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几何第04讲 平面几何题选讲(1)


第四讲 平面几何问题选讲(1)
例 1 (第 52 届白俄罗斯数学奥林匹克竞赛试题) A H 已知 CH 是 Rt△ABC 的高(∠C=90°) , P 且与角平分线 AM、BN 分别交于 P、Q 两点, N Q 证明: 通过 QN、 中点的直线平行于斜边 AB. PM
E F C M B

例 2(第 44 届 IMO 预选试题) 如图,已知直线上的三个定点依次为 A、B、 C,Г 为过 A、C、且圆心不在 AC 上的圆,分别 过 A、C 两点且与圆 Г 相切的直线交于点 P,PB 与圆 Г 交于点 Q,证明.∠AQC 的平分线与 AC 的交点不依赖于圆 Г 的选取.

P Q A R B C

S

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例 3(2002 年保加利亚国家数学奥林匹克竞赛试 题) 设 E、F 是□ABCD 的边 AD、CD 上的点, ∠AEB= ∠AFB=90°,EG∥AB,且 EG 与 BF 交于点 G.若 AF 交 BE 于点 H,DH 交 BC 于点 I,证明:FI⊥GH.

D E H A

F G

C

B

I

例4

(2003 年 IMO 中国国家集训队选拔考试试题) 在锐角△ABC 中,AD 是∠A 的内角平分线, 点 D 在边 BC 上,过点 D 分别作 DE⊥AC、DF⊥ AB,垂足分别为 E、F,连接 BE、CF,它们相交于 点 H,△AFH 的外接圆交 BE 于点 G.求证:由线 段 BG、GE、BF 所组成的三角形是直角三角形.
B

A

F G H D

E C

例5

(2002 年 IMO 中国国家集训队选拔考试试题) 设凸四边形 ABCD 的两组对边所在的直线分别交于 E、 F 两点, 两对角线的交点为 P, P 作 PO⊥EF 于 O. 过 求证: ∠BOC= ∠AOD.

A

D B P C O

F

E

例6

(2003 年女子数学奥林匹克竞赛试题) 设△ABC 的三边长分别为 AB =c, BC=a, CA=b, a、b、c 互不相等,AD、BE、CF 分别为△ABC 的三 条内角平分线,且 DE=DF.证明:
(1) a b c ? ? ; (2)?BAC ? 90 ?. b?c c?a a?b

A

F

E

B

D

C

例 7(第 19 届巴尔干地区数学奥林匹克竞赛试题) 如图,已知两个半径不等的圆相交于 A、 两点, B 公切线 ST、MN 与两个圆的切点分别为 S、T 和 M、 N.证明:△AMN、△AST、△BMN、△BST 的垂 S 心是一个矩形的四个顶点.

T A S1 M S2 B N

例 8 (第 30 届俄罗斯数学奥林匹克竞赛试题) 设△ABC 为锐角三角形,它的外心为 O,将△AOC 的外心记为 T,边 AC 的中点记为 M.在边 AB、BC 上分 别取点 D、E,使得∠BDM= ∠BEM= ∠ABC.证明:BT ⊥DE.

B

D A

O E M C

T



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