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黑龙江省哈六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


黑龙江省哈六中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 p:|x+1|≤4,q:x <5x﹣6,则 p 是 q 成立的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.

(5 分)已知下列命题: ①命题“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1” 2 2 ②命题 p:?x∈R,x +x+1≠0,则?p:?x∈R,x +x+1=0. ③若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 2 ④“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 其中,真命题的个数有() A.4 个 B. 3 个 C. 2 个 D.1 个 3. (5 分)已知命题 p:若 x>y,则﹣x<﹣y;命题 q:若 x>y,则 x >y ,在命题①p∧q; ②p∨q;③p∧(¬q) ;④(¬p)∨q 中,真命题是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4. (5 分)已知三棱锥的正视图与俯视图如图,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的 侧视图可能为()
2 2 2 2 2

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆) ,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的表面积是() (单位 cm)

A.6+2π
2

B.4+2π
2

C.6+3π

D.4+3π

6. (5 分)若椭圆 2kx +ky =1 的一个焦点是(0,﹣4) ,则 k 的值为() A. B. 8 C. D.32

7. (5 分)已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,若抛物线 C2:x =2py

2

(p>0)的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是() A. B. x =
2

y

C.x =8y

2

D.x =16y

2

8. (5 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为

30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)已知 F1、F2 分别是双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以坐标原点 O
2

为圆心,OF1 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P,则当△ PF1F2 的面积等于 a 时,双 曲线的离心率为() A. B. C. D.2

10. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1

与 C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

11. (5 分)双曲线

=1 与抛物线 x =8y 有一个公共焦点 F,双曲线上过点 F 且垂直实

2

轴的弦长为 A.2

,则双曲线的离心率等于() B. C. D.

12. (5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:

的左右焦点,以 F1F2

为直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P, 若双曲线的离心率为 5, 则 cos∠PF2F1 等于 () A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在机读卡上相应的位置. 13. (5 分)命题“?x∈R,2x ﹣3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为. 14. (5 分)已知三棱锥的三视图如图所示,则它的体积为.
2

15. (5 分)方程

所表示的曲线为 C,有下列命题:

①若曲线 C 为椭圆,则 2<t<4; ②若曲线 C 为双曲线,则 t>4 或 t<2; ③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t>4; 以上命题正确的是(填上所有正确命题的序号) .

16. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C:x =﹣2py(p>0)的焦点 F,点 M(p,yM) ∈C,若 M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,圆面积为 36π,则 p=.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (10 分)已知 p:|x﹣3|≤2,q: (x﹣m+1) (x﹣m﹣1)≤0,若非 p 是非 q 的充分而不必要 条件,求实数 m 的取值范围. 18. (12 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面

直角坐标系,直线 l 的参数方程为

为参数) .

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2) 设曲线 C 经过伸缩变换 的最小值. 得到曲线 C′, 设曲线 C′上任一点为 M (x, y) , 求

19. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
2 2

(t 为参数) ,直线

l 与曲线 C: (y﹣2) ﹣x =1 交于 A,B 两点; (1)求|AB|的长; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为(﹣2,2) ,求 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 20. (12 分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且 长度单位相同.曲线 C 的方程是 ρ=2 sin(θ﹣ ) ,直线 l 的参数方程为 (t

为参数,0≤a<π) ,设 P(1,2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点. (1)当 a=0 时,求|AB|的长度; 2 2 (2)求|PA| +|PB| 的取值范围. 21. (12 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M(﹣1,0) . (Ⅰ)求抛物线的方程,并写出焦点坐标; (Ⅱ)是否存在过焦点的直线 AB(直线与抛物线交于点 A,B) ,使得三角形 MAB 的面积 S△ MAB=4 ?若存在,请求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.
2

22. (12 分)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E

的右焦点,直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

黑龙江省哈六中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 2 1. (5 分)已知 p:|x+1|≤4,q:x <5x﹣6,则 p 是 q 成立的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 充要条件;一元二次不等式的解法. 分析: 通过解绝对值不等式化简命题 p;通过解二次不等式化简命题 q;由于 p,q 对应的 是数集, 故先判断出 p 对应的区间是 q 对应的区间的真子集, 判断出 p 是 q 成立的必要不充分 条件. 解答: 解:∵|x+1|≤4, ∴﹣5≤x≤3 即 p: , 2 ∵x <5x﹣6 ∴2<x<3,即 q: (2,3) . ∵(2,3)?, ∴p 是 q 的必要不充分条件. 故选 A. 点评: 判断一个命题是另一个命题的条件问题,应先化简各个命题、当两个命题都是数集 时,可将问题转化为集合的包含关系问题. 2. (5 分)已知下列命题: 2 2 ①命题“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1” 2 2 ②命题 p:?x∈R,x +x+1≠0,则?p:?x∈R,x +x+1=0. ③若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 ④“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 其中,真命题的个数有() A.4 个 B. 3 个 C. 2 个
2

D.1 个

考点: 命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;复合命题的真假;命题的否定; 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: ①根据逆否命题的意义即可得出; ②利用非命题的意义即可得出;

③若 p∨q 为真命题,则 p 与 q 至少有一个为真命题; ④由于 x>2?(x﹣1) (x﹣2)>0,而反之不成立,再利用充分必要条件即可判断出. 解答: 解:①根据逆否命题的意义可得:命题“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”,正确. 2 2 ②命题 p:?x∈R,x +x+1≠0,利用非命题的意义可得:?p:?x∈R,x +x+1=0,正确. ③若 p∨q 为真命题,则 p 与 q 至少有一个为真命题,因此③是假命题;
2 2 2

④∵x>2?(x﹣1) (x﹣2)>0,而反之不成立,∴“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条 件. 综上可知:只有①②④正确. 故选:B. 点评: 本题考查了简易逻辑的有关知识,属于基础题. 3. (5 分)已知命题 p:若 x>y,则﹣x<﹣y;命题 q:若 x>y,则 x >y ,在命题①p∧q; ②p∨q;③p∧(¬q) ;④(¬p)∨q 中,真命题是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结 论. 解答: 解:根据不等式的性质可知,若若 x>y,则﹣x<﹣y 成立,即 p 为真命题, 2 2 当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x >y 不成立,即命题 q 为假命题, 则①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q 为假命题, 故选:C. 点评: 本题主要考查复合命题之间的关系,根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假是 解决本题的关键,比较基础. 4. (5 分)已知三棱锥的正视图与俯视图如图,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的 侧视图可能为()
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 空间几何体的直观图.

分析: 利用俯视图与正视图,由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图. 解答: 解:由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为 2 的正三角形, 由正视图可知三棱锥的一 条侧棱垂直于底面,且其长度为 2 故其侧视图为直角边长为 2 和 的直角三角形, 故选 B. 点评: 本题主要考查空间几何体的直观图,以及学生的空间想象能力,是个基础题. 5. (5 分)已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆) ,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的表面积是() (单位 cm)

A.6+2π 考点: 专题: 分析: 解答:

B.4+2π

C.6+3π

D.4+3π

由三视图求面积、体积. 计算题. 由三视图知几何体为半个圆柱,根据三视图的数据求出各个面的面积,再相加. 解:由三视图知几何体为半个圆柱,圆柱的底面圆直径为 2,圆柱的高为 2,
2

∴几何体的表面积=S 侧+S 底=2×π×1+2×2+2× ×π×1 =4+3π. 故选 D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状及相关数 据所对应的几何量. 6. (5 分)若椭圆 2kx +ky =1 的一个焦点 是(0,﹣4) ,则 k 的值为() A. B. 8 C. D.32
2 2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先椭圆方程化为标准方程 求 K. 解答: 解:由题意得, ,从而 , ,易知 ,从而 ,可

解得 故选 A.



点评: 本题解题的关键是将方程化为标准方程,搞清几何量,从而求出参数的值.

7. (5 分)已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,若抛物线 C2:x =2py

2

(p>0)的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是() A. B. x =
2

y

C.x =8y

2

D.x =16y

2

考点: 抛物线的简单性质;点到直线的距离公式;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的离心率推出 a,b 的关系,求出抛物线的焦点坐标,通过点到直线的距 离求出 p,即可得到抛物线的方程. 解答: 解:双曲线 C1: 的离心率 为 2.

所以

,即:

=4,所以

;双曲线的渐近线方程为:

抛物线

的焦点(0, )到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,

所以 2=
2

,因为

,所以 p=8.

抛物线 C2 的方程为 x =16y. 故选 D. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,点到直线的距离公式,双曲线的简单性质,考查计算 能力.

8. (5 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为

30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质.

专题: 计算题. 分析: 先在 Rt△ MF1F2 中,利用∠MF1F2 和 F1F2 求得 MF1 和 MF2,进而根据双曲线的定义 求得 a,最后根据 a 和 c 求得离心率. 解答: 解:如图在 Rt△ MF1F2 中,∠MF1F2=30°,F1F2=2c ∴ ∴ ∴ , ,

故选 B. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,属基础题.

9. (5 分)已知 F1、F2 分别是双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以坐标原点 O
2

为圆心,OF1 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P,则当△ PF1F2 的面积等于 a 时,双 曲线的离心率为() A. B. C. D.2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先设 F1F2=2c,由题意知△ F 1F2P 是直角三角形,进而在 RT△ PF1F2 中结合双曲线的 定义和△ PF1F2 的面积,进而根据双曲线的简单性质求得 a,c 之间的关系,则双曲线的离心 率可得. 解答: 解:设 F1F2=2c,由题意知△ F1F2P 是直角三角形, 2 2 2 ∴F1P +F2P =F1F2 , 又根据曲线的定义得: F1P﹣F2P=2a, 2 2 2 平方得:F1P +F2P ﹣2F1P×F2P=4a 2 2 从而得出 F1F2 ﹣2F1P×F2P=4a 2 2 ∴F1P×F2P=2(c ﹣a ) 2 又当△ PF1F2 的面积等于 a 即 F1P×F2P=a
2 2 2

2(c ﹣a )=a ∴c=

2

a, .

∴双曲线的离心率 e= =

故选 A. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生综合分析问题和数形结合的思想 的 运用.属基础题.

10. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1

与 C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出 ab 关系,即可求解双曲线的渐近线方程. 解答: 解:a>b>0,椭圆 C1 的方程为 + =1,C1 的离心率为: ,

双曲线 C2 的方程为



=1,C2 的离心率为:



∵C1 与 C2 的离心率之积为









= ,

, ,即 x± y=0.

C2 的渐近线方程为:y=

故选:A. 点评: 本题考查椭圆与双曲线的基本性质,离心率以及渐近线方程的求法,基本知识的考 查.

11. (5 分)双曲线

=1 与抛物线 x =8y 有一个公共焦点 F,双曲线上过点 F 且垂直实

2

轴的弦长为 A.2

,则双曲线的离心率等于() B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出抛物线的焦点,可得双曲线的一个焦点坐标,再利用过点 F 且垂直于实轴的 弦长为 ,求出 a,即可求得双曲线的离心率.
2

解答: 解:抛物线 x =8y 的焦点坐标为(0,2) ,∴双曲线的一个焦点为(0,2) .

令 y=2,代入双曲线,可得

,∴x=±



∵过点 F 且垂直于实轴的弦长为





=

,∴ , .

=



∵a>0,∴a= ∴e= = =

故选:B. 点评: 本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的离心率,考查学生的计算能力,正确求 弦长是关键.

12. (5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:

的左右焦点,以 F1F2

为直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P, 若双曲线的离心率为 5, 则 cos∠PF2F1 等于 () A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|PF1|=n,|PF2|=m,则由双曲线的定义可得 m﹣n=2a ①,再由 m +n =4c ②,以 及 =5 可得 m=8a,故 cos∠PF2F1 = = ,运算求得结果.
2 2 2

解答: 解:设|PF1|=n,|PF2|=m,则由双曲线的定义可得 m﹣n=2a ①,且三角形 PF1F2 为直 角三角形, 故有 m +n =4c ②.再由 =5 可得 c=5a.
2 2 2

把①和②联立方程组解得 m=8a,故 cos∠PF2F1 =

=

=

= ,

故选 C. 点评: 本题主要考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档 题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在机读卡上相应的位置. 2 13. (5 分)命题“?x∈R,2x ﹣3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为. 考点: 命题的真假判断与应用;函数恒成立问题.

分析: 根据题意,原命题的否定“?x∈R,2x ﹣3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立” 问题,只需△ ≤0. 解答: 解:原命题的否定为“?x∈R,2x ﹣3ax+9≥0”,且为真命题, 则开口向上的二次函数值要想大于等于 0 恒成立, 2 只需△ =9a ﹣4×2×9≤0,解得:﹣2 ≤a≤2 . 故答案为: 点评: 存在性问题在解决问题时一般不好掌握,若考虑不周全、或稍有不慎就会出错.所 以,可以采用数学上正难则反的思想,去从它的反面即否命题去判定.注意“恒成立”条件的使 用.
2

2

14. (5 分)已知三棱锥的三视图如图所示,则它的体积为



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 三视图复原的几何体是放倒的三棱锥,根据三视图的数据,求出几何体的底面积和 高,代入体积公式即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是以俯视图为底面的三棱锥, 底面面积为: × 棱锥的高为:1, 故棱锥体积为: ×1× 故答案为: 点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图,几何体的体积的求法,准确判断几何体的形 状是解题的关键. = , ×1= ,

15. (5 分)方程

所表示的曲线为 C,有下列命题:

①若曲线 C 为椭圆,则 2<t<4; ②若曲线 C 为双曲线,则 t>4 或 t<2; ③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t>4; 以上命题正确的是②④(填上所有正确命题的序号) . 考点: 圆锥曲线的共同特征.

专题: 计算题. 分析: 据椭圆方程的特点列出不等式求出 t 的范围判断出①错,据双曲线方程的特点列出 不等式求出 t 的范围,判断出②对;据圆方程的特点列出方程求出 t 的值,判断出③错;据 双曲线方程的特点列出不等式求出 t 的范围,判断出④对. 解答: 解:①若 C 为椭圆应该满足 即 2<t<4 且 t≠3,故①错;

②若 C 为双曲线应该满足(4﹣t) (t﹣2)<0 即 t>4 或 t<2 故②对; ③当 4﹣t=t﹣2 即 t=3 表示圆,故③错; ④若 C 表示双曲线,且焦点在 y 轴上应该满足 t﹣2>0,t﹣4>0 则 t>4,故④对 综上知②④正确 故答案为②④. 点评: 椭圆方程的形式:焦点在 x 轴时 ,焦点在 y 轴时

;双曲线的方程形式:焦点在 x 轴时

;焦点在 y 轴时

16. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C:x =﹣2py(p>0)的焦点 F,点 M(p,yM) ∈C,若 M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,圆面积为 36π,则 p=6. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出圆的半径,M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,可得 M 到准线的距离为 6,再 结合 M(p,yM)∈C,即可求出 p 的值. 解答: 解:∵圆面积为 36π, ∴圆的半径为 6, ∵M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切, ∴M 到准线的距离为 6, ∴ ﹣yM=6, ∵M(p,yM)∈C, ∴yM=﹣ , ∴p=6, 故答案为:6. 点评: 本题考查抛物线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.

2

17. (10 分)已知 p:|x﹣3|≤2,q: (x﹣m+1) (x﹣m﹣1)≤0,若非 p 是非 q 的充分而不必要 条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 充分条件. 专题: 计算题. 分析: 通过解绝对值不等式化简命题 p,求出非 p;通过解二次不等式化简命题 q,求出非 q;通过非 p 是非 q 的充分而不必要条件得到两个条件端点值的大小关系,求出 m 的范围. 解答: 解:由题意 p:﹣2≤x﹣3≤2, ∴1≤x≤5. ∴非 p:x<1 或 x>5. q:m﹣1≤x≤m+1, ∴非 q:x<m﹣1 或 x>m+1. 又∵非 p 是非 q 的充分而不必要条件,∴ ∴2<m<4 点评: 本题考查绝对值不等式的解法、二次不等式的解法、将条件问题转化为端点值的关 系问题. 18. (12 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面

直角坐标系,直线 l 的参数方程为

为参数) .

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2) 设曲线 C 经过伸缩变换 的最小值. 考点: 参数方程化成普通方程;伸缩变换;简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐 标的互化. 专题: 计算题;压轴题. 2 2 2 分析: (1)利用 ρ =x +y ,将 ρ=1 转化成直角坐标方程,然后将直线的参数方程的上式化 简成 t=2(x﹣1)代入下式消去参数 t 即可; (2)根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程,然后利用参数方程表示出曲线上任意一点, 代入 ,根据三角函数的辅助角公式求出最小值. 得到曲线 C′, 设曲线 C′上任一点为 M (x, y) , 求

解答: 解: (1)直线 l 的参数方程为

为参数) .

由上式化简成 t=2(x﹣1)代入下式得 2 2 2 2 2 根据 ρ =x +y ,进行化简得 C:x +y =1(2 分)

(2)∵

代入 C 得∴

(5 分)

设椭圆的参数方程 则

为参数) (7 分) (9 分)

则 的最小值为﹣4. (10 分) 点评: 本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程,以及利用 椭圆的参数方程求最值问题,属于基础题.

19. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
2 2

(t 为参数) ,直线

l 与曲线 C: (y﹣2) ﹣x =1 交于 A,B 两点; (1)求|AB|的长; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为(﹣2,2) ,求 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: (1)直线 l 的参数方程为标准型

(t 为参数) ,代入曲线 C 的方程,利

用参数的几何意义即可得出. (2) 点 P 在直线 l 上, 中点 M 对应参数为 =﹣2, 利用参数 t 几何意义,即可得出|PM|.

解答: 解: (1)直线 l 的参数方程为标准型
2

(t 为参数) ,

代入曲线 C 方程得 t +4t﹣10=0,设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=﹣4,t1t2=﹣10, ∴|AB|=|t1﹣t2|=2 . (2)点 P 在直线 l 上,中点 M 对应参数为 =﹣2,

由参数 t 几何意义, ∴点 P 到线段 AB 中点 M 的距离|PM|=2. 点评: 本题考查了曲线的参数方程及几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (12 分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且 长度单位相同.曲线 C 的方程是 ρ=2 sin(θ﹣ ) ,直线 l 的参数方程为 (t

为参数,0≤a<π) ,设 P(1,2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点. (1)当 a=0 时,求|AB|的长度; 2 2 (2)求|PA| +|PB| 的取值范围. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)把极坐标方程化为直角坐标方程,联立即可得出; 2 (2)设 t1,t2 为相应参数值 t +(4cosα+2sinα)t+3=0,△ >0,利用根与系数的关系可得 |PA| +|PB| =
2 2

即可得出. sin(θ﹣ , ) ,化为

解答: 解: (1)曲线 C 的方程是 ρ=2

化为 ρ =2ρsinθ﹣2ρcosθ, 2 2 ∴x +y =2y﹣2x, 2 2 曲线 C 的方程为(x+1) +(y﹣1) =2. 当 α=0 时,直线 l:y=2, 代入曲线 C 可得 x+1=±1.解得 x=0 或﹣2. ∴|AB|=2. 2 (2)设 t1,t2 为相应参数值 t +(4cosα+2sinα)t+3=0,△ >0, ∴ ≤1,

2

∴t1+t2=﹣(4cosα+2sinα) ,t1t2=3. ∴|PA| +|PB| =
2 2 2 2

=(4cosα+2sinα) ﹣8=20sin (α+φ)﹣6,

2

2

∴|PA| +|PB| ∈(6,14]. 点评: 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系、参 数的几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 21. (12 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M(﹣1,0) . (Ⅰ)求抛物线的方程,并写出焦点坐标; (Ⅱ)是否存在过焦点的直线 AB(直线与抛物线交于点 A,B) ,使得三角形 MAB 的面积 S△ MAB=4 ?若存在,请求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件 得 ,由此能求出抛物线方程和抛物线焦点坐标.
2

(Ⅱ)法一:由题意,设 AB:x=ty+1,并与 y =4x 联立,得到方程:y ﹣4ty﹣4=0,设 A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,由 S△ MAB=S△ MAF+S△ MBS= |MF|?(|y1|+|y2|) ,能求出直线 AB 的方程. (Ⅱ)法二:设 AB:y=k(x﹣1) (k≠0) ,并与 y =4x 联立,得到方程:k x ﹣(2k +4)x+k =0, 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , |AB|= , 点 M 到直线 AB 的距离为的 d, 由 |AB|?d,
2 2 2 2 2

2

2

能求出直线 AB 的方程. 2 解答: (Ⅰ)解:∵抛物线 y =2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M(﹣1,0) , ∴ 解得 p=2, ∴抛物线方程为 y =4x, 抛物线焦点坐标为 F(1,0) .…(4 分) 2 (Ⅱ)解法一:由题意,设 AB:x=ty+1,并与 y =4x 联立, 2 得到方程:y ﹣4ty﹣4=0,…(6 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=4t,y1?y2=﹣4.…(7 分) S△ MAB=S△ MAF+S△ MBS = |MF|?(|y1|+|y2|) , ∵y1?y2<0,∴|y1|+|y 2|= 又|MF|=2,∴ 解得 t=±1,…(11 分) 故直线 AB 的方程为:x=±y+1. 即 x+y﹣1=0 或 x﹣y﹣1=0.…(12 分) (Ⅱ)解法二:当 AB⊥x 轴时,|AB|=2p=4, S△ MAB= |MF|?|AB|= =4,不符合题意.…(5 分)
2 2



= ,…(10 分)

,…(9 分)

∴设 AB:y=k(x﹣1) (k≠0) ,并与 y =4x 联立, 2 2 2 2 得到方程:k x ﹣(2k +4)x+k =0,…(6 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ,x1x2=1.…7 分

|AB|=x1+x2+p=



点 M 到直线 AB 的距离为

,…(9 分)



|AB|?d

=

=

=

,…(10 分)

解得 k=±1,…(11 分) 故直线 AB 的方程为:y=±(x﹣1) .即 x+y﹣1=0 或 x﹣y﹣1=0.…(12 分) 点评: 本题考查抛物线的方程和焦点坐标的求法,考查直线方程的求法,解题时要认真审 题,注意函数与方程思想的合理运用.

22. (12 分)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E

的右焦点,直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设 F(c,0) ,利用直线的斜率公式可得
2

,可得 c.又

,b =a ﹣

2

2

c ,即可解得 a,b; (Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2.与椭圆的方程联 立可得根与系数的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可 得出 S△ OPQ.通过换元再利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)设 F(c,0) ,∵直线 AF 的斜率为 ∴ 又 ,解得 c=
2 2 2





,b =a ﹣c ,解得 a=2,b=1. ;

∴椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2. 联立
2 2


2

化为(1+4k )x ﹣16kx+12=0,当△ =16(4k ﹣3)>0 时,即 , .

时,

∴|PQ|=

=

=



点 O 到直线 l 的距离 d=



∴S△ OPQ= 设 ∴

=
2 2



>0,则 4k =t +3, = =1,当且仅当 t=2,即 ,解得 时取等号.

满足△ >0,∴△OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为:



点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根 与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质 等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了换元法和转化方法,属于难 题.


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