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2016高考数学专题复习导练测 第四章 第3讲 三角函数的图象与性质 理 新人教A版


第 3 讲 三角函数的图象与性质
一、选择题 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2 π 的奇函数 B.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数. 答案 C ).

? ?

π π ?? 2.已知函数 f(x)=sin(x+θ )+ 3cos(x+θ )?θ ∈?- , ??是偶函数,则 θ 的值为 ? ? 2 2 ??
( A.0 B. π 6 π C. 4 D. π 3 ).

π? π π ? 解析 据已知可得 f(x)=2sin?x+θ + ?,若函数为偶函数,则必有 θ + =kπ + 3? 3 2 ? π π π ? π π? (k∈Z),又由于 θ ∈?- , ?,故有 θ + = ,解得 θ = ,经代入检验符合题 3 2 6 ? 2 2? 意. 答案 B π? ?π 3.函数 y=2sin? x- ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 3? ?6 A.2- 3 解析 B.0 C.-1 D.-1- 3 ( ).

∵0≤x≤9,∴-

π? π π π 7π 3 ?π ≤ x- ≤ ,∴- ≤sin ? x- ? ≤1,∴- 3 3? 3 6 3 6 2 ?6

π? ?π ?π x π ? ≤2sin? x- ?≤2.∴函数 y=2sin? - ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 2- 6 3 3? ? ? ? 6 3. 答案 A 4.函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( A.2π 3π B. 2 C.π ). π D. 2

? π? 解析 依题意,得 f(x)=cos x+ 3sin x=2sin?x+ ?.故最小正周期为 2π . 6? ?
答案 A 5.函数 y=sin x+sin x-1 的值域为(
2

).
1

A.[-1,1]

? 5 ? B.?- ,-1? ? 4 ?
5? ? D.?-1, ? 4 ? ?
2 2

? 5 ? C.?- ,1? ? 4 ?

解析 (数形结合法)y=sin x+sin x-1, 令 sin x=t, 则有 y=t +t-1, t∈[-1,1], 1 画出函数图像如图所示,从图像可以看出,当 t=- 及 t=1 时,函数取最值,代入 y 2

? 5 ? 2 =t +t-1 可得 y∈?- ,1?. ? 4 ?

答案 C π 5π 6. 已知 ω >0,0<φ <π , 直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图象的两条相邻的 4 4 对称轴,则 φ = π A. 4 B. π 3 π C. 2 D. 3π 4 ( ).

解析 由题意可知函数 f(x)的周期 T=2×?

?5π -π ?=2π ,故 ω =1,∴f(x)=sin(x ? 4? ? 4

π π π +φ ),令 x+φ =kπ + (k∈Z),将 x= 代入可得 φ =kπ + (k∈Z),∵0<φ <π , 2 4 4 π ∴φ = . 4 答案 A 二、填空题 7.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 x

? π? ?5π ? ∈?0, ?时,f(x)=sin x,则 f? ?的值为________. 2? ? ? 3 ?
解析 f? 答案

?5π ?=f?-π ?=f?π ?=sin π = 3. ? ? ? ? ? 3 2 ? 3 ? ? 3? ?3?

3 2

? π? 2 2sin?x+ ?+2x +x 4? ? 8.函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=________. 2 2x +cos x
2

解析

(构造法)根据分子和分母同次的特点,把分子展开,得到部分分式,f(x)=1+

x+sin x ,f(x)-1 为奇函数,则 m-1=-(M-1),所以 M+m=2. 2 2x +cos x
答案 2 1 1 9.已知函数 f(x)= (sin x+cos x)- |sin x-cos x|,则 f(x)的值域是________. 2 2 1 1 解析 f(x)= (sin x+cos x)- |sin x-cos x| 2 2
? ?cos x?sin x≥cos x?, =? ?sin x?sin x<cos x?. ?

画出函数 f(x)的图象,可得函数的最小值为-1,最大值为 答案 ?-1,

2 2? ? ,故值域为?-1, ?. 2 2? ?

? ?

2? ? 2?

10.下列命题中: π ①α =2kπ + (k∈Z)是 tan α = 3的充分不必要条件; 3 ②函数 f(x)=|2cos x-1|的最小正周期是 π ; ③在△ABC 中,若 cos Acos B>sin Asin B,则△ABC 为钝角三角形; π ④若 a+b=0,则函数 y=asin x-bcos x 的图象的一条对称轴方程为 x= . 4 其中是真命题的序号为________. π 解析 ①∵α =2kπ + (k∈Z)? tan α = 3, 3 而 tan α = 3? / α =2kπ + π (k∈Z),∴①正确. 3

②∵f(x+π )=|2cos(x+π )-1| =|-2cos x-1|=|2cos x+1|≠f(x),∴②错误. ③∵cos Acos B>sin Asin B,∴cos Acos B-sin Asin B>0, π 即 cos(A+B)>0,∵0<A+B<π ,∴0<A+B< , 2 ∴C 为钝角,∴③正确.
3

④∵a+b=0,∴b=-a,

y=asin x-bcos x=asin x+acos x= 2asin?x+ ?, 4

? ?

π?

?

π ∴x= 是它的一条对称轴,∴④正确. 4 答案 ①③④ 三、解答题 11. 已知函数 f(x)=2sinxcosx-2sin x+1. (1)求函数 f(x)的最小正周期及值域; (2)求 f(x)的单调递增区间. π? ? 解 (1)f(x)=sin2x+cos2x= 2sin?2x+ ?, 4? ? 则函数 f(x)的最小正周期是 π , 函数 f(x)的值域是[- 2, 2]. π π π (2)依题意得 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 3π π 则 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 8 8 3π π? ? 即 f(x)的单调递增区间是?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 8 8? ? π? ? ? π? ? π? 12.已知函数 f(x)=cos?2x- ?+2sin?x- ?sin?x+ ?. 3? 4? ? 4? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴;
2

? π π? (2)求函数 f(x)在区间?- , ?上的值域. ? 12 2 ?
π? ? ? π? ? π? 解 (1)f(x)=cos?2x- ?+2sin?x- ?sin?x+ ? 3? 4? ? 4? ? ? 1 3 = cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 2 2 1 3 2 2 = cos 2x+ sin 2x+sin x-cos x 2 2 π? 1 3 ? = cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin?2x- ?. 6? 2 2 ? 2π π π ∴最小正周期 T= =π ,由 2x- =kπ + (k∈Z), 2 6 2 得 x=



π + (k∈Z). 2 3

4

∴函数图象的对称轴为 x=



π + (k∈Z). 2 3

π ? π 5π ? ? π π? (2)∵x∈?- , ?,∴2x- ∈?- , ?, 12 2 6 ? 6 ? 3 ? ? ∴- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1. 6? 2 ?

3 ? ? ? π π? 即函数 f(x)在区间?- , ?上的值域为?- ,1?. ? 12 2 ? ? 2 ? 13.已知函数 f(x)=cos?

?π +x?cos?π -x?,g(x)=1sin 2x-1. ? ?3 ? 2 4 ?3 ? ? ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合.

?π ? ?π ? 解 (1)∵f(x)=cos? +x?cos? -x? ?3 ? ?3 ?
3 3 ?1 ? ?1 ? =? cos x- sin x?·? cos x+ sin x? 2 2 ?2 ? ?2 ? 1 3 1+cos 2x 3-3cos 2x 2 2 = cos x- sin x= - 4 4 8 8 1 1 = cos 2x- , 2 4 2π ∴f(x)的最小正周期为 =π . 2 (2)由(1)知

h(x)=f(x)-g(x)= cos 2x- sin 2x=

1 2

1 2

π? 2 ? cos?2x+ ?, 4? 2 ?

π π 2 当 2x+ =2kπ (k∈Z),即 x=kπ - (k∈Z)时,h(x)取得最大值 .故 h(x)取得最 4 8 2 大值时,对应的 x 的集合为
? ? ? π ?x?x=kπ - ,k∈Z 8 ? ? ? ? ? ?. ? ?

π? ? ? π? 14.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b,当 x∈?0, ?时,-5≤f(x)≤1. 6? 2? ? ? (1)求常数 a,b 的值;

? π? (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?
π ? π 7π ? ? π? 解 (1)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?. 2? 6 ? 6 ?6 ?

5

π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?,又∵a >0, 6? ? 2 ? ? π? ? ∴-2asin?2x+ ?∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b], 6? ? 又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. π? ? (2)由(1)得 a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ?

g(x)=f?x+ ?=-4sin?2x+ ?-1 2? 6 ? ? ?
π? ? =4sin?2x+ ?-1, 6? ? 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π? π? 1 ? ? ∴4sin?2x+ ?-1>1,∴sin?2x+ ?> , 6? 6? 2 ? ? π π 5π ∴2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 π π π π 其中当 2kπ + <2x+ ≤2kπ + ,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ <x≤kπ + , 6 6 2 6

?

π?

?

7π ?

k∈Z,
π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ ,kπ + ?,k∈Z. 6? ? π π 5π π 又∵当 2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ + <x<kπ 2 6 6 6 π + ,k∈Z. 3 π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ? π? π π? ? ? 综上,g(x)的递增区间为?kπ ,kπ + ?(k∈Z);递减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈ 6 6 3? ? ? ? Z).

6


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