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【名师金典】(教师用书)2016版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数


第三章
第一节

三角函数

任意角、弧度制及任意角的三角函数

[考情展望] 1.利用三角函数的定义求三角函数值.2.考查三角函数值符号的确定.

一、角的有关概念 1.从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角. 2.从终边位置来看,可分为象限角与轴线角. 3.若 β 与 α 是终边相同的

角,则 β 用 α 表示为 β =2kπ +α (k∈Z). 二、弧度与角度的互化 1.1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 2.角 α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度数的绝对值是|α | = . π ?180? 3.角度与弧度的换算①1°= rad;②1 rad=? ?°. 180 ?π ? 4.弧长、扇形面积的公式 1 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α (rad),半径为 r,则 l=rα ,扇形的面积为 S= 2

l r

lr= r2α .

1 2

角度制与弧度制不可混用 角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必 须一致,不可混用. 三、任意角的三角函数 1 定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 sin α =y,cos

1

α =x,tan α = . 2.几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦线的起点都在 x 轴上, 余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).

y x

三角函数值符号记忆口诀 记忆技巧:一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正).即第一象限全为正,第二象限正 弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.

1.给出下列四个命题: 3π 4π ①- 是第二象限角;② 是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第 4 3 一象限角.其中正确的命题有 ( A.1 个 【答案】 C 2.已知角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α =( A. 5 5 5 5 2 5 B. 5 2 5 D.- 5 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

C.-

【答案】 B 3.若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 【答案】 C 4.弧长为 3π ,圆心角为 135°的扇形半径为________,面积为________. 【答案】 4 6π ) B.第二象限角 D.第四象限角

2

5.(2012?江西高考)下列函数中,与函数 y=

1 3

定义域相同的函数为(

)

x
ln x B.y=

A.y=

1 sin x
x

x

C.y=xe

sin x D.y=

x

【答案】 D 6.(2014?大纲全国卷)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =( A. 4 5 B. 3 5 )

3 C.- 5 【答案】 D

4 D.- 5

3

考向一 [047] 角的集合表示及象限角的判定 (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; α (2)已知 α 是第三象限角,求 所在的象限. 2 【 尝 试 解 答 】
? ? ?α ? ? ? ? ?α ? ?

(1) 当 角 的 终 边 在 第 一 象 限 时 , 角 的 集 合 为
? ? ? , 当 角 的 终 边 在 第 三 象 限 时 , 角 的 集 合 为 ? ? ? ? ?,故所求角的集合为 ? ? ? ? ? ? ?∪?α ? ? ? ? ? ? ?. ? ?

?α =2kπ +π ,k∈Z ? 3 ? ?α =2kπ +4π ,k∈Z ? 3 ?
? ? ?α ? ?

?α =2kπ +π ,k∈Z ? 3 ?

?α =2kπ +4π ,k∈Z ? 3 ?

? ? ? ? ?

? ? π ? =?α ?α =kπ + ,k∈Z 3 ? ? ?

3 π α 3 (2)∵2kπ +π <α <2kπ + π (k∈Z),∴kπ + < <kπ + π (k∈Z). 2 2 2 4 当 k=2n(n∈Z)时,2nπ + π α 3 α < <2nπ + π , 是第二象限角, 2 2 4 2

3π α 7 α 当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ + < <2nπ + π , 是第四象限角,综上知,当 α 2 2 4 2 α 是第三象限角时, 是第二或第四象限角., 2 规律方法 1 1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限,一般是先将角化为 2kπ + α (0≤α <2π )(k∈Z)的形式,然后再根据 α 所在的象限予以判断. 2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相 同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. 对点训练 若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 【答案】 A
4

) B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

考向二 [048] 扇形的弧长及面积公式 已知扇形的圆心角是 α ,半径为 R,弧长为 l. (1)若 α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l. (2)若扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度时,这个扇形的面积最大? π (3)若 α = ,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 3 π 10π 【尝试解答】 (1)l=10? = (cm). 3 3 (2)由已知得:l+2R=20, 1 1 2 2 所以 S= lR= (20-2R)R=10R-R =-(R-5) +25,所以 R=5 时,S 取得最大值 25, 2 2 此时 l=10,α =2 rad. 2π (3)设弓形面积为 S 弓.由题知 l= cm, 3

S 弓=S 扇-S△= ?

1 2

2π 1 π ? 2π 2 - 3? ?2- ?2 ?sin =? ?(cm2). 3 2 3 ? 3 ?

规律方法 2 1.利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. 2.本题把求扇形面积最大值的问题,转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题 得到解决,这是解决此类问题的常用方法. 3.在解决弧长问题和扇形面积问题时,要注意合理地利用圆心角所在的三角形. 对点训练 已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10, (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 【解】 (1)在△AOB 中,AB=OA=OB=10, π ∴△AOB 为等边三角形.因此弦 AB 所对的圆心角 α = . 3 (2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得

l=α ?R= ?10= π ,S 扇形= R?l= α ?R2=
1 π 又 S△AOB= ?OA?OB?sin =25 3. 2 3 3? ?π ∴弓形的面积 S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. 3 2 ? ? 考向三 [049] 三角函数的定义

π 3

10 3

1 2

1 2

50π . 3

5

4 (1)已知角 α 的终边经过点 P(m, -3), 且 cos α =- , 则 m 等于( 5 11 A.- 4 【答案】 C (2)已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值. 【尝试解答】 在直线 3x+4y=0 上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t, ∴r=|PO|= x +y = ?4t? +?-3t? =5|t|, 当 t>0 时,r=5t, sin α = = tan α = =
2 2 2 2

)

11 B. 4

C.-4

D.4

y -3t 3 x 4t 4 =- ,cos α = = = , r 5t 5 r 5t 5 y -3t 3 =- ; x 4t 4

y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α = = = , r -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cos α = = =- ,tan α = = =- . r -5t 5 x 4t 4
3 4 3 综上可知,当 t>0 时,sin α =- ,cos α = ,tan α =- . 5 5 4 3 4 3 当 t<0 时,sin α = ,cos α =- ,tan α =- ., 5 5 4 规律方法 3 定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后利用三角函 数的定义求解. (2)已知角 α 的终边所在的直线方程, 则可先设出终边上一点的坐标, 求出此点到原点 的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写 出角 α 的三角函数值. 对点训练 设 90°<α <180°,角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cos α = 求 4sin α -3tan α 的值. 【解】 ∵r= x +5,∴cos α = 2 x x= 2 , 4 x +5
2

2 x, 4

x , x2+5

从而

解得 x=0 或 x=± 3.

6

∵90°<α <180°, ∴x<0,因此 x=- 3.则 r=2 2, ∴sin α = 5 2 2 = 10 5 15 ,tan α = =- . 4 3 - 3

故 4sin α -3tan α = 10+ 15.

易错易误之六 |a|≠a——三角函数定义求值中引发的分类讨论 ———————— [1 个示范例] ——————— 已知角 θ 的终边上一点 p(3a,4a)(a≠0),则 sin θ =________. 【解析】 ∵x=3a,y=4a ∴r= ?3a? +?4a? =5|a| 此处在求解时,常犯 r=5a 的错误,出错的原因在于去绝对值时,没有对 a 进行讨论. (1)当 a>0 时,r=5a,
2 2

y 4 ∴sin θ = = . 5 5
(2)当 a<0 时,r=-5a,

y 4 ∴sin θ = =- 5 5
4 ∴sin θ =± . 5 【防范措施】 1.对于 a =|a|,在去掉绝对值号后,应分 a≥0 和 a<0 两种情况讨 论. 2.已知角 α 终边上任意一点 p(x,y),求三角函数值时,应用 sin α = α =
2

y x +y2
2

,cos

x x +y
2 2

,tan α = 求解. ————————— [1 个防错练] ———————

y x

已知角 α 的终边落在直线 y=2x 上,则 sin α +cos α =________. 【解析】 在角 α 的终边上任取一点 P(t,2t)(t≠0),则

7

r=|OP|= t2+4t2= 5|t|
(1)若 t>0,则 sin α = 3 5 sin α +cos α = . 5 (2)若 t<0,则 sin α =- 2t 2 5 =- , 5 5t 2t 2 5 t 5 ,cos α = = , 5 5t 5t 5 =

cos α =-

t

5t

=-

5 3 5 ,sin α +cos α =- . 5 5

3 5 综上所述,sin α +cos α =± . 5 3 5 【答案】 ± 5 课时限时检测(十七) 任意角、弧度制及任意角的三角函数

(时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.如图 3-1-1,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,若∠AOP=θ ,则 点 P 的坐标是( )

图 3-1-1 A.(cos θ ,sin θ ) B.(-cos θ ,sin θ ) C.(sin θ ,cos θ ) D.(-sin θ ,cos θ ) 【答案】 A 2.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 C. 2 sin 1 B.sin 2 D.2sin 1 )

【答案】 C
8

3.若 α =k?360°+θ ,β =m?360°-θ (k,m∈Z),则角 α 与 β 的终边的位置 关系是( ) B.关于原点对称 D.关于 y 轴对称

A.重合 C.关于 x 轴对称 【答案】 C

4.已知点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则角 α 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 【答案】 B B.第二象限 D.第四象限

)

5π ? ? 5π 5.已知角 x 的终边上一点坐标为?sin ,cos ?,则角 x 的最小正值为( 6 6 ? ? A. C. 5π 6 5π 3 11π B. 6 2π D. 3

)

【答案】 C 6.已知 θ 是第四象限角,则 sin(sin θ )( A.大于 0 C.小于 0 【答案】 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.若角 120°的终边上有一点(-4,a),则 a 的值是______. 【答案】 4 3 |sin α | |cos α | 8.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,则 - =________. sin α cos α 【答案】 2 2π 2 2 9.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的 3 坐标为________. 3? ? 1 【答案】 ?- , ? 2 2 ? ? 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ =-x,求 sin θ +cos θ 的值. 【解】 ∵θ 的终边过点(x,-1)(x≠0), )

B.大于等于 0 D.小于等于 0

9

1 ∴tan θ =- ,又 tan θ =-x,

x

∴x =1,∴x=±1. 当 x=1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ = , 2 2

2

因此 sin θ +cos θ =0; 当 x=-1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ =- , 2 2

因此 sin θ +cos θ =- 2. 11.(12 分)已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 【解】 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α , 2r+l=8, ? ? (1)由题意可得?1 lr=3, ? ?2 解得?
?r=3, ? ? ?l=2

或?

?r=1, ? ? ?l=6,

l 2 l ∴α = = 或 α = =6. r 3 r
(2)∵2r+l=8, 1 1 1?l+2r?2 1 ?8?2 ∴S 扇= lr= l?2r≤ ? ? = ?? ? =4, 2 4 4? 2 ? 4 ?2? 当且仅当 2r=l,即 α = =2 时,扇形面积取得最大值 4. ∴r=2,∴弦长 AB=2sin 1?2=4sin 1. 12.(13 分)角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sin α ?cos α +sin β ?cos β +tan α ?tan β 的值. 【解】 由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a), 点 Q 的坐标为(2a,a). 所以,sin α = cos α = -2a

l r

a +?-2a? a
2

2

2

=-

2

, 5

a +?-2a? a

2



1

, 5

-2a tan α = =-2,

10

sin β = cos β =

a 1 = , 2 2 ?2a? +a 5
2a ?2a? +a
2 2



2 5



a 1 tan β = = , 2a 2
故有 sin α ?cos α +sin β ?cos β +tan α ?tan β = -2 1 1 2 1 ? + ? +(-2)? =-1. 2 5 5 5 5 第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

[考情展望] 1.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.2.借助诱导公式化简三角 函数式,进而求三角函数值.

一、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin α +cos α =1. sin α π 2.商数关系:tan α = (α ≠ +kπ ,k∈Z). cos α 2 二、六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 一 2kπ +α (k∈Z) sin α cos α tan α 二 π +α -sin_α -cos_α tan_α 三 -α -sin_α cos_α -tan_α 四 π -α sin_α -cos_α -tan_α 五 π -α 2 cos_α sin_α 六 π +α 2 cos_α -sin_α
2 2

诱导公式记忆口诀 对于角“


2

±α ”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变

偶不变”是指“当 k 为奇数时, 正弦变余弦, 余弦变正弦; 当 k 为偶数时, 函数名不变”. “符
11

号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”.

5 1.已知 cos(α -π )=- ,且 α 是第四象限角,则 sin α =( 13 12 A.- 13 【答案】 A π 2.已知 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),|θ |< ,则 θ 等于 2 12 B. 13 C. 5 12 12 D.± 13

)

( π A.- 6 C. π 6 π B.- 3 π D. 3

)

【答案】 D 3.sin 585°的值为( A.- C.- 2 2 3 2 B. 2 2 D. 3 2 )

【答案】 A 3π ? 3 ? 4.若 cos α =- 且 α ∈?π , ?,则 tan α =( 2 ? 5 ? A. 3 4 4 B. 3 4 D.- 3 )

3 C.- 4 【答案】 B

5.(2014?大纲全国卷)设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( A.a>b>c C.c>b>a 【答案】 C B.b>c>a D.c>a>b

)

12

6.(2013?广东高考)已知 sin? 2 A.- 5 C. 1 5 1 B.- 5 2 D. 5

?5π +α ?=1,那么 cos α =( ? 5 ? 2 ?

)

【答案】 C

考向一 [050] 同角三角函数关系式的应用 sin α +3cos α 2 (1)已知 =5,则 sin α -sin α cos α 的值是( 3cos α -sin α A. 2 5 2 B.- 5 C.-2 D.2 )

3π ? ? (2)已知 α ∈?π , ?,tan α =2,则 cos α =________. 2 ? ? 【答案】 (1)A (2)- 5 , 5

sin α 2 2 规律方法 1 1.利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、 余弦的互化, 利用 cos α =tan α 可以实现角 α 的弦切互化. 2.注意公式逆用及变形应用: 1=sin α +cos α ,sin α =1-cos α ,cos α =1- sin α . 2sin α -cos α 对点训练 (1)若 tan α =2,则 的值为( sin α +2cos α A.0 (2)若 α ∈? 3 B. 4 C.1 5 D. 4 )
2 2 2 2 2 2

?π ,π ?,且 sin α =4,则 tan α =________. ? 5 ?2 ?

4 【答案】 (1)B (2)- 3

考向二 [051] 诱导公式的应用
13

(1)sin 600°+tan 240°的值等于( A.- 3 2 B. 3 2 1 C. 3- 2 D. 3+ 1 2

)

?π ? 1 ?π ? (2)若 sin? -α ?= ,则 cos? +α ?等于( 6 ? ? 3 ?3 ?
7 A.- 9 C. 1 3 1 B.- 3 7 D. 9

)

(3)已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 2x-y=0 上,

?3π ? sin? +θ ?+cos?π -θ ? ? 2 ? 则 =( π ? ? - θ sin? ?-sin?π -θ ? ?2 ?
A.-2 C.0 【答案】 (1)B (2)C (3)B,

)

B.2 2 D. 3

规律方法 2 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在 的关系,选择恰当的公式,向所求角和三角函数进行化归. 2.诱导公式的应用原则:负化正、大化小、小化锐、锐求值. 考向三 [052] sin α ±cos α 与 sin α ?cos α 的关系 1 已知-π <x<0,sin x+cos x= . 5 (1)求 sin x-cos x 的值; sin 2x+2sin x (2)求 的值. 1-tan x 1 【尝试解答】 (1)法一:由 sin x+cos x= ,平方得 5 1 2 2 sin x+2sin xcos x+cos x= , 25 24 整理得 2sin xcos x=- . 25 49 2 ∵(sin x-cos x) =1-2sin xcos x= . 25 又∵-π <x<0,
14
2

∴sin x<0,又 sin x+cos x>0, ∴cos x>0,sin x-cos x<0, 7 故 sin x-cos x=- . 5 12 法二:由法一可知 sin xcos x=- <0, 25 又-π <x<0, 所以 sin x<0,cos x>0, 12 sin xcos x=- , ? ? 25 联立? 1 sin x+cos x= , ? ? 5 3 sin x=- , ? ? 5 得? 4 cos x= . ? ? 5 3 4 7 所以 sin x-cos x=- - =- . 5 5 5 sin 2x+2sin x 2sin x?cos x+sin x? (2) = 1-tan x sin x 1- cos x = 2sin xcos x?cos x+sin x? cos x-sin x
2

24 1 - ? 25 5 = 7 5 24 =- . 175 规律方法 3 1.第(1)问应注意 x 的范围对 sin x-cos x 的符号的影响.事实上根据条

? π ? 件可进一步判定 x∈?- ,0?. ? 2 ?
2.对于 sin α +cos α ,sin α -cos α ,sin α cos α 这三个式子,已知其中一个 式子的值,其余二式的值可求,转化公式为(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,体现 了方程思想的应用. 对点训练 已知 θ ∈(0,π ),sin θ +cos θ = 3-1 ,则 tan θ 的值为( 2 )
2

15

A.- 3或-

3 3

B.-

3 3

C.- 3

D.-

3 2

【答案】

C

易错易误之七 拨云见日——三角函数式中“角范围”的信息提取 —————————— [1 个示范例] —————— 已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = A.- 5 3 B.- 5 9 C. 5 9 D. 5 3 3 ,则 cos 2α =( 3 )

【解析】 ∵sin α +cos α =

3 1 2 ,∴(sin α +cos α ) = , 3 3

2 2 ∴2sin α cos α =- ,即 sin 2α =- . 3 3 又∵α 为第二象限角且 sin α +cos α = 3 >0, 3 3 >0”这个隐含信息, 导致后面的“α ” 3

此处在求解中, 分析不出“sin α +cos α = 范围无法确定,进而影响后面的解答. π 3 ∴2kπ + <α <2kπ + π (k∈Z), 2 4 3 ∴4kπ +π <2α <4kπ + π (k∈Z), 2

∴2α 为第三象限角,∴cos 2α =- 1-sin 2α =- 【防范措施】 (1)由 sin α +cos α =

2

5 . 3

3 ,隐含着 sin α +cos α >0,即 sin α > 3

-cos α ,结合 α 为第二象限角可进一步约束角 α 的范围. (2)利用平方关系求三角函数值,开方时应注意三角函数值符号的判断. ————————— [1 个防错练] ——————— 若 sin θ ,cos θ 是关于 x 的方程 5x -x+a=0(a 是常数)的两根,θ ∈(0,π ),则
2

16

cos 2θ 的值为________. 1 【解析】 由题意可知,sin θ +cos θ = , 5 1 24 2 ∴(sin θ +cos θ ) = ,∴sin 2θ =- . 25 25 24 即 2sin θ cos θ =- <0,则 sin θ 与 cos θ 异号, 25 1 π 3π 又 sin θ +cos θ = >0,∵ <θ < . 5 2 4 3π 7 2 ∴π <2θ < ,故 cos 2θ =- 1-sin 2θ =- . 2 25 7 【答案】 - 25 课时限时检测(十八) 同角三角函数的基本关系及诱导公式

(时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 5 1.(2013?大纲全国卷)已知 α 是第二象限角,sin α = ,则 cos α =( 13 12 A.- 13 【答案】 A 1 cos θ 2.若 sin θ ?cos θ = ,则 tan θ + 的值是( 2 sin θ A.-2 C.±2 【答案】 B B.2 1 D. 2 ) B.- 5 13 C. 5 13 12 D. 13 )

?π ? 3.已知 sin(3π -α )=-2sin? +α ?,则 sin α cos α 等于( ?2 ?
2 A.- 5 2 2 C. 或- 5 5 【答案】 A 4.记 cos(-80°)=k,那么 tan 100°=( A. 1-k
2

)

B.

2 5

1 D.- 5

)
2

k

B.-

1-k

k
17

C.

k
1-k
2

D.-

k
1- k
2

【答案】 B

?π ? 5.已知 sin(π -2)=a,则 sin? -2?的值为( ?2 ?
A.- 1-a C. 1-a
2 2

)

B.-a D.a

【答案】 A 6.若 sin α 是 5x -7x-6=0 的根, 3π ? ?3π ? 2 -α ? sin?-α - ?sin? ?tan ?2π -α ? 2 ? ? 2 ? ? 则 =( π π ? ? ? ? cos? -α ?cos? +α ?sin?π +α ? ?2 ? ?2 ? A. C. 3 5 4 5 5 B. 3 5 D. 4
2

)

【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π? 4? 7.已知 sin θ +cos θ = ?0<θ < ?,则 sin θ -cos θ =________. 4? 3? 【答案】 - 2 3
2 2

8.已知 tan α =2,则 7sin α +3cos α =________. 【答案】 31 5

? π? 1 ? 7π ? ? 2?5π 9.已知 sin?x+ ?= ,则 sin? +x?+cos ? -x?= 6? 4 ? ? 6 ? ? 6 ?
________. 【答案】 11 16

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知函数 f(x)= 1-sin?x-

? ?

3π ? 3 ? π? +cos?x+ ?+tan π ? 2 ? 2? 4 ? . cos x

(1)求函数 y=f(x)的定义域;

18

4 (2)设 tan α =- ,求 f(α )的值. 3 π 【解】 (1)由 cos x≠0,得 x≠ +kπ ,k∈Z, 2
? ? ? π 所以函数的定义域是?x?x≠ +kπ ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

4 (2)∵tan α =- , 3 3π ? π? 3 ? ? 1-sin?α - ?+cos?α + ?+tan π 2 ? 2? 4 ? ? ∴f(α )= cos α = = 1-cos α -sin α -1 cos α -cos α -sin α 1 =-1-tan α = . cos α 3

8 ? ? 11.(12 分)已知 tan?α + π ?=a. 7 ? ? 13 ? ?15 ? ? sin? π +α ?+3cos?α - π ? 7 7 ? a+3 ? ? ? 求证: = . 22 ? a+1 ?20 ? ? sin? π -α ?-cos?α + π ? 7 ? ?7 ? ? 【证明】 由已知得 8 ?? 8π ? ? ? ?? ? sin?π +?α + π ??+3cos??α + ?-3π ? 7 ?? 7 ? ? ? ?? ? 左边= 8 8 ? ? ?? ? ? ?? sin?4π -?α + π ??-cos?2π +?α + π ?? 7 ?? 7 ?? ? ? ? ? 8 ? 8 ? ? ? -sin?α + π ?-3cos?α + π ? 7 ? 7 ? ? ? = 8 8 ? ? ? ? -sin?α + π ?-cos?α + π ? 7 ? 7 ? ? ? 8 ? ? tan?α + π ?+3 7 ? ? = 8 ? ? tan?α + π ?+1 7 ? ? =

a+3 =右边, a+1

所以原等式成立. 12.(13 分)在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=- 2cos(π -B),求△ABC 的三个内角.

19

① ?sin A= 2sin B 【解】 由已知得? ? 3cos A= 2cos B ② ① +② 得 2cos A=1, 即 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2 2 3 时,cos B= , 2 2
2 2 2

(1)当 cos A=

又 A、B 是三角形的内角, π π ∴A= ,B= , 4 6 7 ∴C=π -(A+B)= π . 12 (2)当 cos A=- 2 3 时,cos B=- . 2 2

又 A、B 是三角形的内角, 3 5 ∴A= π ,B= π ,不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π . 4 6 12 第三节 [考情展望] 三角函数的图象与性质

1.考查三角函数图象的识别.2.考查三角函数的有关性质(单调性、奇偶

性、周期性和对称性).3.考查三角函数的值域(最值).

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

20

图象

定义域 值域

x∈R
[-1,1] π 递增区间是[2kπ - ,2kπ + 2

x∈R
[-1,1] 递增区间是[2kπ -π ,2kπ ](k ∈Z), 递减区间是 [2kπ ,2kπ +π ](k∈Z)

x∈R 且 x≠ +kπ ,k∈
R

π 2

单调性

π ] (k∈Z),递减区间是[2kπ + 2 π 3π ,2kπ + ] (k∈Z) 2 2

π 递增区间是[kπ - ,kπ + 2 (k∈Z)

最值 奇偶性 对称中心 对称轴 最小正周期

ymax=1; ymin=-1
奇函数 (kπ ,0),k∈Z

ymax=1; ymin=-1
偶函数

无最大值和最小值 奇函数

?kπ +π ,0?,k∈Z ? ? 2 ? ?
x=kπ ,k∈Z


?kπ ,0?,k∈Z ? 2 ? ? ?
无对称轴 π

对称性

x=kπ + ,k∈Z


π 2

三角函数奇偶性的判断技巧 1.若 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ≠0),则 π (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ = +kπ (k∈Z); 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ =kπ (k∈Z). 2.若 f(x)=Acos(ω x+φ )(A,ω ≠0),则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ =kπ (k∈Z). π (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ = +kπ (k∈Z). 2

21

1.函数 y=tan 3x 的定义域为(
? ? ? 3 A.?x?x≠ π +3kπ ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ? π B.?x?x≠ +kπ ,k∈Z? 6 ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠- +kπ ,k∈Z? 6 ? ? ? ? ? ? π kπ ,k∈Z? D.?x?x≠ + 6 3 ? ? ? ? ? ? ? ?

)

【答案】 D

? 5π ? 2.函数 f(x)=2cos?x+ ?是( 2 ? ?
A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数

)

C.最小正周期为 2π 的非奇非偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 【答案】 A

? π? 3.函数 f(x)=sin?x- ?的图象的一条对称轴是( 4? ?
π A.x= 4 【答案】 C π B.x= 2 π C.x=- 4 π D.x=- 2

)

? π? ? π? 4.比较大小:sin?- ?________sin?- ?. 18 ? ? ? 10?
【答案】 >

π? ? ? π? 5.(2013?天津高考)函数 f(x)=sin?2x- ?在区间?0, ?上的最小值为( 4? 2? ? ? A.-1 C. 2 2 B.- D.0 2 2

)

22

【答案】 B π? ? 6.(2014?陕西高考)函数 f(x)=cos?2x- ?的最小正周期是 6? ? ( A. π 2 B.π D.4π B )

C.2π 【答案】

考向一 [053] 三角函数的定义域和值域 1 (1)函数 y= 的定义域为________. tan x-1 (2)求下列函数的值域: ①y=2cos x+2cos x; ②y=3cos x- 3sin x,x∈[0,π ]; ③y=sin x+cos x+sin xcos x.
? ? π ? π 【尝试解答】 (1)?x?x≠ +kπ 且x≠ +kπ ,k∈Z 4 2 ? ?
2

?

? ? ? ? ?

1?2 1 ? 2 (2)①y=2cos x+2cos x=2?cos x+ ? - . 2? 2 ? 当且仅当 cos x=1 时,得 ymax=4, 1 1 当且仅当 cos x=- 时,得 ymin=- , 2 2

? 1 ? 故函数值域为?- ,4?. ? 2 ?
②y=3cos x- 3sin x=2 3? 1 ? 3 ? cos x- sin x? 2 ?2 ?

? π? =2 3cos?x+ ?. 6? ?

23

π π 7π ∵x∈[0,π ],∴ ≤x+ ≤ , 6 6 6 3 ? π? ∴-1≤cos?x+ ?≤ , 6? 2 ?

? π? ∴-2 3≤2 3cos?x+ ?≤3. 6? ?
∴y=3cos x- 3sin x 的值域为[-2 3,3]. ③法一:y=sin xcos x+sin x+cos x
2 ?sin x+cos x? -1 ? π? = + 2sin?x+ ? 4? 2 ?

π? ? π? 1 2? =sin ?x+ ?+ 2sin?x+ ?- 4? 4? 2 ? ? π? 2?2 ? =?sin? ?x+ 4 ?+ 2 ? -1, ? ? ? ? 1 1 ? π? 所以当 sin?x+ ?=1 时,y 取最大值 1+ 2- = + 2. 4? 2 2 ? 2 ? π? 当 sin?x+ ?=- 时,y 取最小值-1, 4? 2 ? 1 ? ? ∴该函数值域为?-1, + 2?. 2 ? ? 法二:设 t=sin x+cos x, 则 sin xcos x= 1 2

t2-1
2

(- 2≤t≤ 2),

y=t+ t2- = (t+1)2-1,
1 当 t= 2时,y 取最大值为 2+ , 2 当 t=-1 时,y 取最小值为-1. 1 ? ? ∴函数值域为?-1, + 2?., 2 ? ? 规律方法 1 1.求三角函数的定义域实际上是解三角不等式,常借助三角函数线或三角 函数图象来求解. 2.求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法: (1)形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式,再求最 值(值域); (2)形如 y=asin x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数 求值域(最值);
2

1 1 2 2

24

(3)形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可设 t=sin x±cos x, 化为关于 t 的二次函数求解. 对点训练 (1)函数 y=lg sin x+ 1-2cos x的定义域是________. (2)(2014?大纲全国卷)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________.
? ? π ? 【答案】 (1)?x?2kπ + ≤x≤2kπ +π ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ? ? ?

3 (2) 2

考向二 [054] 三角函数的单调性 求下列函数的单调区间. π? ? (1)y=sin?-3x+ ?;(2)y=|tan x|. 4? ? π? ? 【尝试解答】 (1)y=-sin?3x- ?, 4? ? π? ? 它的增区间是 y=sin?3x- ?的减区间, 4? ? π? ? 它的减区间是 y=sin?3x- ?的增区间. 4? ? π π π 由 2kπ - ≤3x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 得 2kπ π 2kπ π - ≤x≤ + ,k∈Z. 3 12 3 4

π π 3π 由 2kπ + ≤3x- ≤2kπ + ,k∈Z. 2 4 2 得 2kπ π 2kπ 7 + ≤x≤ + π ,k∈Z. 3 4 3 12

故所给函数的减区间为? 增区间为?

?2kπ -π ,2kπ +π ?,k∈Z; 12 3 4? ? 3 ?

?2kπ +π ,2kπ +7π ?,k∈Z. 4 3 12 ? ? 3 ?

π? ? (2) 观 察 图 象 可 知 , y = |tan x| 的 增 区 间 是 ?kπ ,kπ + ? , k ∈ Z , 减 区 间 是 2? ?

?kπ -π ,kπ ?,k∈Z. ? ? 2 ? ?
规律方法 2 1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图 象判定. 2.求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中,ω >0)的单调区间时,要视 “ω x+φ ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果 ω <0,那么一定先借助诱导公式将
25

ω 化为正数,防止把单调性弄错.

?π ? 对点训练 已知函数 y=sin? -2x?,求: ?3 ?
(1)函数的周期; (2)求函数在[-π ,0]上的单调递减区间. π? ?π ? ? 【解】 由 y=sin? -2x?可化为 y=-sin?2x- ?. 3? ?3 ? ? 2π 2π (1)周期 T= = =π . ω 2 π π π (2)令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 所以 x∈R 时,y=sin?

?π -2x?的减区间为?kπ -π ,kπ +5π ?, ? ? ? 12 12 ? ?3 ? ?

k∈Z.
7π ? ? π ? ? 取 k=-1,0 可得函数在[-π ,0]上的单调递减区间为?-π ,- ?和?- ,0?. 12 ? ? 12 ? ? 考向三 [055] 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 π (1)已知函数 f(x)=sin(π x- )-1,则下列说法正确的是( 2 A.f(x)是周期为 1 的奇函数 B.f(x)是周期为 2 的偶函数 C.f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 D.f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 (2)已知 f(x)=cos( 3x+φ )- 3sin( 3x+φ )为偶函数,则 φ 可以取的一个值为 ( ) A. π 6 π B. 3 π C.- 6 π D.- 3 )

π? ? (3)设函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?,给出以下四个论断: 2? ? ①它的最小正周期为 π ; π ②它的图象关于直线 x= 成轴对称图形; 12

?π ? ③它的图象关于点? ,0?成中心对称图形; ?3 ?
26

? π ? ④在区间?- ,0?上是增函数. ? 6 ?
以 其 中 两 个 论 断 作 为 条件 , 另 两 个 论 断 作 为 结论 , 写 出 你 认 为 正 确 的一 个 命 题 ________(用序号表示即可). 【答案】 (1)B (2)D (3)①②? ③④或①③? ②④ 规律方法 3 1.判断三角函数的奇偶性和周期性时,一般先将三角函数式化为一个角的 一种三角函数, 再根据函数奇偶性的概念、 三角函数奇偶性规律、 三角函数的周期公式求解. 2.求三角函数的周期主要有三种方法:(1)周期定义;(2)利用正(余)弦型函数周期公 式;(3)借助函数的图象. 对点训练 (1)(2014?安徽高考改编)若将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移

φ (φ >0)个单位, 得函数 y=f(x)的图象. 若 y=f(x)是偶函数, 则 φ 的最小值是________. 【答案】 3 π 8

1 (2)(2014?福建高考)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 ①若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 ②求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 1 1 1 2 【解】 f(x)=sin xcos x+cos x- = sin 2x+ cos 2x 2 2 2 = π? 2 ? sin ?2x+ ?. 4? 2 ?

π 2 π (1)因为 0<α < ,且 sin α = ,所以 α = . 2 2 4 从而 f(α )= (2)f(x)= π? 2 2 3π 1 ? sin?2α + ?= sin = . 4? 2 2 4 2 ?

π? 2 ? sin?2x+ ?的最小正周期 T=π . 4? 2 ?

π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8

27

所以 f(x)的单调递增区间为?kπ -

? ?

3π π ,kπ + ? ,k∈Z. 8 8? ?

思想方法之九 研究三角函数性质的一大“法宝”——整体思想 所谓整体思想就是研究问题时从整体出发, 对问题的整体形式、 结构特征进行综合分析、 整体处理的思想方法. 在三角函数学习中,运用“整体思想”可以解决以下几类问题 (1)三角函数的化简求值; (2)研究三角函数的有关性质(如定义域、值域、单调性等); (3)解三角不等式或求含参变量的取值范围问题.

28

—————————— [1 个示范例] ———— π ? ?π ? ? 已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调递减,则 ω 的 4? ?2 ? ? 取值范围是( )

?1 5? A.? , ? ?2 4?

?1 3? B.? , ? ?2 4?

? 1? C.?0, ? ? 2?

D.(0,2]

π π π π π 【解析】 由 <x<π 得 ω + <ω x+ <π ω + , 2 2 4 4 4 π π ? ? π 3π ? ?π 由题意知? ω + ,π ω + ?? ? , ?, 4 4? ?2 2 ? ?2 π π π ? ?2ω+4≥2, ∴? π 3π ?π ω + 4 ≤ 2 , ?

1 5 ∴ ≤ω ≤ ,故选 A. 2 4

————————— [1 个对点练] ———————

? π π? 已知函数 f(x)=2sin ω x 在区间?- , ?上的最小值为-2,则 ω 的取值范围是 ? 3 4?
( ) 9? ? A.?-∞,- ?∪[6,+∞) 2? ? 9? ?3 ? ? B.?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? C.(-∞,-2]∪[6,+∞)

?3 ? D.(-∞,-2]∪? ,+∞? ?2 ?
π π 【解析】 当 ω >0 时,由- ≤x≤ 得 3 4 - π π ω ≤ω x≤ ω , 3 4

π π 由题意知,- ω ≤- , 3 2 3 ∴ω ≥ , 2 π π π π 当 ω <0 时,由- ≤x≤ 得 ω ≤ω x≤- ω , 3 4 4 3 π π 由题意知, ω ≤- , 4 2 ∴ω ≤-2,
29

?3 ? 综上知 ω ∈(-∞,-2]∪? ,+∞?. ?2 ?
【答案】 D 课时限时检测(十九) 三角函数的图象与性质 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.函数 y=tan?
? ? ? π A.?x?x≠ 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

?π -x?的定义域是( ? ?4 ?

)
? ? π? B.?x?x≠- ? 4? ? ? ? ? ? 3π D.?x?x≠kπ + ,k∈Z? 4 ? ? ?

? ? ? π C.?x?x≠kπ + ,k∈Z? 4 ? ? ?

【答案】 D 2.(2013?浙江高考)已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0,φ ∈R),则“f(x) π 是奇函数”是“φ = ”的( 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】 B 3.函数 y=sin x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1]
2

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

? 5 ? B.?- ,-1? ? 4 ?
5? ? D.?-1, ? 4? ?

? 5 ? C.?- ,1? ? 4 ?
【答案】 C

? π? 4.若函数 f(x)=sin(3x+φ ),满足 f(a+x)=f(a-x),则 f?a+ ?的值为( 6? ?
A. 3 2 B.±1 1 D. 2

)

C.0 【答案】 C

30

?π ? ?π ? ?π ? 5.已知函数 f(x)=sin x+ 3cos x,设 a=f? ?,b=f? ?,c=f? ?,则 a,b,c ?7? ?6? ?3?
的大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c 【答案】 B 6.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),x∈R,其中 ω >0,-π <φ ≤π .若 f(x)的最小 π 正周期为 6π , ,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( 2 A.f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π ,-π ]上是增函数 C.f(x)在区间[3π ,5π ]上是减函数 D.f(x)在区间[4π ,6π ]上是减函数 【答案】 A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π 7.已知 f(x)=Asin(ω x+φ ),f(α )=A,f(β )=0,|α -β |的最小值为 ,则正 3 数 ω =________. 【答案】 3 2 ) ) B.c<a<b D.b<c<a

π? ? 8.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴 6? ?

? π? 完全相同,若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ? ? 3 ? 【答案】 ?- ,3? ? 2 ?
9.已知函数 f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π ;

? π π? ③f(x)在区间?- , ?上是增函数; ? 4 4?
④f(x)的图象关于直线 x= 其中真命题是________. 【答案】 ③④ 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知函数 f(x)=sin xcos x+sin x,
31
2

3π 对称. 4

?π ? (1)求 f? ?的值; ?4? ? π? (2)若 x∈?0, ?,求 f(x)的最大值及相应的 x 值. 2? ?
【解】 (1)∵f(x)=sin xcos x+sin x, π π ? 2?2 ? 2?2 ?π ? 2π ∴f? ?=sin cos +sin =? ? +? ? =1. 4 4 4 4 ? 2? ? 2? ? ? 1 1-cos 2x 2 (2)f(x)=sin xcos x+sin x= sin 2x+ 2 2 π? 1 1 1 2 ? = (sin 2x-cos 2x)+ = sin?2x- ?+ , 4? 2 2 2 2 ? π ? π 3π ? ? π? 由 x∈?0, ?得 2x- ∈?- , ?, 2 4 ? 4 ? 4 ? ? π π 3 2+1 所以,当 2x- = ,即 x= π 时,f(x)取到最大值为 . 4 2 8 2 11.(12 分)已知函数 f(x)= ?sin x-cos x?sin 2x . sin x
2

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 【解】 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ (k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π? ? = 2sin?2x- ?-1, 4? ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

(2)函数 y=sin x 的单调递增区间为

?2kπ -π ,2kπ +π ?(k∈Z). ? 2 2? ? ?
π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,x≠kπ (k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,x≠kπ (k∈Z). 8 8 π 3π ? ? ? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ ?和?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 8 8 ? ? ? ?
32

12.(13 分)设函数 f(x)=sin ω x+2 3sin ω x?cos ω x-cos ω x+λ (x∈R)的图象

2

2

?1 ? 关于直线 x=π 对称,其中 ω ,λ 为常数,且 ω ∈? ,1?. ?2 ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期;

?π ? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ,0?,求函数 f(x)的值域. ?4 ?
【解】 (1)因为 f(x)=sin ω x-cos ω x+2 3sin ω x?cos ω x+λ π? ? =-cos 2ω x+ 3sin 2ω x+λ =2sin?2ω x- ?+λ , 6? ? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 π? ? sin?2ω π - ?=±1. 6? ? π π k 1 所以 2ω π - =kπ + (k∈Z),即 ω = + (k∈Z). 6 2 2 3 5 ?1 ? 又 ω ∈? ,1?,k∈Z,所以 ω = . 6 ?2 ? 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5
2 2

?π ? ?π ? (2)由 y=f(x)的图象过点? ,0?,得 f? ?=0, 4 ? ? ?4?
π ?5 π π ? 即 λ =-2sin? ? - ?=-2sin =- 2,即 λ =- 2. 4 ?6 2 6 ?

?5 π ? 故 f(x)=2sin? x- ?- 2,函数 f(x)的值域为[-2- 2,2- 2]. 6? ?3

33

第四节 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的应用 [考情展望] 1.考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换.2.考查函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象画法或解析式的求法.3.以新问题新情景为切入点,考查三角函数模型的应用.

一、y=Asin(ω x+φ )的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相

y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0),x
∈[0,+∞)表示一个振动量时

A

T=

2π ω

f= = T
ω 2π

1

ω x+φ

φ

二、用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示

x

φ - ω 0 0

π -φ 2 ω π 2

π -φ ω π 0

3 π -φ 2 ω 3π 2 -A

2π -φ ω 2π 0

ω x+φ

y=Asin(ω x+φ )

A

三、由 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移

34

两种变换的差异 先相位变换再周期变换(伸缩变换), 平移的量是|φ |个单位; 而先周期变换(伸缩变换) |φ | 再相位变换,平移的量是 (ω >0)个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对 x 而言 ω 的.

1.已知简谐运动 f(x)=2sin? 的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( π A.T=6,φ = 6 π C.T=6π ,φ = 6 【答案】 A

?π x+φ ??|φ |<π ?的图象经过点(0,1),则该简谐运动 ?? 2? ?3 ?? ?
)

π B.T=6,φ = 3 π D.T=6π ,φ = 3

π? ? ? π ? 2.函数 y=sin?2x- ?在区间?- ,π ?上的简图是下列选项中的( 3? ? ? 2 ?

)

35

【答案】 A 3.将函数 y=sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把所得 π 图象上所有的点向右平行移动 个单位,得到图象的函数解析式为( 10 π? ? A.y=sin?2x- ? 10? ? )

π? ? B.y=sin?2x- ? 20 ? ?

?1 π ? C.y=sin? x- ? ?2 10?
【答案】 D

?1 π ? D.y=sin? x- ? ?2 20?

π 4.已知函数 y=Asin(ω x+φ )(ω >0,|φ |< )的部分图象如图 3-4-1 所示,则 2 ( )

36

图 3-4-1 π A.ω =1,φ = 6 π C.ω =2,φ = 6 【答案】 D π B.ω =1,φ =- 6 π D.ω =2,φ =- 6

5.(2014?四川高考)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x 的 图象上所有的点( )

1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 【答案】 A 6.(2013?四川高考)函数 f(x)=2sin(ω x+ π π? ? φ )?ω >0,- <φ < ?的部分图象如图 3-4-2 所示, 则ω, φ 的值分别 2 2? ? 是( π A.2,- 3 π C.4,- 6 【答案】 A ) π B.2, - 6 π D.4, 3

37

考向一 [056] 作函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 已知函数 f(x)=cos x-2sin xcos x-sin x.
2 2

(1)将 f(x)化为 y=Acos(ω x+φ )的形式; (2)用“五点法”在给定的坐标中,作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象. 【尝试解答】 (1)f(x)=cos x-sin x-2sin xcos x =cos 2x-sin 2x= 2? π? ? = 2cos?2x+ ?. 4? ? (2)列表: π 2x+ 4 π 4 0 1 π 2 π 8 0 π 3 π 8 - 2 3 π 2 5 π 8 0 2π 7 π 8 2 9 π 4 π 1 2 ? 2 ? cos 2x- sin 2x? 2 ?2 ?
2 2

x f(x)
图象为:

38

π 规律方法 1 1.寻找[0,π ]上的特殊点时,可先求出 2x+ 的范围,在此范围内找出 4 特殊点,再求出对应的 x 值. 2.用“五点法”作图应注意四点:(1)将原函数化为 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0) 2π 或 y=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0)的形式;(2)求出周期 T= ;(3)求出振幅 A;(4)列 ω 出一个周期内的五个特殊点, 当画出某指定区间上的图象时, 应列出该区间内的特殊点和区 间端点. π? ? 对点训练 已知函数 f(x)=sin?2x+ ?.画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象. 3? ? π π 7π 【解】 ∵0≤x≤π ,∴ ≤2x+ ≤ . 3 3 3 列表如下: π 2x+ 3 π 3 0 3 2 π 2 π 12 1 π π 3 0 3π 2 7π 12 -1 2π 5π 6 0 7π 3 π 3 2

x y
画出图象如图所示.

39

考向二 [057] 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换 (1)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

π π? ? (2)(2014?重庆高考)将函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?图象上每一点 2 2? ? π 的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到 y=sin x 的图象, 6

?π ? 则 f? ?=________. ?6?
【答案】 (1)A (2) 2 , 2

规律方法 2 对 y=Asin(ω x+φ )进行图象变换时应注意以下两点: (1)平移变换时,x 变为 x±a(a>0),变换后的函数解析式为 y=Asin[ω (x±a)+φ ];

x ω (2)伸缩变换时, x 变为 (横坐标变为原来的 k 倍), 变换后的函数解析式为 y=Asin( k k x+φ ).
π? ? 对点训练 为了得到函数 y=sin 2x 的图象, 只需把函数 y=sin?2x+ ?的图象( 6? ? )

40

π A.向左平移 个单位 6 π C.向右平移 个单位 6 【答案】 D

π B.向左平移 个单位 12 π D.向右平移 个单位 12

考向三 [058] 求函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式

(1)如图 3-4-3 是函数 y=Asin(ω x+φ )+2(A>0,ω >0)的图象的 一部分,它的振幅、周期、初相各是( )

图 3-4-3 4π π A.A=3,T= ,φ =- 3 6 4π 3π B.A=1,T= ,φ = 3 4 4π 3π C.A=1,T= ,φ =- 3 4 4π π D.A=1,T= ,φ =- 3 6 【答案】 C (2)如图 3-4-4 是函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π )的部分图象,则 该函数的解析式为________.

41

图 3-4-4

T 5π 3π 【尝试解答】 由图知 A=5,由 = -π = , 2 2 2
得 T=3π , 2π 2 ?2x ? ∴ω = = ,此时 y=5sin? +φ ?. 3 T 3 ? ? 下面求初相 φ . 法一(单调性法): ∵点(π ,0)在递减的那段曲线上, ∴ π 3π ? 2π ? +φ ∈?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 2 2 ? 3 ?

由 sin?

?2π +φ ?=0 得2π +φ =2kπ +π (k∈Z), ? 3 ? 3 ?

π ∴φ =2kπ + (k∈Z). 3 π ∵|φ |<π ,∴φ = . 3 ∴该函数的解析式为 y=5sin? 法二(最值点法):

?2x+π ?. ? ?3 3?

?π ? ?2x ? 将最高点坐标? ,5?代入 y=5sin? +φ ?, ?4 ? ?3 ? ?π ? 得 5sin? +φ ?=5, ?6 ?
∴ π π π +φ =2kπ + (k∈Z),∴φ =2kπ + (k∈Z). 6 2 3

π 又|φ |<π ,∴φ = . 3

42

∴该函数的解析式为 y=5sin? 法三(起始点法):

?2x+π ?. ? ?3 3?

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象一般由“五点法”作出, 而起始点的横坐标 x 正是由 ω x π +φ =0 解得的.故只需找出起始点横坐标 x0,就可以迅速求得 φ .由图象易得 x0=- , 2 2 ? π? π ∴φ =-ω x0=- ??- ?= . 3 ? 2? 3 ∴该函数的解析式为 y=5sin? 法四(平移法): 2x π 由图象知,将 y=5sin 的图象沿 x 轴向左平移 个单位,就得到本题图象,故所求函 3 2 数解析式为 y=5sin?

?2x+π ?. ? ?3 3?

?2x+π ?. ? ?3 3?

规律方法 3 1.求参数 φ 是确定函数解析式的关键,由特殊点求 φ 时,一定要分清特 殊点是“五点法”的第几个点. 2. 用五点法求 φ 值时, 往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口. “第一点”(即 π 图象上升时与 x 轴的交点)时 ω x+φ =0.“第二点”(即图象的“峰点”)时, ω x+φ = ; 2 “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ω x+φ =π ;“第四点”(即图象的“谷点”) 3π 时 ω x+φ = ;“第五点”时 ω x+φ =2π . 2 对点训练 (2013?大纲全国卷)若函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图象如图 3-4 -5,则 ω =( )

图 3-4-5 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】 B
43

考向四 [059] 三角函数模型的简单应用 如图 3-4-6 为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆上最低点与 地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到

OB,设 B 点与地面间的距离为 h.

图 3-4-6 (1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式,并求缆车到 达最高点时用的最少时间是多少? 【尝试解答】 (1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的直角坐标系,则以 Ox 为始边,OB π 为终边的角为 θ - . 2

故点 B 的坐标为

?4.8cos?θ -π ?,4.8sin?θ -π ??, ? ? ? ? ?? 2? 2 ?? ? ? ?
π? ? ∴h=5.6+4.8sin?θ - ?. 2? ? π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 , 30
44

π 故 t 秒转过的弧度数为 t, 30 π? ?π ∴h=5.6+4.8sin? t- ?,t∈[0,+∞). 30 2? ? 到达最高点时,h=10.4 m. 由 sin?

?π t-π ?=1 且用时最少得π t-π =π , 2? 30 2 2 ?30 ?
1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面:一是已知三角函数模

∴t=30,∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒. 规律方法 4

型, 准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则, 二是把实际问题抽象转化成数 学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是合理建模. 2.建模的方法是,认真审题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”, 这个过程就是数学建模的过程. 对点训练 (2014?湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变 化近似满足函数关系:

f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? 【解】 (1)因为 f(t)=10-2? =10-2sin? 1 π ? ? 3 π cos t+ sin t? 2 12 2 12 ? ?

π 12

π 12

?π t+π ?, 3? ?12 ?

π? π π π 7π ?π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < ,-1≤sin? t+ ?≤1. 3? 3 12 3 3 ?12 当 t=2 时,sin?

?π t+π ?=1; 3? ?12 ?

π? ?π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. 3? ?12 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值为 12,最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. 由(1)得 f(t)=10-2sin? 故有 10-2sin?

?π t+π ?, 3? ?12 ?

?π t+π ?>11, 3? ?12 ?

45

即 sin?

?π t+π ?<-1. 3? 2 ?12 ?

7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 所以在 10 时至 18 时实验室需要降温.

规范解答之四 三角函数的图象性质及平移变换 —————————— [1 个示范例] ——————

? ? (12 分)已知向量 m=(sin x,1),n=? 3Acos x, cos 2x?(A>0),函数 2 ? ?
A f(x)=m?n 的最大值为 6.
(1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 12 1 ? 5π ? 来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在?0, ?上的值域. 24 ? 2 ?

A 1 ? 3 ? 【规范解答】 (1)f(x)=m?n= 3Asin xcos x+ cos 2x=A? sin 2x+ cos 2x?= 2 2 ?2 ? Asin?2x+ ?. 6

? ?

π?

?

4分 6分

因为 A>0,由题意知 A=6. π? ? (2)由(1)得 f(x)=6sin?2x+ ?. 6? ? π 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 12

y=6sin?2?x+12?+ ?=6sin?2x+ ?的图象; 3 6

? ? ? ?

π? π?

?

?

? ?

π?

?

8分

π? 1 ? 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到 y=6sin?4x+ ?的 3? 2 ? 图象. π? ? ? 5π ? 因此 g(x)=6sin?4x+ ?.因为 x∈?0, ?, 3? 24 ? ? ?
46

10 分

π ?π 7π ? 所以 4x+ ∈? , ?, 6 ? 3 ?3

? 5π ? 故 g(x)在?0, ?上的值域为[-3,6]. 24 ? ?

12 分

1 【名师寄语】 (1)伸缩变换时,只是 x 的系数发生变化,横坐标缩短为原来的 倍,则 2

x 变为 2x,其他量不变.
(2)求 y=Asin(ω x+φ )的值域问题,应先根据 x 的范围,确定 ω x+φ 的范围,再数 形结合求值域. ————————— [1 个规范练] ———————

? π? (2013?安徽高考)设函数 f(x)=sin x+sin?x+ ?. 3? ?
(1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变化得到. 1 3 3 3 π 【解】 (1)因为 f(x)=sin x+ sin x+ cos x= sin x+ cos x= 3sin(x+ ), 2 2 2 2 6 π π 2π 所以当 x+ =2kπ - (k∈Z),即 x=2kπ - (k∈Z)时,f(x)取得最小值- 3. 6 2 3
? ? 2π ? 此时 x 的取值集合为?x?x=2kπ - ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)先将 y=sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变), 得 y= 3 π sin x 的图象;再将 y= 3sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位,得 y=f(x)的图象. 6 课时限时检测(二十) 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的应用 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

? π? ? π? 1.要得到函数 y=sin?x- ?的图象可将函数 y=sin?x+ ?的图象上的所有点 6 6? ? ? ?
( π A.向右平移 个长度单位 6 π B.向左平移 个长度单位 6 π C.向右平移 个长度单位 3
47

)

π D.向左平移 个长度单位 3 【答案】 C π 2.(2013?山东高考)将函数 y=sin(2x+φ )的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到 8 一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( A. 3π 4 π B. 4 C.0 )

π D.- 4

【答案】 B 3.已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(x∈R)的图像的一部分如图 3-4-7 所示,其中 A π 2x 2x >0,ω >0,|φ |< ,为了得到函数 f(x)的图像,只要将函数 g(x)=2cos -2sin (x 2 2 2 ∈R)的图像上所有的点( )

图 3-4-7 π 1 A.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 π B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 【答案】 C π 4.已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< ),y=f(x)的部分图象如图 3-4 2

?π ? -8,则 f? ?=( ?24?

)

48

图 3-4-8 A.2+ 3 C. 3 3 B. 3 D.2- 3

【答案】 B 5.已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0,0<φ <π )为奇函数,该函数的部分 图象如图 3-4-9 所示,△EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f(1)的值为( )

图 3-4-9 A.- C. 3 3 2 B.- D.- 3 6 2

【答案】 D 6.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图 3-4-10 所示的坐标系,设秒针针尖位 置 P(x,y).若初始位置为 P0?

? 3 1? , ?,当秒针从 P0(此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的 ? 2 2?
)

纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式为(

图 3-4-10 A.y=sin?

?π t+π ? 6? ?30 ?

π? ? π B.y=sin?- t- ? 6? ? 60 π? ? π D.y=sin?- t- ? 30 3? ?

π? ? π C.y=sin?- t+ ? 30 6? ? 【答案】 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

π π ?π ? 7. 函数 f(x)=tan ω x(ω >0)的图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 , 则 f? ? 4 4 ?4? =________. 【答案】 0

?π ? ?π ? 8.已知 f(x)=cos(2x+φ ),其中 φ ∈[0,2π ),若 f? ?=f? ?,且 f(x)在区间 ?6? ?3?
49

?π ,π ?上有最小值,无最大值,则 φ =________. ?6 3? ? ?
【答案】 π 2

5π ? π ? 9.若将函数 y=sin?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y= 6 ? 3 ? π? ? sin?ω x+ ?的图象重合,则 ω 的最小值为________. 4? ? 【答案】 7 4

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10)已知函数 f(x)=2cos x+2 3sin x cos x-1. (1)求 f(x)的周期和单调递增区间; (2)说明 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样变化得到. 【解】 (1)f(x)=cos 2x+ 3sin 2x =2? π? 1 ? 3 ? ? sin 2x+ cos 2x?=2sin?2x+ 6 ?, ? ? 2 2 ? ?
2

f(x)最小正周期为 π ,
π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π π 可得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 3 6 所以,函数 f(x)的单调递增区间为

?kπ -π ,kπ +π ?(k∈Z). ? 3 6? ? ?
1 π (2)将 y=sin x 的图象纵坐标不变, 横坐标缩短为原来的 倍, 将所得图象向左平移 个 2 12 单位,再将所得的图象横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍得到 f(x)的图象. π ? ? 11.(12 分)设 x∈R,函数 f(x)=cos(ω x+φ )?ω >0,- <φ <0?的最小正周期为 2 ? ? 3 ?π ? π ,且 f? ?= . ?4? 2

50

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象; (3)若 f(x)> 2 ,求 x 的取值范围. 2

2π 【解】 (1)∵函数 f(x)的最小正周期 T= =π , ω ∴ω =2,

?π ? ? π ∵f? ?=cos?2? +φ 4 ?4? ?

?=cos?π +φ ?=-sin φ = 3, ? ?2 ? 2 ? ? ?

π π 且- <φ <0,∴φ =- . 2 3 π? ? (2)由(1)知 f(x)=cos?2x- ?,列表如下: 3? ? π 2x- 3 - π 3 0 π 6 1 π 2 5 π 12 0 π 2 π 3 -1 3 π 2 11 π 12 0 5 π 3 π 1 2

x f(x)
图象如图:

0 1 2

(3)∵f(x)>

π? 2 2 ? ,即 cos?2x- ?> , 3? 2 2 ?

π π π ∴2kπ - <2x- <2kπ + ,k∈Z, 4 3 4 π 7 则 2kπ + <2x<2kπ + π ,k∈Z, 12 12
51

π 7 即 kπ + <x<kπ + π ,k∈Z. 24 24
? ? ? π 7 ∴x 的取值范围是?x?kπ + <x<kπ + π ,k∈Z? 24 24 ? ? ?

.

12.(13 分)已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ )(0<φ <π ,ω >0)为偶 π 函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2

?π ? (1)求 f? ?的值; ?8?
π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长 6 到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 【解】 (1)f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ ) =2? 1 ? 3 ? sin?ω x+φ ?- cos?ω x+φ ?? 2 ?2 ?

π? ? =2sin?ω x+φ - ?. 6? ? π? ? ∵y=2sin?ω x+φ - ?是偶函数, 6? ? π π ∴φ - =kπ + ,k∈Z. 6 2 π π 又 0<φ <π ,∴φ - = . 6 2 π? ? ∴f(x)=2sin?ω x+ ?=2cos ω x. 2? ? 2π π 由题意得 =2? ,所以 ω =2.故 f(x)=2cos 2x. ω 2 π ?π ? 因此 f? ?=2cos = 2. 8 4 ? ? (2)将 f(x)的图象向右平移 π ? π? 个单位后,得到 f?x- ?的图象,再将所得图象上各点的 6? 6 ?

?x π ? 横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f? - ?的图象. ?4 6 ? ?x π ? ? ?x π ?? 所以 g(x)=f? - ?=2cos?2? - ?? ?4 6 ? ? ?4 6 ?? ?x π ? =2cos? - ?. ?2 3 ?
x π 当 2kπ ≤ - ≤2kπ +π (k∈Z), 2 3
52

2π 8π 即 4kπ + ≤x≤4kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3 2π 8π ? ? 因此 g(x)的递减区间为?4kπ + ,4kπ + ?(k∈Z). 3 3 ? ?

53

第五节 [考情展望]

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简与求

值.2.利用二倍角公式进行三角函数式的化简与求值.3.与三角函数 y=Asin(ω x+φ )的图 象和性质相结合,考查学生的综合能力.

一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.六个公式 ①sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β ; ②cos(α ±β )=cos α cos β ?sin α sin β ; tan α ±tan β ③tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.公式 T(α ±β )的变形 ①tan α +tan β =tan(α +β )(1-tan α tan β ); ②tan α -tan β =tan(α -β )(1+tan α tan β ). 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.三个公式 ①sin 2α =2sin α cos α ; ②cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α ③tan 2α = . 2 1-tan α 2.公式 S2α 、C2α 的变形 1 ①sin α cos α = sin 2α ; 2 1 2 ②sin α = (1-cos 2α ); 2 1 2 ③cos α = (1+cos 2α ). 2
2 2 2 2

54

1.sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°的值是( A. 1 2 B. 3 2 1 C.- 2 D.- 3 2

)

【答案】 C 2.下列各式中,值为 3 的是( 2 ) B.cos 15°-sin 15° D.sin 15°+cos 15°
2 2 2 2

A.2sin 15°cos 15° C.2sin 15°-1 【答案】 B 3.已知 tan(α +β )=3,tan(α -β )=5,则 tan 2α =( A. C. 1 8 4 7 1 B.- 8 4 D.- 7
2

)

【答案】 D π? 4 ? 4.若 cos α =- ,α 是第三象限角,则 sin?α + ?=( 4? 5 ? 7 2 A.- 10 C.- 2 10 7 2 B. 10 D. 2 10 )

【答案】 A

5.(2013?江西高考)若 sin 2 A.- 3 C. 1 3 1 B.- 3 2 D. 3

α 3 = ,则 cos α =( 2 3

)

【答案】 C

?π ? 则 tan 2α 的值是________. 6. (2013?四川高考)设 sin 2α =-sin α , α ∈? ,π ?, ?2 ?

55

【答案】

3

考向一 [060] 三角函数的给值求值 π π 3 ?π ? 1 ?π β ? (1)若 0<α < ,- <β <0,cos? +α ?= ,cos? - ?= , 2 2 ?4 ? 3 ?4 2? 3 β ? ? 则 cos?α + ?=( 2? ? A. C. 3 3 5 3 9 ) B.- D.- 3 3

6 9

【答案】 C

? π? (2)(2013?广东高考)已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12? ? π? ①求 f?- ?的值; ? 6?
π? 3 ?3π ? ? ②若 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,求 f?2θ + ?. 3? 5 ? 2 ? ?

? π? 【尝试解答】 ①因为 f(x)= 2cos?x- ?, ? 12? ? π? ? π π? 所以 f?- ?= 2cos?- - ? 6 ? ? ? 6 12?
π 2 ? π? = 2cos?- ?= 2cos = 2? =1. 4 4 2 ? ? ②因为 θ ∈?

?3π ,2π ?,cos θ =3, ? 5 ? 2 ?
2

所以 sin θ =- 1-cos θ =-

4 ?3?2 1-? ? =- , 5 ?5?

7 ?3?2 2 cos 2θ =2cos θ -1=2?? ? -1=- , 25 ?5? 3 ? 4? 24 sin 2θ =2sin θ cos θ =2? ??- ?=- . 5 5 ? ? 25
56

π? π π? ? ? 所以 f?2θ + ?= 2cos?2θ + - ? 3? 3 12? ? ? π? 2 ? 2 ? ? = 2cos?2θ + ?= 2?? cos 2θ - sin 2θ ? 4? ? 2 ?2 ? 7 ? 24? 17 =cos 2θ -sin 2θ =- -?- ?= . 25 ? 25? 25 规律方法 1 给值求值问题,解决的关键是把所求角用已知角表示. (1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式. (2)当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系,然后应用诱导 公式把所求角变成已知角. (3)注意根据角的象限确定三角函数值的符号. π? 4 π? ? ? 对点训练 (1)设 α 为锐角,若 cos?α + ?= ,则 sin?2α + ?的值为________. 6? 5 12? ? ? π? 7π ? 4 3 ? ? (2)已知 cos?α - ?+sin α = ,则 sin?α + ?=________. 6? 6 ? 5 ? ? 17 2 【答案】 (1) 50 4 (2)- 5

考向二 [061] 三角函数的给值求角 π α 1 2 已知 0<α < <β <π ,tan = ,cos(β -α )= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值;(2)求 β 的值. 【尝试解答】 (1)由 tan 2tan α 1 = , 2 2

α 2 4 得 tan α = = , 3 2α 1-tan 2 3 2 2 ∴cos α = sin α ,①又 sin α +cos α =1,② 4 由①、②联立,得 25sin α =16, π 4 ∵0<α < ,∴sin α = . 2 5 3 4 (2)由(1)知,cos α = ,sin α = , 5 5 π 又 0<α < <β <π ,∴0<β -α <π . 2
2

57

由 cos(β -α )= ∴sin(β -α )=

2 π ,得 0<β -α < . 10 2 98 7 2 = , 10 10

∴sin β =sin[(β -α )+α ]=sin(β -α )cos α +cos(β -α )?sin α = 由 7 2 3 2 4 25 2 2 ? + ? = = . 10 5 10 5 50 2 π 3 <β <π 得 β = π ., 2 4 2 π 易错误得出 β = ,这些错误的原因都是忽 2 4

规律方法 2 1.第(2)问中,由 sin β = 视了角的范围.

2.“给值求角”的求解思路:(1)求角的某一三角函数值,(2)讨论角的范围,确定角 的大小.其中求角的某一三角函数值时,应选择在该范围内是单调函数,若角的范围是(0,

? π π? π ),选余弦较好;若角的范围为?- , ?,选正弦较好. ? 2 2?
5 ?π ? 对点训练 (2014?江苏高考)已知 α ∈? ,π ?,sin α = . 5 ?2 ?

?π ? ?5π -2α ?的值. (1)求 sin? +α ?的值;(2)求 cos? ? ?4 ? ? 6 ?
5 ?π ? 【解】 (1)∵α ∈? ,π ?,sin α = . 5 ?2 ? 2 5 2 ∴cos α =- 1-sin α =- . 5 故 sin? =

?π +α ?4

?=sin π cos α +cos π sin α ? 4 4 ?

2 ? 2 5 10 5? ??- . + ?=- 2 ? 10 5 5?

4 ? 5?2 3 2 (2)由(1)知,sin 2α =2sin α cos α =- ,cos 2α =1-2sin α =1-2?? ? = , 5 ?5? 5 所以 cos? =?-

?5π -2α ?=cos5π cos 2α +sin 5π sin 2α ? 6 6 ? 6 ?

? ?

4+3 3 3? 3 1 ? 4? ??5+2??-5?=- 10 . ? ? 2? 考向三 [062] 三角函数式的化简 化简:(1)sin 50°(1+ 3tan 10°);
58

(1+sin
(2)

θ +cos θ

)? ?sin
?

θ θ -cos ? ? 2 2?

2+2cos θ

(0<θ <π ).

【尝试解答】 (1)sin 50°(1+ 3tan 10°) =sin 50°?

?cos 10°+ 3sin 10°? ? cos 10° ? ?

3 ?1 ? 2sin 50°? cos 10°+ sin 10°? 2 2 ? ? = cos 10° = = 2sin 50°sin?30°+10°? cos 10° 2sin 50°cos 50° sin 100° cos 10° = = =1. cos 10° cos 10° cos 10° θ π θ < ,∴cos >0. 2 2 2
2

(2)由 θ ∈(0,π ),得 0< 因此 2+2cos θ =

4cos

θ θ =2cos . 2 2

又(1+sin θ +cos θ )?sin =?2sin =2cos

? ?

θ θ -cos ? ? 2 2?

? ?

θ θ θ θ ? 2θ ? cos +2cos ? ??sin 2 -cos 2 ? 2 2 2 ?? ? θ ? θ 2θ 2θ sin -cos ? =-2cos cos θ . ? ? 2 2? 2? 2

θ -2cos cos θ 2 故原式= =-cos θ . θ 2cos 2 规律方法 3 1.本例(2)中有开方运算,联想二倍角公式的特征进行升幂,化为完全平 方式. 2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆 分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切 化弦”; (3)三看“结构特征”,帮助我们找到变形的方向. 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 对点训练 化简: . π ? ? 2? π ? 2tan? -x?sin ?x+ ? 4? ?4 ? ?
59

1 2 2 2cos x?cos x-1?+ 2 【解】 原式= π π ? ? ? 2? 2tan? -x??cos ? -x? ?4 ? ?4 ? = -4cos xsin x+1 1-sin 2x = ?π ? ?π ? ?π ? 4cos? -x?sin? -x? 2sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ?
2 2 2 2

cos 2x 1 = = cos 2x. 2cos 2x 2

规范解答之五 三角函数中给值求值问题的解题策略 —————————— [1 个示范例] ——————

?x π ? ?π ? (12 分)已知函数 f(x)=Acos? + ?,x∈R,且 f? ?= 2. ?4 6 ? ?3?
(1)求 A 的值; 4 ? 2 ? 8 30 ? ? π? ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?4α + π ?=- ,f?4β - π ?= ,求 cos(α +β )的值. 2? ? 3 ? 3 ? 5 17 ? ?

?π ? ?π π ? 【规范解答】 (1)由 f? ?= 2得 Acos? + ?= 2, 3 ? ? ?12 6 ?
即 A?cos π = 2,∴A=2. 4

2分 4分

?x π ? (2)由(1)知 f(x)=2cos? + ?. ?4 6 ?
4 ? 30 ? f?4α + π ?=- , ? ? ? 3 ? 17 由? ?4β -2π ?=8, ? 3 ? ?f? ? ? 5 π π? 30 ? 2cos?α + + ?=- , ? ? ? 3 6 ? 17 得? ?β -π +π ?=8, ? 6 6? ?2cos? ? ? 5

15 ? ?sin α =17, 解得? 4 ?cos β =5. ?

60

8 ? π? 2 ∵α ,β ∈?0, ?,∴cos α = 1-sin α = , 2? 17 ? 3 2 sin β = 1-cos β = . 5 8 4 15 3 13 ∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = ? - ? =- . 17 5 17 5 85 【名师寄语】 (1)在利用诱导公式时,先判断角的范围,确定三角函数值的符号,再 写出结果. (2)对于两角和与差的余弦公式,应特别注意符号的差别,防止出错. ————————— [1 个规范练] ——————— π? 1 ? π ? ? ? ? 已知 0<α < ,β 为 f(x)=cos?2x+ ?的最小正周期,a=?tan?α + β ?,-1?,b 8 4 ? 4 ? ? ? ? ? 2cos α +sin 2?α +β ? =(cos α ,2),且 a?b=m,求 的值. cos α -sin α π? 2π ? 【解】 因为 β 为 f(x)=cos?2x+ ?的最小正周期,所以 β = =π . 8? 2 ? 1 ? ? 又 a?b=cos α tan?α + β ?-2=m, 4 ? ? π? ? 故 cos α tan?α + ?=m+2. 4? ? π 由于 0<α < , 4 2cos α +sin 2?α +β ? 所以 cos α -sin α = = 2cos α +sin?2α +2π ? cos α -sin α 2cos α +sin 2α 2cos α ?cos α +sin α ? = cos α -sin α cos α -sin α
2 2 2 2

1+tan α =2cos α ? 1-tan α π? ? =2cos α tan?α + ?=2(2+m). 4? ? 课时限时检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 3-sin 70° =( 2 2-cos 10° )

61

A.

1 2

B.

2 2

C.2

D.

3 2

【答案】 C 2.设向量 a=(1,cos θ )与 b=(-1,2cos θ )垂直,则 cos 2θ 等于( A. 2 2 1 B. 2 D.-1 )

C.0

【答案】 C 3.若 sin(α +β A.5 C.6 B.-1 1 D. 6

)=

1 1 tan α ,sin(α -β )= ,则 的值为( 2 3 tan β

)

【答案】 A 4.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan Atan B,则 C 等于( A. C. π 3 π 6 2π B. 3 π D. 4 )

【答案】 A 4 ?π ? 5. 若 sin(α -β )sin β -cos(α -β )cos β = , 且 α 是第二象限角, 则 tan? +α ? 5 ?4 ? 等于( A.7 C. 1 7 ) B.-7 1 D.- 7

【答案】 C 6.(2013?浙江高考)已知 α ∈R,sin α +2cos α = A. 4 3 3 B. 4 4 D.- 3 10 ,则 tan 2α =( 2 )

3 C.- 4 【答案】 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

tan x ? π? 7.已知 tan?x+ ?=2,则 的值为________. 4 tan 2x ? ?
62

【答案】

4 9

?π ? 1 8.设 sin? +θ ?= ,则 sin 2θ =______. 4 ? ? 3
7 【答案】 - 9 cos 2α 2 9.若 =- ,则 cos α +sin α 的值为________. π 2 ? ? sin?α - ? 4? ? 【答案】 1 2

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分)

?1 π ? 10.(10 分)已知函数 f(x)=2sin? x- ?, 6? ?3
x∈R.
(1)求 f?

?5π ?的值; ? ? 4 ?

π ? 10 6 ? π? ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值. 2 2 5 ? ? ? ? 13 【解】 (1)f?

?5π ?=2sin?1?5π -π ?=2sin π = 2. ? ?3 4 ? 6? 4 ? 4 ? ?

π ? π ?? π? 10 ??1? ? (2)f?3α + ?=2sin?? ?3α + ?- ??=2sin α = , 2 2? 3 6 13 ? ? ? ?? ?? 5 ∴sin α = , 13 π? π? ?1 ? f(3β +2π )=2sin? ?3β +2π ?- ?=2sin?β + ? 3 6 2

?

?

?

?

6 3 =2cos β = ,∴cos β = . 5 5

? π? ∵α ,β ∈?0, ?, 2? ?
12 4 2 2 ∴cos α = 1-sin α = ,sin β = 1-cos β = , 13 5 ∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = 12 3 5 4 16 ? - ? = . 13 5 13 5 65

63

图 3-5-1 11.(12 分)如图 3-5-1,以 Ox 为始边作角 α 与 β (0<β <α <π ),它们终边分别

? 3 4? 与单位圆相交于点 P,Q,已知点 P 的坐标为?- , ?. ? 5 5?
sin 2α +cos 2α +1 (1)求 的值; 1+tan α (2)若 OP⊥OQ, 求 sin?α +β ? . π ? ? + β 2cos? ? ?4 ?

3 4 【解】 (1)由三角函数定义得 cos α =- ,sin α = , 5 5 ∴原式=
2 2sin α cos α +2cos α 2cos α ?sin α +cos α ? ? 3? 2 = =2cos α =2??- ? sin α sin α +cos α ? 5? 1+ cos α cos α

2

18 = . 25 π π (2)∵OP⊥OQ,∴α -β = ,∴β =α - . 2 2 π? π? 3 4 ? ? ∴sin β =sin?α - ?=-cos α = ,cos β =cos?α - ?=sin α = . 2? 2? 5 5 ? ? ∴ sin?α +β ? sin α cos β +cos α sin β = π cos β -sin β ? ? 2cos? +β ? ?4 ?

4 4 3 3 7 ? - ? 5 5 5 5 25 7 = = = . 4 3 1 5 - 5 5 5

? 7π ? ? 3π ? 12.(13 分)已知函数 f(x)=sin?x+ ?+cos?x- ?,x∈R. 4 ? 4 ? ? ?
(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β -α )= ,cos(β +α )=- ,0<α <β ≤ , 5 5 2 求证:[f(β )] -2=0.
2

64

? 7π ? ? 3π π ? 【解】 (1)∵f(x)=sin?x+ -2π ?+sin?x- + ? 4 4 2? ? ? ? ? π? ? π? ? π? =sin?x- ?+sin?x- ?=2sin?x- ?. 4 4 4? ? ? ? ? ?
∴T=2π ,f(x)的最小值为-2. 4 4 (2)证明 ∵cos(β -α )= ,cos(β +α )=- . 5 5 4 ∴cos β cos α +sin β sin α = , 5 4 cos β cos α -sin β sin α =- , 5 两式相加得 2cos β cos α =0. π π ∵0<α <β ≤ ,∴β = . 2 2

? π? 由(1)知 f(x)=2sin?x- ?, 4? ?
∴[f(β )] -2=4sin
2 2

π ? 2?2 -2=4?? ? -2=0. 4 ?2?

65

第六节 简单的三角恒等变换 [考情展望] 1.利用和、差、倍角公式进行三角函数恒等变形,进而研究三角函数的性 质问题.2.与三角函数的图象、性质相结合综合考查学生分析问题和解决问题的能力.

一、二倍角公式的变形 1.用 cos α 表示 sin sin
2 2

α 2α 2α ,cos ,tan 2 2 2

α 1-cos α 1+cos α 1-cos α 2α 2α = ,cos = ,tan = . 2 2 2 2 2 1+cos α α 2

2.用 sin α ,cos α 表示 tan tan

α sin α 1-cos α = = . 2 1+cos α sin α

应用二倍角公式的变形求值的注意问题 α α sin α α (1)已知 sin α ,cos α 的值求 tan 时,应优先采用 tan = 或 tan = 2 2 1+cos α 2 1-cos α α ,这样可以避免由“tan =± sin α 2 (2)应用“sin α =± 2 1-cos α ”带来增解. 1+cos α 1+cos α α ”求值时,可由 2 2

1-cos α α ”或“cos =± 2 2

所在象限确定该三角函数值的符号. 二、辅助角公式

b? ? asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ )?其中tan φ = ?. a? ?

1.辅助角公式的特殊情况 π? ? (1)sin α ±cos α = 2sin?α ± ?; 4? ?

66

π? ? (2)sin α ± 3cos α =2sin?α ± ?; 3? ?

?π ? (3)cos α ± 3sin α =2sin? ±α ?. ?6 ?
2.辅助角公式的作用 (1)利用该公式可将形如 y=asin x+bcos x 的函数转化为形如 y=Asin(ω x+φ )的函 数,进而研究函数的性质. (2)若函数 y=asin x+bcos x 的定义域为 R,则值域为[- a +b , a +b ].
2 2 2 2

1 5π θ 1.已知 cos θ =- , <θ <3π ,那么 sin =( 5 2 2 A. C. 10 5 15 5

) B.- D.- 10 5 15 5

【答案】 D 1 α 2.已知 cos α = ,α ∈(π ,2π ),则 cos 等于( 3 2 A. C. 6 3 3 3 B.- D.- 6 3 3 3 )

【答案】 B 3.化简 2+cos 2-sin 1的结果是( A.-cos 1 C. 3cos 1 【答案】 C 4.对于函数 f(x)=2sin x cos x,下列选项中正确的是 ( π π A.f(x)在( , )上是递增的 4 2 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2
67
2

) B.cos 1 D.- 3cos 1

)

【答案】 B

π? 2 2? 5.(2013?课标全国卷Ⅱ)已知 sin 2α = ,则 cos ?α + ?= 4? 3 ? ( A. C. 1 6 1 2 1 B. 3 2 D. 3 )

【答案】 A 6.(2014?山东高考)函数 y= 【答案】 π 3 2 sin 2x+cos x 的最小正周期为________. 2

68

考向一 [063] 辅助角公式及其应用

?π ? (1)函数 f(x)= 3sin x+cos? +x?的最大值为 3 ? ?
( A.2 B. 3 C.1 1 D. 2 3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 2 )

(2)(2013?浙江高考)函数 f(x)=sin xcos x+ ( ) A.π ,1 C.2π ,1 B.π ,2 D.2π ,2

(3)(2013?湖北高考)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位 长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. C. π 12 π 3 π B. 6 5π D. 6 )

【答案】 (1)C (2)A (3)B 规律方法 1 利用 asin x+bcos x= a +b sin(x+φ )把形如 y=asin x+bcos x+k 的函数化为一个角的某种函数的一次式,可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、 对称轴等. 对点训练 已知函数 f(x)= 3sin x-cos x,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为 ( )
? ? π ? A.?x?2kπ + ≤x≤2kπ +π ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ? π B.?x?kπ + ≤x≤kπ +π ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 69 ? ? ? ? ?
2 2

? ? ? π 5 C.?x?2kπ + ≤x≤2kπ + π ,k∈Z 6 6 ? ? ?

? ? ? π 5π D.?x?kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z 6 6 ? ? ?

? ? ? ? ?

【答案】 A 考向二 [064] 三角恒等变换的综合应用 π? π? ? 2? 已知函数 f(x)= 3sin?2x- ?+2sin ?x- ?(x∈R). 6? ? ? 12? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值时 x 的集合. 【尝试解答】 2? (1) 因 为 f(x) = π? ? ? π? 3 sin ?2x- ? + 1 - cos 2 ?x- ? = 6? ? ? 12?

π? 1 ? π ?? ? 3 ? sin?2x- ?- cos?2x- ??+1 6? 2 ? 6 ?? ? ?2 π? π? ?? =2sin??2x- ?- ?+1 6? 6? ?? π? ? =2sin?2x- ?+1, 3? ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π? π π ? (2)当 f(x)取得最大值时, sin?2x- ?=1,此时 2x- =2kπ + (k∈Z), 即 x=kπ 3? 3 2 ?
? ? ? 5π 5π + (k∈Z),所以所求 x 的集合为?x?x=kπ + ,k∈Z 12 12 ? ? ? ? ? ?., ? ?

规律方法 2 1.三角恒等变换要坚持结构同化原则,即尽可能地化为同角函数、同名函 数、同次函数等,其中切化弦也是同化思想的体现; 2.降次是一种三角变换的常用技巧,要灵活运用降次公式. π? ? 对点训练 (2014?四川高考)已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; π? ?α ? 4 ? (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? π ? π ? 【解】 (1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 2kπ π 2kπ 得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3

70

? π 2kπ ,π +2kπ ?,k∈Z. 所以函数 f(x)的单调递增区间为?- + 3 12 3 ? ? 4 ?
π? 4 ? π? ? 2 2 (2)由已知,有 sin?α + ?= cos?α + ?(cos α -sin α ), 4 4? 5 ? ? ? 所以 sin α cos π π +cos α sin 4 4

π π? 4? 2 2 = ?cos α cos -sin α sin ??(cos α -sin α ), 4 4? 5? 4 2 即 sin α +cos α = (cos α -sin α ) (sin α +cos α ). 5 3π 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角,知 α = +2kπ ,k∈Z. 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 2 当 sin α +cos α ≠0 时,有(cos α -sin α ) = . 4 由 α 是第二象限角,知 cos α -sin α <0, 此时 cos α -sin α =- 5 . 2 5 . 2

综上所述,cos α -sin α =- 2或-

思想方法之十 转化思想在求三角函数最值中的妙用 解决三角函数最值的基本途径, 同求解其他函数最值一样, 一方面应充分利用三角函数 自身的特殊性(如有界性等), 另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们 所熟知的函数(二次函数等)最值问题.常见的三角函数最值的求解策略如下所示: 1.配方转化策略 对能够化为形如 y=asin x+bsin x+c 或 y=acos x+bcos x+c 的三角函数最值问题, 可看作是 sin x 或 cos x 的二次函数最值问题,常常利用配方转化策略来解决. 2.有界转化策略 对于所给的三角函数能够通过变形化为形如 y=Asin(ω x+φ )等形式的,常常可以利 用三角函数的有界性来求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.
2 2

71

3.单调性转化策略 借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略. 对于三角函数来说, 常常是 先化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式,再利用三角函数的单调性求解. —————————— [1 个示范例] —————— (2013?山东高考)设函数 f(x)= 3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x(ω 2

π >0),且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π ? ? (2)求 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值. 2 ? ? 【解】 (1)f(x)= = 3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x 2

3 1-cos 2ω x 1 - 3? - sin 2ω x 2 2 2 3 1 cos 2ω x- sin 2ω x 2 2



π? ? =-sin?2ω x- ?. 3? ? π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 4 2π π 又 ω >0,所以 =4? . 2ω 4 因此 ω =1. π? ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ? 3π 5π π 8π 当 π ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 所以- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1. 3? 2 ? 3 . 2

因此-1≤f(x)≤

3π ? 3 ? 故 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值为 ,-1. 2 2 ? ? ———————— [1 个对点练] ——————— 已知向量 a=(1+sin 2x,sin x-cos x),b=(1,sin x+cos x),函数 f(x)=a?b. (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 的值;

72

8 ?π ? (2)若 f(θ )= ,求 cos 2? -2θ ?的值. 5 ?4 ? 【解】 (1)因为 a=(1+sin 2x,sin x-cos x),b=(1,sin x+cos x),所以 f(x) =1+sin 2x+sin x-cos x=1+sin 2x-cos 2x π? ? = 2sin?2x- ?+1. 4? ? π π 3 因此,当 2x- =2kπ + (k∈Z),即 x=kπ + π (k∈Z)时,f(x)取得最大值 2+ 4 2 8 1. 8 3 (2)由 f(θ )=1+sin 2θ -cos 2θ 及 f(θ )= ,得 sin 2θ -cos 2θ = ,两边平方, 5 5 9 16 得 1-sin 4θ = ,即 sin 4θ = . 25 25 因此 cos 2?
2 2

?π -2θ ?4

?=cos?π -4θ ? ?2 ? ?

?=sin 4θ =16. ? 25 ?

课时限时检测(二十二) 简单的三角恒等变换 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1 3 1.设 a= cos 6°- sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c= 2 2 ( ) A.a>b>c C.b<c<a 【答案】 D B.a<b<c D.a<c<b 1-cos 50° ,则有 2

? ? ?π ? 2?π 2?π 2.已知函数 f(x)=cos ? +x?-cos ? -x?,则 f? ?等于( ?4 ? ?4 ? ?12?
A. 1 2 1 B.- 2 C. 3 2 D.- 3 2

)

【答案】 B 3.若 θ ∈? A. C. 3 5 7 4

?π ,π ?,sin 2θ =3 7,则 sin θ =( ? 8 ?4 2?
4 B. 5 3 D. 4

)

【答案】 D
73

4.若 sin 76°=m,用含 m 的式子表示 cos 7°为( A. 1+m 2 1+m 2 B. 1-m 2 1+m 2

)

C.±

D.

【答案】 D 5.已知 cos 2θ = A. C. 13 18 7 9 11 B. 18 D.-1 2 4 4 ,则 sin θ +cos θ 的值为( 3 )

【答案】 B 6.若 sin(π -α )=- A.- 6 6 6 3 3π ? 5 ? ?π α ? ,且 α ∈?π , ?,则 sin? + ?=( 2 ? 3 ? ?2 2? B.- 6 6 )

C.

D.

6 3

【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π? 2? 7.函数 f(x)=sin ?2x- ?的最小正周期是________. 4? ? 【答案】 π 2

24 α 8.已知 α 是第三象限角,且 sin α =- ,则 tan =________. 25 2 4 【答案】 - 3 9.(2013?课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =________. 2 5 【答案】 - 5 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分)

? 1 -tanα ? 1-cos 2α 2 ?? 10.(10 分)化简:(1)? α . ?tan ? sin 2α 2 ? ?

74

1 2 2 2 2 (2)sin α sin β +cos α cos β - cos 2α cos 2β . 2

【解】

?cosα2 sinα2 ? 2sin α - (1)原式=? ? α α ? 2sin α cos α ?sin 2 cos 2 ?
2

α 2α -sin 2 2 sin α = ? α α cos α sin ?cos 2 2 cos
2



2cos α sin α ? =2. sin α cos α

(2)法一:(从“角”入手,复角化单角): 1 2 2 2 2 2 2 原式=sin α sin β +cos α cos β - (2cos α -1)(2cos β -1) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 =sin α sin β +cos α cos β - (4cos α cos β -2cos α -2cos β +1) 2 1 2 2 2 2 2 2 =sin α sin β -cos α cos β +cos α +cos β - 2 1 2 2 2 2 2 =sin α sin β +cos α sin β +cos β - 2 1 1 1 2 2 =sin β +cos β - =1- = . 2 2 2 法二(从“名”入手,异名化同名): 1 2 2 2 2 原式=sin α sin β +(1-sin α )cos β - cos 2α cos 2β 2 1 2 2 2 2 =cos β -sin α (cos β -sin β )- cos 2α cos 2β 2 1 ? 2 ? 2 =cos β -cos 2β ?sin α + cos 2α ? 2 ? ? = 1+cos 2β 1 1 - cos 2β = . 2 2 2

法三(从“幂”入手,利用降幂公式先降次): 1-cos 2α 1-cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β 1 原式= ? + ? - cos 2α ?cos 2β 2 2 2 2 2 1 1 = (1+cos 2α ?cos 2β -cos 2α -cos 2β )+ (1+cos 2α ?cos 2β +cos 2α + 4 4 1 1 1 1 cos 2β )- cos 2α ?cos 2β = + = . 2 4 4 2 法四(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方):
75

1 2 原式=(sin α sin β -cos α cos β ) +2sin α sin β ?cos α cos β - cos 2α cos 2 2β 1 1 2 =cos (α +β )+ sin 2α ?sin 2β - cos 2α ?cos 2β 2 2 1 2 =cos (α +β )- cos(2α +2β ) 2 1 1 2 2 =cos (α +β )- [2cos (α +β )-1]= . 2 2 1 2 11.(12 分)(2013?北京高考)已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 α ∈?

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求 α 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 【解】 (1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 =cos 2xsin 2x+ cos 4x 2 1 = (sin 4x+cos 4x) 2 = π? 2 ? sin?4x+ ?, 4? 2 ?

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α )= π? 2 ? ,所以 sin?4α + ?=1. 4? 2 ?

?π ? 因为 α ∈? ,π ?, ?2 ?
π ?9π 17π ? , 所以 4α + ∈? . 4 ? 4 ? 4 ? π 5π 9π 所以 4α + = ,故 α = . 4 2 16 12.(13 分)已知函数 f(x)=sin x+cos x. cos x-sin xcos x (1)若 f(x)=2f(-x),求 的值; 2 1+sin x (2)求函数 F(x)=f(x)f(-x)+f (x)的最大值和单调递增区间. 【解】 (1)∵f(x)=sin x+cos x,∴f(-x)=cos x-sin x.
2 2

76

1 又∵f(x)=2f(-x),∴sin x+cos x=2(cos x-sin x)且 cos x≠0,得 tan x= . 3 cos x-sin xcos x cos x-sin xcos x 1-tan x 6 ∴ = = = . 2 2 2 2 1+sin x 2sin x+cos x 2tan x+1 11 (2)由题知 F(x)=cos x-sin x+1+2sin xcos x, ∴F(x)=cos 2x+sin 2x+1, π? ? ∴F(x)= 2sin?2x+ ?+1. 4? ? π? ? ∴当 sin?2x+ ?=1 时,F(x)max= 2+1. 4? ? 由- π π π + 2kπ ≤2x + ≤ + 2kπ 2 4 2 解 得 , 函 数 F(x) 的 单 调 递 增 区 间 为
2 2 2 2

?-3π +kπ ,π +kπ ?(k∈Z.) ? 8 ? 8 ? ?

77

第七节 正弦定理和余弦定理 [考情展望] 1.利用正、余弦定理实现边、角的转化,从而解三角形或判断三角形的形 状.2.利用正、 余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、 三角恒等变换等知识相 融合,考查学生灵活运用知识的能力.

一、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理

a2=b2+c2-2bc?cos A,
内容 = = =2R sin A sin B sin C

a

b

c

b2=c2+a2-2ca?cos B, c2=a2+b2-2ab?cos C.

①a=2Rsin A,b=2Rsin B,

cos A= cos B= cos C=

c=2Rsin C;
②a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; ③

b2+c2-a2 ; 2bc c2+a2-b2 ; 2ca a2+b2-c2 . 2ab

变形形式

a+b+c a = . sin A+sin B+sin C sin A

解决问题

①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角.

①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

在△ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况

A 为锐角

A 为钝角或直角

78

图形

关系式 解的 个数

a=bsin A
一解

bsin A<a<b
两解

a≥b
一解

a>b
一解

由上表可知,当 A 为锐角时,a<bsin A,无解.当 A 为钝角或直角时,a≤b,无解. 二、三角形常用面积公式 1 1.S= a?ha(ha 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 2.S= absin C= acsin B= bcsin A. 2 2 2 1 3.S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 2

三角形中的常用结论 (1)A+B=π -C,

A+B π

= - . 2 2 2

C

(2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. π (4)在△ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A?tan B?tan C(A、B、C≠ ). 2

1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=( A. 6 3 2 2 B. 3 C.- 6 3 2 2 D.- 3

)

【答案】 A 2.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45°,则此三角形有( )
79

A.无解 C.一解 【答案】 B

B.两解 D.解的个数不确定

3. 已知△ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为 a, b, c.若 a=c= 6+ 2, 且 A=75°, 则 b=( A.2 C.4-2 3 【答案】 A 4.△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 【答案】 15 3 4 . ) B.4+2 3 D. 6 - 2

5.(2013?湖南高考)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3

b,则角 A 等于(
A. C. π 12 π 4 π B. 6

)

π D. 3

【答案】 D 6 .(2014?福建高考 ) 在△ ABC 中, A =60°,AC = 4 , BC = 2 3 ,则△ ABC 的面积等 于 . 【答案】 2 3

考向一 [065] 利用正、余弦定理解三角形 (2014?辽宁高考改编)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,

c,且 a>c.已知 b=3,ac=6,cos B= .求:
(1)a 和 c 的值;(2)cos(B-C)的值.
80

1 3

8 2 2 2 2 【尝试解答】 (1)由余弦定理 b =a +c -2accos B=(a+c) - ac. 3 又 b=3,ac=6,① ∴(a+c) =25,即 a+c=5,② 由①②联立,解得? 因为 a>c, 所以 a=3 且 c=2. (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos B=
2 2

? ?a=2, ?c=3 ?

或?

? ?a=3, ?c=2. ?

2 2 . 3

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= ? = . b 3 3 9
又 a=b=3>c,知 C 为锐角, 因此 cos C= 7 2 1-sin C= . 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= ? + ? = ., 3 9 3 9 27 规律方法 1 1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题,其中已知两边及其一边的 对角,既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解. 2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化,从而达到知三求 三的目的. 对点训练 (2014?湖南高考改编)如图 3-7-1,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,

CD=2,AC= 7,BA⊥AD.
(1)求 cos∠CAD 的值; 21 ?π ? (2)若 cos? -B?= ,求 BC 的长. ?2 ? 6 【解】 (1)在△ADC 中,AD=1,CD=2,AC= 7. 由余弦定理,cos∠CAD=

AC2+AD2-CD2 7+1-4 2 7 = = . 2AC?AD 7 2 7

π (2)∵AD⊥AB,∴∠BAC= -∠CAD. 2 2 7 ?π ? 则 sin ∠BAC=sin? -∠CAD?=cos∠CAD= , 7 ?2 ? 又 cos?

?π -B?= 21,∴sin B= 21, ? 6 6 ?2 ?

81

在△ABC 中,由正弦定理, = , sin∠BAC sin B

BC

AC

∴BC=

AC?sin∠BAC = sin B

7?

2 7 7

21 6



4 21 . 7

考向二 [066] 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 在△ABC 中, a, b, c 分别表示三个内角 A, B, C 的对边, 如果(a +b )sin(A -B)=(a -b )?sin(A+B),试判断该三角形的形状. 【尝试解答】 法一(化边为角): ∵(a +b )sin(A-B)=(a -b )?sin(A+B), ∴a [sin(A-B)-sin(A+B)] =b [-sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2a cos Asin B=2b sin Acos B. 由正弦定理得 2sin Acos Asin B=2sin Bsin Acos B, 即 sin 2A?sin Asin B=sin 2B?sin Asin B. ∵0<A<π ,0<B<π ,∴sin 2A=sin 2B, π ∴2A=2B 或 2A=π -2B,即 A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 法二(化角为边): 同法一可得 2a cos Asin B=2b cos Bsin A, 由正弦、余弦定理得 a b?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b2+c2-a2 2 a2+b2-b2 =b a? 2bc 2ac
2 2

∴a (b +c -a )=b (a +c -b ), 即(a -b )(c -a -b )=0. ∴a=b 或 c =a +b , ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 规律方法 2 判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进 行判断. (2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系 进行判断.
82
2 2 2 2 2 2 2 2

【提醒】 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外, 在变形过程中要注意角 A,B,C 的范围对三角函数值的影响. 对点训练 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin

B+(2c+b)sin C.
(1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 【解】 (1)由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c,即 a =b +c +bc. 由余弦定理,a =b +c -2bccos A, 1 ∴bc=-2bc cos A,cos A=- . 2 2 又 0<A<π ,∴A= π . 3 (2)由(1)知 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C, ∴sin A=(sin B+sin C) -sin Bsin C. 又 sin B+sin C=1,且 sin A= 3 , 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 ∴sin Bsin C= ,因此 sin B=sin C= . 4 2 π 又 B、C∈(0, ),故 B=C. 2 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.

考向三 [067] 与三角形面积有关的问题 (2013?浙江高考)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,

c 且 2asin B= 3b.
(1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 【尝试解答】 (1)由 2asin B= 3b 及正弦定理 = , sin A sin B 得 sin A= 3 . 2

a

b

π 因为 A 是锐角,所以 A= . 3 (2)由余弦定理 a =b +c -2bccos A,
2 2 2

83

得 b +c -bc=36. 28 又 b+c=8,所以 bc= . 3 1 由三角形面积公式 S= bcsin A, 2 1 28 3 7 3 得△ABC 的面积为 ? ? = ., 2 3 2 3 规律方法 3 1.本例(2)在求解中通过 “b +c -bc=(b+c) -3bc”实现了“b+c”与“bc”间的互化关系. 2.在涉及到三角形面积时,常常借助余弦定理实现“和与积”的互化. 对点训练 (2014?山东高考)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a= 3,cos A= 6 π ,B=A+ . 3 2
2 2 2

2

2

(1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 【解】 (1)在△ABC 中,由题意知,sin A= 1-cos A= 6 ? π? 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= . 2? 3 ?
2

3 π ,又因为 B=A+ , 3 2

asin B 由正弦定理,得 b= = sin A

3?

6 3

3 3

=3 2.

π 3 ? π? (2)由 B=A+ ,得 cos B=cos ?A+ ?=-sin A=- . 2? 2 3 ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B). 所以 sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 6 6 1 ? = . 3 3 3 因此△ABC 的面积 3 ? 3? ??- ?+ 3 ? 3?

S= absin C= ?3?3 2? =

1 2

1 2

1 3

3 2 . 2

84

规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的巧用 —————————— [1 个示范例] —————— (12 分)(2014?重庆高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,

b,c,且 a+b+c=8.
5 (1)若 a=2,b= ,求 cos C 的值; 2 9 2B 2A (2)若 sin Acos +sin Bcos =2sin C,且△ABC 的面积 S= sin C,求 a 和 b 的值. 2 2 2 5 7 【规范解答】 (1)∵a=2,b= ,且 a+b+c=8,∴c=8-(a+b)= . 2 2

?5?2 ?7?2 2 2 +? ? -? ? a +b -c ?2? ?2? 由余弦定理得 cos C= = 2ab 5 2?2? 2
2 2 2

1 =- . 5 (2)由 sin Acos
2

B

+sin Bcos =2sin C,可得 2 2 6分

2

A

1+cos B 1+cos A sin A? +sin B? =2sin C, 2 2 化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C, 所以 sin A+sin B=3sin C. 根据正弦定理,得 a+b=3c. 又因为 a+b+c=8,故 a+b=6. ① 1 9 由于 S= absin C= sin C,所以 ab=9, ② 2 2 联立①②,解得 a=3 且 b=3.

8分

10 分

12 分

【名师寄语】 (1)熟练掌握正、余弦定理的使用条件及可解三角形的范畴是解答此类 问题的关键. (2)学会用“执果索因”的方式把待求的边(角)化归到一个三角形中, 应用两定理求解. ————————— [1 个规范练] ——————— 如图 3-7-2,在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,

DC=6,求 AB 的长.

85

图 3-7-2 【解】 在△ADC 中,AD=10,

AC=14,DC=6, AD2+DC2-AC2 由余弦定理得 cos∠ADC= 2AD?DC
= 100+36-196 1 =- , 2?10?6 2

∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°. 在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 = , sin∠ADB sin B ∴AB= 10? = 2 2

AB

AD

AD?sin∠ADB 10sin 60° = sin B sin 45°
3 2 =5 6.

课时限时检测(二十三) 正弦定理和余弦定理 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos B=( 1 A.- 2 C.-1 【答案】 D 2.在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是(
2 2 2 2

)

B.

1 2

D.1

)

? π? A.?0, ? 6? ?

B.?

? π ,π ? ? ?6 ?
86

? π? C.?0, ? 3? ?
【答案】 C

?π ? D.? ,π ? ?3 ?
)

3.若△ABC 中,6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=( A. C. 15 4 3 15 16 3 B. 4 11 D. 16

【答案】 D 4.(2013?课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B π π = ,C= ,则△ABC 的面积为( 6 4 A.2 3+2 C.2 3-2 【答案】 B cos A b 5.在△ABC 中,内角 A、B 的对边分别是 a、b,若 = ,则△ABC 为( cos B a A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】 C 6. (2013?课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,23cos A +cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C.8 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π 7.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A= ,则∠C 的大小为 3 【答案】 π 2 . B.9 D.5 )
2

) B. 3+1 D. 3-1

)

8.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则 角 C= 【答案】 . 2π 3
87

9. (2013?安徽高考)设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c.若 b+c=2a,3sin

A=5sin B,则角 C=
【答案】 2π 3

.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 b +c =a +bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B?sin C=sin A,试判断△ABC 的形状. 【解】 (1)由已知得 cos A=
2 2 2 2

b2+c2-a2 bc 1 = = , 2bc 2bc 2

π 又∠A 是△ABC 的内角,∴A= . 3 (2)由正弦定理,得 bc=a ,又 b +c =a +bc,∴b +c =2bc. π 2 ∴(b-c) =0,即 b=c.又 A= ,∴△ABC 是等边三角形. 3 11.(12 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C -b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 【解】 (1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C -sin B-sin C=0. 因为 B=π -A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π 1 由于 sin C≠0,所以 sin(A- )= . 6 2 π 又 0<A<π ,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a =b +c -2bccos A,故 b +c =8. 解得 b=c=2. 12.(13 分)(2013?天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已 2 知 bsin A=3csin B,a=3,cos B= . 3 (1)求 b 的值;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

88

π? ? (2)求 sin?2B- ?的值. 3? ? 【解】 (1)在△ABC 中,由 = ,可得 bsin A=asin B. sin A sin B

a

b

又由 bsin A=3csin B,可得 a=3c,又 a=3,故 c=1. 2 2 2 2 由 b =a +c -2accos B,cos B= ,可得 b= 6. 3 2 5 (2)由 cos B= ,得 sin B= ,进而得 3 3 1 2 cos 2B=2cos B-1=- , 9 4 5 sin 2B=2sin BcosB= , 9 π π π 所以 sin(2B- )=sin 2Bcos -cos 2Bsin 3 3 3 = 4 5+ 3 . 18

89

第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例 [考情展望] 以实际问题为背景, 考查利用正、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量 (高度、距离)有关的实际问题.

实际问题中的有关概念 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角 (如图 3-8-1①).

图 3-8-1 2.方位角和方向角 (1)方位角: 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如 B 点的方位角为 α (如图 3 -8-1②). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°等. 3.坡度与坡比 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比. 4.视角 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图 3-8-2).

90

图 3-8-2

解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求 等.

1. 从 A 处望 B 处的仰角为 α , 从 B 处望 A 处的俯角为 β , 则α , β 之间的关系是( A.α >β C.α +β =90° 【答案】 B B.α =β D.α +β =180°

)

2.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图 3-8-3), 要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50 m,∠ABC=105°,∠

BCA=45°,就可以计算出 A,B 两点的距离为(

)

91

图 3-8-3 A.50 2 m C.25 2 m 【答案】 A 3.如图 3-8-4 所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则 灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km km C. 2a km km 【答案】 B 4. 在 200 米高的山顶上, 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°, 60°,则塔高为 【答案】 400 3 米. D.2a ) B. 3 a B.50 3 m 25 2 D. m 2

5.(2014?四川高考改编)如图 3-8-5,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的 俯角分别为 75°,30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC= m.

92

图 3-8-5 【答案】 120( 3-1)

考向一 [068] 测量距离问题 要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测 得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距离. 【尝试解答】 如图所示,在△ACD 中, ∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°. ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = . sin 60° 2

在△ABC 中,由余弦定理,得

AB2=( 3)2+?

6+ 2 ? 6+ 2?2 ? -2? 3? 2 ?cos 75° ? 2 ?

=3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km),∴A、B 之间的距离为 5 km.
93

规律方法 1 1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中, 建立一个解三 角形的模型; 2.利用正、余弦定理解出所求的边和角,得出该数学模型的解. 对点训练 如图 3-8-6 所示,A,B 是海面上 位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于

A 点北偏东 45°, B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出
求救信号, 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里 的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/ 小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 【解】 由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠ DBA =90°-60°=30°,∠ DAB =90°-45°= 45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, 在△DAB 中,由正弦定理,得 ∴DB= = = , sin∠DAB sin∠ADB

DB

AB

AB?sin∠DAB 5?3+ 3??sin 45° = sin∠ADB sin 105°

5?3+ 3??sin 45° 5 3? 3+1? = sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60° 3+1 2

=10 3(海里), 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°,BC=20 3(海里). 在△DBC 中,由余弦定理得

CD2=BD2+BC2-2BD?BC?cos∠DBC
1 =300+1200-2?10 3?20 3? =900. 2 30 ∴CD=30(海里).则需要的时间 t= =1(小时). 30

考向二 [069] 测量高度问题 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 米后, 望见塔在东北方向, 若沿途测得塔顶的最大仰角为 30°, 求塔高. 【尝试解答】 如图所示,某人在 C 处,AB 为塔高,他

94

沿 CD 前进,CD=40,此时∠DBF=45°,过点 B 作 BE⊥CD 于 E,则∠AEB=30°, 在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30°, ∠DBC=135°,由正弦定理,得

CD

sin∠DBC



, sin∠BCD

BD

40sin 30° ∴BD= =20 2(米). sin 135° ∠BDE=180°-135°-30°=15°. 在 Rt△BED 中,

BE=DBsin 15°=20 2?

6- 2 =10( 3-1)(米). 4

在 Rt△ABE 中,∠AEB=30°, 10 ∴AB=BEtan 30°= (3- 3)(米). 3 10 故所求的塔高为 (3- 3)米. 3 规律方法 2 1.在测量高度时,要准确理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一 铅垂面内,视线与水平线的夹角; 2.分清已知条件与所求,画出示意图;明确在哪个三角形内运用正、余弦定理,有序 地解相关的三角形. 对点训练 (2014?课标全国卷Ⅰ)如图 3-8-7, 为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的 山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠

MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=

m.

图 3-8-7 【答案】 150 考向三 [070] 测量角度问题

95

在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向、距离 A 处( 3-1)海里的 B 处有一 艘走私船;在 A 处北偏西 75°方向、距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小 时的速度追截走私船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃 窜,问缉私船什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间? 【尝试解答】 设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t. 在△ABC 中,AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°. 利用余弦定理可得 BC= 6. 由正弦定理,得 sin∠ABC= sin∠BAC=

AC BC

2 6

?

3 2 = , 2 2

得∠ABC=45°,即 BC 与正北方向垂直. 于是∠CBD=120°. 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCD=

BDsin∠CBD 10t?sin 120° 1 = = , CD 2 10 3t BC 10 3t = , 即 = sin 120° sin 30° 3 CD

得∠BCD=30°, 又 6, 得 t= 6 . 10

所以当缉私船沿东偏北 30°的方向能最快追上走私船,最少要花 规律方法 3 测量角度问题的一般步骤

6 小时. 10

(1)在弄清题意的基础上, 画出表示实际问题的图形, 并在图形中标出有关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形; (3)将解得的结果转化为实际问题的解. 对点训练 如图 3-8-8 所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把 消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船 朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ 的值. 【解】 如题图所示,在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC =120°,

96

由余弦定理,BC =AB +AC -2AB?AC?cos 120°=2 800, ∴BC=20 7, 由正弦定理得, = , sin∠ACB sin∠BAC ∴sin∠ACB= sin∠BAC=

2

2

2

AB

BC

AB BC

21 . 7

2 7 由∠BAC=120°,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= . 7 由 θ =∠ACB+30°, 得 cos θ =cos(∠ACB+30°) =cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°= 21 . 14

故 cos θ 的值为

21 . 14

思想方法之十一 函数思想在解三角形中的应用 在解决数学问题时,有一种从未知转化为已知的手段,就是通过引入变量,寻找已知与 未知之间的等量关系, 构造函数, 然后借助函数的变化趋势来分析或预测未知量的变化情况, 这就是函数思想. 在解三角形应用举例中,借助函数思想可以解决以下两类问题: (1)距离最短的追缉问题. (2)仰角(或视角)最大问题. 求解此类问题时可先借助三角形中的正(余)弦定理建立等量关系, 然后借助函数的知识 (如二次函数最值的求法,导数等)探求最优解. —————————— [1 个示范例] —————— (2013?江苏高考)如图 3-8-9,游客从某旅游 景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另 一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两 位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min

97

后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动 12 3 的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范 围内? 12 3 【解】 (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C = 5 3 12 4 63 ? + ? = . 13 5 13 5 65

AB AC AC 1 260 4 由正弦定理 = ,得 AB= ?sin C= ? =1 040(m). sin C sin B sin B 63 5 65
所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距 12 2 2 2 离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 d =(100+50t) +(130t) -2?130t?(100+50t)? = 13 200(37t -70t+50). 1 040 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37
2

BC AC AC 1 260 5 (3)由正弦定理 = ,得 BC= ?sin A= ? =500(m). sin A sin B sin B 63 13 65
乙从 B 出发时,甲已走了 50?(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ - ≤3,解得 ≤v≤ ,所以 v 50 43 14 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min, 乙步行的速度应控制在? 位:m/min)范围内. ————————— [1 个对点练] ——————— 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时, 轮船位
98

?1 250,625?(单 14 ? ? 43 ?

于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时 与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇, 试确定小艇航行速度的最小值. 【解】 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则

S= 900t2+400-2?30t?20?cos?90°-30°?
= 900t -600t+400 =
2

? 1?2 900?t- ? +300, ? 3?

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3, 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇, 如图所示. 由题意可得:(vt) =20 +(30t) - 2?20?30t?cos(90°-30°),化简得:
2 2 2

v2=

400 600 +900 2 -

t

t

?1 3?2 =400? - ? +675. ?t 4?
1 1 1 由于 0<t≤ ,即 ≥2,所以当 =2 时,v 取得最小 2 t t 值 10 13, 即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时. 课时限时检测(二十四) 正弦定理、余弦定理的应用举例 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°, 则 A,C 两地的距离为( A.10 km C.10 5 km 【答案】 D
99

) B.10 3 km D.10 7 km

2.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高 度为( )

图 3-8-10 A.10 2 m C.20 3 m 【答案】 D 3.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘 船的速度是每小时( A.5 海里 C.10 海里 【答案】 C 4.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分 钟后到达 B 处.在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处 观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是( ) ) B.5 3海里 D.10 3海里 B.20 m D.40 m

图 3-8-11 A.10 2海里 C.20 2海里 【答案】 A 5.如图 3-8-12 所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有 一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ +30°角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sin θ 的 值为( ) B.10 3海里 D.20 3海里

100

图 3-8-12 A. C. 21 7 3 2 B. 2 2

5 7 D. 14

【答案】 A 6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度为 15°的看台上,同一列上的第一排和 最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如 图 3-8-13 所示),则旗杆的高度为( )

图 3-8-13 A.10 m C.10 3 m 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北 偏西 40°处, A,B 两船间的距离为 3 km,则 B 船到灯塔 C 的距离为 【答案】 6-1 km. B.30 m D.10 6 m

8.如图 3-8-14,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个 测点 C 与 D, 测得∠BCD=15°, ∠BDC=30°, CD=30, 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°, 则塔高 AB= .

图 3-8-14 【答案】 15 6

101

21 9.如图 3-8-15 所示,已知树顶 A 离地面 米,树上另一点 B 离 2 11 3 地面 米,某人在离地面 米的 C 处看此树,则该人离此树 2 2 角最大. 米时,看 A,B 的视

图 3-8-15 【答案】 6 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)如图 3-8-16,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从

B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上,此时到达 C 处.

图 3-8-16 (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 【解】 (1)依题意知,∠BAC=120°,AB=12 海里,AC=10?2=20(海里),∠BCA= α , 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 BC = AB + AC - 2AB?AC?cos ∠ BAC = 12 + 20 - 2?12?20?cos 120°=784.解得 BC=28(海里). 所以渔船甲的速度为 =14(海里/时). 2 (2)由(1)知 BC=28 海里,在△ABC 中,∠BCA=α ,由正弦定理得 = . sin α sin 120° 3 12? 2 3 3 ABsin 120° 即 sin α = = = . BC 28 14 11.(12 分)某单位设计了一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内布设一个对角线在 l 上的 四边形电气线路,如图 3-8-17 所示,为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材
2 2 2 2 2

BC

AB

BC

102

料弯折而成,边 BA,AD 再用一根 9 米长的材料弯折而成,要求∠A 和∠C 互补,且 AB=BC

图 3-8-17 (1)设 AB=x 米,cos A=f(x),求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 【解】 (1)在△ABD 中,由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2AB?AD?cos A.
同理,在△CBD 中,BD =BC +CD -2BC?CD?cos C 因为 A 和 C 互补,所以 cos A=-cos C, 所以 AB +AD -2AB?AD?cos A=BC +CD -2BC?CD?cos C=BC +CD +2BC?CD?cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2

A.
2 2 2 2 2 即 x +(9-x) -2x(9-x)cos A=x +(5-x) +2x(5-x)cos A, 解得 cos A= , 即 f(x)

x

2 = ,x∈(2,5).

x

(2)四边形 ABCD 的面积为

S= (AB?AD+BC?CD)sin A
1 = [x(5-x)+x(9-x)] 2 =x(7-x)
2

1 2

1-cos A

2

?2?2 2 2 1-? ? = ?x -4??7-x? x ? ?
2 2

= ?x -4??x -14x+49?. 记 g(x)=(x -4)(x -14x+49),x∈(2,5), 则 g′(x)=2x(x -14x+49)+(x -4)(2x-14)=2(x-7)?(2x -7x-4). 1 令 g′(x)=0,解得 x=4(x=7 或 x=- 舍去). 2 易知函数 g(x)在(2,4)上单调递增,在(4,5)上单调递减. 因此 g(x)的最大值为 g(4)=12?9=108. 所以 S 的最大值为 6 3,即四边形 ABCD 的面积的最大值为 6 3 m . 12.(13 分)某城市有一块不规则的绿地如图 3-8-18 所示,城建部门欲在该地上建造 一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量
2 2 2 2 2

AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D.

103

图 3-8-18 (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计 使建设费用最低,请说明理由. 【解】 (1)在△ABC 中,由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2AC?BCcos C=162+102-2?16?10cos C,①
在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 整理得

AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos D=142+142-2?142cos C,②
1 2 2 2 2 2 由①②得:14 +14 -2?14 cos C=16 +10 -2?16?10cos C,整理可得,cos C= , 2 又∠C 为三角形的内角,所以 C=60°, 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A、B 两点的距离为 14. (2)小李的设计符合要求. 1 理由如下:S△ABD= AD?BDsin D, 2

S△ABC= AC?BCsin C,因为 AD?BD>AC?BC,
所以 S△ABD>S△ABC, 由已知建造费用与用地面积成正比,故选择△ABC 建造环境标志费用较低. 即小李的设计符合要求.

1 2

104


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