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黑龙江省哈六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


黑龙江省哈六中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 p:|x+1|≤4,q:x <5x﹣6,则 p 是 q 成立的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.

(5 分)已知下列命题: ①命题“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1” 2 2 ②命题 p:?x∈R,x +x+1≠0,则?p:?x∈R,x +x+1=0. ③若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 2 ④“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 其中,真命题的个数有() A.4 个 B. 3 个 C. 2 个 D.1 个 3. (5 分)已知命题 p:若 x>y,则﹣x<﹣y;命题 q:若 x>y,则 x >y ,在命题①p∧q; ②p∨q;③p∧(¬q) ;④(¬p)∨q 中,真命题是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4. (5 分)已知三棱锥的正视图与俯视图如图,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的 侧视图可能为()
2 2 2 2 2

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆) ,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的表面积是() (单位 cm)

A.6+2π
2

B.4+2π
2

C.6+3π

D.4+3π

6. (5 分)若椭圆 2kx +ky =1 的一个焦点是(0,﹣4) ,则 k 的值为() A. B. 8 C. D.32

7. (5 分)已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,若抛物线 C2:x =2py

2

(p>0)的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是() A. B. x =
2

y

C.x =8y

2

D.x =16y

2

8. (5 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为

30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)已知 F1、F2 分别是双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以坐标原点 O
2

为圆心,OF1 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P,则当△ PF1F2 的面积等于 a 时,双 曲线的离心率为() A. B. C. D.2

10. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1

与 C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

11. (5 分)双曲线

=1 与抛物线 x =8y 有一个公共焦点 F,双曲线上过点 F 且垂直实

2

轴的弦长为 A.2

,则双曲线的离心率等于() B. C. D.

12. (5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:

的左右焦点,以 F1F2

为直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P, 若双曲线的离心率为 5, 则 cos∠PF2F1 等于 () A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在机读卡上相应的位置. 13. (5 分)命题“?x∈R,2x ﹣3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为. 14. (5 分)已知三棱锥的三视图如图所示,则它的体积为.
2

15. (5 分)方程

所表示的曲线为 C,有下列命题:

①若曲线 C 为椭圆,则 2<t<4; ②若曲线 C 为双曲线,则 t>4 或 t<2; ③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t>4; 以上命题正确的是(填上所有正确命题的序号) .

16. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C:x =﹣2py(p>0)的焦点 F,点 M(p,yM) ∈C,若 M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,圆面积为 36π,则 p=.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (10 分)已知 p:|x﹣3|≤2,q: (x﹣m+1) (x﹣m﹣1)≤0,若非 p 是非 q 的充分而不必要 条件,求实数 m 的取值范围. 18. (12 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面

直角坐标系,直线 l 的参数方程为

为参数) .

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2) 设曲线 C 经过伸缩变换 的最小值. 得到曲线 C′, 设曲线 C′上任一点为 M (x, y) , 求

19. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
2 2

(t 为参数) ,直线

l 与曲线 C: (y﹣2) ﹣x =1 交于 A,B 两点; (1)求|AB|的长; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为(﹣2,2) ,求 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 20. (12 分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且 长度单位相同.曲线 C 的方程是 ρ=2 sin(θ﹣ ) ,直线 l 的参数方程为 (t

为参数,0≤a<π) ,设 P(1,2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点. (1)当 a=0 时,求|AB|的长度; 2 2 (2)求|PA| +|PB| 的取值范围. 21. (12 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M(﹣1,0) . (Ⅰ)求抛物线的方程,并写出焦点坐标; (Ⅱ)是否存在过焦点的直线 AB(直线与抛物线交于点 A,B) ,使得三角形 MAB 的面积 S△ MAB=4 ?若存在,请求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.
2

22. (12 分)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E

的右焦点,直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

黑龙江省哈六中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 2 1. (5 分)已知 p:|x+1|≤4,q:x <5x﹣6,则 p 是 q 成立的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 充要条件;一元二次不等式的解法. 分析: 通过解绝对值不等式化简命题 p;通过解二次不等式化简命题 q;由于 p,q 对应的 是数集, 故先判断出 p 对应的区间是 q 对应的区间的真子集, 判断出 p 是 q 成立的必要不充分 条件. 解答: 解:∵|x+1|≤4, ∴﹣5≤x≤3 即 p: , 2 ∵x <5x﹣6 ∴2<x<3,即 q: (2,3) . ∵(2,3)?, ∴p 是 q 的必要不充分条件. 故选 A. 点评: 判断一个命题是另一个命题的条件问题,应先化简各个命题、当两个命题都是数集 时,可将问题转化为集合的包含关系问题. 2. (5 分)已知下列命题: 2 2 ①命题“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1” 2 2 ②命题 p:?x∈R,x +x+1≠0,则?p:?x∈R,x +x+1=0. ③若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 ④“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 其中,真命题的个数有() A.4 个 B. 3 个 C. 2 个
2

D.1 个

考点: 命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;复合命题的真假;命题的否定; 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: ①根据逆否命题的意义即可得出; ②利用非命题的意义即可得出;

③若 p∨q 为真命题,则 p 与 q 至少有一个为真命题; ④由于 x>2?(x﹣1) (x﹣2)>0,而反之不成立,再利用充分必要条件即可判断出. 解答: 解:①根据逆否命题的意义可得:命题“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”,正确. 2 2 ②命题 p:?x∈R,x +x+1≠0,利用非命题的意义可得:?p:?x∈R,x +x+1=0,正确. ③若 p∨q 为真命题,则 p 与 q 至少有一个为真命题,因此③是假命题;
2 2 2

④∵x>2?(x﹣1) (x﹣2)>0,而反之不成立,∴“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条 件. 综上可知:只有①②④正确. 故选:B. 点评: 本题考查了简易逻辑的有关知识,属于基础题. 3. (5 分)已知命题 p:若 x>y,则﹣x<﹣y;命题 q:若 x>y,则 x >y ,在命题①p∧q; ②p∨q;③p∧(¬q) ;④(¬p)∨q 中,真命题是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结 论. 解答: 解:根据不等式的性质可知,若若 x>y,则﹣x<﹣y 成立,即 p 为真命题, 2 2 当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x >y 不成立,即命题 q 为假命题, 则①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q 为假命题, 故选:C. 点评: 本题主要考查复合命题之间的关系,根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假是 解决本题的关键,比较基础. 4. (5 分)已知三棱锥的正视图与俯视图如图,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的 侧视图可能为()
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 空间几何体的直观图.

分析: 利用俯视图与正视图,由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图. 解答: 解:由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为 2 的正三角形, 由正视图可知三棱锥的一 条侧棱垂直于底面,且其长度为 2 故其侧视图为直角边长为 2 和 的直角三角形, 故选 B. 点评: 本题主要考查空间几何体的直观图,以及学生的空间想象能力,是个基础题. 5. (5 分)已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆) ,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的表面积是() (单位 cm)

A.6+2π 考点: 专题: 分析: 解答:

B.4+2π

C.6+3π

D.4+3π

由三视图求面积、体积. 计算题. 由三视图知几何体为半个圆柱,根据三视图的数据求出各个面的面积,再相加. 解:由三视图知几何体为半个圆柱,圆柱的底面圆直径为 2,圆柱的高为 2,
2

∴几何体的表面积=S 侧+S 底=2×π×1+2×2+2× ×π×1 =4+3π. 故选 D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状及相关数 据所对应的几何量. 6. (5 分)若椭圆 2kx +ky =1 的一个焦点 是(0,﹣4) ,则 k 的值为() A. B. 8 C. D.32
2 2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先椭圆方程化为标准方程 求 K. 解答: 解:由题意得, ,从而 , ,易知 ,从而 ,可

解得 故选 A.



点评: 本题解题的关键是将方程化为标准方程,搞清几何量,从而求出参数的值.

7. (5 分)已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,若抛物线 C2:x =2py

2

(p>0)的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是() A. B. x =
2

y

C.x =8y

2

D.x =16y

2

考点: 抛物线的简单性质;点到直线的距离公式;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的离心率推出 a,b 的关系,求出抛物线的焦点坐标,通过点到直线的距 离求出 p,即可得到抛物线的方程. 解答: 解:双曲线 C1: 的离心率 为 2.

所以

,即:

=4,所以

;双曲线的渐近线方程为:

抛物线

的焦点(0, )到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,

所以 2=
2

,因为

,所以 p=8.

抛物线 C2 的方程为 x =16y. 故选 D. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,点到直线的距离公式,双曲线的简单性质,考查计算 能力.

8. (5 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为

30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质.

专题: 计算题. 分析: 先在 Rt△ MF1F2 中,利用∠MF1F2 和 F1F2 求得 MF1 和 MF2,进而根据双曲线的定义 求得 a,最后根据 a 和 c 求得离心率. 解答: 解:如图在 Rt△ MF1F2 中,∠MF1F2=30°,F1F2=2c ∴ ∴ ∴ , ,

故选 B. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,属基础题.

9. (5 分)已知 F1、F2 分别是双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以坐标原点 O
2

为圆心,OF1 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P,则当△ PF1F2 的面积等于 a 时,双 曲线的离心率为() A. B. C. D.2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先设 F1F2=2c,由题意知△ F 1F2P 是直角三角形,进而在 RT△ PF1F2 中结合双曲线的 定义和△ PF1F2 的面积,进而根据双曲线的简单性质求得 a,c 之间的关系,则双曲线的离心 率可得. 解答: 解:设 F1F2=2c,由题意知△ F1F2P 是直角三角形, 2 2 2 ∴F1P +F2P =F1F2 , 又根据曲线的定义得: F1P﹣F2P=2a, 2 2 2 平方得:F1P +F2P ﹣2F1P×F2P=4a 2 2 从而得出 F1F2 ﹣2F1P×F2P=4a 2 2 ∴F1P×F2P=2(c ﹣a ) 2 又当△ PF1F2 的面积等于 a 即 F1P×F2P=a
2 2 2

2(c ﹣a )=a ∴c=

2

a, .

∴双曲线的离心率 e= =

故选 A. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生综合分析问题和数形结合的思想 的 运用.属基础题.

10. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1

与 C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出 ab 关系,即可求解双曲线的渐近线方程. 解答: 解:a>b>0,椭圆 C1 的方程为 + =1,C1 的离心率为: ,

双曲线 C2 的方程为



=1,C2 的离心率为:



∵C1 与 C2 的离心率之积为









= ,

, ,即 x± y=0.

C2 的渐近线方程为:y=

故选:A. 点评: 本题考查椭圆与双曲线的基本性质,离心率以及渐近线方程的求法,基本知识的考 查.

11. (5 分)双曲线

=1 与抛物线 x =8y 有一个公共焦点 F,双曲线上过点 F 且垂直实

2

轴的弦长为 A.2

,则双曲线的离心率等于() B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出抛物线的焦点,可得双曲线的一个焦点坐标,再利用过点 F 且垂直于实轴的 弦长为 ,求出 a,即可求得双曲线的离心率.
2

解答: 解:抛物线 x =8y 的焦点坐标为(0,2) ,∴双曲线的一个焦点为(0,2) .

令 y=2,代入双曲线,可得

,∴x=±



∵过点 F 且垂直于实轴的弦长为





=

,∴ , .

=



∵a>0,∴a= ∴e= = =

故选:B. 点评: 本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的离心率,考查学生的计算能力,正确求 弦长是关键.

12. (5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:

的左右焦点,以 F1F2

为直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P, 若双曲线的离心率为 5, 则 cos∠PF2F1 等于 () A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|PF1|=n,|PF2|=m,则由双曲线的定义可得 m﹣n=2a ①,再由 m +n =4c ②,以 及 =5 可得 m=8a,故 cos∠PF2F1 = = ,运算求得结果.
2 2 2

解答: 解:设|PF1|=n,|PF2|=m,则由双曲线的定义可得 m﹣n=2a ①,且三角形 PF1F2 为直 角三角形, 故有 m +n =4c ②.再由 =5 可得 c=5a.
2 2 2

把①和②联立方程组解得 m=8a,故 cos∠PF2F1 =