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1.3《空间几何体的表面积与体积》


1.3.2 球的体积和表面积

1、球的体积 A

已知球的半径为R

A Ci C2 O

ri
O O.
R 2 r2 ? R ? ( ) , n 2R 2 2 r3 ? R ? ( ) , n
2

Bi B2

r1 ?

R ? R,
2

R 2 ri ? R ? [ (i ? 1)] , i ? 1,2?, n n
2

问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
R ?R i ?1 2 Vi ? ?ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1,2?, n n n n
2

R 2 ri ? R ? [ (i ? 1)] , i ? 1,2,?, n n 3
2

V半球 ? V1 ? V2 ? ?? Vn ?R 3 12 ? 22 ? ? ? (n ? 1) 2 ? [n ? ] 2 n n
?R 3 1 (n ? 1) ? n ? (2n ? 1) ? [n ? 2 ? ] n n 6 1 ( n ? 1)( 2n ? 1) 3 ? ?R [1 ? 2 ? ] n 6

4 定理:半径是R的球的体积 V ? ? R 3 3
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
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4 3 4 5 3 125 3 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm 3 3 2 6

变式1:一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球 的质量是 7.9 ? [ 4 ? ? ( 5 )3 ? 4 ? x 3 ] ? 142 3 2 3 5 3 142 ? 3 3 x ?( ) ? ? 11 .3 2 7.9 ? 4?
zxxkw

由计算器算得:

x ? 2.24 2 x ? 4.5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体
侧棱长为5cm

S侧 ? 6 ? 5 ? 150cm
2

2

1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来 的几倍? 8倍

2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.

32 3?

变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比.
zxxkw

作轴截面

例2、某街心花园有许多钢球(钢的密度 是7.9g/cm3),每个钢球重145kg,并且外 径等于50cm,试根据以上数据,判断钢 球是实心的还是空心的。如果是空的,请 你计算出它的内径(π取3.14,结果精确 到1cm)。

1.两种方法:化整为零的思想方法和“分割,求 和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 4 3 3.一个公式:半径为R的球的体积是V ? ? R

3

4.解决两类问题:两个几何体相切和相接
作适当的轴截面

两个几何体相切:一个几何体的各个面与另 一个几何体的各面相切. 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上

小结:
球面:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。

球(即球体):球面所围成的几何体。
zxxkw

它包括球面和球面所包围的空间。

4 3 半径是R的球的体积: V ? ?R 3
推导方法:

分割

求近似和

化为准确和

2、球的表面积
第一步:分割
球面被分割成n个网格, 表面积分别为:

?S1,?S 2,?S3 ...?S n
O 则球的表面积:

S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ... ? ?Sn

?Si
O

?Vi

?Vi 设“小锥体”的体积为: 则球的体积为: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

第二步:求近似和

?Si
?hi
O O

?Vi

1 ?Vi ? ?S i ?hi 3
由第一步得: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

1 1 1 1 V ? ?S1?h1 ? ?S 2 ?h2 ? ?S3?h3 ? ... ? ?S n ?hn 3 3 3 3

第三步:转化为球的表面积

?hi

?Si
?Vi

R
O

?Si
?Vi

如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 ?hi 的值就趋向于球的半径R 1 ? ?Vi ? ?S i R 3 1 1 1 1 V ? ?Si R ? ?S2 R ? ?S3 R ? ... ? ?Sn R 3 3 3 3 1 1 ? R( ?S i ? ?S 2 ? ?S3 ? ... ? ?S n ) ? RS 3 3 4 3 ② 球的体积: V ? ?R



由①② 得:

3

S ? 4πR

2

练习:

2倍。 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—

4 (2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的—倍。
:2 2 。 (3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是1 ———
(4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是———。

1: 3 4

例.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶 点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可 知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。

D A O D1 A1 B1 B

C A

D B O D1 A1 B1

C

略解:
Rt?B1 D1 D中 : B1 D ? 2 R,B1 D ? 2a 3 a 2

C1

C1

(2 R ) 2 ? a 2 ? ( 2a ) 2 , 得:R ? ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

? a2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——。
2 2 ? a 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=——。

关键: 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系


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