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第七节课2.3.1直线与平面垂直的判定


2.3.1 直线与平面垂直的判定
上课时间: 学习目标: 知识与技能:理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理,并能运用判定定理证明一些 空间位置关系的简单命题. 理解直线与平面所成的角的定义及求法; 学习重难点: 学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 学习难点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 使用说明及学法

指导: 1、限定 45 分钟完成,认真阅读教材内容,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先 绕过,做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解 题本,多复习记忆。

课前预习
预习达标测 : 复习 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行 平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行

课内探究
1、解疑对正答案: 2、深入探究 一、直线与平面垂直的判定 1、线面垂直的定义 A 问题 1、结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义. (1)阳光下,直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是多少? (2)随着太阳的移动,影子 BC 的位置也会移动,而旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什么? A 问题 2、直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面α 互相垂直, 记作: l⊥α . 直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点 P 叫做垂足。 符号语言:

a是平面?内任一直线? ??l ?? l?a ?

图形语言:

l α
P

思想: 直线与平面垂直 ? 直线与平面垂直 思考: (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?

(2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线?即若

l ? ? , a ? ? ,则 l ? a
2、直线与平面垂直的判定定理 A 问题 3、请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过三角形的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD(如图 1) ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) A B B D (图 1) C C (图 2) D A

(1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? A 问题 4、直线与平面垂直的判定定理。 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言: l p α m n

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ?

图形语言:

思想: 直线与直线垂直 ? 直线与平面垂直 例 1 有一根旗杆 AB 高 8m ,它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点 (和旗杆脚不在同一直线上) C , D ,如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6 m ,那么旗杆就和地面垂直, 为什么?

A 问题 5、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,请列举与平面 ABCD 垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位 置关系? A1 D A B D1 B1 C1

a
C

b

?

A 例 2:如图 5,已知 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 吗?请说明理由。

小结:判断直线与平面垂直的方法 (1) 定义法 :(2)直接法: 线面垂直的判定定理 (3)间接法 : 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平 面,那么另一条直线也垂直于这个平面即 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 3、直线与平面所成的角 问题 6: 斜线: 斜足: 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角: 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;(判断直线与平面垂直的方法 4) 一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是 0°的角. 例 3: 在正方体 ABCD _ A 1B 1C1 D 1 中,求: (1)直线 A 1B 和平面 ABCD 所成的角 (2)直线 A 1B 和平面 A 1B 1C D 所成的角
A A1 D1 B1 C1

D B

C

▲ 小结:直线和平面所成角的步骤 ①作图—找出或作出直线在平面上的射影 ②证明—证明所找或所作角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角

当堂检测
1 直线 l 与平面?内的两条直线都垂直,则直线 l 与平面?的位置关系是 (A)平行 (B)垂直 (C)在平面?内 (D)无法确定

3

2 对于已知直线 a,如果直线 b 同时满足下列三个条件: ①与 a 是异面直线;②与 a 所成的角为定值θ ;③与 a 距离为定值 d 那么这样的直线 b 有( (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条
王新敞
奎屯 新疆



3.如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,EF 交 AC 于 M,GC 垂直于 ABCD 所在平面. 求证:EF⊥平面 GMC.
G D E M A F B

C

4.已知:空间四边形 ABCD , AB ? AC , DB ? DC , 求证: BC ? AD

A

B E C

D

4、反思、小结 直线与平面垂直的判定方法 1.定义:如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线,则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么此直线垂直于这个平面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于 90°,则这条直线和平面垂直

课后巩固
优化课时训

本节课反思
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 【金玉良言】快乐心中徜徉,自由随风飘扬,身体力行健康,奋进热情高涨,拼搏成就梦想

4


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