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二次方程根的分布专题练习试卷及解析


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二次方程根的分布专题练习试卷及解析
1.2015 年广东省汕头市高考数学模拟试卷(文科)(12 月份)第 10 题 设 f ( x ) 与 g ( x ) 是 定 义 在 同 一 区 间 [ a , b ] 上 的 两 个 函 数 , 若 函 数 y ? f ( x)

? g ( x) 在 ,区间 [ a, b] 称 x ? [a, b] 上有两个不同的零点,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“关联函数” 为“关联区间”.若 f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数” ,则 m 的 取值范围为( A. ( ? )

9 , ?2] 4

B. [?1,0] C. (??, ?2] D. (?

9 , ??) 4

2.2015 年广西省玉林市 4 月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第 11 题 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 2 n 的两个零点分别为 x1 和 x2 ,若 x1 和 x2 分别在区间 (0,1) 与
2

(1, 2) 内,则
1 4 1 B. [ ,1] 4
A. ( ,1)

n?2 的取值范围是( m ?1



1 4 1 D. (??, ] ? [1, ??) 4

C. (??, ) ? (1, ??)

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3.2014 年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷(23)第 10 题 设 f ? x ? 与 g ? x ? 是 定 义 在 同 一 区 间 ? a, b? 上 的 两 个 函 数 , 若 函 数 y ? f ? x ? ? g? x ? 在 x ? ? a, b? 上有两个不同的零点,则称 f ? x ? 与 g ? x ? 在 ? a, b? 上是“关联函数” ,区间 “关联区间” . 若 f ? x ? ? x2 ? 3x ? 4 与 g ? x ? ? 2x ? m 在 ?0,3? 上是 “关联函数” , ? a, b? 称为 则 m 的取值范围为( A. ( ? B. )

9 , ?2] 4

??1,0?
9 , ??) 4

C. (??, ?2] D. (?

4.2014 年甘肃天水一中高一上学期必修一第一学段考试数学试卷第 10 题 设函数 f ( x) ? mx2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 3 仅有一个负零点,则 m 的取值范围为( A. {m ?3 ? m ? 0} B. {m ?3 ? m ? 0} C. {m ?3 ? m ? 0} D. {m m ? 1} 或 ?3 ? m ? 0} )

5.2014 年福建省泉州市泉港区一中高一下学期期末考试数学试卷第 12 题 已知一元二次方程 x ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的两个实根为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 ,
2

b 的取值范围是( a 1 A. ( ?2, ? ) 2


)

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1 2 1 C. ( ?1, ? ) 2 1 D. ( ?1, ? ] 2

B. ( ?2, ? ]

6.2015 年全国高考文科数学试题—湖南卷第 14 题 若函数 f ( x) ?| 2x ? 2 | ?b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是_____.

7.2015 年河南省漯河高中高考数学一模试卷(理科)第 16 题 已知集合 A ? {x | x2 ? 4x ? 5 ? 0}, B ? {x | ax2 ? bx ? c ? 0}, 若 A ? B ? ?, A ? B ? R , 则

c2 a ? 的最小值为_____. a b2

8.2013 年江西省南昌二中高二第二次月考理科数学试卷第 14 题 方程 ax2 ? 2x ? (2a ? 6) ? 0 至少有一个负实数根的充要条件是 a ?______.

9.2013 年江西省南昌二中高二第二次月考文科数学试卷第 14 题 方程 ax2 ? 2x ? (2a ? 6) ? 0 有一正一负根的充要条件是 a ?______.

10.2013 年江苏省南京学大教育专修学校高二 4 月月考数学试卷第 11 题 若函数 f ( x) ? x ? x ? ax ? 4 在区间 (? 1,1)恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围为
3 2

______.

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11.2015 年安徽省宿州二中高二(上)学业水平数学试卷(二)(提高卷)第 24 题 已知 x1 、 x2 是方程 4 x ? 4mx ? m ? 2 ? 0 的两个实根.
2

2 取得最小值? (1) 当实数 m 为何值时, x12 ? x2

(2) 若 x1 、 x2 都大于

1 ,求 m 的取值范围. 2

12.2013 年辽宁省沈阳二中高一下学期期中考试数学试卷第 21 题 已知向量 a ? (cos

3x 3x x x ? ,sin ), b ? (cos , ? sin ), x ? [0, ] 2 2 2 2 2

(Ⅰ)用含 x 的式子表示 a ? b 及 | a ? b | ; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? a ? b ? 4 | a ? b | 的值域; (Ⅲ)设 g ( x) ? a ? b ? t | a ? b | ,若关于 x 的方程 g ( x) ? 2 ? 0 有两个不同的实数解,求实 数 t 的取值范围.

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答案和解析 1.2015 年广东省汕头市高考数学模拟试卷(文科)(12 月份)第 10 题 答案:A 分析:∵ f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数” , 故函数 y ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ? 5x ? 4 ? m 在 [0,3] 上有两个不同的零点,

? ? ? h(0) ? 0 ?4 ? m ? 0 ? ? 9 故有 ? h(3) ? 0 ,即 ? ?2 ? m ? 0 ,解得 ? ? m ? ?2 . 4 ? 25 25 ? 5 ? ? ?4?m ? 0 ? h( ) ? 0 ?4 2 ? 2
故选 A .

2.2015 年广西省玉林市 4 月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第 11 题 答案:A

? f (0) ? 2n ? 0 ? 分析:∵函数 f ( x) ? x ? mx ? 2n ,由题意可知:? f (1) ? 1 ? m ? 2n ? 0 ,画出 m ,n 满 ? f (2) ? 4 ? 2m ? 2n ? 0 ?
2

足的可行域, 如图中的阴影部分(不包括边界)所示, 率,记为 k ,

n?2 表示可行域内的点与点 D(1, 2) 的连线的斜 m ?1

观 察 图 形 可 知 , 而 kCD ? k ? k AD , 而 kCD ?

2? 1 1 2 ? , k AD ? =1 , 所 以 1 ? (? 3 ) 4 1 ? (?1)

1 n?2 ? ?1, 4 m ?1

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故选: A .

3.2014 年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷(23)第 10 题 答案:A 分析:∵ f ? x ? ? x ? 3x ? 4 与 g ? x ? ? 2x ? m 在 ?0,3? 上是“关联函数” ,
2

故函数 y ? h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? 5x ? 4 ? m 在 ?0,3? 上有两个不同的零点,
2

? ? ? h(0) ? 0 ?4 ? m ? 0 ? ? 9 故有 ? h(3) ? 0 ,即 ? ?2 ? m ? 0 ,解得 ? ? m ? ?2 , 4 ? 25 25 ? 5 ? ? ?4?m ? 0 ? h( ) ? 0 ?4 2 ? 2

故选 A .

4.2014 年甘肃天水一中高一上学期必修一第一学段考试数学试卷第 10 题 答案:D

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分析:令 f ( x) ? 0 ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 3 ? 0 , (Ⅰ)当 m ? 0 时, 2 x ? 3 ? 0 ;解得 x ? ?

3 ,符合题意; 2

(Ⅱ)当 m ? 0 时, ? ? [2(m ? 1)]2 ? 4 ? m ? (m ? 3) ? ?4m ? 4
2 当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时, x ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? ?2 ,符合题意;

当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时,此时两根为一正一负或者一负一零,所以

m?3 ? 0 ,解得 m

?3 ? m ? 0 ;
综上所述, m 的取值范围为 {m m ? 1} 或 ?3 ? m ? 0} ,所以答案选 D .

5.2014 年福建省泉州市泉港区一中高一下学期期末考试数学试卷第 12 题 答案:A 分 析 : 由 程 x2 ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的 二 次 项 系 数 为 1 ? 0 , 故 函 数

f ( x) ? x2 ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 图象开口方向朝上
又∵方程 x ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的两根满足 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,
2

则?

1? a ? b ? 0 ? f (0) ? 0 ? ? 1? a ? b ? 0 ,即 ? ,即 ? ?1 ? 1 ? a ? 1 ? a ? b ? 0 ?3 ? 2a ? b ? 0 ? f (1) ? 0

其对应的平面区域如下图阴影示:

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b b 1 表示阴影区域上一点与原点边线的斜率,由图可知 ? (?2, ? ) a a 2

故选 A .

6.2015 年全国高考文科数学试题—湖南卷第 14 题 答案: 0 ? b ? 2 分析:由函数 f ( x) ?| 2x ? 2 | ?b 有两个零点,可得 2 ? 2 ? b 有两个零点,从而可得函数
x

y ?| 2x ? 2 | ,函数 y ? b 的图像有两个交点,结合函数的图像可得, 0 ? b ? 2 时故符合体
积.

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7.2015 年河南省漯河高中高考数学一模试卷(理科)第 16 题 答案:

5 2

分析: A ? {x | x2 ? 4 x ? 5 ? 0} ? {x | x ? ?1 或 x ? 5} ,又因为 A ? B ? ?, A ? B ? R ,
2 结合一元二次不等式的解法可知 x ? ?1 ,5 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的根,且 a ? 0 ,由韦达

b ? 4 ? ? ? ? a 定理得 ? ,所以 b ? ?4a, c ? ?5a , c ? ?5 ? ? a ?
代入

1 1 c2 a 1 1 5 即a ? 时取等号. ? 2 ? 25a ? ? 2 25a ? ? ,当且仅当 25a ? 16a 20 a b 16a 16a 2 5 . 2

故答案为:

8.2013 年江西省南昌二中高二第二次月考理科数学试卷第 14 题 答案: (?3,

?3 ? 11 ] 2

分析:当 a ? 0 得到 x ? ?3 符合题意. 当 a ? 0 时,显然方程没有等于零的根. 若方程有两异号实根,根据根与系数之间的关系得到 a ? 0 ;

?? ? 0 ? 若方程有两个负的实根,由根与系数之间的关系得到 ? x1 ? x2 ? 0 ?x ? x ? 0 ? 1 2

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? ?4 ? 4a(2a ? 6) ? 0 ? ? 2 ∴ ?? ? 0 , ? a ? 2a ? 6 ?0 ? ? a
可知参数 a 的范围是 (?3, 0) ? (0,

?3 ? 11 ?3 ? 11 ] ,综上可知为 (?3, ]. 2 2

9.2013 年江西省南昌二中高二第二次月考文科数学试卷第 14 题 答案: (?3, 0) 分析:当 a ? 0 得到 x ? ?3 不符合题意. 当 a ? 0 时,显然方程没有等于零的根. 若 方 程 有 两 异 号 实 根 , 根 据 根 与 系 数 之 间 的 关 系 得 到 a?0 ; 且 有

?4 ? 4a(2a ? 6) ? 0 ?? ? 0 ? ? ? 2a ? 6 ? ?0 ? x1 ? x2 ? 0 ? ? a
可知 a 的范围是 (?3, 0) ,综上可知为 (?3, 0) .

10.2013 年江苏省南京学大教育专修学校高二 4 月月考数学试卷第 11 题 答案: 1 ? a ? 5
2 分析:由题意, f ?( x) ? 3x ? 2x ? a ,则 f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,解得 1 ? a ? 5 .

11.2015 年安徽省宿州二中高二(上)学业水平数学试卷(二)(提高卷)第 24 题 答案:见解析

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分析: (1) ∵ x1 、 x2 是方程的两个实根 ∵ ? ? 16m2 ?16(m ? 2) ? 16(m2 ? m ? 2) ? 0 , ∴ m ? ?1 或 m ? 2 , ∵ x1 ? x2 ? m , x1 x2 ?
2 2 2

m?2 4
2

∴ x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? m ? 2 ?
2 2 ∴当 m ? ?1 时, x1 有最小值. ? x2

m?2 1 17 ? (m ? ) 2 ? , 4 4 16

(2) ∵ x1 、 x2 都大于
1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

∴ ( x1 ? )( x2 ? ) ? 0 且 ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) ? 0 ,

1 1 ( x1 ? x2 ) ? ? 0 且 x1 ? x2 ?1 ? 0 , 2 4 m?2 1 1 ? m ? ? 0 且 m ?1 ? 0 , ∴ 4 2 4
即 x1 x2 ? ∴ m ? 3 ,且 m ? 1 , 又∵ ? ? 0 , ∴2 ? m ? 3.

12.2013 年辽宁省沈阳二中高一下学期期中考试数学试卷第 21 题 答案: (Ⅰ) a ? b ? cos 2x,| a ? b |? 2cos x (Ⅱ) f ( x) ?[?7, ?1] (Ⅲ) t ? [ ? 分析: (Ⅰ) a ? b ? cos

3 , ? 2] 2

3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x 2 2 2 2

| a ? b |2 ? 1 ? 2cos 2x ?1 ? 2(1 ? cos 2x) ? 4cos2 x
| a ? b |? 2 cos x, x ? [0, ] 2

?

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(Ⅱ) f ( x) ? a ? b ? 4 | a ? b |? cos 2x ? 8cos x ? 2cos2 x ? 8cos x ?1 ? 2(cos x ? 2)2 ? 9 又

x ? [0, ] ∴ cos x ?[0,1] , f ( x) ?[?7, ?1] 2
2

?

(Ⅲ)由 g ( x) ? 2 ? 0 得: 2cos x ? 2t cos x ? 1 ? 0

令 cos x ? u ? [0,1]

?? ? 4t 2 ? 8 ? 0 ? 2t ? ?0 ? ? ? 1 F (u) ? 2u 2 ? 2tu ? 1 ∴ ? 4 ? F (0) ? 0 ? ? ? F (1) ? 0

∴ t ? [?

3 , ? 2] . 2


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