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清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题(一)


北约自主招生数学模拟试题一
一、选择题(本题满分 48 分,每小题 8 分) 1.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1 的最小整数 n 是() 125
A.5 B.6 C.7 D.8 2. O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的

中心, O 的动平面与 PC 交于 S, PA、 设 过 与 PB 的延长线分别交于 Q、R,则和式

1 1 1 () ? ? PQ PR PS
B.有最小值而无最大值 D.是一个与面 QPS 无关的常数
2005

A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

3xn ? 1 3 ? xn

,则

?x
n ?1

n

=()

A.1 4.已知 a =(cos

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

2 2 π, sin π), OA ? a ? b , OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等 3 3
B.

腰直角三角形,则△OAB 的面积等于() A.1

1 2

C.2

D.

3 2

5.过椭圆 C:

x2 y2 ,延长 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) 3 2

PH 到点 Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取 值范围为() A. (0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2
b

6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且 x=logb(4x-4)的根,则△ABC() A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形 二、解答题(每小题 18 分,共 72 分) 7.已知 a, b, c∈R+,且满足

C sin B , 都是方程 log A sin A

B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

kabc ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求 k 的最小值。 a?b?c

8.求所有实多项式 f 和 g,使得对所有 x∈R,有:(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。 9.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。 10.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2,

(1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b ; (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件。

参考答案:

一、选择题 1.由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以 8 为首项,公比为-

1 的等比数列,∴ 3

1 8[1 ? (? ) n ] 1 1 1 3 Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)= =6-6?(- )n ,∴|Sn-n-6|=6?( )n< ,得: 1 3 3 125 1? 3
3n-1>250,∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C。 2.设正三棱锥 P-ABC 中,各侧棱两两夹角为α ,PC 与面 PAB 所成角为β ,则 vS-PQR=
△ PQR

1 S 3

1 1 ( PQ ?PRsinα )?PS? sin β 。另 一方 面, 记 O 到 各 面的 距离为 d ,则 3 2 1 1 1 1 d 1 vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS, S△PQR?d= △PRS?d+ S△PRS?d+ △PQS?d= ? PQ?PRsin 3 3 3 3 3 2 d 1 d 1 α + ? PS ? PRsin α + ? PQ ? PS ? sin α , 故 有 : PQ ? PR ? PS ? sin β 3 2 3 2
? h= =d(PQ?PR+PR?PS+PQ?PS),即

1 1 1 sin ? =常数。故选 D。 ? ? ? PQ PR PS d

3 ? 3 , x =tanα , 3. n+1= x 令 n ), ∴xn+6=xn, x1=1, 2=2+ 3 , x3=-2- 3 , x n ∴xn+1=tan(α n+ 6 3 1? xn 3 xn ?
2005

x4=-1, x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,……,∴有

?x
n ?1

n

? x1 ? 1 。故选 A。

4.设向量 b =(x, y),则 ?

?(a ? b)( a ? b) ? 0 ? ?| a ? b |?| a ? b | ?



? 1 3 1 3 ) ? ( ? x ? ,? y ? ?0 ?( x ? , y ? ?x 2 ? y 2 ? 1 3 1 ? ? 2 2 2 2 即? ,即 ? . ∴b?( , )或 2 2 ?x ? 3 y ?( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ? 2 2 2 2 ?
(? 3 1 1 , ) ,∴S△AOB= | a ? b || a ? b | =1。 2 2 2

5.设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3, 所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λ PH,

3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? x1 ? 所以 ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 Q ? ? PQ 1 ? ? ? y1 ? y ?

点轨迹为 C。 6. log 由

[ x ? 3(1 ? ? )] 2 y 2 3?2 ? 2 2 3 ? ? 1 ,所以离心率 e= ? 1 ? 2 ?[ ,1) 。故选 2 3 2 3? 3? 2 3?
x=logb(4x-4)得:2-4x+4=0, x 所以 x1=x2=2, C=2A, 故 sinB=2sinA, A+B+C=180°, 因

b

所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA ≠0,所以 sin2A= 二、解答题: 7.解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2ac +2 2bc )2=

1 1 ,而 sinA>0,∴sinA= 。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 4 2

4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以

(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ? (a ? b ? c) abc

≥ 8(53

1 a 2b 2 c ) ? (55 ) ? 100 。 2a 2 b 2 c 2 24

当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 8、设 w 是 1 的非实的立方根,满足 w2+w+1=0,则 g(w2+w+1)g(0)=0,设α 为-1 的非实的 立方根,则 f(α 2-α +1)=f(0)=0,故可设:f(x)=x?a(x);g(x)=x?b(x)。因此原条件可化为: a(x2-x+1)=b(x2+x+1)。令 x=-y,得:a(y2+y+1)=b(y2-y+1), 1]。下面证明无穷多个 n 使得: a(n2+3n+3)=a(1) 。 由 n=1 可 得 : a(1)=a(7) , 假 设 a[(n-1)2+3(n-1)+3]=a(1)(n ≥ 2) , 则 a[(n+1)2+3(n+1)+3]=a[(n+2)2+(n+2)+1]=a[(n+1)2-(n+1)+1]=a[(n-1)2+3(n-1) +3]=a(1)。由于多项式 a(x)-a(1)有无穷多个根,所以 a(x)-a(1)是零多项式,即 a(x)为常数,因 此 f(x)=kx,类似可知:g(x)=kx。 9.以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为(x, 0), 点 A(k, λ ),⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x ? 2 =1+r。所以 x=
2 2

o?r o?h ? k AN ? k AM 2 ? x?r?h x?r?h ± r ? 2r ? 3 , ∴tan∠MAN= o?h o?h 1 ? k AN ? k AM 1? ? x?r?h x?r?k
? 2rh 2rh 2rh ? ? 2 2 (x ? k) ? r ? h ( ? r 2 ? 2r ? 3 ) 2 ? r 2 ? h 2 h 2 ? k 2 ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2

, 令 2m=h2+k2-3 , tan ∠ MAN=

1 2 , 所 以 m+r ? k r ? 2r ? 3 =nhr , ∴ m+(1-nh)r= n

? k r 2 ? 2r ? 3 ,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对于任意实

?m 2 ? ?3k 2 (1) ? 2 数 r≥1,上式恒成立,所以 ?2m(1 ? nh) ? 2k (2) ,由(1) (2)式,得 m=0, k=0,由(3) ? 2 2 ?(1 ? nh) ? k (3)

式, n= 得

1 1 。 2m=h2+k2-3 得 h=± 3 , 由 所以 tan∠MAN= =h=± 3 。 所以∠MAN=60° h n

或 120°(舍) (当 Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°) ,故∠MAN=60°。 10(1)证:依题设,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-

a2 a 2 a2 a )+ ,∴f( )= ≤ 4b 2b 2b 4b

1,∵a>0, b>0, ∴a≤2 b 。 (2)证: (必要性) ,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 ? -1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即 a-b≥ -1, ∴a≥b-1。 对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 ? f(x)≤1, 因为 b>1, 可推出 f(

1 b

)≤1。 a? 即

1 b

-≤1,∴a≤2 b ,所以 b-1≤a≤2 b 。 (充分性) :因 b>1, a≥b-1,对任意 x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1, 即: ax-bx2≥-1; 因为 b>1, a≤2 b , 对任意 x∈[0, 1], 可推出 ax-bx2≤2 b -bx2≤1, 即 ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b 。 (3)解:因为 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1]。 f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1,即 a≤b+1; a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。 所以,当 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 的充要条件是:a≤b+1


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