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逆用特征根方程求解一类自主招生和竞赛试题(1)


第 10 期

钱卫红: 逆用特征根方程求解一类自主招生和竞赛试题

· 33·

逆用 特 征 根 方 程 求 解 一 类 自 主 招 生 和 竞 赛 试 题
●钱卫红
( 嘉善高级中学 浙江嘉善 314100 )

在自主招生考试和数学竞赛中, 经常会遇到一 类含有因式的代数综

合题. 它们看似与递推数列毫 无联系, 却可以逆用特征根方程构造递推关系, 然 后利用其递推关系因势利导, 经过变形处理, 从而 达到证题的目的. 特征根法是求由常系数 ( 齐次 ) 线性递推式及 初始值确定的递推数列通项表达式的有效方法 . 这 里以二阶常系数线性递推式为例来说明 . 设二阶常系数线性齐次递推公式为 x n + 2 = px n + 1 + qx n ( n≥1 , p, q 为常数且 q≠0 ) . ( 1) 称 x = px + qx 为式 ( 1 ) 的特征方程, 其 根为特征根. 定义 x2 及递推公 定理 1 设数列{ x n } 由初始值 x1 , 式( 1 ) 确定. ( 1 ) 若式( 1 ) 的特征方程有 2 个不相等的特征 根 α, β, 则其通项为 x n = A·α n + B ·β n ( n≥1 ) , B 为初始值所确定的待定常数. 其中 A, ( 2 ) 若式( 1 ) 的特征方程有 2 个相等的特征根 α, 则其通项为 x n = ( A + Bn) ·α n ( n≥1 ) , B 为初始值所确定的待定常数. 其中 A, 根据定理 1 , 可由{ x n } 满足的常系数线性齐次 x2 , 递推公式 ( 1 ) 及 初 始 值 x1 , 用特征根法求出 { x n } 的通项; 反之, 如果知道数列 { x n } 的特征根, 那么也可用特征根法求出这个数列满足的递推公 式, 并用这个公式去证明数列 { x n } 应满足的各种 结论. 1 逆用特征根方程证明一类存在性问题 例1 ( 1 +槡 2) 对任意的正整数 n,
n 2



s= 槡

( 1 +槡 2) n + ( 槡 2 - 1) n , 2 ( 1 +槡 2) n - ( 槡 2 - 1) n . 2

s -1 = 槡

下面只要证明 s∈N + , 可利用二项式定理得到 证明( 本文不详细展开) .
n n s 含有因式 Ax1 + Bx2 , 因槡 故除了利用二项式定 理证明外, 还可构造特殊数列, 逆用特征根方程证 明.

证明

令 an =

( 1 +槡 2) n + ( 1 - 槡 2) n , 数列 2

{ a n } 的特征根为 x1 = 1 + 槡 2, x2 = 1 - 槡 2, 且 x1 + x2 = 2 , x1 x2 = - 1 . 从而数列{ a n } 的特征方程为 x2 - 2x - 1 = 0, 数列{ a n } 满足下列递推关系: an + 2 = 2an + 1 + an . a2 = 3 , 因为 a1 = 1 , 所以 { a n } 是正整数数列. 又对 任意 k∈N + , 有 2 ) 2k + ( 1 - 槡 2 ) 2k , a = ( 1 +槡 2
2 2k

[

]

2

( 1 +槡 2 ) 2k + ( 1 - 槡 2 ) 2k a2 2k - 1 = 2

[ [

] ]

2

-1 =
2

( 1 +槡 2 ) 2k - ( 1 - 槡 2 ) 2k , 2

从而

( 1 +槡 2 ) 2k + ( 1 - 槡 2 ) 2k = a2k , 2 a2k - 1 , 槡
2 2 2

( 1 +槡 2 ) 2k - ( 1 - 槡 2 ) 2k = 2 两式相加, 得 ( 1 +槡 2 ) 2k = a2k + 同理可证
2

a2k - 1 = 槡 a2k + 槡 a2k - 1 . 槡
2 2

都可表示

s+ 槡 s - 1 的形式, 为槡 其中 s∈N + . ( 2012 年 “北约” 自主招生数学试题) 分析 ( 1 +槡 2) 1 = 槡 2+ 槡 2 - 1, ( 1 +槡 2) 2 = 3 + 2 槡 2 =槡 9+ 槡 9 - 1, 2) n =槡 s+ 槡 s - 1, 若( 1 + 槡 考虑它的对偶形式: (槡 2 - 1) n = 槡 s- 槡 s - 1,

( 1 +槡 2 ) 2k - 1 =

a2k - 1 + 槡 a2k - 1 + 1 = 槡 a2 ( a2 2k - 1 + 1 + 槡 2k - 1 + 1 ) 槡
n

- 1,

(1 +槡 2) 故对任意的正整数 n,

s+ 都可表示为槡

s - 1 的形式, 其中 s∈N + . 槡 2012 年浙江省高中数学竞赛的第 无独有偶, 20 题, 考查的也是这个问题, 只是将具体的数字变 为抽象的字母.

· 34·

中学教研 ( 数学)

2012 年

q∈Z + 且 q≤p2 . 试证对 n∈ Z + , 例 2 设 p, 存 + N Z , 使 在 ∈ (p- 槡 p2 - q ) n = N - 槡 N2 - q n , (p+ 槡 p2 - q ) n = N + 槡 N2 - q n . ( 2012 年浙江省高中数学竞赛试题) 分析 这是一个较有难度的竞赛试题, 从题目 的结构形式来看, 可以从二项式定理、 构造方程或 逆用特征根方程去考虑. 若逆用特征根方程, 我们 则问题 能导出该数列具有整系数的线性递推关系 , 就可迎刃而解. 1 [ (p - 槡 p2 - q ) n + ( p + 证明 令 a n = 2 且 p - q) ] , 数列{ a n } 的特征根为 槡
2 n

n 逆用特征根方程还可解一些含有因式 Ax1 + n Bx2 的整除性问题. 例 3 设数列{ a n } 的通项为

1 1 +槡 5 - 1 -槡 5 , n ∈N * , 2 2 5 槡 1 2 n s = C a 记 n n 1 + C n a 2 + … + C n a n . 试求所有正整数 n , 使 s n 被 8 整除. 分析 可以从二项式定理求出 s n 的通项公 从而求出 s n 的特征根. 再用特征根法求出 { s n } 式, 满足的递推关系, 利用这个递推关系求出 s n 被 8 整除的一切正整数. an = 解 sn = 记α= 1 +槡 5 1 -槡 5 , , β= 则 2 2

[(

) (
n

)]
n

x1 = p + 槡 p2 - q , x2 = p - 槡 p2 - q , 逆用特征根方程得数列{ a n } 满足递推关系 a n + 2 = 2 pa n + 1 - qa n . a2 = 2 p2 - q , p, q ∈ Z + 且 q ≤ p2 , 因为 a1 = p, 所以 a n ∈N + . 由
n a2 n -q =

1 2 2 n n [ ( 1 + C1 n α + Cn α + … + Cn α ) - 5 槡 2 2 n n ( 1 + C1 n β + C n β + … + C n β ) ]= 1 [ ( α + 1 ) n - ( β + 1 ) n]= 5 槡 1 5 槡

[ [ ( p - 槡p - q)
2

(p- 槡 p2 - q ) n + ( p + 槡 p2 - q ) 2
n

n

-( p + 槡 p2 - q ) 2

n

] -q = ],
2 n 2

[(

3 +槡 5 2

) (
n

5 - 3 -槡 2

) ],
n

n a2 得槡 n -q =

(p- 槡 p2 - q ) n - ( p + 槡 p2 - q ) n . 2

令 a n = N, 则 N- 槡 N2 - q n = 1 [ (p- 槡 p2 - q ) n + ( p + 槡 p2 - q ) n] 2 1 - [ (p+ 槡 p2 - q ) n - ( p - 槡 p2 - q ) n]= 2 (p- 槡 p2 - q ) n . 同理可得 N+ 槡 N2 - q n = ( p + 槡 p2 - q ) n , + + 即对 n∈Z , 存在 N∈Z , 使 (p- 槡 p2 - q ) n = N - 槡 N2 - q n , 且 (p+ 槡 p2 - q ) n = N + 槡 N2 - q n . 此类代数综合题在 2005 年复旦大学自主招生 试题中也出现过:
n n

3 +槡 5 3 -槡 5 , x2 = , 逆用 2 2 特征根方程得数列{ s n } 满足递推关系: sn + 2 = 3sn + 1 - sn ( n = 1, 2, 3, …) . ( 2) s2 = 3 , 因为 s1 = 1 , 所以 { s n } 为整数数列. 又由式 ( 2) 得 5 s n + 1 = 15 s n - 5 s n - 1 ( n = 2 , 3, …) , ( 3) 式( 2 ) - 式( 3 ) , 得 s n + 2 = 8 s n + 1 - 16 s n + 5 s n - 1 ( n = 2 , 3, …) , 2, 3, …) , 即 s n + 3 = 8 s n + 2 - 16 s n + 1 + 5 s n ( n = 1 , 5 8 , 8 | s 8 | s . s = 1 , s2 = 3 不 因 和 互质 故 n? n +3 而 1 s3 = 2 s2 - s1 = 8 被 8 整 除. 因 此 s3 k + 1 , 被 8 整除, 数列 { s n } 的特征根为 x1 = s3k + 2 ( k∈N * ) 不被 8 整除, s3k ( k∈N * ) 被 8 整除. 综上, 使 s n 被 8 整除的一切正整数 n = 3 k( k∈ N* ) .
n n 对于含有因式 Ax1 + Bx2 的代数综合题, 建立 常用这个公式去证明数 各项为整数的递推关系后, { x } , 列 n 应满足的各种结论 而逆用特征根是建立 递推关系的一种有效方法.









2) , 已知 sinα + cosα = a ( 1 ≤ a ≤槡 求 sin α + cos α 关于 a 的表达式. 2 逆用特征根方程证明一类整除性问题

[ 1] 熊斌, M] . 冷岗松. 高中数学联赛考前辅导[ 2011 : 80 . 上海: 华东师范大学出版社,


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