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吉林省舒兰市第一中学高中数学人教A版必修3导学案 《2.3变量间的相关关系》


【学习目标】 1.了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义. 2.会作散点图,并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系. 3.会求回归直线方程,并能用回归直线方程解决有关问题. 【学习重点】变量间的相关性与回归直线方程

课前预习案
【知识链接】 问题 1:在学校里,老师对学生经常这样说:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学习就

不会 有什么大问题.”按照这种说法, 似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种 说法有没有根据呢? 请同学们如实填写下表(在空格中打“√” ): 好 你的数学成绩 你的物理成绩 问题 2: 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍,有人经统计发现了一个有趣的现象,如果村 庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿的出生率低,于 是,他就得出一个结 论:天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗?如何证明这个结 论的可靠性? 【知识梳理】 1.相关关系 (1)定义:如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定 的______ 性,那么这两个变量之间的关系,叫做相关 关 系. (2)两类特殊的相关关系:如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域,那么 这两个变量的相关关系称为正相关,如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域, 那么这两个变量的相关关系称为负相关. 2.线性相关 (1)定义:如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近,我们就称 这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做__________.
^ ^ ^





(2) 最 小 二 乘 法 : 求 线 性 回 归 直 线 方 程 y = b x + a 时 , 使 得 样 本 数 据 的 点 到 它 的
^ ^

______________最小的方法叫做最小二乘法,其中a,b的值由以下公式给出:

? ?b= ? ? ?a=
^ ^

i 1

∑ ?xi- x ??yi- y ? =
i 1

n

n

∑ ?xi- x ? =

n

2



i 1

∑ xiyi-n x y =
i 1

∑ xi2-n x =

n

2




^ ^

其中,b是回归方程的____________, a是回归方程在 y 轴上的______.

-1-

小结: 线性回归分析涉及大量的计算,形成操作上的一个难点,可以利用计算机非常方便地作 散点图、回归直线,并能求出回归直线方程.因此在学习过程中,要重视信息技术的应用.

自主小测
1、下列图形中具有相关关系的两个变量是( )

2、某单位为了解用电量 y(千瓦时)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量 与当天气温,并制作了对照表: 气温/℃ 用电量/千瓦时
^

18 24
^ ^ ^

13 34
^

10 38

-1 64

由表中数据得线性回归方程y =bx+a中b≈-2,则a ≈_ _________.

课 上 导 学 案
教师点拨 1: 两个变量间的关系分为三类:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长与面积的关系; 另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所 要求的确定性,它们的关系是带有随 机性的,这种关系就是相关关系,例如,某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关 系,我们称它们为相关关系;再一类是不相关,即两个变量间没有任何关系. 教师点拨 2:①相关关系与函数关系的异同 相同点:两者均是指两个变量的关系. 不同点:函数关系是一种确定的关系.如匀速直线运动中时间 t 与路程 s 的关系;相关关 系是一种非确定的关系.如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系. 函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关 系,可能是伴随关系. ②线性回归直线方程的性质 (1)回归直线过样本数据的 中心. 所谓样本数据的中心,对于单变量样本数据而言,平均数是样本数据的中心;对于以(xn, yn)为样本数据而言,( x , y )为样本点的中心,根据最小二乘法原理,回归直线一定过样本 点的中心. (2)回归直线的单调性与样本数据的相关性. 如果样本数据对应的点具有线性相关关系,从回归直线方程来看,当系数 b>0 时,直线 单调递增,此时这两个变量正相关;当 b<0 时,直线单调递减,此时这两个变量负相关.

-2-

【例题讲解】 【例题 1】 设对变量 x,y 有如下观察的数据: x y 151 40 152 41 153 41 154 41.5 156 42 157 42.5 158 43 159 44 160 45 162 45 163 46 164 45.5

(1)画出散点图. (2)判断变量 x,y 是否具有相关关系?如果具 有相关关系,那么是正相关还是负相关? 【例题 2】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据: x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
^ ^ ^

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y =bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤. 试根据(2)求出的线性回归方 程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

【例题 3】 下列变量之间的关系属于相关关系的是( ) A.圆的周长和它的半径之间的关系 B.价格不变的条件下,商品销售额与销售量之间的关系 C.家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势 D.正方形面积和它的边长之间的关系 【当堂检测】 1.已知 x,y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 )

从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且回归方程为 ? y =0.95x+a,则 a=(

A.3.25 B.2.6 C.2.2 D.0 2. 某考察团对全国 10 个城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元) 统计调查, y 与 x 具有相关关系, 回归方程为 ? y =0.66x+1.562.若某城市居民人均工资为 9 000 元,则其居民人均消费水平为__________千元. 3.某商店统计了最近 6 个月某商品的进价 x 与售价 y(单位:元)的对应数据如下:

-3-

x y

3 4

5 6
6

2 3

8 9
6

9 12

12 14

则 x =________, y =________,

? xi 2 =__________, ? xi yi =__________,回归直
i ?1 i ?1

线方程为__________. 4.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料知 y 对 x 成线性相关关系.试求:

? 与a ?; ? ?a ? 的回归系数 b (1)线性回归方程 ? y = bx
(2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?

【问题与收获】

基础知识答案:1.(1)随机 (2)左下 右上 左上 右下
^

2.(1)直线 回归直线 (2)距离的平方和

y -b x

斜率 截距

自主小测答案: 1、 C A 项中显然任给一个 x 都有唯一确定的 y 和它对应,是一种函数关系;B 项也是 一种函数关系; C 项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动, 具有相关关系, 而且是一种线性相关关系; D 项中所有的点在散点图中没有显示任何关系, 因此变量间是不相 关的. 2、60
^

x=
^

18+13+10-1 24+34+38+64 =10, y = =40, 4 4

则a= y -b x ≈40+2×10=60. 例题答案: 【例题 1】 解:(1)画出散点图.

(2)具有相关关系.根据散点图,左下角到右上角的区域,变量 x 的值由小变大时,另一 个变量 y 的值也由小变大,所以它们具有正相关关系. 【例题 2】 解:(1)散点图,如图所示.

-4-

4

(2)由题意,得∑ xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5, =
i 1

x= y=
4

3+4+5+6 =4.5, 4 2.5+3+4+4.5 =3.5, 4

i 1

2 2 2 2 ∑ x2 i =3 +4 +5 +6 =86, =

^ 66.5-4×4.5×3.5 66.5-63 则b= = =0.7, 86-4×4.52 86-81 ^ ^

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35,
^

故线性回归方程为y =0.7x+0 .35. (3)根据线性回归方程的预测, 现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7×100+0.35 =70.35, 故消耗能源减少了 90-70.35=19.65(吨). 【例题 3】 正解:因选项 A,B,D 中的两个变量间都有唯一确定的关系,因而它们都是 函数关系;而选项 C 中家庭收入会对消费支出产生一定的影响,但高收入未必有高消费,因 而选项 C 中的关系才是相关关系.故选 C. 当堂检测答案:1.B 线性回归方程一定经过样本取值的平均数点( x , y ),由取值表可计算

0 ?1? 3 ? 4 2.2 ? 4.3 ? 4.8 ? 6.7 9 =2, y = = ,知回归方程为 ? y =0.95x+a,又经过 2 4 4 9 点(2, ),代入得 a=2.6. 2

x=

2.7.502 当 x=9 千元时,y=0.66×9+1.562=7.502. 3.6.5 8 327 396
6

? y =1.14x+0.59 根据公式代入即可求得,也可以利用计算器求
6

得, x =6.5, y =8,

y =1.14x+0.59. ? xi 2 =32 7, ? xi yi =396,回归直线方程为 ?
i ?1 i ?1

-5-


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