷电价的电费为 y1=0.56x+(S﹣x)×0.28=0.28S+0.28x; 现行电价的电费为 y2=0.53S; 电费总差额 f(x)=y2﹣y1=0.25S﹣0.28x, (0≤x≤S) (2)可以省钱,因为 f(x)>0,即 0.25S﹣0.28x>0,∴ < .

对于用电量按时均等的电器,高峰用电时段的时间与总时间的比为 . 所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱. 点评: 本题考查了与实际生活相关的峰谷用电问题,并通过作差来比较函数值的大小,属 于基础题目.

19.已知数列{an}、{bn},其中,a1= ,数列{an}的前 n 项和 Sn=n an(n∈N ) ,数列{bn}满足 b1=2,bn+1=2bn. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2) 是否存在自然数 m, 使得对于任意 n∈N , n≥2, 有 1+ 若存在,求出 m 的最小值;
*

2

*

恒成立?

(3)若数列{cn}满足 cn=

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题;不等式的解法及应用. 分析: (1)根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式.b1=2,bn+1=2bn 可知{bn} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,由此能求出{bn}的通项公式. (2)bn=2 .假设存在自然数 m,使得对于任意 n∈N ,n≥2,有 1+ 恒成立,由此能导出 m 的最小值. (3)当 n 是奇数时, ,当 n 是偶数
n *

时, 偶数时,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)因为 当 n≥2 时, 所以 , .

,由此能推导出当 n 是

所以(n+1)an=(n﹣1)an﹣1,即

. …2 分

又 所以



= .…4 分 当 n=1 时,上式成立,

=

因为 b1=2,bn+1=2bn,所以{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 故 .…6 分 ,则 .

(2)由(1)知

假设存在自然数 m,使得对于任意 n∈N ,n≥2,有

*

恒成立,即

恒成立,由

,解得 m≥16.…9 分

所以存在自然数 m,使得对于任意 n∈N ,n≥2,有 此时,m 的最小值为 16.…11 分 (3)当 n 为奇数时, =[2+4+…+(n+1)]+(2 +2 +…+2
2 4 n﹣1

*

恒成立,



= 当 n 为偶数时, +(2 +2 +…+2 ) = =
2 4 n

=

;…13 分 = (2+4+…+n)

.…15 分

因此

. …16 分.

点评: 本题是考查数列知识的综合运用题,难度较大,在解题时要认真审题,仔细作答. 20.已知函数 f(x)=ax +bx +(b﹣a)x(a,b 不同时为零的常数) ,导函数为 f′(x) . (1)当 时,若存在 x∈[﹣3,﹣1]使得 f′(x)>0 成立,求 b 的取值范围;
3 2

(2)求证:函数 y=f′(x)在(﹣1,0)内至少有一个零点; (3)若函数 f(x)为奇函数,且在 x=1 处的切线垂直于直线 x+2y﹣3=0,关于 x 的方程 在[﹣1,t](t>﹣1)上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.

专题: 计算题;证明题;压轴题;转化思想. 分析: (1)当 时,f′(x)= = ,由二次函数

的性质,分类讨论可得答案; (2)因为 f′(x)=3ax +2bx+(b﹣a) ,所以 f′(0)=b﹣a,f'(﹣1)=2a﹣b, .再由 a,b 不同时为零,所以 结论成立; (3)将“关于 x 的方程 化为“函数 f(x)与 在[﹣1,t](t>﹣1)上有且只有一个实数根”转 的交点”问题解决,先求函数 f(x)因为 f(x)=ax +bx +(b
3 3 2 2

,故

﹣a)x 为奇函数,可解得 b=0,所以 f(x)=ax ﹣ax,再由“f(x)在 x=1 处的切线垂直于 直线 x+2y﹣3=0” 解得 a, 从而得到 f (x) , 再求导, 由 知f (x 上是増函数, 在 , 上是减函数,

明确函数的变化规律,再研究两个函数的相对位置求解. 解答: 解: (1)当 时,f′(x)= = ,

其对称轴为直线 x=﹣b,当

,解得





,b 无解,

所以 b 的取值范围为
2

; (4 分)

(2)因为 f′(x)=3ax +2bx+(b﹣a) , ∴f′(0)=b﹣a,f'(﹣1)=2a﹣b, 由于 a,b 不同时为零,所以
3 2

. ,故结论成立.
3

(3)因为 f(x)=ax +bx +(b﹣a)x 为奇函数,所以 b=0,所以 f(x)=ax ﹣ax, 又 f(x)在 x=1 处的切线垂直于直线 x+2y﹣3=0. 所以 a=1,即 f(x)=x ﹣x.因为 所以 f(x)在 在 上是増函数, 上是减函数,由 f(x)=0 解得 x=±1,x=0,
3

如图所示,当 ; 当 当 时, 时, ; 当 时, . 当 当 时, 时,

时,

,即

,解得

或 或

,解得 ,即

; ,解得





,故

或 ,无解. 或 或 t=

,解可得 t=



所以 t 的取值范围是



点评: 本题主要考查利用导数法研究函数的单调性,主要涉及了函数的奇偶性,函数的图 象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题.


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