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椭圆及其标准方程教学案例


《椭圆定义及其标准方程(第 1 课时)》教学案例
一、教学背景: 结合新课程标准的精神, 我们不难发现数学教学“不应只限于接受、 记忆、 模仿和练习, 高中数学课程还应倡导自主探索,动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式,使学 生的学习过程成为教师引导下的‘再创造’过程,要设立‘数学探索’教学建模等学习活 动,让学生体验数学发现和创造的历程。” 二、教学方法: 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储 备的基础上,引导学生逐步建构概念,为学生数学思想方法的形成打下基础。教师利用多媒 体(几何画板)工具,通过观察、设问、启发、尝试,突破学生认知上的困难,让学生体验 问题解决的思维过程。 三、教学过程实录: 1、创设情景,引出课题 教师:我们以前学习过圆,请同学们回忆一下圆的定义。 学生:(平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹) 教师:我们是怎么画圆的呢? 学生:(上黑板来演示) 教师:现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上,并分开固定在两个点 F1 , F2 上,保持拉 紧状态移动铅笔,请你们再画一画会是什么样的曲线? 学生:(动手画椭圆) 教师:我们看到这个曲线的形状是一个压扁了的圆,我们称为椭圆。 教师:提出课题《椭圆定义及其标准方程》 2、观察发现,认识椭圆 教师:展示多媒体课件(用几何画板生成动画)

作法:在几何画板作图区域中以 A 为圆心过 C 点作圆,在圆内任取一点 B;连接线段 BC, 作 BC 的垂直平分线交 AC 于 F;追踪点 F,生成点 C 的动画。 请同学们思考: (1)在运动中,哪些量是不变的,哪些量是变化的? (2)能不能把不变的量用数学表达式表达出来? (3)点 F 是以怎样的规律进行运动的? 3、归纳定义,完善定义 教师:我们通过实践操作,动画演示,对椭圆有了一定的认识,下面请同学们归纳椭圆的定 义(学生分组讨论) 。 学生归纳出椭圆定义:平面内与两个定点 A、B 的距离的和等于定常数(大于|AB|)的 点的轨迹叫做椭圆。定义式为:|FA|+|FB|=|AC|(|AC|>|AB|) 教师:以上我们总结了椭圆的定义,知道了椭圆与两定点位置以及定线段长有关;那么给定 了线段长,两定点位置就一定能作出椭圆吗?大家讨论一下,这里有没有条件限制。 学生:(动手实验,讨论、总结) 教师:在黑板演示,|AC|>|AB|、|AC|=|AB|、|AC|<|AB|三种不同情形的轨迹。根据我们动 手实验及老师的演示以及讨论,同学们总结出什么结论呢? 学生:(1)当|AC|>|AB|时,轨迹是椭圆。 (2)当|AC|=|AB|时,轨迹是一条线段,是以 AB 为端点的线段。 (3)当|AC|<|AB|时,无轨迹。 教师:给出椭圆定义,定义式及相关概念。 4、归纳方法,解决问题 由学生根据建立坐标系一般原则, 按不同的建系方法分组自主推导椭圆方程, 进行比较。 已知椭圆的焦距 | F1 F2 |? 2c, (c ? 0) ,椭圆上的动点 M 到两定点 F1 , F2 的距离之和为 2 a ,求椭圆的方程. 建系:以两定点 F1、F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂 直平分线为 y 轴,建立直角坐标系(如图 1) . 设 M(x,y) 为椭圆上的任意一点, 设 MF1+MF2=m, F1F2=n, (m >n>0) 则F 0 ? 、 F2 ? , 0? . 1 ?- , M y

F1 O

F2

x

图1

? n ? 2

? ?

?n ?2

? ?

由 MF1+MF2=m 得

n? n? ? ? 2 2 ?x? ? ? y ? ?x? ? ? y ?m 2? 2? ? ?

2

2

移项后 再平方

移项得

n? n? ? ? 2 2 ?x? ? ? y ? m? ?x? ? ? y 2? 2? ? ? n? n? n? ? ? ? 2 2 2 2 ? x ? ? ? y ? m ? 2m ? x ? ? ? y ? ? x ? ? ? y 2? 2? 2? ? ? ? n? ? 2nx ? m ? ?2m ? x ? ? ? y 2 2? ?
2 2 2 2 2

2

2

平方得

整理得

再平方得 2n x- m

?

2 2

?

n? ? ? 4m ? x ? ? ? 4m2 y 2 2? ?
2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 再整理得 4 m - n x ? 4m y ? m m ? n

?

?

?

?
y2
2 2

4 x2 4 y2 ? ?1 所以 m2 m2 ? n2



x2 ?m? ? ? ?2?
2

?

?m? ?n? ? ? ?? ? ? 2 ? ? 2?

?1

令 m=2a,n=2c 即 MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程化简可得 结合图形,找出方程中 a、c 对应的线段. 如图 2,OF2=c,MF2=a, a 与 c 可以看成 Rt△ MOF2 的斜边 和直角边.那么 a -c 就是另一直角边的平方,因此我们令 b =a -c (b>0) ,则方程变为
2 2 2 2 2

x2 y2 ? ?1 a2 a2 ? c2
y M a F1 O c F2 x

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) 。 a 2 b2

由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方 程;满足这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上。所以,这个 方程就是所求得椭圆的标准方程.

图2 y F1 O F2 M x

y 2 x2 结合图 3,让学生猜想结论: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ,并说 a b
明理由。 教师归纳总结:

图3 x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1 2 2 b2 b2 椭圆标准方程的两种形式: a (a>b>0) ,a (a>b>0)及特点。 5、知识总结、归纳点评 总结一节课所学,与学生共同回忆椭圆的定义和分类,及其标准方程。师生协作填表, 通过观察、归纳、寻找异同,在对比中让学生掌握本节课的重点。

四、教学反思 1、本节课中学生在教师和同学的帮助下,亲身经历了“问题——探索——发现——解 决问题”的多次循环的探究过程,实现“为什么” 、 “怎么办”的思维启迪,从而达到合 作探究、发展能力的目的。所以,在我们的日常教学中,不仅要培养学生解决问题的能 力,更要注意培养学生发现问题和提出问题的能力。 2、本节课通过学生动手实验,教师利用多媒体(几何画板)工具引导学生通过自己的 积极思维去发现椭圆定义的本质,探索图形变化规律,从而掌握椭圆的概念、学会推导 椭圆标准方程,至始至终充分发挥学生的主体地位,课堂气氛活跃,有利于培养学生独 立思考、合作探究能力。


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