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常熟2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


2015-2016 常熟市第一学期高二期中调研试卷
数学
一、填空题: 1.点 (1,2) 关于点 (2,3) 的对称点的坐标为 2.已知 A(1,1) , B(4,5) ,则 AB ? . . . . 2015.11.9

3.已知过两点 A(?a,3), B(5,?a) 的直线斜率为 1,则 a ? 4.已知圆锥的底面半径为 3,高是

4,则圆锥侧面积等于

5.经过点 P(2,?1) 作圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 24 的弦为 AB ,使得点 P 平分弦 AB ,则弦 AB 所在 的直线方程为 .

6.设 ? , ? 是互不重合的平面, m, n 是互不重合的直线,给出下列四个命题,其中真命题的 序号是: .

①若 m // n, n ? ? , 则 m // ? ;②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ; ③若 ? // ? , m ? ? , n ? ? , 则 m // n ;④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? . 7.点 M (2,1) 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点的坐标是 .

8.如图 AB 为圆 O 的直径, 点 C 在圆周上 (异于 A, B 两点) , 直线 PA 垂直于圆所在的平面, 点 M 为线段 PB 的中点,有以下四个命题,其中真命题的序号是 .

① PA // 平面 MOB ;② MO // 平面 PAC ;③ OC ? 平面 PAB ;④ BC ? PC 9.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,若这个球的表面积为 12? ,则 这个三棱柱的体积为 .

10.如图,各条棱长均为 2 的正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, M 为 A1C1 中点,则三棱锥

M ? AB1C 的体积为

.

1

11.设点 A(1,0), B(0,2) ,若圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 1上存在点 P ,使 PA ? PB ,则实数 a 的 取值范围是 .

12.若直线 l : mx? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A , 与 y 轴相交于点 B , 且 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相 交所得的弦长为 2,则 ?OAB 面积的最小值为 .

13.设集合 M ? {( x, y) | y ? x ? b}, N ? {( x, y) | y ? 3 ? 4 x ? x 2 } ,当 M ? N ? ? 时,则 实数 b 的取值范围是 .

14.已知点 A(1,?2), B(4,0), P(a,1), N (a ? 1,1) ,当四边形 PABN 的周长最小时,则 a 的值 为 .

二、解答题: 15.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC, BD ? DC, AF ? C1F . (1)求证:平面 ADC1 ? 平面 BCC1B1 ; (2)求证: DF // 平面 A1 ABB 1.

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, PA ? PB ,且侧面 PAB ? 平面 ABCD ,点 E 是棱 AB 的中点. (1)求证: PE ? AD ; (2)若 ?ADC ?

?
3

,求证:平面 PEC ? 平面 PAB .

2

17.矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2,0) , AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 点 T ( ?1,1) 在 AD 边 所 在 直 线 上 . ( 1 ) 求 AD 边 所 在 直 线 的 方 程 ; ( 2 ) 若 直 线 l :

ax ? y ? b ? 1 ? 0 平分矩形 ABCD 的面积,求出原点与 ( a, b) 距离的最小值.

18.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,设直线 ax ? y ? 5 ? 0(a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点. (1)求圆的标准方程; (2)求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 a ,使得先 AB 的垂直平分线 l 过点 P(?2,4) ?

2 2 19.已知圆 O : x ? y ? 1,圆 O 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的圆 C .

(1)求圆 C 的方程; (2)在直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 上是否存在点 P ,过点 P 分别作圆 O ,圆 C 的两条切线

PA, PB 分别为 A, B ,有 PA ? PB ?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在说明理由;

20.已知 ?ABC 的三个顶点为 A(?1,0), B(1,0), C (3,2) ,设其外接圆为圆 H . (1)若直线 l 过点 C ,且被圆 H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于直线 BH 上的任意一点 P ,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N ,使 得点 M 是线段 PN 的中点,求圆 C 的半径 r 的取值范围.

3

参考答案 1、(3,4) 6、④ 10、 2、5 3、-4 4、15 ? 8、②④ 5、 x ? y ? 3 ? 0 9、54

7、(-2,-3)

11、

12、3

13、[1-2 2 ,3]

14、

5 2

15、(1)由 AB=AC,BD=DC,可得 AD⊥BC, 又直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 AD⊥CC1, 从而可证 AD⊥平面 BCC1B1 所以,平面 ADC1 ? 平面 BCC1B1 ; (2)连结 CA1,BA1,可证 DF∥BA1,所以,有 DF // 平面 A1 ABB 1. 16、(I)因为 PA=PB,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 PE⊥AB, 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PE?平面 PAB,
4

所以 PE⊥平面 ABCD, 因为 AD?平面 ABCD, 所以 PE⊥AD. (II)依题意,有 CA=CB,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 CE⊥AB, 由(Ⅱ)可得 PE⊥AB, 所以 AB⊥平面 PEC, 又因为 AB?平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 PEC. 17、解:(1)因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为-3, 又因为点 T(-1,1)在直线 AD 上, 所以 AD 边所在的直线的方程为 y-1=-3(x+1),即 3x+y+2=0。 (2)依题意,得: 2a ? b ? 1 ? 0 , 原点与 ( a, b) 距离为 a 2 ? b2 = ? 5a2 ? 4a ? 1 ,最小值为 18、解析:(1)设圆心为 ( ).

5 5

由于圆与直线

相切,且半径为 ,所以,





.因为

为整数,故 . 即



故所求的圆的方程是 (2)直线

.代入圆的方程,消去 .由于直线 交圆于 ,解得 .

整理,得 两点, ,或 .

故 所以实数 的取值范围是

,即

(3)设符合条件的实数 存在,由(2)得 的方程为 由于 垂直平分弦 所以 所以存在实数 ,即 ,故圆心 ,解得 ,使得过点

,则直线 的斜率为 .



必在 上. .由于 , .

的直线 垂直平分弦

5

19(1) ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 (2)存在,P(5,-7) 20、解:(1)线段 AB 的中垂线方程为 x=0,线段 BC 的中垂线方程为 x+y-3=0.由此得外 接圆的圆心 H(0,3).半径 r=
2 2 故⊙H 的方程为 x +(y-3) =10.

.

设圆心 H 到直线 l 的距离为 d,则 d=

=3.

当直线 l 垂直 x 轴时,其方程为 x=3,此时与⊙H 的交点为(3,4)和(3,2),得弦长为 2,符合 题意. 当直线不垂直 x 轴时,可设 l 的方程为 y-2=k(x-3),由圆心 H 到直线的距离 d、半径、 半弦长构成直角三角形,得 此时直线 l 的方程为 4x-3y-6=0. 综上直线 l 的方程为 x=3 或 4x-3y-6=0. (2)直线 BH 的方程为 3x+y-3=0. 设 P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y), ∵点 M 是点 P,N 的中点, ∵M,N 都在半径为 r 的⊙C 上, =3.解得 k= .

∵关于 x,y 的方程组有解,即以 C(3,2)为圆

心,r 为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r 为半径的圆有公共点, 2 2 2 2 ∴(2r-r) ≤(m-3) +(n-2) ≤(2r+r) . 又∵3m+n-3=0, 2 ∴r2≤10m -12m+10≤9r2.
2 而 f(m) = 10m - 12m + 10 = 10 2



在 [0,1] 上的值域为

,故 r2≤



9r2≥10. 又线段 BH 与圆 C 无公共点.
2 2 2 2 ∴(m-3) +(3-3m-2) >r 对任意 m∈[0,1]恒成立,即 r <

.

因此得⊙C 的半径的取值范围是

6

7


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