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2015全国高中数学联赛模拟试题总


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 01 第一试 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.设 f1 ( x ) ? ?

2x ? 7 , f n?1 ( x) ? f1 ( f n ( x)) , x ? ?2, x ? ?3 ,则 f 2013 (2014) ? ______. x?3

2. 设 A = (- 2, 4) , B = {x | x2 + ax + 4 = 0, x ? R} .若 A ? B 的非空子集个数为 1, 则实数 a 的取值范围是. ? x ?0, ? 3.设 R 是满足 ? y ? 0, 的点 ? x, y ? 构成的区域,则区域 R 的面积为_______.(其中 ? x ? 表示不超过 ? x ? y ? [ x] ? [ y ] ? 5 ? 实数 x 的最大整数). 4.二元函数 f ( x, y) ? cos4x ? 7 ? cos4 y ? 7 ? cos4x ? cos4 y ? 8sin 2 x sin 2 y ? 6 的最大值为___ 5. 已知 B 是双曲线 C : 2x2 - 4 y 2 + 1 = 0 上靠近点 A (0, m) (m > 1) 的一个顶点.若以点 A 为圆心, AB 长为 半径的圆与双曲线 C 交于 3 个点,则 m 的取值范围是.

3 3 ,第偶数局,乙赢的概率为 .每一局没有平 4 4 局,规定:当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多 2 次时游戏结束.则游戏结束时,甲乙两人玩的局数的 数学期望为________.
6.甲、乙两人玩游戏,规则如下:第奇数局,甲赢的概率为 7.设五边形 ABCDE 满足 ?A ? ?B ? ?C ? ?D ? 120 ,则
?

AC ? BD 的最小值为 AE ? ED
0

8.过正四面体 ABCD 的顶点 A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底面 BCD 所成的角为 75 .这 样的截面共可作出个 . 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.(本小题满分 16 分).试求实数 a 的取值范围,使得 2 是不等式

x ? log 2 (2 x ? 3a) ? 2 的最小整数解. 1 ? log 2 a

10.(本小题满分 20 分) 、数列 ?an ?n?1 定义为 a1 ? 1 , a2 ? 4 , an ?

an ?1an ?1 ? 1 ? n ? 2 ? .

⑴ 求证:数列 ?an ?n?1 为整数列;⑵ 求证: 2an an?1 ? 1 ? n ? 1? 是完全平方数.

11.(本小题满分 20 分)已知 S,P(非原点)是抛物线 y=x 上不同的两点,点 P 处的切线分别交 x,y 轴于 Q,R. (1)若 PQ ? ? PR ,求 ? 的值;(2)若 SP ? PR ,求Δ PSR 面积的最小值.

2

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 01 加试 一、 (本小题满分 40 分)一、如图,设 A 为 ? O1 , ? O2 的一个交点, 直线 l 切 ? O1 , ? O2 分别于 B, C ,O3 为 ?ABC 的外心, O3 关于 A 的对称点为 D , M 为 O1O2 的中点. 求证: ?O1DM ? ?O2 DA .
B O3 C

A M O2 O1 D

二、 (本小题满分 40 分)设 S n ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ( n ? N * ) .证明:对任意 m∈N*,存在 n∈N*,使得[Sn]=m. 2 3 n

ai ? a j ?1 ? i ? j ? n? 互不相同,且模 4 意义下各余数出现的次数相同.

三、 (本小题满分 50 分)试求所有的正整数 n ,使得存在正整数数列 a1 ? a2 ? ? ? an ,使得和

四、 (本小题满分 50 分)集合 S 是由空间内 2014 个点构成,满足任意四点不共面.正整数 m 满足下列条 件:将任意两点连成一条线段,并且在此线段上标上一个 ? m 的非负整数,使得由 S 中顶点构成的任何一个 三角形,一定有两边上的数字是相同的,且这个数字小于第三边上的数字. 试求 m 的最小值.

2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.在如下图所示的正方体 ABCD ? A B C D 中,
' ' ' '

二面角 A ? BD ? C 等于(用反三角函数表示)
' '

2.如果三角形 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足

cot A, cot B, cot C 依次成等差数列,则角 B 的最大值是
3.实数列 ?an ?满足条件: a1 ? 则通项公式 an ? (n ? 1) 。

2 n ? 1, a2 ? 2 ? 1, an?1 ? an?1 ? ? 2(n ? 2) , 2 an ? an?1

x2 y2 4. F1 , F2 是椭圆 2 ? 2 ? (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,如果 ?PF 1 F2 的面积为 1 , a b 1 tan ?PF1 F2 ? , tan ?PF2 F1 ? ?2, 则 a ? 2 ?1 5.在同一直角坐标系中, 函数 f ( x) ? ax ? 4 (a ? 0) 与其反函数 f ( x) 的图像恰有三个不同的交点, 则实数 a 的取值范围是
6. 已知正实数 a1 , a2 ,?, an 与非负实数 b1 , b2 ,?, bn 满足(1) a1 ? a2 ? ? ? an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ; (2) a1a2 ? an ? b1b2 ? bn ?

?b b b ? 1 ,则 a1a2 ? an ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 的最大值为__________. an ? 2 ? a1 a2

7. 已知 20 块质量为整数克的砝码可称出 1, 2,?, 2014 克的物品, 砝码只能放在天平一端,则最大砝码质量最小值为________________克. 8.设 g ( x) ?

x(1? x) 是定义在区间 ?0,1? 上的函数,则函数 y ? xg( x) 的图像与 x 轴所围成图形的面积是

二、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9.(16 分)设数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 组成的数列满足

Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ? 6n2 ? 9n ? 7(n ? 1) ,已知 a1 ? 1, a2 ? 5, 求数列 ?an ?的通项公式。

10.(20 分)设 x1, x2, x3, 是多项式方程 x ? 10x ? 11 ? 0 的三个根。
3

(1)已知 x1, x2, x3, 都落在区间 (?5,5) 之中,求这三个根的整数部分; (2)证明: arctan x1 ? arctan x2 ? arctan x3 ?

?
4

11.( 20 分 ) 如 下 图 , 椭 圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1, A(?2,0), B(0,?1) 是 椭 圆 ? 上 的 两 点 , 直 线 4 l1 : x ? ?2, l2 : y ? ?1.P( x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0) 是 ? 上的一个动点,l3 是过点 P 且与 ? 相切的直线,C, D, E

分别是直线 l1 与 l 2 , l 2 与 l3 , l1 与 l3 的交点, 求证:三条直线 AD, BE 和 CP 共点。

2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一(本题满分 40 分) 对任意实数 a, b ,定义运算“ ? ”为: a ? b 设点集 A = {( x, y) | 0 ? x

[2a + b] .在直角坐标系中,

3, 0 ? y

2, ( 2 排x)

2 y = ( 2 排y)

2x} ,求 A 所对应的平面区域的面积.

二(本题满分 40 分) 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , H 为 ?ABC 的垂心, M 为边 BC 的中点,点 S 在边 BC 上且满足 ?BHM ? ?CHS ,点 A 在直线 HS 上的射影为 P .证明: ?MPS 的外接圆与 ?ABC 的外接圆相切.
A P

H

C

S

M

B

三(本题满分 50 分) 整数 a, b, c, d 满足 ad ? bc ? 1 .求 a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ab ? cd ? ac ? bd ? bc 的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组 ? a, b, c, d ?

四(本题满分 50 分)

设整数 n ? 2 , G ? ?0,1,?, n ?1? , A, B ? G ,对 x ? G ,记 f AB ( x) 为满足 a ? b ? x(mod n) ,a ? A , 证明:

b ? B 的数组 (a, b) 的个数,类似定义 f AA ( x) , f BB ( x) .

?f
x?G

2
AB

( x) ? ? f AA ( x) ? f BB ( x) .
x?G

2015 全国高中数学联赛模拟试题 03 一试 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.已知函数 f ( x) ? log2 x ,若实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (b) ,则 a ? 2014b 的取值范围是__________. 2.函数 f (x) = a sin x + b cos x (a, b ? Z) 满足 {x f ( x) = 0} = x f ( f ( x )) = 0 ,则 a 的最大值为. 3.设复数 z1 ? (6 ? a) ? (4 ? b)i , z2 ? (3 ? 2a) ? (2 ? 3b)i , z3 ? (3 ? a) ? (3 ? 2b)i , ( a, b ? R ) ,则当 | z1 | ? | z2 | ? | z3 | 取到最小值时, 3a ? 4b ? ________________ 4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器,轴截面是边长为 6 的正三角形,容器里装满了水,现有一 个正四棱柱,底面边长为 a(a ? 6) ,高为 h(h ? 6) , 竖直地浸在容器里,为了使容器溢出的水最多,a 的值应取为. 5.在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3, ?BAC ? 300 , P 是 ?ABC 所在平面上任意一点, 则 ? ? PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA 的最小值是______________

{

}

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
n

1 ( Sn 为前 n 项之和),则 2n an =_____________________. 4 an 9 2 2 7.设过点 M (2,0) 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于点 A, B ,与圆 ( x ? ) ? y ? 16 交于点 C , D , 2 若 AC ? BD 且 AB ? CD ,则这样的直线 l 的条数是
6. 正数列 {an } 满足: Sn ? 8. 6 名男生和 x 名女生随机站成一排, 每名男生都至少与另一男生相邻.至少有 4 名男生站在一起的概率为 p , 若p?

1 ,则 x 的最小值为. 100

二、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分)
* 9.已知正数数列 {an } 满足: an an ?1 ? 3an an ? 2 ? 5 an an ?1 ? 3an ?1 ? 4 an an ?1 ( n ? N ) ,
2

且 a1 ? 2, a2 ? 10 ,求 {an } 的通项公式.

10.二次函数 f ( x) 的图像开口向上,与 x 轴正向交于 A, B 两点,与 y 轴交于点 C ,以 D 为顶点,若三角形

ABC 的外接圆与 y 轴相切,且 ?DAC ? 150? ,则 x ? 0 时,求 ? ?

f ( x) 的最小值. x

11、已知圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? R ( R ? 0 )与椭圆
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1有公共点,求圆的半径 R 的最小值. 4

2015 全国高中数学联赛模拟试题 03 加试 一(本题满分 40 分) 如图,圆 O1 、圆 O2 与圆 O3 相交于点 P ,圆 O1 和圆 O2 的另一个交点为 A ,经过点 A 的一条直线分别 交圆 O1 、圆 O2 于点 B 、C , AP 的延长线交圆 O3 于点 D ,作 DE // BC 交圆 O3 于点 E ,再作 EM 、EN 分 别切圆 O1 、圆 O2 于 M 、 N . 求证: EM ? EN ? DE ? BC .
2 2

D

E

O3 ?
M B

O1 ?

P

N

O2 ?
A

C
二、 (本题满分 40 分) 若数列 ?an ? 是项为非负整数的不减数列,且满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am ? n
*

* 成立,记这样的 m 的个数为 (an )* ,则得到一个新数列 ( an ) ,如此可定义数列

?

?

??(a ) ? ?
* * n

等.

求证: (an )

?

* *

?

? an .

三、 (本题满分 50 分) 证明:存在无穷多个素数,使得对于这些素数中的每一个 p ,至少存在一个 n ? N , 满足: p | 20142 ? 2014 .
n

四、 (本题满分 50 分) 平面上有 4 n ( n ? N )个半径相同的圆,其中任意两个圆都不相切,任意一个圆至少与另外三个圆相 交.设这些圆的交点个数为 f ( n) ,求 f ( n) 的最小值.
*

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.集合 A = {x, y} 与 B = {1, log3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ,则 A ? B = . 2.若函数 f ? x ? ? log a ? ax 2 ? x ?

? ?

3? ? 在区间 ?1,2? 上递增,则 a 的取值范围是___________. 2?

3.已知 0 ? ? ? ? ?

?
2

,且 tan ? ? 3tan ? ,则 u ? ? ? ? 的最大值为________.

4.在单调递增数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,且 a2 n ?1 , a2 n , a2 n ?1 成等差数列, a2 n , a2 n ?1 , a2 n ? 2 成 等比数列, n ? 1,2,3,? .那么, a100 ? _________. 5. 已知点 P(1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O ? xyz 内一定点, 过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点,则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为. 6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边为 a, b, c , a ? 5 , b ? 4 ,又知 cos( A ? B) ? 则 ?ABC 的面积为.

31 , 32

7. 已知过两抛物线 C1 : x ? 1 ? ( y ? 1)2 , C2 : ( y ? 1)2 ? ?4 x ? a ? 1 的交点的各自的切线互相垂直, 则实数 a 的值为. 8.若整数 a , b 既不互质,又不存在整除关系,则称 a , b 是一个“联盟”数对;设 A 是集 M ? ?1, 2,?, 2014? 的

n 元子集,且 A 中任两数皆是“联盟”数对,则 n 的最大值为.
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分16分)设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ?
2 an ?3 , n ? 1 .求证: 2an

(1)当 n ? 2 时, an 严格单调递减.(2)当 n ? 1 时, | an ?1 ? 3 |? 2 3

r2

n

1? r2

n

,这里 r ? 2 ? 3 .

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 有一个共同的焦点 F , PQ 2 a b 为它们的一条公切线, P 、 Q 为切点,证明: PF ? QF .
10.(本小题满分 20 分) 设椭圆

11. (本小题满分20分)求证:(1)方程 x ? x ? 1 ? 0 恰有一个实根 ? ,并且 ? 是无理数;
3

(2) ? 不是任何整数系数二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a, b, c ? Z , a ? 0) 的根.
2

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分)如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC , D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, ?ADE 的

?A D E 外接圆与 ?BCE 的外接圆交于点 P(异于点 E ) ,
求证: AP ? AQ .

的外接圆与 ?BCD 的外接圆交于点 Q(异于点 D ) 。

二、 (本小题满分 40 分) 求所有素数 p ,使得 p 2

?

p- 1

k 2 p+ 1

k= 1

三、 (本小题满分 50 分) 设 n 是一个正整数,a1 , a2 ,?, an , b1 , b2 ,?, bn , c2 , c3 ,?, c2n 是 4n-1 个正实数, 使得 ci2 ? j ? ai bj ,1 ? i, j ? n . 令 m ? max ci ,证明: (
2?i ? 2 n

m ? c2 ? c3 ? ? ? c2 n 2 a ? a ? ? ? an b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?( 1 2 )( ). 2n n n

四、 (本小题满分 50 分) n 个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局.规定胜者得 1 分,负者得 0 分,平局各得 0.5 分.如果 赛后发现任何 m 个棋手中都有一个棋手胜了其余 m-1 个棋手,也有一个棋手输给了其余 m-1 个棋手,就 称此赛况具有性质 P(m) .对给定的 m(m?4) ,求 n 的最小值 f(m) ,使得对具有性质 P(m)的任何赛况, 都有所有 n 名棋手的得分各不相同.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 05 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) 的值域是 1.函数 y ? 2 x ? 4x ? 5
2.函数 y ? tan(2013 x) ? tan(2014 x) ?tan(2015 x ) 在 [0, ? ] 中的零点个数为
* 3.设 P 2k ?2 是 P 1, P 2 是平面上的两点, P 2 k ?1 是 P 2 k 关于 P 1 的对称点, P 2 k ?1 关于 P 2 的对称点, k ? N ,

若 | PP 1 2 |? 1 ,则 | P 2013 P 2014 |? 4.设动点 P(t ,0), Q(1, t ) ,其中参数 t ?[0,1] ,则线段 PQ 扫过的平面区域的面积是 5.从正十二边形的顶点中取出 4 个顶点,它们两两不相邻的概率是 6.一个球外接于四面体 ABCD ,另一半径为 1 的球与平面 ABC 相切,且两球内切于点 D ,已知 AD ? 3 ,

4 1 ,则四面体 ABCD 的体积为 cos ?BAC ? ,cos ?BAD ? cos ?CAD ? 5 2

7.设AB是抛物线y 2 =2 px的一条焦点弦,且AB与x轴不垂直,P是y轴上异于O的一点 y +y 满足O,P,A,B四点共圆,点A,B,P的纵坐标分别为y1 ,y2 ,y0 ,则 1 2 =____ y0
( s) 8. 用 ? 表示非空整数集 S 中所有元素的和,设 A ? ?a1 , a2 ,?a11? 是正整数集,
且 a1 ? a2 ? ? a11 ,若对每个正整数 n ? 1500 ,存在 A 的子集 S,使得 ? ( S ) ? n , 则满足上述要求的 a10 的最小值为.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分 16 分)已知 x, y, z 是正实数,求证:

z?y x?z y?x ? ? ?0 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x

10. (本小题满分 20 分)设 x1 , x2 ,?, xn ,? 是不同的正实数. 证明:x1 , x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列的充分必要条件是: 对所有整数 n (? 2) , 都有
2 2 xn ? x12 x1 n?1 xn ? ? 2 x2 k ?1 xk xk ?1 x2 ? x12

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾 16 11 斜角为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程.
11. (本小题满分 20 分)已知直线 y ? x 与椭圆 C:

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 05 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分)如图, ?ABC 的外心为 O , E 是 AC 的中点,直线 OE 交 AB 于 D ,点 M , N 分别 是 ?BCD 的外心与内心,若 AB ? 2 BC ,证明: ?DMN 为直角三角形.
C F E N M A D O H B P

二、 (本小题满分 40 分) 对给定的自然数 m 与 n , m < n ,任意一个由 n 个连续整数组成的集合都含有两个不同的数,它们的乘 积能被 mn 整除.

三、 (本小题满分 50 分) 求证:数列 an =3 cos ? n arccos
n

? ?

1? (n ? N * ) 的每一项都是整数,但都不是 3 的倍数 3? ?

四、 (本小题满分 50 分) 圆周上有 n 个点,用弦两两连结起来,其中任何 3 条弦都不在圆内共点,求由此形成的互不重叠的圆内 区域的个数.

2015 全国高中数学联赛模拟试题 06 一试 二、填空题(每小题 8 分,共 64 分)
2 1.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? x 的值域是.

2. 已知 a, b, c 成等比数列, logc a,logb c,loga b 成等差数列,则该等差数列的公差为 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于.

x2 y2 ? ? 1 与双曲线 xy ? 1 相切,则 t ? . 4.设椭圆 t ?1 t ?1
5.设 z 是复数,则 | z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 的最小值等于. 6.设 a , b , c 是实数,若方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个非负实根构成公差为 1 的等差数列, 则 a ? b ? 3c 的最大值是.
3 2

7.设 O 是 ?ABC 的内心, AB ? 5 , AC ? 6 , BC ? 7 , OP ? xOA ? yOB ? zOC ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

0 ? x, y, z ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于.
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是. 三、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

10.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c, g ? x ? ? 3 x ? 2ax ? b 及△ ABC 满足下列条件:
3 2 2

(1) ?A, ?B, ?C 成等差数列; (2) tan B 为方程 f ? x ? ? 0 的一个根, (3) tan A, tan C 为方程 g ? x ? ? 0 的两个不相等的实根; (4) f (tan A) ? f (tan C ) ? 0 求 f ? x ? , g ? x ? 及 ?A, ?B, ?C 的度数

11.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 做直线 l 与抛物线交于 A, B (1)求证:△ AOB 不是直角三角形;
2

(2)当 l 斜率为

1 时,抛物线上是否存在点 C 使得△ ABC 为直角三角形,若存在,求出所有的点 C ;若 2

不存在,说明理由

2015 全国高中数学联赛模拟试题 06 加试 一(本题满分 40 分) ? O 是△ ABC 的外接圆, 如图, 在△ ABC 中,AB ? AC , 过点 A 作 ? O 的切线交 BC 延长线于点 D , 过点 B, C 作 BC 的两条垂线分别与 AB, AC 的中垂线交于点 E , F . 求证: D, E, F 三点共线

二、 (本题满分 40 分)

已知无穷正数数列 an 满足: (1) 存在 m ? R , 使得 ai ? m ? i ? 1,2,?? ; (2) 对任意正整数 i , j ? i ? j ?

? ?

均有 ai ? a j ?

1 ,求证: m ? 1 i? j

三、 (本题满分 50 分)

设 a, b, c, d ? N 满足: bc ? ad ? 1 ,集合 A ? ?1, 2, 3,? , a ? c ? 1? , B ? ia i ? N ,

?

?

如果 k ? A ? B ,求证: ? k ? ? ? k ? (其中 x 表示不超过 x 的最大整数) a c

?b ? ? ?

?d ? ? ?

? ?

四、 (本题满分 50 分)

?p

i

? i 1 ? i ? n? 均为 mod n 的完全剩余系

求所有的自然数 n , 使得存在 ?1,2,?, n? 的一个置换 p1 , p2 ,?, pn 满足: 集合 pi ? i 1 ? i ? n 和

?

?

?

?

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 07 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.若函数 =
2

的图像关于直线

对称,则

的最大值是
2 2

2.设 f ( x) ? ax ? (2b ? 1) x ? a ? 2(a, b ? R, a ? 0) 在[3,4]上至少有一个零点,则 a ? b 的最小值为 3.设直线 l 与曲线 y ? x3 ? x ? 1 有三个不同的交点 A, B, C ,且 AB ? BC ? 5 ,则直线 l 的方程为________ 4.椭圆

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 4) 的左焦点为 F , A, B 在椭圆上且满足 AB ? 6 , 16 b 2 则 FA ?FB 的最大值为

5.设实数 a , b 满足条件 a ? x1 ? x2 ? x3 ? x1 x2 x3 , ab ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ,其中 x1 , x2 , x3 ? 0 , 则P ?

a 2 ? 6b ? 1 的最大值是。 a2 ? a

6.若 D 是边长为 1 的正三角形 ABC 的边 BC 上的点, ?ABD 与 ?ACD 的内切圆半径分别为 r 1, r 2, 若 r1 ? r2 ?

3 ,则满足条件的点 D 有两个,分别设为 D1 , D2 ,则 D1 , D2 之间的距离为 5

7.三棱锥 A-BCD 中,△BCD、△ACD 均为边长为 2 的正三角形, △BCD 在平面 ? 内, 侧棱 AB= 3 .现对其四个顶点随机贴上写有数字 1 至 8 的 8 个标签中的 4 个, 并记对应的标号为 f

?? ? ,(? 取值为 A、B、C、D),E

为侧棱 AB 上一点.

若|BE|: |EA|=f(B):f(A),则二面角 E-CD-A 的平面角 ? 大于

? 的概率为 4

8.设方程 x ? 1 ( n 为奇数)的 n 个根为 1, x1 , x2 ,?, xn?1 ,则
n

?1? x
k ?1

n ?1

1

?.

k

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. 如图,已知抛物线 C: y =4 x ,过点 A(1,2)作抛物线 C 的弦 AP,AQ. (1)若 AP⊥AQ,证明:直线 QP 过定点,并求出定点坐标; (2)假设直线 PQ 过点 T (5,-2),请问是否存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ? 若存在,求出△QAP 的个数,若不存在请说明理由. 10.求正整数 k1 , k2 ,? kn 和 n 使得 k1 +k2 + ???+kn = 5n ? 4 ,且
2

y P A O
Q

1 1 1 + +??? =1 k1 k 2 kn

x

11.设 n 为一个正整数,证明:存在实数 a0 和 akl , k , l ? 1, 2, ???, n , k ? l ,使得

sin 2 nx ? a0 ? ? akl cos 2(k ? l ) x sin 2 x 1?l ? k ? n
对所有的实数 x ? m? , m ? Ζ 均成立。

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 07 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分)在 ?ABC 中,点 B2 是 AC 边上旁切圆圆心 B1 关于 AC 中点的对称点,点 C2 是 AB 边上旁切圆圆心 C1 关于 AB 中点的对称点, BC 边上旁切圆切 BC 边于点 D .求证: AD ? B2C2 . ( AC 边 上旁切圆指与 BA、BC 的延长线及线段 AC 均相切的圆. )

二、 (本小题满分 40 分)

若非空集合 A ? ?1,2,3,?, n? 满足 A ? min x ,则称 A 为 n 级好集合.记 an 为 n 级好集合的个数(其
x? A
x? A

中 A 表 示 集 合 A 的 元 素 个 数 , min x 表 示 集 合 A 的 最 小 元 素 ) .求证:对一切正整数 n ,都有

an?2 ? an?1 ? an ? 1.

三、 (本题满分 50 分)

a n ? bn (1)设 p 为奇质数, a, b, n ? N , p a ? b , p 不整除 b, a ? b 则 p n ? p a?b
*

?

?

(2) a , b 是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数 n, a n ? bn 是正整数,求证: a , b 也是正整数

四、 (本题满分 50 分) 设 n ? 3, 且 n ? N? ,(a1 , a2 ,?an ) 是任意的和为正数的 n 个不同的实数。(b1 , b2 ,?, bn ) 是这 n 个数的一 个排列,若对 ?k ? 1, 2,?, n ,有 ? bi ? 0 。我们就称 (b1 , b2 ,?bn ) 是一个“好排列” 。求“好排列”个数的
t ?1 k

最小值。

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 08 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.不等式

10 x 2 ? 20 x ? 18

? x ? 1?

3

? x 3 ? 5 x 的解集是

2.适当排列三个正实数 10a 2 ? 81a ? 207, a ? 2, 26 ? 2a 使得它们取常用对数后构成公差为 1 的等差数列, 则 a 的值等于 3. 已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC ? 10cm, BD ? 6cm, M , N 分别是 AB, CD 的中点,若异面直线

AC , BD 所成角为 60? ,则 MN ?
4.在△ ABC 中,设

a?b sin B a?c ? ? 且 cos( A ? B) ? cos C ? 1 ? cos 2C ,则 a sin B ? sin A b

5.设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上一定点,点 Q , R 在该圆的内部或圆周上,且△ PQR 是边长为 则 OQ ? OR 的最小值是 6.已知 a, b, c ? 0,1 ,则
2 2

2 3

的正三角形,

? ?

a b c ? ? 的取值范围是 bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (3, 2) 作直线 l1 , l2 分别与椭圆交于点 A, B, C , D ,过 A, B 分别作椭圆的切线 25 9 交于 P ,过 C , D 分别作椭圆的切线交于 Q ,则直线 PQ 的方程是
7.过椭圆 8.正六边形 ABCDEF 的中心为 O ,对 A, B,C , D, E , F ,O 这 7 个点中的任意两点,以其中一点为起点,另 一点为终点作向量,任取其中两个向量,它们的数量积的绝对值的数学期望是 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.

n2 ? n 9. 已知数列 ?Sn ? 的通项公式为 Sn ? ,数列 ?Mn ? 满足: M1 ? St1 , M 22 ? M1 ? M 3 2 * * 且当 n ? 2 时 M n = Stn - Stn?1 ,其中 t1 ? 1, tn ? N ? n ? 2, n ? N ? = Stn - Stn?1
证明:一定存在数列 ?tn ? 使得数列 ?Mn ? 中的每个数均为完全平方数

10.非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 3 . 求 S ? (a ? ab ? b )(b ? bc ? c )(c ? ca ? a ) 的最大值.
2 2 2 2 2 2

11.已知 A 1 A2 A 3 有两边所在 1 ? x1 , y1 ? , A 2 ? x2 , y2 ? , A 3 ? x3 , y3 ? 是抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上不同的三点, △A
2

2 的直线与抛物线 x ? 2qy ? q ? 0? 相切,证明:对不同的 i, j ? ?1, 2,3? , yi y j yi ? y j 为定值

?

?

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 08 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分)

二、 (本小题满分 40 分)

三、 (本题满分 50 分)

四、 (本题满分 50 分)

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 09 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 方程 x ? x ? 1 ? xe ? ( x ? 1)e 的解集为 A (其中, e 是无理数, e ? 2.71828?). 则 A 中的所有元素的平方和等于
2 2 x x 2 ?1

2. 平面 ? 内有圆 ABC (如图) AB 是直径, SA ? ? , C 是 ? AB 上一点.若 AC : AB : SA ? 1: 2: 2 , C ? SB ? A 则二面角 的平面角的余弦值是 3. 在一次网球比赛中, n 个女子和 2 n 个男子参加,并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次, 如果没有平局,女子胜的局数与男子胜的局数之比 7:5,则 n ?

4. 设 a, d 为非负实数, b, c 为正实数,且 b ? c ? a ? d .则

b c ? 的最小值是 c?d a?b

5. 在双曲线 x2 ? y 2 ? 2 上任取三点 A, B, C ,则 ?ABC 垂心 H 的轨迹方程为

2011? 2013? ? ?1 , ] . 过点 M ( , 0) 作函数 f ( x ) 图像的切线,令 2 2 2 各切点的横坐标构成数列 ?xn ? ,则数列 ?xn ? 的所有项之和 S 的值为
6.函数 f ( x ) ? e x (sin x ? cos x ), x ? [? 7. 设一元三次方程 x3 ? px ? 1 ? 0 的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形, 则此正三角形面积为. 8.使得 n sin 1 ? 5 cos 1 ? 1 成立的最小正整数 n 是. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.设 f ( x) 是 x 的整系数多项式 f ( x) ?17 有五个互不相同的整数根.证明:方程 f ( x) ? 0 没有整数根.

1 ? a1 ? , ? ? 2 10. 已知数列 ? ?a ? 1 (a a ? a a ? ? ? a a ? a a ). n?2 2 n ?1 1 ? n 3n ? 1 1 n ?1 2 n ?2 ? 求证: an?1 ? an .

x2 y 2 x2 ? ? 1 上的任意一点,直线 y ? kx ? m ? km ? 0? 截椭圆 C1 : ? y 2 ? 1 所得的 11.点 P ? x0 , y0 ? 是椭圆 4 8 2 弦 MN 被直线 OP 平分且满足 my0 ? ?1 . △PMN 的面积为 1 ,判断四边形 OMPN 的形状及直线 PM 与椭
圆 C1 的公共点的个数,证明你的结论.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 09 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 已知 ?ABC 是等腰三角形, AB ? AC , CD 是腰 AB 上的高线, CD 的中点为 M ,

AE ? BM 于E, AF ? CE于F .求证: AF ?

1 AB 3

二、 (本小题满分 40 分) 设实数 xi ? 0(i ? 1, 2,?, n) 满足

?x
i ?1

n

i

? 1 ,对正数 m ,求证: n ? m ? ? 1 ? mxi2 ? n2 ? m
I ?1

N

三、 (本题满分 50 分) 2 是否存在正整数 n>1,使得 1,2,3,?,n 能放在一个 n×n 方格表内,使得每行的乘积是相同的?证明 你的结论.

四、 (本题满分 50 分)
2 给定 n 个 ( n ?5) 互不相等的实数 a1 < a2 <?< an , 所有的 C n 个和 ai ? a j(1? i , j ? n , i ? j )

中互不相同的数恰好有 2n ? 3 个的充分必要条件是 a1 , a2 ,?, an 成等差数列.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 10 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.若实数 x, ?,? 满足 x ? log3 tan? ? ? log3 tan? ,且 ? ? ? ?

?
6

,则 x 的值是
b

2. 已知集合 M ? {(a, b) | a ? ?1 ,且 b ? m} ,其中 m ? R .若任意 (a, b) ? M ,均有 a ? 2 ? b ? 3a ? 0 , 则实数 m 的最大值为 3. 复数 z 满足 z ?3z ? 2i ? ? 2(iz ? 6) ,则 z 等于

4. 已知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim

an ?. n ??? b n

5. min ?a, b? 表示 a 、 b 中较小的数,不等式 min ? x ?

? ?

4 ? ? 1? , 4? ? 8 ? min ? x, ? 的解集是. x ? ? x?

6. 在四面体 ABCD 中, AD⊥平面 BCD, ∠ABD=∠BDC= ? ? 45? .已知 E 是 BD 上一点, 满足 CE⊥BD 且 BE=AD=1. 点 D 到平面 ABC 的距离为

4 ,则 cos ? 的值为. 13

7.设 A, B 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上相异两点,则 OA ? OB ? AB 的最小值为 8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字 1 或 2 .则输出的前 n 个数字之和被 3 整除的概率为 P n ?. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.在矩形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b(a ? 0, b ? 0) , E 为 BC 边的中点,设 P 、 Q 分别 BC 、 CD 是上的 动点,且满足

??? ? ??? ?2

??? ?2

DQ CP ? ,连接 AQ 与 DP 交于点 M ,求动点 M 轨迹方程,并指出它的形状。 QC PE
2 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 3a n ? 1, n ? 1.

10.设数列 ?an ? 定义为

(1)证明:当 n ? 1 时, an?1 ? an?1 ? 4an ; (2)证明:

1 1 1 3 ?1 ? ??? ? a1 a2 an 2
2 2

11. 已知 a, b, c ? R ,对任意实数 x 均有 | ax ? bx ? c |?| x ? 3x ? 2 | ,求使 | b ? 4ac | 取最小值的所有实数
2

对 ? a, b, c ? .

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 10 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 如图,四边形 ABCD 内接于圆, AB, DC 延长线交于 E , AD, BC 延长线交于 F , P 为圆上任一点,

PE , PF 分别交圆于 R, S ,若对角线 AC , BD 交于 T , 求证: R, S , T 三点共线

二、 (本小题满分 40 分)

给定实数 r ? ? 0,1? , n 个复数 z1 , z2 ,?, zn 满足 zk ?1 ? r ? k ? 1, 2,?, n ? 证明: z1 ? z2 ? ? ? zn

1 1 1 ? ?? ? ? n 2 ?1 ? r 2 ? z1 z2 zn

三、 (本题满分 50 分)
n 求具有下述性质的所有整数 k :存在无穷多个正整数 n 使得 n ? k 不整除 C2 n

四、 (本题满分 50 分) 给定整数 n ? 5 ,求最小的整数 m ,使得存在两个由整数构成的集合 A, B ,同时满足以下条件: (1) A ? n, B ? m ,且 A ? B ; (2)对 B 中任意两个不同元素 x, y 有: x ? y ? B 当且仅当 x, y ? A

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 11 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

an ? 2 ? an , a1 ? 1, a404 ? 2016, 则 a6 的最大值为. 2 2 2 2 2. 已知 a ? b ? c ? 1 ,则 ab ? bc ? ac 的值域为. 1 1 1 3. 不等式 x ? 2 ? x ? 2 ? 的解集是 x x x
1. 已知数列 ?an ? 满足: an ?1 ?

EFG 所在平面 4.单位正方体 ABCD ? A1 B 1到 1C 1D 1 中, E, F , G 分别是棱 AA1 , C1D 1, D 1 A1 的中点,则点 B
的距离为. 5.不等式 f () ' 0 ? A 对所有满足 f (x )? 1(0 ? x ? 1) 的二次函数 f ( x ) 恒成立,则实数 A 的最小值是

x2 y2 6. 椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点,点 a b I , G 分别是△ PF1 F2 的内心、重心.已知对任意点 P , IG 恒垂直于 x 轴,则椭圆的离心率为
7.已知方程 8t ? 4t ? 4t ? 1 ? 0 在 ? 0,
3 2

? ?

13 ? ?

? ?

上有一根 x ,则 x =

8.甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一人的得分比另一人的多 2 分 时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 20 次,即经 20 次比赛,得分多者赢得这 场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 p ( 0 ? p ? 1 ) ,乙获胜的概率为 q ? 1 ? p . 假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 ? 次结束,则 ? 的期望 E? 的变化范围为 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.

9.已知 a, b, c ?? ?1, 2? ,求证: abc ? 4 ? ab ? bc ? ca

10.设 a1 ? 1, a n ?1 ? (2)若 b

a n ? 2a n ? 2 ? b , (n ? N ? ) .(1)若 b ? 1 ,求 a2 , a3 及数列{an } 的通项公式;
2

? ?1 ,问:是否存在实数 c 使得 a2 n ? c ? a2n?1, 对所有n ? N ?都成立 ?证明你的结论

11.已知两条直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 25 ? 0, l2 :117 x ? 44 y ? 175 ? 0, 点 A 到直线 l1 , l2 的射影分别为 B , C ,

1728 39 2 27 ) ? ( y ? )2 ? r 2 ? r ? 0? 与曲 成立的点 A 的轨迹曲线 ? ; (2)若 ? T : ( x ? 625 5 5 线 ? 恰有 7 个交点,求 r 的值
(1)求使 S△ABC ?

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 11 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 设 n 是给定的正整数, 且 n ? 3 .对于 n 个实数 x1 , x2 ,? , xn , 记 xi ? x j ? 1 ? i ? j ? n ? 的最小值为 m .
2 2 2 若 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 ,试求 m 的最大值

二、 (本小题满分 40 分) 如图,设 A, B, D, E, F , C 依次是一个圆上的六个点,满足 AB ? AC ,直线 AD 与 BE 交于点 P , 直线 AF 与 CE 交于点 R , 直线 BF 与 CD 交于点 Q , 直线 AD 与 BF 交于点 S , 直线 AF 与 CD 交于点 T , 点 K 在线段 ST 上,使得 ?SKQ ? ?ACE . 求证:

SK PQ ? . KT QR

三、 (本题满分 50 分) 奇素数, n 为大于 1 的整数

n? 2 ? 3n ? 2 mod q n , q n ? 2 ? 3n ? 2 mod p n 的三元数组 ? p, q, n? ,其中 p, q 为 试确定所有同时满足 p

?

?

?

?

四、 (本题满分 50 分)

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 12 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.已知实数 x, y 满足 x ? 3 xy ? 4 y ?
2 2

7 ,则 x ? y 的最大值为 2

2.从集合 ??10, ?9,?, ?1,0,1,?,9,10? 中任选 4 个不同元素,考虑这 4 个元素的两数和、三数和、四数和, 这 11 个和中恰有两个和为 0 的概率为 3.设 a, b 是两个给定的正数,且 a ? b ,如果对任意的 x ? 0, a , y ? 0, b ,实数 ? 都满足

a ? b ? x ? y ? ? ab ? xy ? ? ,则称 ? 对于 a, b 来说是“好数”. 则满足条件的最大好数是(用 a, b 表示)
2 2 2 2

?

?

?

?

4.球面上有 A, B, C , D 四点, AB, AC , AD 两两垂直,且 AB ? AC ? AD =12 , 则球面面积的最小值为 5.设 n ? 100 ,则使得 (a ? b) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n 为

x 3 6.记 F ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ? ( ? ) 2 , ( y ? 0) ,则 F ( x, y) 的最小值是。 3 y

? x ? 3 ? y ? 3 ? 12 ? ? 7.已知 x , y , z 满足 ? y ? 12 ? z ? 12 ? 12 ,则 x ? y ? z ? ? ? ? z ? 27 ? x ? 27 ? 12
8.数列?an ? 满足a1 =2,a2 =8,且an =4an -1 -an -2 (n ? 3),求极限 lim ? arc cot ai 2 =____
n ?? i =1 n

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. 已知线段 AB 为过抛物线 y ? 4 x 焦点的弦, O 为原点,求△ ABC 的三边边长的平方和的取值范围
2

10.设非负实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , p ?

1 1 1 ? ? ,试求 p 的最大值 pmax 和最小值 pmin 1? a 1? b 1? c

11.若递增正整数数列 ?an ? 满足 a0 =a1 =47, 且 an-12 +an 2 +an +12 ? an-1an an +1 =4(n ? 1) (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设
bn b

? a+b ? 2+ 2+ a 2 n +? = ? ? c ? b b1 b2 + 2 +?? + n <2 2 2 2n

n ? c ? + ? ? ? a+b ?

其中 , a ,c 是 正 整 数 , b 是 无 理 数 , 求 证 :

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 12 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分)

二、 (本小题满分 40 分)

三、 (本题满分 50 分)

四、 (本题满分 50 分)

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 13 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.若正实数 a , b 满足 log8 a ? log 4 b ? 5 和 log8 b ? log4 a2 ? 7 ,则 log4 a ? log8 b 的值是.

2.如果△ABC 中,tanA, tan B,tanC 都是整数,且 A >B>C,则 tan B= 3.设 x ? sin ? ? sin(? ?
2

2? ? 67? )sin( ? ? ) ,当 ? ? 时, x 的小数点后第一位数字是. 3 3 2014 1 (?1 ? 3i) ,则 | a ? bx ? cx2 | 的值是. 2

4.若 a ? 1 ? i, b ? 2 ? i, c ? 3 ? i, x ?

5.函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ?

? x ? 3, x ? 1000; 则 f (84) 的值是. ? f ( f ( x ? 5)), x ? 1000.

6.在四面体 ABCD 内部有一点 O,满足 OA=OB=OC=4, OD=l,则四面体 ABCD 体积的最大值为.

7.设 A, B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴端点, P 是椭圆上异于 A, B 的点, a 2 b2 自 A, B 分别作直线 l1 ? PA, l2 ? PB, 则 l1 , l2 的交点轨迹方程是

8.某人在黑板上玩写数字的游戏,每次他随机地写上 1, 2,3, 4 中的某个数,如果他 最后写上去的两数之和是一个质数,那么游戏结束.则他完成游戏时所写的最后一个数为 1 的概率为 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.设函数 f ( x) ? 1 ? e? x . (l)证明:当 x ? 0 时, f ( x ) ? (2)数列{ an }满足 a1 ?

x ; x ?1

1 1 , an e ? an?1 ? f (an ) ,证明:数列{ an }递减且 an ? n . 3 2 1

10.设抛物线 y ? ax

2

? a ? 0? 和双曲线 y ? x 交于点 T ,这两条曲线的公切线分别切抛物线于点 P ,切双曲

线于点 Q .求 △PQT 的面积.

11

z1 , z2 , z3 是 3 个 模 不 大 于 ( z ? z1 )( z ? z2 ) ? ( z ? z2 )( z ? z3 ) ? ( z ? z3 )( z ? z1 ) ? 0
. 设

1









w1 , w2







的两个根. 证明:对 j=1,2,3,都有 min z j ? w1 , z j ? w2 ? 1 .

?

?

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 13 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 设 p 为给定素数, a1 , a2 ,?, ak 是 k ? k ? 3? 个整数,均不被 p 整除,且模 p 互不同余,

设 b0 ? p ? ak , bi ? ai ? ai ?1 ?i ? 1,2,?, k ? 其中 a0 ? 0 .记

? S ' ? ?n 1 ? n ? p ?1, ? nb ?

S ? n 1 ? n ? p ?1, ? na1 ? p ? ? na2 ? p ? ? ? ? nak ? p
0 p

?

? ? nb1 ? p ? ? ? ? nbk ? p ? p

?

这里, ? x ? p 表示整数 x 被 p 除的余数. 证明: S ? S ' ?

2p k ?1

二、 (本小题满分 40 分) 如图,在锐角 △ABC 中,已知 AB ? AC , ?BAC 的角平分线与边 BC 交于点 D ,点 E , F 分别在边

AB, AC 上,使得 B, C , F , E 四点共圆且满足 BE ? CF ? BC .
求证: △ABC 的内心是 △DEF 的外心.

三、 (本题满分 50 分)

? n 2 ?2 对于任意一个实数数列 ?xn ? ,定义数列 ? yn ? 如下: y1 ? x1 , yn ?1 ? xn ?1 ? ? ? xi ? ? n ? 1? . ? i ?1 ? m m 1 2 m ?i 2 求最小的正数 ? ,使得对任意实数数列 ?xn ? 及一切正整数 m ,均有 ? xi ? ? ? yi m i ?1 i ?1

1

四、 (本题满分 50 分)
2 2 2 对于任意的整数 n ? 1 .证明:数列 2, 2 , 2 , 2 , ? 自某项起,各项对 n 同余.
2 22

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 14 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120)

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 14 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180)

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 15 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
x x 2 1.已知函数 f ? x ? ? a a ? a ? 3

?

? ? a ? 0且a ? 1? 在区间 ?0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是

2.在四棱锥 P ? ABCD 中,已知四边形 ABCD 是矩形,且 AB ? 4, BC ? 3, PA ? PB ? PC ? PD ? 5 , AC 与 BD 交于点 O , M 为边 PC 的中点,则 OM 与平面 PBC 所成角为 3.将 M ? ?1, 2,?,9? 中的任意三个互不相同的数作乘积,则所有这些乘积之和 S 等于 4.已知曲线 C 上任意一点到点 A ? 0,1? 与直线 x ? 4 的距离之和等于 5 ,对于给定的点 B ?b,0? ,在曲线上恰 有三对不同的点关于点 B 对称,则 b 的取值范围是
3

5.设方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的三个实根是 x1, x2 , x3 ? x1 ? x2 ? x3 ? .则 ? x3 ? x2 ?? x3 ? x2 ? ? ? x3 ? x1 ? ? 6.已知正实数 x, y, z 满足 xyz ? xy ? yz ? zx ? x ? y ? z ? 3 ,则 u ? xyz ? x ? y ? z ? 的最大值为
10 7.设方程 x ? ?13 x ? 1? ? 0 的个复根分别为 x1 , x2 ,?, x10 ,则 10

1 1 1 ? ?? ? ? x1 x1 x2 x2 x10 x10

8.将编号为 1, 2,?,9 的几颗珍珠随机固定在一串项链上,假设每颗珍珠的距离相等,记项链上所有珍珠编 号之差的绝对值之和为 T ,则 T 取得最小值的放法的概率是 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.(本小题满分 16 分). 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , 证明: log

ak 3n 2 ? 5n ? n? N* ?. ? ? 2 k k ? 1 k ? 2 ? ?? ? 4 ? n ? 3n ? 2 ? k ?1
n

1 ? an
3

2

??

1 n36 ? 3 n k ?1 ak

n

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 且倾斜角为 ? a 2 b2 ???? 3 ???? 3808 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A, B .若 cos ? ? ,3F1 A ? 5 BF1 ,且 S△ABF2 ? 5 45 ⑴ 求椭圆 C 的方程; M 的轨迹方程. ⑵ 若 P, Q 是椭圆 C 的有准线上的两个动点,且 PQ ? 10 ,求 △F 1PQ 的内切圆圆心
10. (本小题满分 20 分) 设椭圆 C :

11.(本小题满分 20 分)设 xi ? R , ?i ? 1,2,?, n, n ? 2? , m ? N , m ? 2 且
?

?x
i ?1

n

i

? T ,其中 k , a, m, T 为给定

的正实数,求 W ?

?
i ?1

n

m

kxi ? a 的值域

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 15 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 在 Rt△ABC 中 , 已 知 CD 为 斜 边 AB 上 的 高 , I , I1 , I 2 分 别 为 △ABC, △ADC, △BDC 的 内 心 ,

IE ? AB 于点 E ,直线 AI 与 BC , BI 与 AC , MN 与 CD 分别交于点 N , M , Q . 求证:(1) QE ? I1I 2 且 QE ? I1I 2 ; (2) QE / / CI 且 QE ? CI .

二、 (本小题满分 40 分) 设 xi ?

?4,10??i ? 1,2,?, n? .试求 S ? ? x ? ix
i ?1 i

n

x

i ?1

?? xi 的最大值和最小值(规定 xn?1 ? x1 ).
i ?1

n

三、 (本小题满分 50 分) 11 个兴趣班,若干个学生参与(可重复参与) ,每个兴趣班人数相同(招满,人数未知) .已知任意九个 兴趣班包括了全体学生,而任意八个兴趣班没有包括全体学生.求学生总人数的最小值.

四、 (本小题满分 50 分) 对任意一个正整数 M ,设其十进制表达为 a1a2 ?ak . 证明:存在 n ? N ,使得 3 的十进制表达的前 k 位是 a1a2 ? ak
* n

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 16 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ?
2

1 a ? ? b ? x ? R, x ? 0 ? ,若实数 a , b 使方程 f ? x ? ? 0 有实根,则 a 2 ? b 2 的 x2 x

最小值是 2. 在正三棱台 ABC ? A1B1C1 中, 上底面积 S△A1B1C1 ? 12 , 下底面积 S△ABC ? 27 . 若底边 BC 到截面 AB1C1 的 距离等于三棱台的高,则 S△AB1C1 ? 3.从 1, 2,3,?,100 中取出三个不同的数,使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种

? ? ?? cos x 2 cos y 2 , ? i, 4. 已知 x, y ? ? ? 且 z1 ? 2 , 若 z2 ? x ?y 则 z2 ? z1 的取值范围是. i , ? , z1 ? sin y 2 sin x 2 ? 2 2? 5. 函数 f ? x, y ? ? x 4 ? y 4 ? 2x 2 y ? 2xy 2 ? 3x 2 ? 3y 2 ? 2x ? 2y ? 2 的最小值为

n ? 3n ? 1? ? xn ? 0? ,则数列 ?xn ? 的通项公式为 xn ? xn?1 7.如图,设 P, Q 分别是两个同心圆(半径分别为 6, 4 )上的动点.当 P, Q 分别在圆上运动时,线段 PQ 的 中点 M 所形成的区域面积为 3 3 3 8.设 a1, a2 ,?, a2010 ?? ?2,2? 且 a1 ? a2 ? ? ? a2010 ? 0 ,则 a1 的最大值为 ? a2 ? ? ? a2010
6.设 x1 ? 3, xn ? xn?1 ? 2 ? 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.
3 9.(本小题满分 16 分). 设复数 z 满足 z ? 1 ? 2 .证明: z ? 1 ? 1 .

10.(本小题满分 20 分)

给定整数 a ,设 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ,其中 b, c ? Z ,满足 f ?1? ? ?1, f

求出所有满足条件的函数 f ? x ? .

? f ?2 ?? ? 2

11.(本小题满分 20 分)

x2 y 2 ? ? 1及点 D ?10,0? . 132 52 (1)求 r 的值使得对于椭圆的左顶点 A ,存在椭圆上的另两点 M1 , M 2 ,满足以 D 为圆心、 r 为半径的圆是
给定椭圆

△AM1M 2 的内切圆;
(2)证明:对于椭圆的下顶点,也存在椭圆上的另两点 N1 , N2 ,使得 ? D 是 △AN1 N2 的内切圆,并确定此 时直线 N1 N 2 的方程.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 16 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 已知 △ABC 的内心为 I ,△ABC 的内切圆 ? I 切边 BC 于点 D ,△ABD, △ACD 的内心分别是 Jb , J c ,

△AJ b J c 的外心为 O . 求证: A, O, I 三点共线.

二、 (本小题满分 40 分) 设 a, b, c, d ? 0, 且 a ? b ? c ? d ? 4 .求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 2 a b c d

三、 (本小题满分 50 分)

已知正整数 n 满足 n ? 2014, ? n, 2014? ? 1 . 令 An ? k ? N 1 ? k ? n, ? n, k ? ? 1 , Bn ? k ? An k ? 1? An , Cn ? k ? An k ? 1? An , 对任意 k ? An ,记 S k ? ? 证明: (1)

?

?

?

?

?

?

? k An ? ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, A 表示集合 A 中元素的个数. ? n ?
Bn

k?Bn

??S

k

(2) ? ? Sk ? Sn ? k ? ? An ? Sn?k ? ? ?? ? Sk ? Sn?k ? ;
k?Cn
k?Cn

? mod n ?

四、 (本小题满分 50 分) 某国建了一座时间机器, 形似一条圆形地铁轨道, 其上均匀设置了 2014 个站台(依次编号为 1,2, ?, 2014)分别对应一个年份,起始站及终点站均为第一站(对应 2014 年) .为节约成本,机器每次运行一圈, 只在其中一半的站台停靠.出于技术原因,每次至多行驶三站必须停靠依次,且所停靠的任两个站台不能是 圆形轨道的对径点.试求不同停靠方式的种数.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 17 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.若对任意 x ?? a, a ? 2? 均有 x ? a ? 2 x ,则实数 a 的取值范围是 解: x ? a ? 2 x ? 3x ? 2ax ? a ? 0 ? 4a ? 6 ? 0 ? a ? ?
2 2

2.已知 2 x ? 4 x2 ? 1

?

??

y 2 ? 4 ? 2 ? y ? 0 ,则 x ? y 的最小值为
4 2? 4 2 1 ? ? ? 1 ? 2 x ? 4 x 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? ? x ? (利用函数单调性) 2 ? y y? y y y

?

3 . 2

解: 2 x ? 4 x ? 1 ? 1 ? ?
2

?

??
?

x? y ?

1 ? y ? 2 ,等号当且仅当 x ? y ? 1 时等号成立,所以 x ? y 的最小值为 2. y

? ? ? ? 1 3.用 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数.则 ? ? 等于 ? sin 2 1 ? ? 2014 ? ? ? 1 1 1 2 ? ? ? 2014 , 解: 0 ? sin 1 2014 2014 sin 2 2014
tan 2

? ? ? ? 1 1 1 1 1 ? ? ? 1? ? 2015 ,所以 ? ? ? 2014 . 1 1 1 ? 2 2 2 2014 2014 ? sin tan sin ? ? 2014 2014 2014 ? ?

x2 ?1? , f1 ? x ? ? f ? x ? , f n ? x ? ? f (? f ? x ??) 则 f n ? ? ? 4.已知 f ? x ? ? ??? 2x ?1 ?2? n个f

? 1 ? ?1 ? n f n2?1 1 ?1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ,所以 f n ? ? ? 32 . 解: f n ? 2 f n?1 ? 1 fn ?x ? ?2? ? f1 ? ? f n ?1 ? 5. 在正方体 ABCD ? A 已知棱长为 1, 点 E 在 A1D1 上, 点 F 在 CD 上,A 1E ? 2ED 1 , DF ? 2FC . 1B 1C1D 1 中, 则三棱锥 B ? FEC1 的体积为 K 解:如图,作 FF 1 ? C1D 1 ,连接 B 1F 1 交 EC1 于点 1 5 三棱锥 B ? FEC1 的体积为 EC1S△BFK ? . 3 27
6.已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上, 记△PQR,△ABC 的面积分别为 S△PQR,S△ABC,则

2

2n?1

2n

S?PQR S?ABC

的最小值为

解: (1)当 ?PQR 的直角顶点在 ?ABC 的斜边上,则 P, C , Q, R 四点共圆,

?APR ? ?CQR ? 180? ? ?BQR, 所以 sin ?APR ? sin ?BQR. 在 ?APR, ?BQR PR AR QR BR ? , ? 中分别应用正弦定理得 . sin A sin APR sin B sin BQR ? 又 ?A ? ?B ? 45 , 故 PR ? QR ,故 AR ? BR 即 R 为 AB 的中点.过 R 作 RH ? AC 于 H , 1 2 S?PQR PR 2 ( 2 BC ) S 1 1 1 ? ? ? ,此时 ?PQR 的最小值为 . 则 PR ? RH ? BC ,所以 2 2 2 S?ABC BC BC 4 4 S?ABC

(2)当 ?PQR 的直角顶点在 ?ABC 的直角边上,如图所示, 设 BC ? 1, CR ? x (0 ? x ? 1), ?BRQ ? ? (0 ? ? ?

?
2

),

CR x ? , sin ? sin ? x 3 , ?RQB ? ? ? ?QRB ? ?B ? ? ? ? , 在 ?BRQ 中, BR ? 1 ? x, RQ ? PR ? sin ? 4 x x 1 PQ RB 1? x ? 由正弦定理, , ? ? sin ? ? ? ? 3 sin ? cos ? ? 2sin ? sin B sin ?PQB sin sin( ? ? ? ) 4 4 1 1 x 1 1 2 )2 ? ( )2 . 因此 S?PQR ? PR ? ( 2 2 sin ? 2 cos ? ? 2sin ? S?PQR 1 1 1 ?( )2 ? ? ,当且仅当 ? ? arctan 2 取等号, 这样, 2 2 2 cos ? ? 2sin ? (1 ? 2 )(cos ? ? sin ? ) 5 S?ABC S?PQR 1
则 ?CPR ? 90? ? ?PRC ? ?BRQ ? ? . 在 Rt ?CPR 中, PR ? 此时

5 S?ABC 7. 设 P 为抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点, 过 P 作抛物线的切线与 ? O : x2 ? y 2 ? 1交于点 M , N , ? O 在 M , N 两点处的切线交于点 Q ,则点 Q 的轨迹方程是

的最小值为 .

* 8.选择集合 S ? ?1, 2,? , n? n ? N 的两个不同的非空子集 A 和 B .

?

?

则使 B 中最小数大于 A 中最大数的概率是 设 A 中的最大数为 k,其中 1?k?n ? 1 ,整数 n? 3, 1 k ?1 k ?1 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为: C0 , k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2 B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,n 可在 B 中,但不能都不在 B 中,
2 n?k n?k 故 B 的个数为: C1 ? 1 ,从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 k ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

?

?

所以所有满足 A 中最大数小于 B 中最小数的集合对(A,B)的个数为

??2
k ?1

n ?1

n ?1

? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 .而所有的集合对(A,B)的个数为 2n ? 1 2n ? 2 1? 2
n ?1

?

??

?

所以使 B 中最小数大于 A 中最大数的概率是 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.

(n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 2 ?

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 l 与椭圆 E 有且 a 2 b2 只有一个公共点 M,且交 y 轴于点 P,过点 M 作垂直于 l 的直线交 y 轴于点 Q . 求证: F 1 , Q, F 2 , M , P 五点共圆.
9.(本小题满分 16 分). 已知椭圆 E : (略)

10.(本小题满分 20 分)已知函数 f n ( x) ? 证明: f n ( x1 ) ? f n ( x2 ) ? ... ? f n ( xn ) ? 0 (略)

nx 2 ? x , x1 , x2 , ?,xn 为正实数,且 x1 ? x2 ? ... ? xn ? 1 , x2 ? 1

11.(本小题满分 20 分).

1 ? a ? a ? , n ? 1 n ? ? bn , n ? N * .证明: a50 ? b50 ? 20 . 已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? 0, b1 ? 0, ? 1 ?bn ?1 ? bn ? an ? ? a b 1 1 2 2 2 2 证明:因为 an ?1 ? bn ?1 ? an ? bn ? 2 ? 2 ? 2( n ? n ) ,所以 an bn bn an 49 49 1 1 a b 1 1 2 2 2 2 a50 ? b50 ? a12 ? b12 ? ? ( 2 ? 2 ) ? 2? ( i ? i ) ? a1 ? b1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 49 ? 4 ? 4 ? 49 ? 200. a1 b1 bi ai i ?1 ai i ?1 bi 49 1 1 1 ? 2 ,所以 a50b50 ? a1b1 ? ? 又 an ?1bn ?1 ? anbn ? ? 2 ? 49 ? 98 ? a1b1 ? ? 100 . anbn a1b1 i ?1 ai bi
所以 (a50 ? b50 ) ? a50 ? b50 ? 2a50b50 ? 200 ? 200 ? 400 .因此 a50 ? b50 ? 20
2 2 2

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 17 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 3an ? 2 2an ? 1 , n ? N * .
2

(I) 证明: ?an ? 是正整数数列;(II) 是否存在 m ? N * ,使得 2015 am ,并说明理由.
2 2 (Ⅰ)由 an ?1 ? 3an ? 2 2an ? 1 得 an?1 ? 6an an?1 ? an ? 4 ? 0 , (1)
2

同理可得 an?2 ? 6an?2an?1 ? an?2 ? 4 ? 0 , (2) ,由(1) (2)可知,an , an ? 2 为方程 x ? 6an?1 x ? an?1 ? 4 ? 0 的
2 2 2 2

两根,又 an ? an?2 ,即有 an ? an?2 ? 6an?1 ,即 an?2 ? 6an?1 ? an . 因为 a1 ? 1, a2 ? 5, 所以 an 为正整数. (Ⅱ)不存在 m ? N * ,使得 2015 am .假设存在 m ? N * ,使得 2015 am ,则 31 am .
2 2 一方面, amam?2 ? am?1 ? 4 ,所以 31 am ?1 ? 4 ,即 am?1 ? ?4(mod31) ,所以 am?1 ? ?4 ? ?2 (mod31) .

2

30

15

30

由费马小定理知 230 ? 1(mod31) ,所以 am?1 ? ?1(mod31) ,另一方面, (am?1 ,31) ? 1 .事实上,
30

假设 (am?1,31) ? d ? 1 ,则 d 31 ,即 d ? 31 ,所以 31 am?1 ,而 31 am ?1 ? 4 ,这样得到 31 4 .矛盾.
2
30 所以,由费马小定理得 am ?1 ? 1(mod31) .这样得到 1 ? ?1(mod 31) .矛盾.

所以不存在 m ? N * ,使得 2015 am 二、 (本小题满分 40 分) 如图, 在等腰 ?ABC 中,AB ? AC ? BC ,D 为 ?ABC 内一点, 满足 DA ? DB ? DC. 边 AB 的 ? ADB P AC ? ADC 中垂线与 的外角平分线交于点 ,边 的中垂线与 的外角平分线交于点 Q . 证明: B、C、P、Q 四点共圆.
A

P Q D B C

三、 (本小题满分 50 分) 设 p 为大于 3 的素数,证明: (1) ? p ? 1? ? 1 至少含有一个不同于 p 的素因子;
p

(2)设 ? p ? 1? ? 1 ?
p

? p?
i ?1 i

n

i

,其中 p1 , p2 ,?, pn 是互不相同的素数, ?1 , ? 2 ,?, ? n 为正整数,



? p?
i ?1 i

n

i

?

p2 . 2

四、 (本小题满分 50 分) 设 X 是非空有限集合, A1 , A2 ,…, Ak 是 X 的 k 个子集,满足下列条件: (1) Ai ? 3, i ? 1, 2,…, k ; (2) X 中任意一个元素属于 A1 , A2 ,…, Ak 中的至少 4 个集合.

证明:可从 A1 , A2 ,…, Ak 中选出 ? k ? 个集合,使得它们的并集为 X . 7

解:令 S ? ? A i ,使得这些集合的并集 ? Ai 的元素个数每次递增 3 个,选出所 1, A 2 ,?, A k ? .现依次选定集合 A 有这样的集合后,不妨设 S3 ? A1 , A2 ,?, Aa3 , a3 ? 0 ,又设 ?S3 ? X 3 ,其中 X 3 ? 3a3 .因为 S3 已是满足 以上性质的最大集合,则对于剩下的任意集合 Ai , i ? a3 ,有 Ai ? ? X ? X 3 ? ? 2 . 类似地,在集合 X ? X 3 中依次选定集合 Ai ,使得这些集合的并集 ? Ai 的元素个数每次递增 2 个,不妨设这 些集合 S2 ? Aa3 ?1 , Aa3 ? 2 ,?, Aa3 ? a2 全部被选出,则有 ?S2 ? ? X ? X 3 ? ? X 2 ,且 X 2 ? 2a2 ;同理,对于剩 下的任意集合 Ai , i ? a2 ? a3 ,有 Ai ? ? X ? X 3 ? X 2 ? ? 1. 类似地, S1 ? Aa3 ? a2 ?1 , Aa3 ? a2 ? 2 , ?, Aa3 ? a2 ? a1 ,以及 X ? X 3 ? X 2 ? X1 , 注意到 X ? X 3 ? X 2 ? X1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 , ?S3 ? ?S2 ? ?S3 ? X

?3 ? ? ?

?

?

?

?

?

?

3k . 7 注意到 X 1 中的每一个元素至少出现 4 次,但 Ai ? X1 ? 1, i ? a3 ? a2 ,因此有: k ? a3 ? a2 ? 4a1
且 S3 ? S2 ? S1 ? a1 ? a2 ? a3 ? m 即为上述选定集合所满足的关系,现说明 m ? 在 X1 ? X 2 中,每个元素也至少出现 4 次,但 Ai ? ? X 1 ? X 2 ? ? 2 , i ? a3 ,因此有:

(1)

k ? a3 ? 4

? 2a2 ? a1 ? ? a
2

3

? 4a2 ? 2a1

(2) (3)

在 X 中,每个元素也至少出现 4 次,因此有: k ? 4

? 3a3 ? 2a2 ? a1 ?
3

现考虑 20*(1) ? 12*(2) ? 27*(3) , 59k ? 140 ? a1 ? a2 ? a3 ? ,所以 m ?

59k 3 ? k ,即为所求. 140 7

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 18 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.设正整数 a, b, c, d 满足 a5 = b4 , c3 = d 2 且 c - a = 19 ,则 d - b =
2 解:易知存在正整数 m, n 满足 a = m4 , b = m5 , c = n2 , d = n3 ,所以 c - a = 19 = n - m

(

)( n + m )
2

所以 n - m2 = 1, n + m2 = 19 所以 m = 3, n = 10, d = 1000, b = 243, d - b = 757 . 2.方程 ax2 ? ax ? 2 ? ax ? 2 有唯一实根,则实数 a 的取值范围是
2 2 2 解:原方程可化为 a ? a x ? 3ax ? 2 ? 0 且 ax ? 2 ? 0 .① a ? a ? 0 即 a ? 0或1 时易知 a ? 1 符合题意;

?

?

② a ? a ? 0 即 a ? 0,1 时, (i) △ ? a ? 8a ? 0 即 a ? ?8 时符合题意;(ii) △ ? a ? 8a ? 0 即 a ? ?8 或
2 2 2

2 2 ? 4 ? 2? ? 不是方程的解, 因此 x1 ? ? ? x2 , 故 a 2 ? a ? a 2 ? a 2 ? 3a ? ? ? ? 2? ? 0 , 解得 a ? 1 a a a ? a? ? ? 所以 a 的取值范围是 a ? ?8 或 a ? 1 . 30 15 , 3.长方体内部对角线到三条与它互不相交的棱之间的最短距离分别为 2 5, , 13 10
a ? 0 时易知 ?

?

??

?

则该长方体的体积为 解:设长宽高分别为 x, y, z ,则

xy
2 2

x +y y +z 1 1 1 1 1 13 1 1 2 , 2+ 2 = , 2 + 2 = ,解得 x = 5, y = 10, z = 15 ,所以体积为 750 . 于是 2 + 2 = x y 20 y z 900 z x 45 4.直角三角形 ABC 的斜边 AB = 60 , CA, CB 边的中线所在直线方程分别为 y = x + 3, y = 2 x + 4 则 △ABC 的面积为

= 2 5,

yz
2 2

=

30 zx 15 , = , 2 2 13 z + x 10

5.抽屉中装有红蓝两种短袜,总数不超过 2015 只,随机取出两只短袜,它们同色的概率为 则抽屉中红袜数量的最大值是

1 , 2

解:设 x, y 分别为抽屉中红蓝两种短袜的数目,因为拿出不同色的两只袜子的概率为
2

1 xy 1 ,所以 2 ? 2 Cx ? y 2

n2 ? n 即 ? x ? y ? ? x ? y ,所以短袜总数是一个完全平方数,令 n ? x ? y ,则 n ? x ? y ,所以 x ? , 2 又因为 x ? y ? 2015 ,所以 n ? 44, x ? 990 ,所以抽屉中红袜数量的最大值是 990 .
2

6.正实数 a1 , a2 ,?, an 满足 解:把和式中的每一项 ti ?
n

?a
i ?1

n

i

? 17 ,且 ? ai2 ? ? 2i ? 1? 的最小值为整数,则 n ?
2 i ?1

n

a ? ? 2i ? 1? 都看成以 2i ? 1 和 ai 为直角边的三角形的斜边长,把这些直角三
2 i 2
n

角形逐个相接形成一个“梯子”,设 A, B 为由斜边连接形成的折线的端点,则 A, B 间的距离为 172 ? n4 所以

? ti ? 172 ? n4 ,选取适当的 ai 可以使等号成立,这时折线为一条直线.因此 ? ai2 ? ? 2i ? 1? 的最
2 i ?1

小值是 17 ? n , 所以 17 ? n 是整数, 设 t ? 17 ? n , 则 t ?n
2 4 2 4 2 4

?

2

?? t ? n ? ? 17
2

i ?1
2

, 解得 t ? 145, n ? 12

注:也可由闵可夫斯基不等式

?
i ?1

n

? n ? ? n ? a ? bi ? ? ? ai ? ? ? ? bi ? 得最小值 ? i ?1 ? ? i ?1 ?
2 i 2
2

2

2

x2 y 7.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, a b y 3 1 M | AF1 |? 3 | BF1 | 且 cos ?AF2 B ? ,如图,直线 y ? x 与椭圆 E 交 5 2 C 于 P, Q 两点, C , D 是椭圆 E 上异于 P, Q 的两点, P D 且直线 PC , QD 相交于点 M ,直线 PD, QC 相交于点 N . N 则直线 MN 的斜率为 . O x k ? 0 且 AF1 ? 3k , AB ? 4k . 由椭圆定义可得 解:设 F 1 B ? k ,则

AF2 ? 2a ? 3k , BF2 ? 2a ? k ,在 ? ABF2 中,由余弦定理可得
AB ? AF2 ? BF2 ? 2 AF2 ? BF2 cos ?AF2 B ,
即 (4k ) ? (2a ? 3k ) ? (2a ? k ) ?
2 2 2
2 2 2



6 (2a ? 3k ) ? (2a ? k ) 化简得 (a ? k )(a ? 3k ) ? 0 ,而 (a ? k ) ? 0 , 5
2

BF2 故 a ? 3k . 于是有 AF2 ? 3k ? AF 1 , BF 2 ? 5k .因此
故 ? AF1 F2 为等腰直角三角形.从而 a ? 易得 kCP kCQ ? ?

? F2 A ? AB ,可得 F1 A ? F2 A ,

2

2

2b .设 P ? x0 , y0 ? , M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则 Q ? ?x0 , ? y0 ? .

1 b2 1 b2 1 k k ? ? ? ? .同理 k NP kMQ ? ? ? ? ,即 MP NQ 2 2 2 a 2 a 2

1 ? ? y1 ? y0 y2 ? y0 1 2 2 ? x ? x ?x ? x ? ? 2 ? y1 y2 ? y0 ? y2 ? y1 ? ? y0 ? ? ? ? x1 x2 ? x0 ? x2 ? x1 ? ? x0 ? ? ? 1 0 2 0 ? 2 即? ,相减得 ?? ? y1 ? y0 ?y2 ? y0 ? ? 1 ? y y ? y ? y ? y ? ? y 2 ? ? 1 ? x x ? x ? x ? x ? ? x 2 ? 0 2 1 0 1 2 0 2 1 0? ? 1 2 ? 2? 2 ? ? x1 ? x0 x2 ? x0
1 y ?y 1 x 2 y0 ? y2 ? y1 ? ? ? ? 2 x0 ? x2 ? x1 ? ,所以 kMN ? 2 1 ? ? ? 0 ? ?1. 2 x2 ? x1 2 y0

8.设 f ? n ? 为最接近 4 n 的整数,则 解:设 f ? k ? ? m 即 ? m ?

2015 k ?1

? f ?k ? ?
4 4 4

1

1? 1? 1? ? 1? ? ? ? 2 1? 3 ? ? k ? ? m ? ? ,而 ? m ? ? ? ? m ? ? ? 2m ? 2m ? ? ? 4m ? m , 2? 2? 2? ? 2? 2? ? ? ? 2 4 4 所以使得 f ? k ? ? m 的 k 有 m ? 4m ? 1? 个,注意到 6 ? 2015 ? 7 ,从而 f ? 2015? ? 6 或 f ? 2015? ? 7 .
由于 因此

? ?

4

? m ? 4m
m ?1

6

2

? 1? ? 1785 ,所以 f ?1786? ? f ?1787? ? ? ? f ? 2015? ? 7 ,

2015

?
k ?1

6 1 2015 ? 1785 2820 ? ? ? 4m2 ? 1? ? ? f ? k ? m?1 7 7

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. 已知直线 y ? x ? m 与抛物线 C : y ? 4x 交于 A, B , 抛物线 C 上恰有两个使 △ ABP 为直角三角形的点 P , 求实数 m 的取值范围.
2

解:若 ?P ? 90 .设 P ? x, y ? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 ,
?

? y2 ? 4x 得 y 2 ? 4 y ? 4m ? 0 , y ? y1 , y ? y2 ,所以 y ? ? y1 ? y2 ? y ?16 ? y1 y2 ? 0 ①.由 ? ?y ? x ? m 所以 y1 ? y2 ? 4, y1 y2 ? ?4m, △ ? 16 ? 16m ? 0 即 m ? ?1 .
2

方程①即 y 2 ? 4 y ? 16 ? 4m ? 0 , △1 ? 16 ? m ? 3?
?

? y2 ? 4x 2 2 若 ?A ? 90 ,由 ? 得 y ? 4 y ? ? y1 ? 4 y1 ? ? 0 ,所以 y3 ? ?4 ? y1 ? y ? ? x ? x1 ? y1 ? 同理若 ?B ? 90 ,则 y4 ? ?4 ? y2

所以 y3 ? y4 ? ?8 ? ? y2 ? y1 ? ? ?12, y3 y4 ? ? ?4 ? y1 ?? ?4 ? y2 ? ? y1 y2 ? 4 ? y1 ? y2 ? ? 16 ? 32 ? 4m (1)当 △1 ? 16 ? m ? 3? ? 0 即 m ? 3 时 y3 ? y1 且 y4 ? y2 即方程②的解不为 ?2 ,即 m ? 3 符合题意; (2)当 △1 ? 0 即 m ? 3 时 ?

y3 , y4 是方程 y 2 ? 12 y ? 32 ? 4m ? 0 ②的两根, △2 ? 16m ? 16 ? △ ? 0
? y3 ? ? 2 ? y 4 ? ?2 或? ,符合题意; ? y4 ? ?10 ? y3 ? ?10

(3)当 △1 ? 0 即 m ? 3 时 y3 ? y1 且 y4 ? y2 ,故存在四个点 P 使 △ ABP 为直角三角形,不合题意 综上可知,实数 m 的取值范围是 ?1 ? m ? 3 . 10.数列 ?an ? 满足 a0 ? 0, an ?1 ? 解: a0 ? 1, an ?1 ? 2 ?
n 8 6 n 2 an ? 4 ? an ? n ? N ? ,记 Sn ? ? ai ,求 Sn 5 5 i ?0

3 n ?4 2 ? n an ? 4 ? an ? ,令 an ? 2 sin ?n . 5 ?5 ? 3 4 4 ? ? ? ? ? 设 sin ? ? , cos ? ? , 0 ? ? ? 90 ,因为 cos 45 ? ? cos 30 ? 30 ? ? ? 45 5 5 5 24 7 117 sin 2? ? , cos 2? ? ? sin 3? ? , 25 25 125 ? ?sin ?? n ? ? ? , cos ? n ? 0 所以 sin ? n ?1 ? sin ? n cos ? ? sin ? cos ? n ? ? , sin ? ? ? , cos ? ? 0 ? ? ? n n ? n ?2 sin n? , n ? 0,1 ? n 6 * 从而 an ? ?2 sin 2? , n ? 2k , k ? N ,所以,当 n ? 0 时 Sn ? 0 ;当 n ? 1 时 S n ? ; 5 ?2n sin 3? , n ? 2k ? 1, k ? N * ?

6 238 n 322 ? ? 4 ? 42 ? ? ? 4k ? sin 2? ? 2 ? 4 ? 42 ? ? ? 4k ?1 ? sin 3? ? ?2 ? 5 125 125 238 342 117 236 322 ? 2n ?1 ? ? ? 2n ? ? 2n ? 当 n ? 2k ? 1, k ? N * 时 S n ? S n ?1 ? an ? , n ? 1 也符合该式 125 125 125 125 125 ? ?0, n ? 0 ? ? 238 n 322 所以 Sn ? ? ?2 ? , n ? 2k , k ? N * 125 125 ? ? 236 n 322 ?2 ? , n ? 2k ? 1, k ? N ? 125 ? 125 3 11. 已知当 x ?[0, 3] 时 x3 ? ?1 ? a ? x 2 ? 3ax ? b ? 1 恒成立, 2 3 3 2 (1)证明:方程 x ? ?1 ? a ? x ? 3ax ? b ? 0 有三个实根 x1 ? x2 ? x3 , 2 2 2 2 (2)求 ? x1 ? 2 ? x2 ?? x2 ? 2 ? x3 ?? x3 ? 2 ? x1 ? .
当 n ? 2k , k ? N * 时 S n ? 解: (1)令 x ? 0 得 b ?? ?1,1? ,

9 9 9? ? ? a ? 3 3a ? b ? ? 3 3 ? ? ?1 ? a ? ? b ? ? ?1,1? 2 2 2? ? 9? 2 2 2 ? 所以 ?2 ? ? 3 3 ? ? ?1 ? a ? ? 2 ,所以 0 ? 1 ? ? a ? 1? ? 1? ? 3 9 9 2? 9 ? 3 3? 3 3? 2 2 1 3 3 2 9 9 令 x ? a 得 ? a ? a ? b ? ?1 .又因为 b ? 1,3 3 ? ? a ? 3 3a ? b ? 1 2 2 2 2 ?1 3 3 2 a ? a ?2?0 ? 1 3 3 2 2 ?2 2 故? 由 a ? a ? 2 ? 0 得 ? a ? 2 ? ? a ? 1? ? 0 ,所以 a ? 1 , 2 ? 1 a 3 ? 3 a 2 ? 9 a ? 3 3a ? 3 3 ? 5 ? 0 2 ? ?2 2 2 2
令 x ? 3 得3 3 ? 所以 a ? 4a ? 5 ? 6 3 ? 0 ,
2
3 2

由 a ? 3a ? 9a ? 6 3a ? 6 3 ? 5 ? ? a ? 1? a ? 4a ? 5 ? 6 3 ? 0 得 a ? 1
2

?

?

所以 a ? 1 ,此时 b ? 1 . (2)由(1)知 a ? b ? 1 ,方程 x ?
3

3 ?1 ? a ? x 2 ? 3ax ? b ? 0 即 x3 ? 3x ? 1 ? 0 , 2

令 f ( x) ? x ? 3x ? 1
3

则 f (?2) ? ?1 ? 0, f ? ?1? ? 3 ? 0, f ? 0? ? 1 ? 0, f ?1? ? ?1 ? 0, f ? 2? ? 3 ? 0 , 所以 x ? 3x ? 1 ? 0 有三个实根 ?2 ? p ? ?1 ? 0 ? q ? 1 ? r ? 2 ,
3 3 3 另一方面,设 t 是 x ? 3x ? 1 ? 0 的一个根,即 t ? 3t ? 1 ? 0 ,则 t ? 2 ? 1 ? ,3t ? 1 ? t
2

1 t

3

则 t ?2
2

?

?

3

? 3?t ? 2?
2

? t ? 1? ?1 ?
t3

3

t 3 ? 3t 2 ? 3t ? 1 ? 1 ? ? 1? ? 3 ?1 ? ? ? 1 ? ? 3 ?1 ? ? ? 1 t3 ? t? ? t?

2t 3 ? 3t 2 ? 1? ? ? 3 ?1 ? ? ? 1 ? 0 ,所以 t 2 ? 2 也是 x3 ? 3x ? 1 ? 0 的一个根, 3 t ? t? 因为 ?2 ? p ? ?1 ? 0 ? q ? 1 ? r ? 2 , 1 1 1 2 2 2 所以 p ? 2 ? 1 ? ? 1, q ? 2 ? 1 ? ? 0, r ? 2 ? 1 ? ? ? 0,1? , p q r

所以 p2 ? 2 ? r, q2 ? 2 ? p, r 2 ? 2 ? q,
2 所以 p ? 2 ? q

?

?? q
2

2

? 2 ? r ?? r 2 ? 2 ? p ? ? ? r ? r 2 ? 2 ?? p ? p 2 ? 2 ?? q ? q 2 ? 2 ?

? ? ? ?1? r ?? 2 ? r ?? ?1? p ?? 2 ? p ?? ?1? q ?? 2 ? q ? ? ? f ? ?1? f ? 2? ? ?9
2 即 p ?2?q

?

?? q

? 2 ? r ?? r 2 ? 2 ? p ? 的值为 ?9 .

解法二:由 ?2 ? p ? ?1 ? 0 ? q ? 1 ? r ? 2 可知方程的三个实根均属于 ? ?2, 2 ? ,
? 3 不妨 x ? 3x ? 1 ? 0 的根为 2 cos ? , ? ? 0,180 ,则 4 cos ? ? 3cos ? ? ?

?

?

3

1 , 2

即 4 cos ? ? 3cos ? ? ?
3

1 1 即 cos 3? ? ? , 2 2

? 又因为 3? ? 0, 540 ,所以 3? ? 120? , 240? , 480? .所以 ? ? 40? ,80? ,160?

?

?

因此 p ? 2cos160? , q ? 2cos80? , r ? 2cos 40?

? p ? 2 ? q ?? q ? 2 ? r ?? r ? 2 ? p ? ? ? 4 cos 160 ? 2 ? 2 cos80 ?? 4 cos 80 ? 2 ? 2 cos 40 ?? 4 cos 40 ? 2 ? 2 cos160 ? ? 8 ? cos 40 ? cos80 ?? cos160 ? cos 40 ?? cos80 ? cos160 ? ? 8 ? ?2sin 60 sin ? ?20 ? ? ? ?2sin100 sin 60 ? ? ?2sin120 sin ? ?40 ? ? ? ?24 3 sin 20 sin 40 sin 80 ? ?12 3 ? cos 20 ? cos 60 ? sin 80 ? ?6 3 ? 2 cos 20 sin 80 ? sin 80 ? ? ?6 3 ? sin100 ? sin 60 ? sin 80 ? ? ?6 3 sin 60
2 2 2 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ?9

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 18 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 在 △ABC 中,AC ? 13, BC ? 14, BC ? 15 , 点 M , D 在 AC 边上, 使得 AM ? MC, ?ABD ? ?DBC . 点 N , E 在 AB 边上,使得 AN ? NB, ?ACE ? ?ECB.设 P 是 △AMN 的外接圆与 △ADE 的外接圆的另 一个交点.射线 AP 交 BC 于点 Q . 求 解:

BQ 的值 CQ

二、 (本小题满分 40 分)

3 . 2 求证:存在无穷多个 k ,使得 ? ak , ak ?1 ? ? ck . (这里 ? ak , ak ?1 ? 表示 ak , ak ?1 的最小公倍数)

?ak ?k ?1 由无穷多个不同的正整数组成,正实数 c ?
??

三、 (本小题满分 50 分)

设 S 是 ?1, 2,?, 2015? 的一个 68 元子集, 证明:存在 S 的三个互不相交的子集 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且

? a ? ?b ? ?c .
a?A b?B c?C

四、 (本小题满分 50 分) 设整数 n ? 2, a1 , a2 ,?, an , b1 , b2 ,?, bn 是非负实数.

? n ? 证明: ? ? ? n ?1 ?

n ?1

1 n ?1 n 2? ?1 n ? 2 2 n a ? b ? a ? b i ? ? n ? i ? ? n ? i ? ?? i ? i ?1 ? ? i ?1 ? i ?1

2

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 19 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.随机抛掷 3 颗大小、质地相同的正方体骰子.在 3 颗骰子所示数字中最小值是 3 的概率是. 4 3 解:所有骰子所示点数至少是 3 的概率为(6)3,所有骰子中所示点数至少是 4 的概率为(6)3. 4 3 37 所以 3 颗骰子所示数字中最小值恰为 3 的概率是(6)3-(6)3=216. 2.关于 x 的方程 x2―2ax+a2―4a=0 有模为 3 的虚数根,则实数 a 的值是. 解:由题(x-a)2=4a<0,所以 x=a―2 -a i,又|x|2= a2―4a=9,即有 a―2=± 13 ,因为 a<0,所以 a=2― 13 .
2 3.已知正项数列{an}的首项为 1,且对于一切正整数 n 都有 an(nan-an+1)=(n+1)an +1,则数列的通项公式 an





1 2 解:根据 an(nan-an+1)=(n+1)an +1,写出 a2,a3,a4,可归纳出 an=n. 也可以变形为(an+1+an)[(n+1)an+1-nan)]=0, 1 由 an+1+an≠0,得(n+1)an+1=nan=?=a1=1,所以 an=n. 4.设以 F1(-1,0)、F2(1,0) 为焦点的椭圆的离心率为 e,以 F1 为顶点、F2 为焦点的抛物线与椭圆的一个交 |PF1| 点是 P.若|PF |=e,则 e 的值为.
2

解:在抛物线中,p=4,准线 x=-3,|PF2| 是 P 到准线的距离. |PF1| 椭圆中,|PF |=e,|PF2|也是 P 到左准线的距离,则抛物线准线与椭圆的准线重合, 2 a2 3 所以 c =3.因为 c=1,故 e= 3 . 5.设实数 a,b 满足 0?a,b?8,且 b2=16+a2,则 b-a 的最大值与最小值之和是. b2-a2 解:由题设可知,b2=16+a2,则 b-a= = b+a 记 f(a)= 16 ,则函数 f(a)单调递减. a +16+a
2

16 . a +16+a
2

由 0?a,b?8,得 16+a2?64,解得 0?a?4 3. 所以 b-a 的最小值为 f(4 3)=8-4 3,b-a 的最大值为 f(0)=4, 从而 b-a 的最大值与最小值之和为 12-4 3.

6.函数 f(x)=2cosx+sin2x (x∈R)的值域是. 4 解:[f(x)]2=(2cosx+sin2x)2=4cos2x(1+sinx)2=3(3-3sinx)(1+sinx)3 4 (3-3sinx)+(1+sinx)+(1+sinx)+(1+sinx) 4 27 ?3×[ ] =4, 4 1 当且仅当 3-3sinx=1+sinx,即 sinx=2时,等号成立. 1 3 3 3 从而当 sinx=2,cosx= 2 ,f(x)取得最大值为 2 , 1 3 3 3 当 sinx=2,cosx=- 2 ,f(x)取得最小值为- 2 . 3 3 3 3 所以函数 f(x)=2cosx+sin2x (x∈R)的值域是[- 2 , 2 ]. 7.正四棱锥 P-ABCD 外接于一个半径为 1 的球面,若球心到四棱锥各个面的距离相等,则此四棱锥的底面 面积为. 解:设四棱锥的底面边长为 a,则球心到底面的距离为 1 1-2a2 a 2 2a 2 1 1-2a2 1 1-2a2.



= 1+

,解得:a2=4 2-4,即四棱锥的底面面积为 4 2-4.

8.已知△ABC 的外心为 O,内心为 I,∠B=45°.若 OI∥BC,则 cosC 的值是. 解:设△ABC 的外接圆半径 和内切圆半径分别为 R 和 r. 记 BC 的中点为 M,D 是由 I 向 BC 所作垂线的垂足. 由 OI∥BC,知 OM=ID=r.由∠BOC=2∠A,BC=BD+DC=2BM, 2sinA + = 2 r tan A ,即 = B C B C cosA . tan2 tan2 sin2sin2 r r A cos 2



B+ C B-C A B C A 所以 cosA=4sin2 sin 2sin2=-2sin2 (cos 2 -cos 2 ) B+C B-C A =-2(sin2 )2+2 cos 2 cos 2 =cosA-1+(cosB+cosC). 2 从而 cosB+cosC=1.所以 cosC=1- 2 . 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.设等比数列 a1,a2,?,ak 和 b1,b2,?,bk,记 cn=an-bn,n=1,2,?,k. (1)写出一组 a1,a2,a3 和 b1,b2,b3,使得 c1,c2,c3 是公差不为 0 的等差数列; (2)当 k?4 时,求证:{cn}不可能为公差不为 0 的等差数列.

解: (1)a1=4,a2=8,a3=16;b1=1,b2=3,b3=9,则 c1=3,c2=5,c3=7. ?????????? 6 分 (2)设 an=apn,bn=bqn,则 cn=apn-bqn. 假设{cn}是公差非 0 的等差数列, 则由 2cn+1=cn+cn+2 得 apn(p-1)2=bqn(q-1)2. ?????????? 10 分 当 k?4 时,n 可取 1,2, 所以有 ap(p-1)2=bq(q-1)2,ap2(p-1)2=bq2(q-1)2. 解得 p=q.于是 当 p=q≠1 时,则 a=b,从而 c1=c2=?=ck=0. 当 p=q=1 时,则 c1=c2=?=ck=a-b. 又数列{cn}是公差不为 0 的等差数列,矛盾. 故命题成立. ?????????? 16 分

x2 y2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:27+18=1 的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、 → → B 两点.试问在 x 轴上是否存在定点 P,使得当直线 l 绕点 F 旋转时,都有 PA · PB 为定值. 解:由题意知,点 F 的坐标为(3,0).设点 A(x1,y1),B(x2,y2). 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为:y=k(x-3).

? ? x + y =1, 由?27 18 得(2+3k2)x2-18k2x+27k2-54=0, ?y=k(x-3), ?
27k2-54 18k2 所以 x1+x2= . 2,x1x2= 2+3k 2+3k2 ?????????? 5 分

2

2

→ → 假设在 x 轴上存在定点 P(t,0),使得 PA · PB 为定值, → → PA · PB =(x1-t,y1)·(x2-t,y2)=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2 =x1x2-t(x1+x2)+t2+k(x1-3)×k(x2-3) =(1+k2) x1x2-(3k2+t) (x1+x2)+t2+9k2 27k2-54 18k2 2 =(1+k2)× +t2+9k2 2 -(3k +t) × 2+3k 2+3k2 54+(18t+9)k2 2 =- +t . 2+3k2 ?????????? 10 分

→ → 当直线 l 绕点 F 旋转,即 k 变化时,要使得 PA · PB 为定值, 即 54+(18t+9)k2 54 18t+9 为定值,则 2 = 3 ,解得 t=4. 2 2+3k ?????????? 15 分

→ → 此时 PA · PB =-11.

当直线 l 与 x 轴垂直时,A(3,2 3),B(3,-2 3), → → 此时 PA · PB =(3-4,2 3)·(3-4,-2 3)=-11. → → 综上所述,在 x 轴上存在定点 P(4,0),使得 PA · PB 为定值. ?????????? 20 分 11.设多项式 f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a、b、c 是实数.若对于任意的非负实数 x,y, 有 f(x+y)?f(x)+f(y).求 a、b、c 所满足的条件. 解:由 f(x+y)?f(x)+f(y),得 3x2y+3xy2-c?-2axy,?x,y?0. 取 x=y=0 代入(*) ,得 c?0. 不妨设 x>0,y>0,3x2y+3xy2+(-c)?3 3x2y·3xy2·(-c)=-3xy 9c,
3
3 3

(*)???????? 5 分

等号成立,当且仅当 x0=y0=-

c 3.

???????????? 10 分

33 3 因此 -3x0y0 9c?-2ax0y0,从而 a?2 9c. ???????????? 15 分 33 当 a?2 9c,c?0 时,?x,y?0,3x2y+3xy2-c?-2axy,即 f(x+y)?f(x)+f(y). 33 综上所述,a、b、c 满足的条件是 a?2 9c,c?0,b∈R. ???????????? 20 分 2015 年全国高中数学联赛模拟试题 19 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本题满分 40 分) 如图,E、F 分别是△ABC,△ACD 的内心,AC 平分∠BAD,AC2=AB·AD,延长 EC 交△CDF 的外接圆于 点 K,延长 FC 交△BCE 的外接圆于点 R.若 RK∥EF,求证:点 A 是△BCD 的外心.
B

E

R C

证明:如图,连接 ER,FK. 因为∠BAC=∠CAD,AC =AB·AD, 所以△ABC∽△ADC,∠ABC=∠ACD. 1 1 又∠EBC=2∠ABC,∠ACF=2∠ACD, 所以∠EBC=∠ACF. 由∠EBC=∠ERC 得,∠ERC=∠ACF,
2

A F

K

D B

E A F C

R

K

所以 ER∥AC. 同理 FK∥AC, 于是 ER∥FK. 又因为 RK∥EF, 所以四边形 EFKR 为平行四边形,从而 ER=FK. 因为 ER∥AC,所以∠REC=∠ECA=∠ECB. 又因为∠EBC=∠ERC,EC=EC, 所以△BEC≌△ECR,从而 BC=ER. 同理,CD=FK,所以 BC=CD. AC AD CD 由AB= AC = BC =1,得△ABC≌△ADC,于是 AB=AC=AD, 即 A 为△BCD 外接圆的外心. ?????????? 40 分 ?????????? 20 分

二、 (本题满分 40 分) 求所有的正整数 n,使得对于任意正实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,有 1 abc(an+bn+cn)? n+2. 3 2 1 解: (1)当 n?3 时,取 a=3,b=c=6, 1 1 1 1 - 则 abc(an+bn+cn)= n+3(2n 1+2n+2n)> n+2.所以 n?3 不满足题意. 3 3 ?????????? 10 分 (2)当 n=1 时, a+b+c 1 abc(a+b+c)=abc?( 3 )3?33,所以 n=1 时,满足题意. ?????????? 20 分 (3)当 n=2 时,原不等式也成立. 令 x=ab+bc+ca,则 a2+b2+c2=1-2x, 由(ab+bc+ca)2?3abc(a+b+c),得 3abc?x2. 1 于是,abc(a2+b2+c2)?3x2(1-2x). 1 1 1 x+x+1-2x 3 1 因此 0<x<2,从而3x2(1-2x)?3×( ) =34. 3 1 1 即 abc(a2+b2+c2)?3x2(1-2x)?34. ?????????? 40 分

三、 (本题满分 50 分) 设 n 为正整数,求满足以下条件的三元正整数组〈a,b,c〉的个数: (1)ab=n; (2)1?c?b; (3)a、 b、c 的最大公约数为 1. 解:用(a,b,c)表示 a、b、c 的最大公约数. 令 Sn={〈a,b,c〉| a、b、c 为正整数,ab=n,1?c?b,(a,b,c)=1}, 记 Sn 中元素的个数为 f(n) (n∈N*).显然 f(1)=1. ①如果 n=pα,其中 p 为素数,α?1.设〈a,b,c〉∈Sn, 若 b=1,则 a=pα,c=1; 若 b=pt,1?t?α-1,则 a=pα t,(c,p)=1,1?c?b;若 b=pα,则 a=1,1?c?b. 因此,f(pα)=1+ ? φ(pt)+ pα=pα 1+pα.(这里 φ(x)为 Euler 函数).
- -

α- 1 t=1

???????????? 20 分 ②下证:如果 m,n 为互素的正整数,那么 f(mn)=f(m)·f(n). 首先,对每个〈a,b,c〉∈Smn.由于 ab=mn. 令 b1=(b,n),b2=(b,m),那么(b1,b2)=1, 再令 a1=(a,n),a2=(a,m), 那么(a1,a2)=1,而且 a1b1=n,a2b2=m. 因为 1=(a,b,c)=(a1a2,b1b2,c)=((a1a2,b1b2),c)=((a1,a2)·(b1,b2),c). 那么 (a1,b1,c)=1,(a2,b2,c)=1,令 ci≡c(modbi),1?ci?bi,i=1,2. 那么(a1,b1,c1)=1,(a2,b2,c2)=1,因此, 〈a1,b1,c1〉∈Sn, 〈a2,b2,c2〉∈Sm. ???????????? 30 分 其次,若〈a1,b1,c1〉∈Sn, 〈a2,b2,c2〉∈Sm. 令 a=a1a2,b=b1b2.由于(m,n)=1,从而(b1,b2)=1.
?c≡c1 (modb1) 由中国剩余定理,存在唯一的整数 c,1?c?b,满足? . ?c≡c2 (modb2)

???????????? 40 分 显然(a1,b1,c)=(a1,b1,c1)=1,(a2,b2,c)=(a2,b2,c2)=1, 从而(a,b,c)=((a,b),c)=((a1,b1)(a2,b2),c)=(a1,b1,c) (a2,b2,c)=1. 因此, 〈a,b,c〉∈Smn. 所以,f(mn)=f(m)·f(n). 1 利用①②可知,f(n)=n Π (1+p). p|n ???????????? 50 分

四、 (本题满分 50 分)

设 a、b、c、d、e 为正实数,且 a2+b2+c2+d2+e2=2.若 5 个正三角形的面积分别为 a2,b2,c2,d2, e2.求证:这五个三角形中存在四个能覆盖面积为 1 的正三角形 ABC. 证明:不妨设 a?b?c?d?e>0. 若 a?1,则面积为 a2 的三角形可覆盖△ABC. ????????? 10 分

1 1 若 a<1,则必有 b+c>1,这是因为当 c>2时,由于 b?c,则 b+c>1;当 c?2时, 又 a<1,则 b2=2-a2-c2-d2-e2>1-3c2?(1-c)2, 所以 b+c>1,从而 a+c>1,a+b>1. ???????????? 20 分 用面积为 a2,b2,c2 的三个三角形覆盖的△ABC,使得每个三角形都分别有一个顶点与△ABC 的一个顶点 重合,且有两条边在△ABC 的两条边上.于是,这三个三角形两两相交. 若这三个三角形能覆盖△ABC,则结论成立.否则有 (a+b-1)+(b+c-1)+(c+a-1)<1,得 2-a-b-c>0. ???????????? 30 分 令中间不能被 a2,b2,c2 的三个三角形所覆盖的正三角形面积为 f 2, 则 f 2=1-(a2+b2+c2)+(a+b-1)2+(b+c-1)2+(c+a-1)2 =(2-a-b-c)2, 得 f=2-a-b-c. 下证:d ?f . 1 1 1 若 d>2,由 a?b?c?d?2,则 f=2-a-b-c<2,从而 d>f. 1 若 d?2,由 a、b、c<1,有 d?2d2?d2+e2=2-a2-b2-c2>2-a-b-c=f. 所以,面积为 d2 的正三角形可以覆盖△ABC 不能被面积 a2,b2,c2 覆盖的部分. ???????????? 50 分 ???????????? 40 分


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